UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos I
Examen 03—09—09
Se pretende estudiar el flujo estacionario de aire alrededor de un perfil de cuerda c. El flujo no
perturbado es subsónico de presión p∞ , temperatura T∞ y número de Mach M∞ (velocidad V∞ ).
Las ecuaciones del movimiento son
Continuidad:
Dρ
+ ρ∇ · ~v = 0,
Dt
Cantidad de movimiento: ρ
Entropía: ρT
D~v
= −∇p − ρ∇U + ∇ · τ 0 ,
Dt
DS
= ∇ · (k∇T ) + Φv ,
Dt
donde τ 0 es el tensor de esfuerzos viscosos y Φv la función de disipación de Rayleigh. Se ha supuesto
que las fuerzas másicas derivan del potencial U .
Se pide:
1.a- Criterio para que los términos viscosos sean despreciables frente a los convectivos en la ecuación
de cantidad de movimiento.
1.b.- A la vista del resultado, simplifiquen la ecuación de la energía. Supongan que μcp /k ∼ 1.
2a.- A la vista de los resultados anteriores, demuestren que el flujo, fuera de la capa límite y estela,
es irrotacional. Escriban las ecuaciones que permiten determinar el potencial de velocidades y las
variables termodinámicas para el movimiento irrotacional.
3.- Estimen el orden de magnitud del espesor de la capa límite (supuesta laminar) viscosa y térmica.
Estimen también el orden de magnitud del esfuerzo viscoso y del flujo de calor en la pared sabiendo
que la temperatura del perfil es Tp .
c
p∞ , T∞ , M∞
SOLUCIÓN
1a.- Al ser flujo estacionario, la condición para que los términos viscosos sean despreciables frente a
los convectivos es:
ρV∞ c/μ À 1.
1b.- La contribución de los efectos de conducción al incremento de entropía es
k ∆T μ
k∆T /c2
∼
¿ 1,
ρT∞ V∞ cv /c
μcv T∞ ρV∞ c
ya que k/μcv ∼ 1, los incrementos de temperatura son, a lo sumo, del orden de la propia temperatura
de modo que ∆T /T∞ ∼ 1, en el peor de los casos.
La contribución de la disipación viscosa al incremento de entropía es
2
μ (V∞ /c)2
μ
V∞
μ
∼
M 2 ¿ 1.
∼
ρT∞ V∞ cv /c
ρV∞ c cv T∞
ρV∞ c ∞
Por lo tanto, los efectos de conducción de calor y disipación viscosa son despreciables en la escala de
tamaño c.
La ecuación de la entropía se reduce a que la entropía de las partículas se conserva en su movimiento,
y como todas las partículas parten de entropía uniforme S∞ , se puede escribir
S = S∞ .
El resto de las variables termodinámicas pueden escribirse en la forma
ρ = ρ (p, S∞ ) ; T = T (p, S∞ ) .
2.- A la vista de lo obtenido en el apartado 1b, existe una relación de barotropía
Z
∇p
dp
⇒ ∇ω =
,
ω=
ρ (p, S∞ )
ρ
lo que permite escribir la ecuación de cantidad de movimiento en la forma
D~v
= −∇ (ω + U ) ,
Dt
lo que indica que la aceleración deriva de un potencial.
De acuerdo con el teorema de Bjerknes-Kelvin, si la aceleración deriva de un potencial, la circulación
a lo largo de una línea fluida cerrada no cambia con el tiempo. Como además el flujo proviene de una
región donde la circulación es nula, se mantiene nula en todo el campo fluido. En cuyo caso puede
escribirse
~v = ∇ϕ.
Las ecuaciones para el movimiento irrotacional quedan
∆ϕ + ∇ϕ ·
∇ρ
= 0,
ρ
1
(∇ϕ)2 + ω + U = C (t) ,
2
junto con
ρ = ρ (p, S∞ ) ; ω =
Para el caso de un gas perfecto se tiene ω = h =
Z
γ p
γ−1 ρ
y
dp
.
ρ (p, S∞ )
ρ
ρ∞
=
³
p
p∞
´1
γ
.
3.- Para poder imponer las condiciones de contorno en el perfil es necesario que cuenten los efectos
viscosos y de conducción de calor, pero esto sólo ocurre a distancias δ ¿ c de la pared. Como el
número de Prandtl es de orden unidad, los espesores de la capa viscosa y térmica son del mismo
orden. El orden de magnitud se obtiene de comparar los términos viscosos (medidos con la escala δ)
con los convectivos, y ambos deben de ser del mismo orden; esto es:
μV∞ /δ 2
δ
∼1⇒ ∼
2 /c
ρV∞
c
µ
μ
ρV∞ c
¶1
2
.
Los esfuerzos viscosos son del orden de
V∞
V∞
∼μ
τp ∼ μ
δ
c
y el flujo de calor
s
ρV 2
ρV∞ c
∼q ∞ ,
ρV∞ c
μ
k (Tp − T∞ )
∆T
∼
qp ∼ k
δ
c
μ
s
ρV∞ c
.
μ