2 Puntos

DISA. ESI. Examen de Teorı́a de Sistemas. Segundo curso de Ingenieros Industriales. 14/9/07.
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1) (2 Puntos) Un soldador de estaño es una herramienta que sirve para transmitir calor y fundir el ”estaño
comercial” usado en aplicaciones electrónicas. Su pieza principal, llamada punta, es de cobre y puede
aproximarse a un cilindro macizo de 4mm de diámetro por 80mm de longitud. La punta es calentada por
una resistencia eléctrica que la envuelve parcialmente, (convenientemente aislada dentro de una carcasa de
metal), tal como muestran las figuras adjuntas. El extremo libre de la punta es el usado para fundir el
material por contacto.
Soldador
mango
carcasa
220V
40W
interior del soldador
punta
carcasa
punta
230V
40W
La placa de caracterı́sticas del soldador indica una potencia eléctrica de 40W cuando se conecta a la red de
220V .
Partiendo de una temperatura ambiente de 25 o C y estando el soldador en equilibrio a esta temperatura, se
conecta en el instante t = 0 a la red. Se desea conocer:
• a) ¿cuál es la temperatura que alcanza la punta a los 35 segundos de conectar el soldador?
• b) ¿cuál será la temperatura máxima que podrá alcanzar la punta?
• c) ¿cuándo se alcanzará el 95% del incremento máximo de la temperatura de la punta?
• d) ¿Podrá fundir un pequeño trozo de ”estaño comercial” al minuto de conectar el soldador?
• e) Si se aisla térmicamente el soldador conectado ¿cuánto tiempo tardará en fundirse la punta? (se
supone que la resistencia está fabricada en un material con un punto de fusión más alto que el del
cobre).
Datos:
• Calor especı́fico del cobre 385J/kg o C
• Densidad del cobre 8920kg/m3
• Constante de transmisión de calor por convección entre la punta y el aire K conv = 0, 1W/o C
• Temperatura de fusión del ”estaño comercial” (60% estaño 40% plomo) 190 o C
• Temperatura de fusión del cobre 1085 o C
NOTA: Se supone despreciable el calor absorbido por la carcasa, la resistencia y el mango, y que toda la
energı́a eléctrica absorbida de la red se transforma en calor. Dada la alta conductividad térmica del cobre
se supone que la punta presenta una distribución homogénea de temperatura.
Modelado y cálculos
Para la pieza llamada punta se pueden plantear las ecuaciones de balance de energı́a
d(T −T
)
Cr · mp · p dt amb = Q̇a − Q̇c , siendo Q̇a el calor absorbido por la punta por unidad de tiempo, Q̇c el calor
cedido por la punta al ambiente por unidad de tiempo, que es igual a Kconv por la diferencia de temperaturas
entre la punta y el aire, mp la masa de la punta y Cr el calor especı́fico del cobre.
d(T −T
)
De modo que se tiene
Cr · mp · p dt amb = Q̇a − Kconv · (Tp − Tamb )
si se trabaja con los incremento de temperatura sobre la temperatura ambiente, llamado T a (T p − Tamb )
se tiene la ecuación diferencial
Cr · mp · dT
dt = Q̇a − Kconv · T
Tratando como entrada el calor absorbido por unidad de tiempo y como salida el incremento de temperatura
de la pieza y haciendo la transformada de Laplace en la ecuación anterior:
Cr · mp · s · T (s) = Q̇a (s) − Kconv · T (s) obteniendo la función de transferencia G(s) =
T (s)
Q˙a (s)
=
1
Kconv
Cr ·mp
1+ K
·s
conv
Modelado y cálculos
función de transferencia de primer orden
Cálculo de parámetros: mp = ρ · V = ρ · r 2 · π · l = 8920 · 0.0022 · π · 0.08 = 0.0089 kg
ganancia estática K = 1/Kconv = 10
o C/W
constante de tiempo τ = Cr · mp /Kconv = 34.52 s
G(s) =
10
1+34,52·s
a) Temperatura de la punta a los 35 segundos:
t
La respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada en escalón y(t) = K(1 − e − τ )u(t), en nuestro
caso
−35
T (35) = 10(1 − e 34,52 ) · 40 = 254o C luego Tp = T + Tamb = 254 + 25 = 279o C
b) Temperatura máxima de la punta:
es la que se alcanza en régimen permanente T (∞) = lim s · G(0) ·
s→0
Tp = T + Tamb = 400 + 25 = 425o C
1
s
· 40 = 400o C
c) Tiempo en alcanzar el 95% del incremento máximo de la temperatura de la punta:
se alcanza en un sistema de primer orden y con entrada en escalón cuando transcurren aproximadamente
3 · τ , en nuestro caso t95 = 3 · 34, 52 = 103.5s
d) Al minuto de conectar el soldador, ¿se prodrá fundir un trozo de ”estaño comercial”?:
−60
T (60) = 10(1 − e 34,52 ) · 40 = 329, 3o C luego Tp = T + Tamb = 329, 3 + 25 = 354, 3o C como esta temperatura
supera la de fusión del estaño comercial de 190 o C, sı́ podrı́a fundir el material.
e) Con el soldador aislado, el tiempo que tardará en fundirse la punta:
Con el soldador aislado el calor cedido es nulo y la ecuación diferencial es
Cr · mp · dT
dt = Q̇a
haciendo la transformada de Laplace en la ecuación anterior:
Cr · mp · s · T (s) = Q̇a (s)
1
obteniendo la función de transferencia G(s) = QT˙ (s)
= Cr ·m
p ·s
(s)
a
1
ası́ T (s) = Cr ·m
· Q̇a (s) tomando la entrada en escalón T (s) =
p ·s
antitransformando T (t) = Cr 1·mp · 40 · t = 11, 67 · t
1
Cr ·mp ·s
· 40 ·
1
s
El instante en que comienza a fundir el cobre se obtendrá de 25 + 11, 67 · t = 1085 o C
despejando t1085o C = 91s
2)(1 punto) Calcule mediante el algebra de bloques la función de transferencia G(s) =
1
C-1
U +
D-1
A
_
2
2
+ + A-1
+
Y
_
+
C
_
Y (s)
U (s) .
C-1
U +
D-1
_
2
+
+ +
+
Y
_
+
D
C
_
+
+
+
D
+
+
3
4
U +
Y
C-1D-1+D-1+2
_
_
+
C
_
U +
Y
C-1D-1+D-1+2
_
+
_
+
D
C
_
+
+
+
+
5
+
D
D
6
U +
Y
C-1D-1+D-1+2
_
_
_
+
_
C
U +
Y
C-1D-1+D-1+2
+
_
D
C(1+CD+C)-1
+
D
D+1
8
7
U +
_
Y
C-1D-1+D-1+2
_
DC(1+CD+C)-1
+
U +
_
C-1D-1+D-1+2
Y
[1+DC(1+CD+C)-1]-1
9
U
Y
G(s) = 1