ESTADISTICA ESPAÑOLA Vol. 35. Núm. 134, 1993, págs. 665 a 682 Señales de falta de contro! en gráficos X CARMEN CAPILLA ROMA RAFAEL ROMERO VILLAFRANCA Departamento Estadística e Inv. Operativa Universidad Politécnica de Valencia RESUMEN Se compara la efectividad del gráfico X estándar, gráfico X con señales adicionales de falta de control y gráfico CUSUM, asumiendo cambios constantes y progresivos en la media del proceso. Aunque las señales adicionafes mejoran la potencia del gráfico frente a desviaciones pequeñas, su empleo incrementa considerablemente la cantidad de falsas alarmas. EI gráfico CUSUM es, en este caso, el procedimiento más efectivo. Si el cambio es progresivo, las diferencias entre los tres gráficos son poco relevantes. La frecuencia de aparición de cada señal depende de 1a magnitud de desviación, y para aiguna de ellas resulta prácticamente cero incluso con cambios pequeños, por lo que no está justificada su utilización. Palabras clave: Controf Estadístico de Procesos; Gráficos de Shewhart; Gráficos CUSUM; Longitud de Recorrido Medio. Clasificación AMS: 62N 1 O, 62P99. 1. INTRODUCCION Los gráficos de control de Shewhart constituyen hoy en día una de las herramientas más utiliZadas para control on-line de procesos industriales. Su objetivo es detectar la existencia de causas especiales de variabilidad y ayudar a su posterior e{iminación, manteniendo así el proceso bajo control. Cuando la característica de calidad toma valores en una escala continua, _el procedimiento más usual para control de 1a posición del proceso es el gráfico X. 6^f:i f'^^,^1 ADI`^^T It ,r^, E`^F'^hNOt A Básicamente consiste en ir registrando ei valor medio de cada muestra de tamaño n; tiene lugar una señal de falta de control cuando aparece un punto fuera de los iímites, situados en el caso estándar a una distancia ±3 6/ n de la media del proceso. Este procedimiento presenta el inconveniente de ser poco efectivo frente a desviaciones críticas de pequeña magnitud. En la práctica habitual se utilizan, además de la estándar, señales de falta de control basadas en rachas, con el fin de incrementar la sensib^lidad del gráfico en ese contexto. Estas señales suponen una complejidad de manejo mayor y un cambia en las propiedades estadísticas del gráfico. Tiene interés cuantificar la magnitud de esta modificación para determinar si el incremento de potencia que pueden suponer, compensa la dificultad de su utilización en planta y el aumento de falsas alarmas que, en principio, cabe esperar. EI gráfico CUSUM es una herramienta empleada también para controlar la media del proceso y se caracteriza, en general, por una mayor efectividad que el gráfico X estándar en el rango de desviaciones pequeñas. En su versión tabulada, consiste en registrar las sumas acumuladas: _ S; = max(o, S; _ ^ +_X; - mo - k6/^In ) T;=min(o, T;_^ +X;-mo+ka/^) Con S; se detectan incrementos en la media mo del proceso y con T; disminuciones. La señal de falta de control ocurre cuando S; > h o T; ^-h. EI valor de referencia k y el intervalo de decisión h son elegidos en función de la magnitud de desviación crítica en la media y la frecuencia de falsas alarmas deseada. En el presente trabajo se aborda, mediante el recursa a técnicas de simulación, el estudio compar_ativo de los tres procedimientos antes señalados: gráfico X estándar, gráfico X con señales adicionales y gráfico CUSUM. Se analiza su comportamiento en los casos de desviación constante y progresiva en la media del proceso, asumiendo situaciones que difieren en la magnitud de la salida de control. Con el fin de precisar la contribución de cada señal en el cambio de propiedades, se estudia también la frecuencia de aparición de cada una de ellas. 2. ANTECEDENTES Y METODOEOGIA Diversos autores han estudiado las propiedades estadísticas del gráfico X con señales adicionales (Western Electric, 1956) cuando la desviación en la media del proceso es constante (Wheeler, 1983; Champ et al., 1987; Walker et al. 1991) o progresiva (Bissell, 1984; Davis et al., 1987). En el segundo caso, la compa- SF.NAL.E :.i UF FALTA UE_ C;t::)NTRC^L EN OFZAF I(;t );^ x _ _ __ FjF^ % ración de pracedimientos se ha realizado en alguna referencia sin ajustar sus parámetros para tener un porcentaje de falsas alarmas similar. En el presente trabajo se va a considerar un conjunto de señales propuesto por Ishikawa (1976), utilizado muy frecuentemente en el contexto de la industria española: Señal 1: Punto fuera de los límites de control mo ±3 a/^ñ ( señal estándar). Señai 2: Dos de tres puntos seguidos en la zona comprendida entre mo±2 0/^ y mo±3 a/^, pudiendo estar los dos puntos a distinto lado de la iínea central mo. Señal 3: Siete puntos seguidos por encima o por debajo de la línea central. Señal 4: Racha creciente o decreciente de siete puntos consecutivos. Las señales 2, 3 y 4 difieren de las analizadas en las referencias anteriores. Resulta relevante estudiar si este hecho supone alguna modificación en relación con las conclusiones recogidas en la bibliografía existente sobre el tema. Respecto a ia Señal 2, algunos autores consideran sólo el caso de «2 de 3» al mismo lado de la línea central, situación únicamente relevante para detectar cambios de nivel en la media. Sin embargo, la práctica industrial más frecuente incluye también como señal la presencia de «2 de 3» aunque sea a distintos lados de la línea central, dado que podría indicar aumento de variabilidad o mezcla de poblaciones. Puesto que el objetivo de este trabajo es analizar las consecuencias que el empleo de las señales más habituales tiene sobre las propiedades estadísticas del gráfico X, se ha considerado también esta úftima situación de falta de control. Adicianalmente, en ninguna de las referencias se ha evaluado la contribución de cada señal a la modificación constatada en las propiedades del gráfico X frente a distintas desviaciones. Esta cuestión se aborda en el presente articulo. Un gráfico de control es equivalente a un contraste de hipótesis sobre la media del proceso. Sin embargo, cuando la señal de falta de control se basa también en la información contenida en un cierto número de muestras anteriores, la interpretación del riesgo de primera especie oc no resulta tan evidente, ya que no es un valor constante y depende del inst_ante en que nos encontremos (Adams et al., 1990). Este es el caso del gráfico X con señales adicionales o del gráfico CUSUM. La efectividad de estos procedimientos se cuantifica, en la práctica, a través del ARL (Average Run Length), o valor promedio del número de muestras a tomar desde que se produce la salida de control en el proceso hasta que se detecta. Estando bajo contro! este parámetro es igual a 1/oc, siendo a la frecuencia relativa de falsas alarmas. E^ E7F^ E `'^ ^ A^71^TIi,A E `^^^^f^1^.)l. r^ EI estudi0 del ARL de los dos gráficos se ha realizado mediante simulación en ordenador de distintas situaciones de cambio en la media. Cuando se incluye t señales_de falta de control independientes entre sí, es posible evaluar a para el gráfico X con la expresión (Duncan, 1986): a= t -- Ii (1 - «^) en la que a; es la proporción de falsas alarmas correspondientes a la señal i. Sin embargo, no se puede aplicar esta aproximación a la combinación de las cuatro señales antes definidas, ya que no son independientes entre sí. Por otro lado, la señal de racha imposibilita cualquier otro enfOque analítico, siendo la simulación el único procedimiento existente para evaluar las propiedades del gráfico resultante. La determinación de las propiedades del gráfico CUSUM también se ha realizado mediante^ simulación. Esta aproximación es más sencilla que los métodos analíticos abordados en la bibliografía sobre el tema (Van Dobben de Bruyn, 1968), y produce resultados similares en cuanto a precisión. Para ambos gráficos, se han realizado 10.000 simulaciones con cada carnbio de la rnedia del proceso, asumiendo distribución normal e independencia entre las observaciones. EI lenguaje empleado es el APL, puesto que los procedimientos na requieren la utilización de un lenguaje específico. Los programas utilizados están disponibles, previa solicitud a los autores. Teniendo en cuenta que la desviación típica de la variable Longitud de Recorrido es aproximadamente del mismo orden de magnitud que su media (ARL), con este número de simulaciones el coeficiente de variación no supera en_ningún caso el 1 por 100 del valor a estimar. En el caso concreto del gráfico X se ha registrado en cada prueba la señal que indicó la falta de control. Para el gráfico X estándar, es decir, incluyendo sólo la señal 1, el cálculo del ARL se ha realizado analíticamente, asumiendo que las medias muestrales X; son independientes y siguen una distribución normal. 3. ^ EFECTO DE LAS SENALES ADICIONALES SOBRE EL ARL En el gráfico X estándar el riesgo de primera especie es igual a 1/ARLbajo ^ontro,, y a partir de esto se puede determinar directamente la posición de los límites de control. Análogamente para el gráfico CUSUM, una vez elegidos el valor de referencia k y el ARLba^o ^ontfo^^ es posible encontrar el intervalo de decisión h correspondiente. ^ 5E NAL_E ^[)E= ^ A[_ TA C)E C;f7N T f^0[ f N C^^f If .f:)^^ x Sin embargo, en el gráfico X con las señales adicionales antes definidas na existe forma analítica de determinar la posición de los límites para un ARLbajo contro^ dado. Se ha procedido, por tanto, estimando mediante simulación el ARLbajo control con los límites en la posición estándar mo ±3 6/^Ín (es decir, asumiendo desviación cero en las simulaciones). En este caso, el ARLbajo ^ontro^ resultó aproximadamente igua! a 60. Esto indica que en promedio 1 de cada 60 observaciones registradas en e! gráfico resulta en una falsa alarma, lo que expresado en frecuen^ia relativa es igual a a= 0,017. Este primer resultado tiene implicaciones importantes. En el gráfico X con la Señal 1 y límites de control a mo ±3 6/^, la frecuencia relativa de falsas alarmas es a= 0,0027, o expresado de otra forma, ARLbajo contro^ = 3E0. Comparando estos dos valores, se abserva que la mayor efectividad frente a desviaciones pequeñas que puede suponer el empleo de estas señales se consigue, en parte, a costa de incrementar de forma notable la cantidad de situaciones de falsa alarma. Con el fin de tener procedimientos de controf comparables, se determinó la posición de los límites del gráfico X con la Señal 1 y los parámetros k y h del gráfico CUSUM, de forrna que el ARLbajo ^ontro, fuese aproximadamente igual a 60. Para !a elección de los parámetros k y h del gráfico CUSUM se ha seguido el procedimiento indicado en varias referencias bibliográficas (Goel et al., 1971; Gan, 1991). Como regla práctica se recomíenda un valor de k pequeño, puesto que a medida que éste aumenta las propiedades estadísticas del gráfico CUSUM se aproximan más a las del gráfico X de Shewhart, con la desventaja ya mencionada para el rango de desviaciones pequeñas. Distintos autores ( Ewan y Kemp, 1960; Gan, 1991) indican como óptimo k=^/2, siendo b la magnitud de desviación mínima cuya detección precoz es relevante. Con este valor de referencia, el gráfico resultante, tras fijar h para un determinado ARLbajo ^ontro,, presenta un ARL mínimo cuando la desviación en la media es ó. En el presente trabajo se va a estudiar la efectividad dei gráfico CUSUM para un rango de desviaciones amplio. Por tanto, no existe un valor b que se pueda considerar crítico. EI criterio seguido a la hora de eiegir k, se ha basado en la recomendación k= 0,5 cs/^ contemplada como estándar en diversos trabajos ( Ewan et al., 1960). EI intervalo de decisión h correspondiente a ARLba^o ^o^tro, _ = 60 y este valor de referencia se ha obtenido a partir del nomograma proporcionado por Goel y Wu ( 1971). E`;TAUISTI(_:A E^^SF'AhJC)LA FIGURA 1 ARL en función de la magnitud de desviación constante 100 L 0 g a R L 0,5 1 2,5 2 3 1,5 Desviación (Ud cT/V'ir } a- - Q1 ^ C32 3,5 4 4,5 ^ C33 G1: Gráfico X _ estándar G2: Gráfico X con señales adicionales G3: Gráfico CUSUM Los gráficos a comparar son los siguientes: G^1: Gráfico X con Señal 1 y límites de control en la posición mo ±2,39 6/^lñ . G2: Gráfico X con las 4 señales definidas en el apartado anterior, y límites de control en la posición mo ±3 c^/^J ñ. G3: Gráfico CUSUM con k= 0,5 6/^1n y h- 3,04 a/^ñ . ^a Figura 1 representa los resultados obtenidos para estos tres gráficos en función de la magnitud S de desviación constante ocurrida en la media, expresada en unidades de a/^. Se ha utilizado escala vertical logarítmica. Como puede apreciarse, el procedimiento de control óptimo, entendiendo como tal el que minimiza el ARL, depende de la magnitud de desviación constante que ha tenido fugar, siendo este resultado independiente del tamaño de muestra n utilizado. Ei valor de n determina tan sóio la magnitud de desviación para la que un procedimiento resulta más efectivo que otro. SENALFS DE FAt TA DE CC)NTROt_ FN C:^F^AF^C;^.^^5 5^ 671 Se observa que las señales adicionales mejoran la efectividad del gráfico X -__ para desviaciones inferiores a 1,7a/^n . EI gráfico X estándar resulta más sensible si la salida de control es superior a este valor. Con respecto al gráfica CUSUM, es el procedimiento más efectivo frente a desviaciones inferiores a 2,246I ^ñ . Sin embargo, con salidas de control de mayor rnagnitud, su potencia es menor que la de los otros dos gráficos. En el caso particular de tarnaño muestral n= 5, muy frecuente en la práctica, la utilización_de señales de falta de control adicionales mejora la sensibilidad del gráfico X sólo para cambios inferiores a 0,75a. Por otro lado, el gráfico CUSUM es más potente cuando la modificación en la media no supera e valor a. En la Figura 2 se recogen los resultados correspondientes a la situación de deriva progresiva en la media. En este caso, S expresa el cambio ocurrido por intervalo de muestreo, en unidades de a/^. Se observa que el procedimiento óptimo también depende de la magnitud de desviación progresiva que ha tenido lugar. Sin embargo, las diferencias entre los tres gráficos son poco relevantes. Las señales adicionales tan sólo mejoran la efectividad del gráfico X cuando la deriva es menor que 0,26/^. Su potencia es, en este rango de desviacioFIGURA 2 ARL en función de la magnitud de desviación progresiva 100 L 0 9 10 A R L 1 `0 0,25 0,5 0,75 Desviación progresiva (Ud c^/Vrñ) G1: Gráfico X estándar G2: Gráfico X con señales adicionales G3: Gráfico CUSUM SE^ f^At F^> [.^E^_ F^L TA nF (^:.C^NTF^C)L E N^^RA^^ !^: '^^'-^^ ^^ G T^ Una cuestión importante es determinar la contribución de cada señal, a partir de su frecuencia relativa de aparición en función de la magnitud dei cambio producido en la media. La Figura 3 recoge las frecuencias correspondientes a las señales consideradas en este artículo, para distintos valores de la desviación expresada en unidades de cs/^lñ . Se observa que la importancia de cada señal depende de la magnitud de desviación constante. Con cambios pequeños ( menores que 1,5c^/^), la racha de siete puntos a un mismo lado de la media presenta una frecuencia mucho mayor que las otras señales. AI mismo tiempo, con desviaciones inferiores a 26/^, la proporción de veces que indican falta de control las señales adicionales es superior, en conjunto, a la de un punto fuera de los límites. Cuando la magnitud de cambio en la media supera ese valar, las situaciones de falta d_e control vienen casi siernpre indicadas por esta señal, resultando un gráfico X equivalente al estándar. Este primer resultado confirma lo señalada al comparar el ARL del gráfico X con y sin señales adicionales, ya_que según se vio las señales adicionales incrementan la potencia del gráfico X para desviaciones inferiores a 1,76/^n . Para desviaciones superiores, estas_señales se presentan muy pocas veces. Por tanto, resulta más efectivo el gráfico X estándar equivalente, puesto que sus límites de control estarían situados a ±2,396/^ de la media del proceso, mientras que en el gráfico con señales adicionales esta distancia es igual a 3a/^n^. La probabilidad de aparición de un punto fuera de los límites es menor en este segundo caso, lo que redunda en un ARL más grande. La proporción de veces que se presenta la racha creciente o decreciente de siete puntos seguidos es mayor cuando el proceso está bajo control, siendo del mismo orden de magnitud que la correspondiente a la Señal 1. Sin embargo, en odo el rango de desviaciones simuladas su frecuencia es prácticamente nula. Por tanto, la Señal 4 contribuye al increm_ento de falsas alarmas pero muy poco al aumento de efectividad en el gráfico X, no quedando justificada su inclusión desde el punto de vista estadístico. La pauta seguida por la frecuencia de cada señal en el caso de deriva progresiva es muy similar y se recoge en la Figura 4. Se observa que la proporción de veces que la Señal 1 indica falta de control es mayor que la correspondiente a las otras señales si la deriva es superior a 0,256/^n . Por otro lado, la Señal 4 sólo indica falta de control frente a desviaciones de poca magnitud y con una frecuencia relativa muy pequeña. SEÑALE_S DE FALTA DE CONTROL EN GF^fiFICC:)S X 675 aproximadamente igual a 1,1 por 100 frente al 1,7 por 100 constatada con las señales analizadas en el presente trabajo. Este resultado era previsible teniendo en cuenta que en esta referencia se incluye una racha igual a la Señal 3, pero de longitud 8 y que esta señal era responsable de una gran cantidad de falsas alarmas. Sin embargo, y como es lógico, el utilizar rachas más largas implica una efectividad menor, especialmente en el rango de desviaciones pequeñas, Por tanto, el procedimiento óptimo dependerá dei contexto en el que se utilice el gráfico, según el coste asociado a una mayor proporción de falsas alarmas frente a una menor sensibilidad en situaciones de falta de control. Cuand_o se produce una deriva progresiva en la media, las diferencias entre el gráfico X estándar, el gráfico con señales adicionales y el CUSUM son poco relevantes. EI criterio en este contexto para la elección del gráfico de control a aplicar debe basarse en consideraciones distintas de las estad ísticas. La proparción de veces que estas señales indican falta de control depende de la magnitud del cambio de nivel en la media, sea éste constante o progresivo. Cuando el cambio es pequeño la señal estándar, punto fuera de los límites de control, se presenta con muy poca frecuencia, creciendo su importancia conforme lo hace el valor de la desviación producida. Es de destacar el resultado referente a la señal de racha creciente o decreciente de siete puntos seguidos, ya que contribuy_e al incremento de falsas alarmas pero no a la mejora de potencia del gráfico X. Por tanto, su inclusión no está justifiicada. En el análisis realizada se ha asumido que la varianza de la característica a controlar permanece constante. Cuando la salida de control se debe a un cambio en la dispersión, la frecuencia de cada señal sigue una tendencia distinta a la recogida en apartados anteriores. EI análisis de esta cuestión ha sido considerado por los autores ( Capilla, 1991) y muestra, por ejemplo, que la Señal 2, definida como dos de tres valores consecutivos en la zona comprendida entre mo ±26/^iñ y mo ±3cs/^, se presenta con una mayor frecuencia que la constatada cuando el cambio se produce en la rnedia. Este resultado era de esperar, ya que en dicha señal se contempla la posibilidad de que los dos valores estén a distintos lados de la línea central. Por otro lado, cuando la dispersión sufre una modificación de pequeña magnitud, la frecuencia de rachas es similar a la constatada para el caso de desviación cero en la media. Otra cuestión de interés práctico, por la frecuencia con que se plantea, es el estudio de la efectividad de los gráficos de control cuando la hipótesis de independencia entre las observaciones deja de cumplirse. La presencia de correlación modifica notablemente el comportamiento de estos procedimientos, por lo que los resultados reflejados en este trabajo son válidos sóla en el contexta de independencia entre observaciones consecutivas. Por un lado, las frecuencias E<> r^t:^^s T ir:.^ ^^ ^F^>t^ra^. ;^^ ,^ E^ l Eá observadas para las señales de racha aurnentan considerablemente cuando los datos están autocorrelacionados. AI mismo tiempo, las propiedades del gráfico CUSUM sufren en este caso una gran modificación, que puede redundar en una pérdida de potencia notable. Esta cuestión ha sido analizada por los autores y los resultados correspondientes serán objeto de una publicación futura. En este contexto resulta, por tanto, más adecuado utilizar otros métodos para control on-line de la posición del praceso, como los propuestas por Alwan et al. (1988} o Tucker et al. (1991). 6. AGRADECIMIENTOS Los autores desean manifestar su agradecimiento al editor y a los evaluadores de la revista por las sugerencias y cambios propuestos, que han contribuido a mejorar notablernente el contenido y presentación de este trabajo. _ TAB L_A 1 ARL del gráfico X estándar, gráfico X con señales adicionales y gráfico CUSUM, en función de la magnitud de desviación constante de la media dei proceso G3 G2 G1 b (Ud ^:} ARL ARL sARL ARL SARL 0,00 0,25 0,50 60,00 28,41 9,78 59,89 18,05 7,65 0,538 0,157 0,053 61,97 15,33 5,60 0,587 0,122 0,052 0,75 4,18 4,07 0,025 3,31 0,031 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 2,27 1,52 1,20 1,07 1,02 1,00 1,00 1,00 1,00 2,59 1,81 1,3$ 1,17 1,06 1,02 1,00 1,00 1,00 0,015 0,009 0,006 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 2,40 1,92 1,61 1,36 1,18 1,07 1,02 1,01 1,00 0,024 0,019 0,016 0,005 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 Tamaño de muestra n= 5. 677 SENAt ES C^f F^AL TA nf- í";nNTROI. E N^:^RAF Ic' ^i^; TA B LA 2 ARL en función de la magnitud de desviación progresiva ó (Ud a 0,00 0, 01 0, 02 0,05 0,10 0,15 0,50 1,00 2,00 3, 00 G1 G2 ARL. SARL ARL 60,00 28, 84 20, 38 11,65 7,51 5,71 2,49 1,57 1,02 1, 00 0,000 0,164 0, 099 0,048 0,027 0,019 0,008 0,005 0,001 0, 000 59,89 24, 57 17, 70 11,03 7,46 5,91 2,75 1,76 1,07 1, 00 G3 S,4R^ 0, 538 0, ^ 35 0, 084 0,043 0,025 0,018 0,008 0,005 0,005 ____0, 000 ARL SARL 61,97 23, 56 16, 30 9,80 6,62 5,28 2,73 1,93 1,18 1, 00 0,587 0,108 0, 063 0,032 0,018 0,013 0,006 0,004 0,003 0, 000 Tamaño de muestra n= 5. TAB LA 3 Frecuencia relativa de las señales adicionales de falta de control en función de la magnitud de desviación constante de la media s (Ud 6) o, o0 0,25 0, 50 0, 75 1, 00 1,25 1, 50 1,75 2,00 2,25 2, 50 Señal 1 Señal 2 Señal 3 Señal 4 16 (0,3666) 14 (0, 3470) 22 (0,4142) 39 (0,4877) 59 (0,4918) 75 (0,4330) 89 (0, 3129) 96 (0,1959) 99 (0, 0995) 100 100 21 (0,4073) 16 (0, 3666) 26 (0,4386) 37 (0,4828) 34 (0,4737) 23 (0,1771) 10 (0, 3000) 4 (0,1959) 1 (0, 0995) 0 0 47 (0,4990) 65 (0,4769) 50 (0,5000) 22 (0,4142) 6 (0,2375) 2 (0,1400) 1 (0, 0995) 0 16 (0,3666) 5 (0, 2179) 2 (0,1400) 2 (0,1400) 1 (0,0995) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tamaño de muestra n= 5. Entre paréntesis la desviación tipica de la estimación. fá T^3 f: STADI^TIC:;A E ç^F'ANC:)lA TABLA 4 Frecuencia relativa de las señales de falta de control, en función de la rnagnitud de desviación progresiva s (Ud 6) 0,01 0,02 0, 05 0,10 0,15 0,50 Señal 1 Señal 2 Señal 3 Señal 4 14 (0,3470) 16 (0,3667) 25 (0,4330) 35 (0,4769) 47 {0,4990) 80 16 (0,3667) 20 (0,4000) 26 (0,4386) 32 (0,4665) 33 (0,4072) 17 62 {0,4854) 58 {0,4935) 45 (0,4975) 30 (0,4582) 18 (0,3842) 3 8 (0,2173) 6 (0,2375) 4 (0,1959) 3 (0,1706) 2 (0,1400) 0 (0,4000) (0,3756} (0,1706} 1, 00 93 (0,2551) 6 (0,2375) 1 (0,0995) 0 2,00 99 (0,0995) 1 (0,0995) 0 0 3, 00 100 0 0 Tamaño de muestra n= 5. 0 67^ SE NA^ES DE F^A^. TA DE^ C^^C)N ^f F2UL E^ N(^,KAF 3^"^:C)S X TABLA 5 Frecuencia relativa de las señales de falta de control en función del aumento relativo de la dispersián a^lao Señal 1 Señal 2 Señal 3 Señal 4 1, 02 15, 7 (0,3638) 16,2 (0,3684) 21,3 (0,4094) 24, 2 (0,4283) 24,3 (0,4289) 34,3 (0,4747) 41,2 (0,4922) 48,3 (0,4997) 50,1 {0, 5000) 57,0 (0,4951) 69,5 (0,4604) 78,2 (0,4129^ 18,8 (0,3907) 20,1 (0,4007) 23,1 {0,4215) 26, 5 (0,4413) 26,8 {0,4429) 33,4 (0,4716) 33,2 (0,4709) 34,2 {0,4744) 32,4 (0,4680) 31,3 (0,4637) 24,1 (0,4277) 17,4 (0, 3791) 49,7 (0,4999) 49,4 (0,4999) 42,0 (0,4935) 36, 3 (0,4809) 37,3 (0,4836} 24,5 (0,4301 } 19,9 (0,3992} 13,4 (0, 3406} 14,0 (0, 3468) 9,3 (0,2904) 5,2 (0,0493) 3,7 (0,1888) 15,8 (0,3647) 14,3 (0,3501) 13,6 (0,3428) 13, 0 (0,3363) 11,6 (0,3190) 7,8 (0,2682) 5,7 (0,2318) 4,1 (0,1983) 3,5 (0,1838) 2,4 (0,1530) 1,2 (0, ^ 088} 0,7 (0, 0834) 1,04 1,06 1, 08 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,0 2,5 Tamaño de muestra n= 5. Entre paréntesis la desviación típica de la proporción estimada. F`;Tf^fi1^-;TIr;^^ `^> F't^^•^i ( )1 ,^ TABLA f Comparación de la efectividad del gráfico X con distintas señales de falta de control GRAFICOS DE CONTROL ^ (Ud cs/v'n G1 G2 G3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 92,14 78,66 56,12 36,99 24,18 16,13 11,09 7,86 5,76 4,35 3,39 2,72 2,25 91,75 2,6 1,91 58,06 (0,575) 35,05 (0,334) 24,04 (0,219) 16,28 (0,141) 11,36 (0,092) 9,23 (0,069) 6,43 (0,044) 5,30 (0,033) 4,45 (0,033) 3, 72 (0, 024) 3,09 (0,019) 2,63 (0,031 } 2,28 (0,026) 2,02 (0,023} 2,8 3,0 1,66 1,48 1,so (©,020) 1,6_2 ^0,0^8^ 66,80 36,61 20,90 13,25 9,22 6,89 5,41 4,41 3,68 3,13 2,70 2,35 2,07 1,85 1,67 Desviación constante en la rnedia expresada en unidades de desviación típica de la media rnuestrai, a/^n . G1: Gráfico X _ estándar can Iímites a mo ±2,54c^/^ln . G2: Gráfico X _ con el grupo de señales estudiado en este artículo. G3: Gráfico X con las señales estudiadas por Champ, et al. {1989). Entre paréntesis la desviación típica del ARL estimado para G2. 7. BIBLIOGRAFIA ADAMS, B. M.; LowRY, C.; WOODALL, W. H. (1990). «The Use (and Misuse) of False Alarm Probabilities in Control Chart Design». Frontiers in Statistical Quality Control, 4, Ed. H. J. Lenz, G. B. Wetherill y Wilrich, P. Th. , H. V. (1988). «Time-Series Modeling for Statistical Process Control» . Journal of Business & Economic Statistics, 6, 87-95. ALWAN, L. C.; ROBERTS BISSELL, A. F. (1984). «The Performance of Control Charts and Cusums under Linear Trend». Applied Statistics, 33, 145-151. (Corrigendum, Applied Statistics, 35). CAPILLA, C. (1991). Aportaciones al conocimiento de /as propiedades estadísticas de los gráficos de control para la media. Universidad Politécnica de Valencia. Tesis doctoral sin publicar. ^;E NAt E^[)E FAL tA DE: (:UN i ROl E: ^^^ C áF^^,F it .i ^t, :x ^.iS 1 CHAMP, C. W.; WOODALL, W. H. (1987). «Exact Results for Shewhart Control Charts with Supplementary Runs Rules». Technametrics, 29, 393-399. DAVIS, R. B.; WO©DALL, W. H. { 1988). «Performance of the Control Chart Trend Rule under Linear Shift». Journal af Quality Technology, 28, 260-262. DUNCAN, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics, Quinta edición, Homewood, IL: Richard D. Irwin. EwAN, W. D.; KEMP, K. W. (1960). t<Sampling Inspection of Continuos Processes with no Autocorrelation Between Successive Results». Biometrika, 47, 363380. GAN, F. F. (1991 }. «An O^ptimal Design of CUSUM Quality Control Charts». Journal of Quality Technolagy, 23, 279-286. GOEL, A. L.; WU, S. M. (1971). <cDetermination of A.R.L. and a Contour Nomagram for Cusum Charts to Control Norma! Mean» . Technometrics, 13, 221-230. ISHIKAWA, K. (1976). Guía de Control de Calidad, New York: UNlPUB. TUCKER, W. T.; FALTIN, F. W.; vANDER WIEL, S. (1991). «Algorithmic Statistical Process Controi», 1991 Gordon Research Conference on Statistics in Chemistry and Chemical Eng^ineering, New Hampton, NH. VAN D08BEN DE BRUYN, C. S. (1968). Cumulative Sum Tests: Theory and Practice, New York: Hafner Publishing Company. WALKER, E.; PHILPOT, .J. W.; CLEMENT, J. (1991). «False Signal Rates for the Shewhart Control Chart with Supplementary Runs Tests». Journal of Quality Technology, 23, 247-252. WESTERN ELECTRIC (1 95G}. Statistical Quality Control Handbook, AT & T, P. CJ. BOx 19901, Indianapolis, IN, USA. WHEELER, D. J. (1983). «Detecting a Shift in Process Average: Tables of the Power Function for X Charts» . Journal of Quality Technology, 15, 155-170. OUT-OF-CONTROL StGNALS IN X CHARTS SUMMARY The Shewhart X chart, the X chart with supplementary runs tests and the CUSUM chart are compared in the cases of step and gradual change in the process mean. Aithough the runs tests are valuable in detecting small changes, they also increase the false signal rate. For small shifts, the CUSUM chart is the 682 E STAC:)15T1(;;A E SF'ANC:)l A most effective procedure. When the change is gradual the three schemes perform similarly. Frequency of appearance of each runs test depends on the magnitude of the shift value in the process mean. The frequency of the trend rule is so smail that its use in practice is not justified. Key words: Statistical Process Control; Shewhart Charts, CUSUM Charts, Average Run Length. AMS Classification: 62N 10, 62P99.