SYLLABUS MAT FIN - Udabol Virtual

FACULTAD DE CIENCIAS
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
ADMINISTRACION DE EMPRESAS
CUARTO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA DE
MATEMATICA FINANCIERA
Elaborado por: Ing. Mijail Díaz Concepción
Gestión académica I/2007
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA Mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD:
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con Calidad y competitividad al servicio de la
sociedad.
Estimado (a) alumno (a):
La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a través del Syllabus, la oportunidad de contar con una
compilación de materiales que te serán de mucha utilidad en el desarrollo de la asignatura.
Consérvalo y aplícalo según las instrucciones del docente.
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SYLLABUS
Código:
Matemática Financiera y
Actuarial
EFF-223
Requisito:
MAT-101 C, MAT-112 C
Carga Horaria:
Créditos:
80 Horas
8
Asignatura:
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
Al final del curso el estudiante será capaz de:

Realizar cálculos de Interés Simple y Compuesto.

Realizar cálculos de Anualidades.

Elaborar Cuadro de Amortizaciones.

Utilizar EXCEL o calculadora financiera en los anteriores cálculos.
II. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: INTERES SIMPLE
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
Conceptos y elementos
Valor futuro o Monto a Interés Simple
Clases de interés simple
Capital inicial o valor presente
Tasa de Interés y Tiempo
Interés Corrido
Ejercicios propuestos
UNIDAD II: DESCUENTO SIMPLE.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Conceptos y elementos
Descuento simple a una tasa de interés. (Racional)
Descuento simple a una tasa de descuento. (Bancario)
Descuento de un documento de deuda. (Letra de cambio)
Ejercicios propuestos
UNIDAD III: INTERES COMPUESTO.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
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Conceptos y elementos.
Monto compuesto
Valor presente
Ecuaciones de valor
Tasa nominal y efectiva. Capitalización continua.
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UNIDAD IV: ANUALIDADES.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Conceptos generales
Clases de anualidades.
Valor presente y valor futuro.
Rentas constantes, inmediatas y vencidas.
Calculo del número de pagos y pago final.
UNIDAD V: AMORTRIZACIONES
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
Concepto y clases de amortizaciones
Tabla de amortización.
Interés en el valor de un bien adquirido.
Fondos de amortización.
Ejercicios propuestos.
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
De acuerdo a las características de la carrera y de la asignatura las actividades a realizar, por los diferentes
grupos de estudiantes, han sido divididas en dos tipos:
a) Finanzas personales: Tendrán las características de trabajos prácticos e investigativos con componente
social y de duración prolongada y concluirán con la entrega del documento final que podrá ser un
proyecto, una investigación o las memorias del trabajo. Este estudio estará dirigido a identificar como se
realizan todas las transacciones financieras persónale, así como ofrecer capacitación a la población en
dichos manejos.
Actividades propuestas:
1.
Prácticas sobre el manejo de operaciones bancarias.
2.
Prácticas sobre el manejo de operaciones financieras no bancarias.
3.
Talleres y capacitación a la población.
b) Economías de las PYMES: Tendrán las características de trabajos prácticos e investigativos con
componente social y de duración prolongada y concluirán con la entrega del documento final que podrá
ser un proyecto, una investigación o las memorias del trabajo. Este estudio estará dirigido a identificar
como se realizan todas las transacciones financieras de PYMES, así como ofrecer capacitación a las
empresas del medio.
Actividades propuestas:
3.
4.
5.
Prácticas sobre el manejo de operaciones financieras bancarias para PYMES.
Prácticas sobre el manejo de operaciones financieras no bancarias para PYMES.
Talleres y capacitación a las empresas.
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA

PROCESUAL O FORMATIVA
A lo largo del semestre se realizarán exposiciones, repasos prácticos procesuales, dinámicas en grupos y
otras actividades de aulas; además de los trabajos de brigadas realizados en las áreas financieras,
independientemente de la cantidad. Se calificará entre 0 y 50 puntos para el primero y segundo parcial y
entre 0 y 30 para el examen final.
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
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial o final)
Se realizan 2 evaluaciones parciales y un examen final con contenido práctico. Cada una de estas se
realizará de forma escrita. Se calificará entre 0 y 50 puntos para el primero y segundo parcial y entre 0 y 70
para el examen final.
V. BIBLIOGRAFIA BASICA.
BASICA:

AYRES, Frank “Matemáticas Financieras”Libros Mc Graw Hill 1991

LINCOYAN, Portus Govinden “Matemáticas Financieras”Editorial Mc Graw Hill Company
COMPLEMENTARIA.

DIAZ MATA, Alfredo “Matemáticas Financieras” Libros Mc Graw Hill 1994

GARCIA, Jaime “Matemáticas Financieras”Pearson Educación de Colombia, Ltda.2000
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VI.
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CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial
Fecha
Nota
2° evaluación parcial
Fecha
Nota
Examen final
Fecha
Nota
APUNTES
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VII. PLAN CALENDARIO.
SEMANA
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ACTIVIDADES ACADÉMICAS
OBSERVACIONES
1ra.
avance de materia
Tema I
2da.
Avance de materia
Tema I
3ra.
Avance de materia
Tema I
4ta.
Avance de materia
Tema II
5ta.
Avance de materia
Primera Evaluación
Presentación de Notas
6ta.
Avance de materia
Primera Evaluación
Presentación de Notas
7ma.
Avance de materia
Tema II
8va.
Avance de materia
Tema III
9na.
Avance de materia
Tema III
10ma.
Avance de materia
Tema III
11ra.
Avance de materia
Tema III
12da.
Avance de materia
Segunda Evaluación
Presentación de Notas
13ra.
Avance de materia
Segunda Evaluación
Presentación de Notas
14ta.
Avance de materia
Tema IV
15va.
Avance de materia
Tema IV
16va.
Avance de materia
Tema IV
17va.
Avance de materia
Tema V
18va.
Avance de materia
Tema V
19va.
Evaluación final
Presentación de Notas
20va.
Evaluación final
Presentación de Notas
21va.
Evaluación del segundo turno
Presentación de Notas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: # 1
TITULO: INTERÉS SIMPLE
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primer parcial
ASPECTOS GENERALES
La matemática financiera es una ciencia que estudia el comportamiento de las finanzas y se basa en que el
dinero siempre adquiere valor en el tiempo.
Interés: Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la
inversión del capital.
Ejemplo: José presta a Julio un capital de $5000 con el acuerdo de que al término de un año le devuelva
$5050.
La cantidad $5000 seria el capital “C” que en un plazo “t” de un año se convertirá en el monto “S” de $5050.
La diferencia (5050 – 5000) = 50 seria el dinero producido por el capital “C” en el tiempo “t” y es a lo que
llamamos interés “I”
I  S  C 
Tasa de interés: Llamaremos tasa de interés “i” a la relación entre el interés y el capital que lo produce en
la unidad de tiempo (que si no se especifica, la unidad establecida será un año).
 I 
i

C t 
Interés simple: El interés simple se utiliza generalmente para periodos cortos de tiempo (menos de un año)
En interés simple solamente el capital gana interés durante todo el tiempo que dura la transacción.
La formula para calcular el interés simple es la siguiente:
I=Cxixt
La expresión para calcular el monto o valor acumulado (valor futuro) en interés simple es:
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S = C(1 + i x t)
Donde:
I
es el interés simple
C es el capital inicial
i
es la tasa de interés
t es el tiempo expresado en años
S es el monto o valor acumulado
Ejemplo 1.
Determinar el interés simple (I) sobre $2750 al 5% durante ½ año. ¿cuál será el monto (S)?
Capital (C) = $2750
Interés (i) = 5%
Tiempo (t) = ½ año
I = C x I x t
I = 2750x0,05x(1/2)
I = $ 68,75
Si se quiere calcular directamente el monto:
S=C+I
S = 2750 + 68,75
S = $ 2818,75
S = C(1 + it)
1

S  2750 1  0,05   $ 2818,75
2

Se dice que el interés es exacto cuando se trabaja con el año de 365 días (366 en años bisiestos) y es
ordinario cuando se trabaja con el año aproximado de 360 días. (año comercial o año bancario)
El tiempo entre dos fechas también se puede calcular de manera aproximada considerando todos los
meses de 30 días (mes comercial o bancario) o de forma exacta. (días reales del mes teniendo en cuenta el
año sea bisiesto o no)
Ejemplo 2.
Determine el interés exacto y ordinario sobre $10000 a una tasa de interés simple del 6%, del 15 de marzo
al 26 de mayo de 2002, calculando el tiempo en forma exacta y aproximada.
Interés racional
I = 10000x0,06x(72/365) = $118,36
Interés bancario
I = 10000x0,06x(72/360) = $120
Interés teórico
I = 10000x0,06x(71/365) = $116,71
Interés comercial
I = 10000x0,06x(71/360) = $118,33
Nótese que el mayor valor corresponde al interés ordinario con tiempo exacto, este es precisamente el
interés que utilizan las instituciones bancarias y por lo tanto el que utilizaremos aquí.
Pagares: U pagare es una promesa escrita de pago, documento firmado por un deudor a favor de un
acreedor en el cual se estipula el pago de una cantidad en una fecha posterior con intereses o sin ellos.
El pagare consta de los siguientes elementos:
Plazo: Es el tiempo especificado en el documento (meses o días)
Valor nomina: es la suma estipulada en el documento.
Fecha de vencimiento: Es la fecha en la cual debe ser pagada la deuda.
Valor de vencimiento: es la suma que debe ser pagada en la fecha de vencimiento.
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Ejemplo 3.
Determine el valor de vencimiento del siguiente pagaré.
S.C.Z
2
de
enero
del
2003
Ocho meses
. después de la fecha Daniel
Suárez . promete
Luis
Pagar a la orden de
Gutiérrez
.
Dies mil 00/100 bolivianos
.
Plazo: 8 meses
Valor
recibido
Valor nominal:
10000
bs con intereses al
5
. por ciento.
D. Giaz&
Fecha de vencimiento: 2/09/2003
Tasa de interés: 5 %
.
S  C 1  i  t 
8

S  10000 1  0,05  
12 

S  10333,33
El valor de vencimiento del pagaré es de 10333,33 bs.
Valor presente
Conocido el monto y el interés es posible calcular el valor presente De una deuda en una fecha anterior.
La formula para el valor presente es:
Ejemplo 4.
Rosdany desea tener 7.000 dólares para comprarse un auto en una promoción que saldrá el 25 de
diciembre del presente año. Si el banco le ofrece una tasa de interés simple de 4 1/2 %. ¿Cuánto tendrá que
depositar el día 15 de abril?
Monto (S) = 7000 USD
Interés (I) = 41/2% (0,045)
Tiempo (i) = 254 días
Valor presente (C) = ?
7000
15/4/2002
25/12/2002
41/2 %
S
7000

1  i  t  1  0,045 254
360
C  6785,95
C
Tendrá que depositar 6785,95 dólares.
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Ejemplo 5.
El día 1 de enero del 2001 José Carlos contrae una deuda de 18000 bs por 10 meses y con una tasa de
interés simple del 3 %. Si quisiera cancelarla el dia 15 de abril del mismo año y el acreedor le propone un
rendimiento del 5 %, ¿Cuánto tendría que cancelas José Carlos en dicha fecha.
Primero calculamos el monto de su deuda: S = C (1 + i x t)
10 

S  18000 1  0,03   18450
12 

el grafico seria:
3%
18000
18450
1/01/01
15/04/01
1/11/01
5%
Calculando el tiempo del 15/04/2001 al 1/11/2001: 200 días
Calculamos el valor presente el 15/04/01 sobre el valor de vencimiento.
C
18450
1  0,05  200
 17951,35
360
Tendría que cancelar la cantidad de 17951,35 bs.
Ecuación del valor
A veces es necesario cambiar un conjunto de obligaciones por otro, esto se puede hacer mediante la
ecuación del valor siempre que la suma del conjunto de las nuevas obligaciones sea igual a la suma de las
viejas.
Ejemplo 6.
Marcos le debe a José Luis $2000 con vencimiento en 4 meses y una tasa de interés simple del 7%, $4000
con vencimiento en 7 meses sen interés y $3000 con vencimiento en 11 meses contraída originalmente por
un año y medio al 5 ½ %. Desea renegociar el pago de sus deudas y propone pagar $2000 de inmediato y el
resto en dos pagos iguales a los 6 y 11 meses.
a) ¿Cuál seria el valor de dichos pagos considerando un rendimiento de dinero del 6 1/2%? Considere la
fecha focal a los 11; 6 meses y el día de hoy.
Calculamos el monto de $2000 al 7% por 4 meses y de $3000 al 51/2% por 11/2:

 4 
S  C  1  it   20001  0,07      $ 2046,67
 12  


 3 
S  C  1  it   30001  0,055     $ 3247,5
 2 

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Considerando el rendimiento del 61/2 % y la fecha focal a los 11 meses.
F.F
2046,67
0
2000
4000
4
6
X
3247,50
7
11 meses
X
11 
5
7
4




20001  0,065   X 1  0,065   X  2046,671  0,065   40001  0,065   3247,5
12 
12 
12 
12 




2119,17 + X(1,0271) + X = 2124.27 + 4086,67 + 3245,50
X(2,0271) = 2124.27 + 4086,67 + 3245,50 - 2119,1
X = (7337,27)/(2,0271)
X = $ 3619,59
El valor de cada pago es $3619,59.
Considerando la fecha focal a los 6 meses.
F.F
2046,67
0
2000
4
4000
6
3247,50
7
11 meses
X
X
6
X
2
4000
3247,50


20001  0,065   X 
 2046,671  0,065  

5
1 
5
12 
12  



1  0,065 
1  0,065  1  0,065 
12 
12  
12 


2065 + X + X0,9736 = 2068,84 + 3978,45 + 3161,87
X1,9736 = 2068,84 + 3978,45 + 3161,87- 2065
X = (7144,16)/(1,9736)
X = $ 3619,86
El valor de cada pago es $3619,86.
Considerando la fecha focal hoy día.
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11 meses
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2000
X

X
6 
11 

1  0,065  1  0,065 
12  
12 


ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
2046,67
3247,50
4 
7 
11 

1  0,065  1  0,065  1  0,065 
12  
12  
12 


4000

2000 + X0,9685 + X0,9438 = 2003,27 + 3853,87 + 3064,88
X1,9123 = 2003,27 + 3853,87 + 3064,88 – 2000
X = (6922,02)/(1,9123)
X = $ 3619,73
El valor de cada pago es $ 3619,73.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 1
1.
Determinar el Interés bancario sobre 2000 $us., al 6% anual del 20 de abril de 1971 al 2 de julio
de 1971.
2.
¿En que tiempo el monto de 2000 $us., será 2125 $us., al 5% de interés simple?
3.
Determinar el capital que produce una ganancia de 980 $us., al 22% anual en 2 año y medio.
4.
Determinar la tasa de interés impuesta a un capital de 12.320 Bs., depositado a 2 años y medio el
que gana un interés de 4.300 Bs.
5.
Juan Pérez apertura un Deposito a Plazo Fijo por un valor de 5.000 $us., en el Banco Ganadero
S.A., el 5 de enero del 2004 por él cual recibirá una tasa de interés pasiva del 4.5% semestral
cuyo vencimiento del documento mercantil es el 15 de Septiembre del 2005. ¿ Determinar la
utilidad y el valor acumulado que recibirá Juan Pérez al cabo del tiempo establecido’?
6.
¿Qué tasa de interés se establece a un préstamo de 16.750 USD, que debe ser pagado en un
plazo de 3 años.
7.
Juan obtiene de Pedro un préstamo de $ 1200 a dos años, con intereses al 6%. ¿Qué cantidad
tendría que aceptar Pedro como liquidación del préstamo 15 meses después de efectuado
suponiendo que desea un rendimiento del 5%?
8.
El Sr. Pérez debe $ 450 con vencimiento dentro de 4 meses y $ 600 con vencimiento dentro de 6
meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago único inmediato, ¿Cuál será el importe de
dicho pago suponiendo un rendimiento del 5%?, utilizar como fecha focal el día de hoy.
9.
Una persona debe $ 2000, para pagar en un año con intereses al 6%. Conviene pagar $ 500 al final
de 6 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 1 año para liquidar el resto de la deuda
suponiendo un rendimiento del 6%?
10.
Una persona debe $ 2000 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5% y $ 1500 con vencimiento
en 9 meses. Desea liquidar su deuda mediante un pago único el día de hoy. Determinar el importe
del pago suponiendo un rendimiento del 6%.
11.
Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy, suponiendo una tasa de 5% de
interés simple: $ 1500 con vencimiento el día de hoy, $ 2500 con vencimiento en 6 meses con
interés del 5% y $ 3500 con vencimiento en un año con intereses al 6%.
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: # 1
TITULO: INTERES CORRIDO
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primer parcial
INTERÉS CORRIDO
El interés corrido es una modalidad de interés simple, utilizada fundamentalmente para compras a crédito, a
corto plazo. La suma total de capital adeudado más los intereses, se divide aritméticamente entre la
cantidad de cuotas a cancelar.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 2
1. Se compra un computador cuyo precio es de 5.500 Bs., para lo cual nos conceden el siguiente
financiamiento: 30% al contado, por el saldo, más los intereses corridos del 2% mensual, firmamos 18
documentos iguales, mensuales y consecutivos, con vencimiento a partir de los 30 días.
2. Se compra un automóvil cuyo precio es de 9.600 US$, para lo cual nos conceden el
siguiente
financiamiento: 35% al contado, y por el saldo de la deuda firmamos 36 documentos iguales
mensuales y consecutivos con vencimiento a 30 días; se aplica un recargo del 2.5% mensual.
Determina el importe de cada cuota y el costo total.
3. El precio al contado de un inmueble es 1.500 US$. El comprador decide pagar el total de los intereses
por adelantado del 1.8% mensual, para lo cual firma 12 documentos iguales mensuales y
consecutivos, con vencimiento a 30 días. Determina el importe de cada cuota, el costo total y los
intereses totales.
4. Por la compra de una motocicleta debemos pagar 2.800 US$. Esta suma se abonará en 24 cuotas
iguales mensuales consecutivas, con un recargo del 2.3% mensual. Determina la cuota mensual y el
costo total.
5. El precio al contado de un televisor Sony es de 480 US$. Esta suma de dinero se abonará en 18
cuotas iguales mensuales y consecutivas del 1.6% mensual. Determina el importe de cada cuota y el
costo total.
6. Por la compra de una línea telefónica se debe pagar 1.300 US$ al contado. Pero a crédito le conceden
el siguiente financiamiento: el 11.5% al contado y por el saldo de la deuda firma 60 documentos
iguales mensuales y consecutivos con vencimiento a 30 días, con un recargo del 0.03% mensual.
Determina el importe de cada cuota y el costo total.
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: # 2
TITULO: DESCUENTO SIMPLE
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primer parcial
DESCUENTO
El descuento se utiliza en todas las operaciones comerciales, al hablar de descuento, se entiende “cantidad
dejada de pagar por el valor nominal”
Descuento racional (DR)
El interés que se resta al monto al calcular el valor presente puede considerarse como dinero descontado, al
mismo se le conoce como descuento racional (Dr) y se calcula:
DR = S – C ; DR = I
Dr = C x I x t
Descuento simple (DS)
Es el que normalmente utilizan los bancos y se hace directamente sobre el monto (S) También se le conoce
como descuento a una tasa de descuento y se calcula:
D=Sxdxt; C=S–D
C = S(1 – d x t)
Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de la fecha de vencimiento. Cada comprador
descuenta el valor del documento al vencimiento desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento a
su tasa de descuento fijada.
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Ejemplo 7.
Por la venta de un auto el día 20/1/2002 Esteban recibe 5000 dólares y un pagare por 8000 con vencimiento
el 15/11/2002 y una tasa de interés simple del 41/2% el cual decidió venderle día 1/6/2002 para pagar la
cuota inicial de una nueva vivienda.
a)
b)
Si el banco le ofreció una tasa de descuento del 7% ¿Cuánto recibió Esteban por el documento?
Si hubiese conservado el documento y 3 meses antes de su vencimiento le ofreciera el banco 8150
dólares, ¿Qué tasa de descuento le estaría ofreciendo?
i = 41/2%
8000
S=?
20/1/2002
1/6/2002
15/11/2002
d = 7%
Calculamos el valor de vencimiento (S) del pagaré:
Tiempo (t) = 299 días (con la calculadora financiera)
Tasa de interés simple (i) =41/2% (0,045)
Capital (C) = 8000 dólares
S = C (1 + I x t)
299

S  8000 1  0,045
$
360 

8299 dolares
Calculamos el descuento (D) a una tasa de descuento (d):
Tiempo (t) = 167 días (con la calculadora financiera)
Tasa de descuento (d) =7%
monto (S) = 8299 dólares
D  S  d t
D  8299 0,07  167
360
D  $269,49


El valor presente al día 1ERO de junio es:
C=S–D
C = 8299 – 269,49
C = $ 8029,51 dólares
Esteban recibió por el pagare $ 8029,51 dólares.
Si hubiese conservado el pagaré hasta 3 meses antes de su vencimiento:
Tiempo (t) = 3 meses
monto (S) = 8299 dólares
Valor presente (C) = 8150 dólares
Sabemos que D = S – C y que D = S x d x t
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d
Entonces:
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
S  C 8299 8150

 0,0718 7,2%
St
 3
8299 
 12 
El banco le estaría ofreciendo una tasa de descuento de 7,2%.
Ejemplo 8.
Ana Belén tiene en su poder un pagaré por $ 20 000 con intereses del 8 %, que aceptó de Víctor Manuel
que no podía pagarle una cuenta. El pagaré tiene un plazo de 10 meses y fue firmado el 2 de Julio de 1987.
Ana Belén necesito dinero en Enero y decidió descontar el documento en su banco con el fin de poder
hacer frente a gastos urgentes. Este fue descontado 100 días antes de su vencimiento en su banco, al
9½%.
1. Cuanto recibió el Ana Belén por el pagaré?
2. Cuanto ganó Ana Belén por intereses?
3. Cuanto ganó por intereses el banco?
Datos: Valor Nominal: C = 20000 $
Interés: i = 8%
Plazo: 10 meses
Fecha de firma: 2 de julio de 1987.
El pagare fue descontado:
Momento: 100 días ANTES DE SU VENCIMIENTO.
Tasa de descuento: d= 9,5 %
Calculamos de la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento del pagare:
Fecha de vencimiento: 2 de Julio de 1987 + 10 meses = 2 de Mayo de 1988
Valor al vencimiento: S = 20000 x (1+ 0,08 x 10/12) = 21333,33 $
Calculo del descuento: D = S x d x t = 21333,33 x 0,095 x 100/360 = 562,96 $
Calculamos el valor presente: C = S – D = 21333,33 – 562, 96= 20770,34 $
Ana Belén recibió $ 20770,34 por el pagaré.
Lo que ganó Ana Belén fue la diferencia entre lo que recibió y el valor nominal del pagare o lo que esta
como pago del pagare: 20770,34 – 20000 = $770,34
El banco gano el descuento que hizo D = 562,96 $
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 3
1. Cuál es el valor actual de una serie de bonos que totalizan 1200 $us., y cuyo vencimiento es dentro
de un mes, suponiendo una tasa de interés de 6%.
¿Cuál es el descuento racional?
2. Determinar el valor al 1 de mayo de un documento, sin intereses, de 1500 $us., pagaderos el 15 de
junio, suponiendo una tasa de interés simple de 5%. ¿Cuál es el descuento racional?
3. Hallar el descuento simple sobre una deuda de 3500 $us., con vencimiento en 18 meses a una tasa
de descuento de 6%. ¿Cuál es el valor presente de la deuda?
4. El Banco Unión descuenta al 5% un documento sin intereses de $ 5000 con vencimiento en 60 días.
El mismo día, el documento es vuelto a descontar por el Banco Económico al 4 % pero utilizándose
un año de 365 días en el calculo. Determinar la utilidad la utilidad obtenida por el Banco Unión en la
operación.
5. Maria presto a Pedro $5.000 pagaderos en 9 meses a una tasa de interés simple de 5,6% Por lo que
recibió un pagare que se vio obligada a vender 6 meses mas tarde. Si el banco le cobró una tasa de
descuento de 6,61 %.¿Cuánto recibió Maria por la venta del documento? Si hubiese conservado el
documento hasta su vencimiento, ¿cuanto habría recibido?
6. José Carlos conserva un pagare por $2000 con fecha 6 de Julio del 2000 con intereses del 5% y
fecha de vencimiento del 15 de abril del 2001. Si por necesidad tuviera que venderlo y el banco le
ofreciera una tasa de descuento del 7½%. ¿Cuánto recibiría el día 3 de febrero del 2001?
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WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: # 3
TITULO: INTERES COMPUESTO
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Segundo parcial
ASPECTOS GENERALES
Interés compuesto: Es cuando a intervalos establecidos el interés es convertido en capital y por tanto
también gana intereses. El interés compuesto se utiliza en las transacciones que abarcan un periodo largo
de tiempo (más de un año)
Comparemos el interés simple con el compuesto mediante el siguiente ejemplo.
a) Hallar el interés simple sobre $15000 por 3 años a la tasa de interés de 4%.
b) Hallar el interés compuesto sobre $15000 por 3 años si el interés del 4% es convertible
anualmente en capital.
a) I = C x I x t = 15000 x 0,04 x 3 = $1800,00
b) El capital original es
El interés por un año es
El capital al final del primer año es
El interés sobre el nuevo capital por un año es
El capital al final del segundo año es
El interés sobre el nuevo capital por un año es
El capital al final del tercer año es
$15000
15000 x 0,04 = $600
15000 + 600 = $15600
15600 x 0,04 = $624
15600 + 624 = $16224
16224 x 0,04 = $648,96
16224+ 648,96 = $16872,96
El interés compuesto es 16872,96 – 15000 = $1872,96
En problemas de interés compuesto es necesario tener en cuenta la cantidad de veces que el interés es
convertido en capital en un año (frecuencia de conversión), la cantidad de intervalos en que el interés es
convertido ( numero de periodo de conversión) y la tasa de interés por periodo.
Tasas equivalentes de interés.
Dos tasas anuales de interés con diferentes frecuencias de conversión son equivalentes cuando producen
el mismo interés al final del año.
Como al final de un año el monto compuesto de 3500 bs es 3714,77 bs al:
 6 % convertible trimestralmente
 6,045 % convertible semestralmente
 6,1364 % convertible anualmente
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Se dice que las tasas 6 % convertible trimestralmente, 6,045 % convertible semestralmente y 6,1364 %
convertible anualmente son equivalentes.
Tasas de interés nominal y efectiva:
Cuando la tasa es convertida más de 1 vez al año se dice que es nominal y cuando se convierte solo 1 vez
en el año se dice que es efectiva.
Luego en el ejemplo 12 la tasa 6,1364 % es luna tasa efectiva (i) y las tasas 6,045 % y 6 % son
tasas nominales (j).
Con la formula i = ( 1 + j / fc)fc – 1
Donde i es la tasa efectiva
J es la tasa nominal
Fc es la frecuencia de convención de la tasa nominal
Ejemplo 10.
Si se invierten $2000 durante 51/2 años al 6% convertible trimestralmente:
La frecuencia de conversión es 4 (cada tres meses)
i
tasa de int eres anual
6%

 1,5 % o 0,015.
frecuenciade conversion
4
 
 11
n  numerode años   frecuenciade conversion  5 1  4     4  22
2
2
C = $2000
S = C x (1 + i)n = 2000 x (1,015)22 = $2775,13
Ejemplo 14.
Ernesto tiene dos deudas, una de $5000 con vencimiento en 3 años sin intereses y la otra de $7000 que
vence dentro de 8 años contraída originalmente por 11 años y una tasa de interés del 3% convertible
semestralmente. Quiere liquidar en dos pagos, 3000 de inmediato y el resto a los 5 años. Determine en
monto que debe cancelar a los 5 años suponiendo un rendimiento del 4% capitalizable trimestralmente.
Determinamos el valor de vencimiento de la segunda deuda:
Calculamos el valor de vencimiento de la deuda que tiene interés:
Considerando la fecha focal a los 8 años:
S = 9712,95
5000
0
3000
9712,95
3
5
X
8 años
3000 x(1,01)32 + X(1,01)12 = 5000 x(1,01)20 + 9712,95
4124,82 + X1,1268 = 6100,95 + 9712,95
X = 11689,08/1,1268
X = $10373,70
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Considerando la fecha focal el día de hoy:
5000
0
3000
9712,95
3
5
X
8 años
3000 + X (1,01)-20 = 5000 x(1,01)-12 + 9712,95 x(1,01)-32
3000 + X0,81953 = 4437,25 + 7064,27
X = 8501,52/0,81953
X = $10373,70
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 3
1. Determinar el capital de un monto de 16.700 $us., en un tiempo de 10 años y 9 meses, al 16% anual
capitalizable en forma: mensual y trimestralmente.
2. Determinar el capital de un monto de 36.755 $us., en un tiempo de 7 años y 6 meses, al 12,5% anual
capitalizable: semestralmente y trimestralmente.
3. Hallar el interés compuesto que genera un capital de 3150 US$, al 7,5% anual, durante 2 años,
capitalizable: diariamente y bimensualmente.
4. Hallar el interés compuesto que genera un capital de 50.000 US$, al 7,5% anual, durante 2 años,
capitalizable: semestralmente y trimestralmente.
5. Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 5%, hallar el valor presente de una deuda de 7.500
$us., contratada con intereses al 7.5%, convertible cuatrimestralmente, pagadera en 7 años.
6. Hallar el valor presente de 7.000 $us., pagaderos en 3 añosy 6 meses, suponiendo un rendimiento de
5%, convertible trimestralmente.
7. Hallar el valor al 16 de agosto de 1997 de 15000 $us., pagaderos el 16 de agosto de 2004, suponiendo
un rendimiento al 7,5% convertible cuatrimestralmente.
8. Una persona depositó un capital de 3.500 Bs. ¿Al cabo de cuánto tiempo se habrán transformado en
6.200 Bs. al 4.5% trimestral?
9. Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 5%, hallar el valor presente de una deuda de 5.000
$us., contratada con intereses al 7,5% convertible trimestralmente, pagadera en 7 años.
10. ¿Qué tasa de interés convertible mensualmente produce $ 890 en 5 años, a partir de un capital de $
2.500?
11. ¿Qué tasa de interés convertible trimestralmente es equivalente al 7% efectivo?
12. ¿Cuál fue la tasa efectiva equivalente al 12,5 % capitalizable diariamente?
13. ¿Qué tasa de interés convertible semestralmente es equivalente al 17% capitalizable mensualmente?
14. ¿A que tasa efectiva de interés, se triplica un capital en 25 años?
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15. El día 15/06/1995 Karen se compro una computadora por valor de 2300 dólares de los cuales pago
500 al contado y firmó un documento donde se comprometió a pagar el resto el día 15/12/2000 a una
tasa de interés del 6% efectivo. 3años antes del vencimiento recibió un bono y decide cancelar la
deuda de una vez acordándose con los acreedores la condición de pagar un interés del 7%
capitalizable mensualmente. ¿Cuánto tendrá que pagar en la fecha acordada para pagar su deuda?
16. José Carlos conserva un pagare por 20.000 bs con fecha 6 de Julio del 1990 con intereses del 5%
convertible semestralmente y fecha de vencimiento del 6 de julio del 2001. Si por necesidad tuviera
que venderlo 2 años y medio antes del vencimiento al 6½% convertible trimestralmente. ¿Cuánto
recibiría por el documento
17. Andrés tiene dos deudas, una de 5.000 USD sin intereses con vencimiento en 2 años y la otra de
10.000 USD con interés del 4% convertible trimestralmente, y con vencimiento en 8 años y medio. Él
desea liquidarlas mediante dos pagos iguales a los 4 y 5 años. ¿Cuál seria el importe de cada pago
suponiendo un rendimiento del dinero de 6% capitalizable bimensualmente?
18. Maria presto a Pedro 5.000 USD pagaderos en 9½ años a una tasa de interés de 5,6% convertible
semestralmente Por lo que recibió un pagare que se vio obligada a vender 6½ años mas tarde. Si el
banco le pago por la venta $5.150.
a) ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente le ofreció el banco?
b) ¿Cuál fue la tasa efectiva equivalente?
19. Al nacer su hijo un padre desea invertir una cantidad tal que acumulada al 4 1/2% convertible
mensualmente represente 9.000 USD cuando el hijo tenga 19 años. ¿Qué cantidad tendrá que invertir?
20. Juan compró una casa valorada en 25.000 USD pagando 10.000 USD de cuota inicial y firma un
documento donde se compromete a pagar el resto 5 años mas tarde con un interés del 5% convertible
semestralmente. Cuanto tendrá que pagar si desea liquidar su deuda a los tres años y medio
Suponiendo un rendimiento del 6% convertible trimestralmente.
21. Javier tiene dos deudas, una de 5.000 USD sin intereses con vencimiento en 2 años y 10.000 USD con
interés del 4% convertible trimestralmente, contraída inicialmente por 10 año y con vencimiento en 8
años y medio. Él desea liquidar su deuda mediante un pago único a los 5 años. Cual seria el importe
de dicho pago suponiendo un rendimiento del dinero de 6% capitalizable cada cuatro meses.
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: # 4
TITULO: ANUALIDADES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Examen final
ASPECTOS GENERALES
Una Anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de
anualidades son abonos semanales, pagos de renta mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones,
pagos semestrales de interés sobre bonos, primas anuales en pólizas de seguros de vida.
El tiempo trascurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad se conoce como intervalo de pago. El
tiempo contado desde el principio del primer intervalo de pago hasta el final del último intervalo de pago se
conoce como plazo de la anualidad.
La suma de todos los pagos hechos en un año se conoce como renta anual; en consecuencia, una renta
anual de 2000 $us., pagaderos trimestralmente significa el pago de 500 $us., cada 3 meses.
Una anualidad contingente es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuya realización no
puede fijarse.
Una anualidad cierta es aquella que empieza y termina en fechas fijas.
Una anualidad es ordinaria cuando los pagos se efectúan al final de cada periodo (intervalo de pago)
Salario
750
1 mes
750
750
750
2 meses 3 meses
10 años
Una anualidad es anticipada cuando los pagos se efectúan al principio de cada periodo (intervalo de pago)
Alquiler 200
1 mes
200
200
200
2 meses 3 meses
6 años
Las expresiones para el cálculo de las anualidades ordinarias son:
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 1  i n  1
1  1  i  n 
S  R
 y C  R

i
i




 1  i n  1
1  1  i  n 
S  R
 y C  R

i
i




Y para las anualidades anticipadas:
 1  i n  1
1  1  i  n 
S  R
  1  i  y C  R  
  1  i 
i
i





 1

 1
i
i
R  S

y
R

C




n
n 


1

i
 1  i   1
1  1  i   1  i 
Ejemplo 15.
Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de $2275 cada 6 meses durante 8 años y 6 meses al
5,4% convertible semestralmente.
La frecuencia de conversión es 2
R = $2275
i% =5,4%/2 = 2,7%
n = 8,5 x 2 = 17
2275
0
2275
6 meses
---
2275
12 meses
8,5 años
C = $30689,45; S = $48271,04
Ejemplo 16.
¿Cuál es la renta anual pagada por adelantado de una renta mensual de un edificio de $400 que se paga por
adelantado al 6% convertible mensualmente?
400
400
400
400
0
1
2
11
12 meses
La frecuencia de conversión es 12
PMT = $400
i% =6%/12 = 0,5%
n = 1año x 12 = 12
C = ___________
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S = __________
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Ejemplo 17.
El pasado 15 de julio Mario cumplió 20 años y pudo hacer el primer retiro de 5000 dólares de un fondo que
paga el 4% convertible semestralmente y que le permitirá hacer retiros iguales al término de cada seis
meses durante cinco años.
Este fondo fue creado por su padre el día que Mario nació, mediante un depósito en una cuenta que en
aquel entonces pagaba una tasa de interés del 31/2 % convertible bimensualmente.
a)
¿De cuánto fue dicho depósito?
Como los retiros se hacen al final de cada semestre (anualidad ordinaria) el último será al final del quinto año
y el plazo de la anualidad de la anualidad comienza seis meses antes del primer retiro. Se realizaran 11
retiros en total.
interés
compuesto
5000
0
5000
5000
5000
5000
201/2 21
25 años
anualidad anticipada
20
Para la anualidadanticipada:
n = 5 x 2 + 1 = 11 periodos:
C = 49912.93
Para el interés compuesto:
El valor presente de la anualidad es igual al monto en el periodo de interés compuesto.
S = 49912.93 dólares
n = 20 x 6 = 120 periodos
C = 24836,49
El deposito fue de 24836,49 dólares.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 4
1.
Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de 150 $us., mensuales durante 3 años y 6 meses
al 6% convertible mensualmente.
2.
Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de 15700 $us., bimensual durante 4 años y 8
meses al 7% convertible bimensual.
3.
Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de 23900 $us., trimensual durante 6 años y 3
meses al 5% convertible trimensual.
4.
Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de 3900 $us., semestral durante 15 años y 7
meses al 4% convertible semestral.
5.
Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de 900 $us., semestral durante 4 años y 9 meses
al 6% convertible semestral.
6.
Hallar el tiempo en que debemos devolver 250.330 $us., suponiendo un rendimiento al 2.5%
convertible trimestralmente, cuando el Banco Mundial nos concede un préstamo de 95.000 $us.
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7.
Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 3.5%, hallar el valor presente de una deuda de
250.000 $us., contratada con intereses al 7.5%, convertible trimestralmente, pagadera en 14 años.
8.
Un comerciante se percato que no podía pagar una deuda de $ 1200 en el día de su vencimiento. Para
solucionar la situación firmo un documento donde se comprometía a pagarla en 12 cuotas mensuales
con un interés del 9% convertible mensualmente. cancelando la primera justo el día que vencía la
deuda.
a) ¿Cuál es el valor de los pagos que debe realizar?
b) ¿Cuánto le costo la ampliación del crédito?
9.
Verónica presto $ 6000 a su cuñado con la condición de que se lo pagara en de 10 cuotas mensuales
a la tasa del 5 ½% convertible mensualmente.
a) ¿Cuál debe ser el valor de cada cuota?
10.
Manuel consiguió un nuevo trabajo en el que gana mas de lo que necesita para sus gastos comunes y
decidió abrir una cuenta de ahorro. Si puede realizar depósitos de $300 al principio de cada mes y el
fondo le paga el 2,33 % convertible mensualmente.
a) ¿Cuánto habrá ahorrado después de 4 años?
11.
Maria quiere comprarse una vagoneta Land Cruiser Prado valorada en 32900 dólares. La cual puede
pagar mediante depósitos mensuales con un interés del 8.84% convertible mensualmente según un
anuncio publicado en EL DEBER por la importadora.
a. ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de los depósitos que le deberá hacer a TOYOSA SA si
quiere pagarla en 6 años?
b. Si diera 5000 dólares al contado y pudiera pagar 600 dólares mensuales ¿En cuanto tiempo
terminaría de pagar?
c. ¿Cuál seria el valor del último pago?
12.
Si un padre hace depósitos trimestrales de 200 dólares por 21 años en un fondo que produce
dividendos al 3½ % convertible trimestralmente. ¿De cuanto serán cada un de los retiros que podrá
hacer el hijo al principio de cada trimestre durante 5 años haciendo el primero justo al cumplir 21 años?
13.
Pedro comenzó a ahorrar para su jubilación cuando tenía 30 años de edad. Pensó que $10000 al año
durante 10 años seria suficiente, con el seguro social y su pensión, para permitirle vivir cómodamente.
Pensaba retirarse a los 67 años. Las tasas de interés estaban altas cuando comenzó y no pudo prever
con tanta anticipación lo que ocurriría, pero el pensó que el 8% capitalizable en forma anual era un
estimado conservador. ¿Cuánto tendría que depositar cada año desde los 30 hasta llegar al los 67
para lograr contar con el dinero suficiente para su plan de jubilación.
14.
Si un padre hace depósitos trimestrales de 200 dólares por 15 años en un fondo que produce
dividendos al 3½ % convertible trimestralmente comenzando justo cuando el hijo cumplió sus primeros
3 meses de vida. ¿De cuanto serán cada un de los retiros que podrá hacer el hijo al principio de cada
trimestre durante 5 años haciendo el primero justo al cumplir 21 años?
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WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: # 5
TITULO: AMORTIZACION
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Examen final
AMORTIZACION
En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se
extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.
En la amortización de una deuda cada pago o cuota que se entrega, sirve para pagar los intereses y reducir
el importe de la deuda.
Amortizar es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses por medio de pagos periódicos.
SISTEMAS DE AMORTIZACION
Amortización Gradual.Es un sistema de amortización por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En la amortización
gradual los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales de tiempo. Esta forma de amortización fue
creada en Europa y es la mas generalizada y la de mayor aplicación en el campo financiero.
Amortización Constante.A diferencia de la amortización gradual, mantiene un valor igual para la amortización en cada periodo y,
como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable decreciente por ser decreciente los intereses
sobre saldos.
Para préstamos a largo plazo, y en particular para préstamos de vivienda, se han creado diversos sistemas
de amortización basados en las anualidades variables.
Amortización por Cuotas Incrementales.Este sistema consiste en incrementar periódicamente la cuota de pago. Con este sistema se trata de
conciliar el incremento de las cuotas con el mejoramiento económico del deudor. En algunos modelos de
amortización por cuotas incrementales, el saldo insoluto crece en los primeros periodos, para luego
decrecer.
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Amortización Decreciente.Este sistema tiene modelos matemáticos similares a los de amortización por cuotas incrementadas, para
este sistema el factor de variación es negativo, convirtiéndose los incrementos en decrementos. En estos
sistemas de amortización decreciente, el deudor paga cuotas mayores en los primeros periodos, lo que tiene
alguna importancia, si el clima económico es de desvalorización monetaria, creciente y se prevé un aumento
futuro en las cuotas por corrección monetaria.
Ejemplo: Una deuda de $ 500 000 se debe amortizar en 5 años con pagos anuales con el 8% efectivo
sobre saldos insolutos. Hallar el valor de cada pago y hacer un cuadro de amortización de la deuda.
Para encontrar el pago periódico tenemos que encontrar la renta de la anualidad.
1  1  i  n 


0.08
C  R
  R  500000
5 
i
1  1  0.08 


R  125 228,23
Construyendo la tabla de amortización:
Fecha
comienzo año
final año 1
final año 2
final año 3
final año 4
final año 5
TOTALES
Pago Anual 8% intereses Amortizacion
sobre saldos
125 228.23
125 228.23
125 228.23
125 228.23
125 228.21
626 141.13
40 000.00
33 181.74
25 818.02
17 865.21
9 276.16
126 141.13
85 228.23
92 046.49
99 410.21
107 363.02
115 952.05
500 000.00
Saldo
500 000.00
414 771.77
322 725.28
223 315.07
115 952.05
0.00
Obsérvese que la suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses sobre saldos, más las
sumas de las amortizaciones.
Ejemplo: Una deuda de $ 100 000 debe amortizarse en 2½ años, con 4 abonos semestrales de $ 25 000
por semestre vencido y un abono al final del quinto semestre que extinga totalmente la deuda. Hacer un
cuadro de amortización de la deuda, con la tasa del 10% capitalizable semestralmente sobre saldos
insolutos.
Fecha
Inicial
final semestre 1
final semestre 2
final semestre 3
final semestre 4
final semestre 5
TOTALES
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Pago
semestral
intereses
Amortizacion
sobre saldos
25 000.00
25 000.00
25 000.00
25 000.00
14 487.38
114 487.38
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5 000.00
4 000.00
2 950.00
1 847.50
689.88
14 487.38
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20 000.00
21 000.00
22 050.00
23 152.50
13 797.51
100 000.01
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Saldo
100 000.00
80 000.00
59 000.00
36 950.00
13 797.50
0.00
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Para hallar el pago que corresponde hacer al final del 5º semestre, se calcula primero, el interés
correspondiente al saldo: 13 797,50 (0,05) = 689,88; el pago que debe extinguir la deuda es la suma de los
intereses, mas el saldo final del cuarto semestre: 689,88 + 13 797,50 = 14 487,38.
Ejemplo 19
Construir la tabla de amortización de una deuda de $us 5000 con intereses al 5 % convertible
semestralmente que se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales por los próximos 3 años.
Calculando el pago periodico R = 907, 75
Periodo de
pago
Inicio
#1
#2
#3
#4
#5
#6
Totales
Pago
2,5% de interés
sobre el saldo
907, 75
907, 75
907, 75
907, 75
907, 75
907, 75
5446,50
Amortización
125,00
105,43
85,37
64,81
43,74
22,14
446,49
Saldo insoluto
5000,00
4217,25
3414,93
2592,55
1749,61
885,60
0,00
782,75
802,32
822,38
842,94
864,01
885,61
5000,01
El saldo insoluto después de realizar un pago es el valor presente de todos los pagos restante.
Por ejemplo después del 4to pago el saldo insoluto es:
R = PMT;
n = 2;
C = 1749,61
INTERÉS EN EL VALOR DE UN BIEN ADQUIRIDO
A veces en la práctica uno adquiere un bien material mediante una serie de pagos parciales. En un
momento dado cualquiera el interés del comprador del bien es la parte del precio que ya ha sido pagada y al
mismo tiempo el interés del vendedor es todo lo que queda por pagarse.
Al interés del vendedor se le conoce también como saldo insoluto en la fecha de manera que se establece la
siguiente relación:
Interés del comprador + Interés del vendedor = Precio de venta
FONDOS DE AMORTIZACION
Es común que se deba enfrentar una obligación determinada en el futuro y que se establezca un fondo
inversión aparte en el cual se realizan depósitos periódicos, generalmente iguales, con el propósito
acumular el importe de la obligación.
A estos fondos de inversión se les conoce como fondos de amortización. Así, mientras la amortización
una deuda se refiere a saldar gradualmente la deuda contraída con anterioridad, en un fondo
amortización se va acumulando gradualmente la cantidad necesaria para liquidar una deuda futura.
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Ejemplo 22.
Supongamos que el gerente de una empresa desea establecer a partir de fines de junio un fondo donde
acumule los $ 185 200 necesarios para pagar el aguinaldo de todos los empleados a principios de diciembre.
Si la cuenta en que realice los depósitos mensuales paga el 3.8% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál
debe ser el importe de los depósitos?
Calculando el depósito mensual: R = 30 623,21
la información de los depósitos realizados y los intereses generados periodo a periodo se reúne en una tabla
como la siguiente:
No
de
depósito
#1
#2
#3
#4
#5
#6
Depósito
Interés
30 623,21
30 623,21
30 623,21
30 623,21
30 623,21
30 623,20
183739,25
96,97
194,25
291,84
389,74
487.95
1460,75
Incremento
Saldo
30 623,21
30 720,18
30 817,46
30 915,05
31 012,95
31 111,15
30 623,21
61 343,39
92 160,85
123 075,90
154 088,85
185 200,00
El primer renglón de la tabla es obvio. Analicemos el segundo renglón.
En la segunda columna aparece el importe del depósito.
La tercera columna muestra el interés devengado en el segundo mes, que es el saldo acumulado al final del
periodo anterior por la tasa de interés mensual, 30 623,21× 0.038/12 = $ 96.97.
Los $ 30720,18 que aparecen en la columna de incrementos se obtienen sumando el depósito más los
intereses, 30 623,21+ 96.97, y corresponden a la cantidad en que va a aumentar el saldo del fondo.
Al sumar este incremento de $ 30720,18 al saldo anterior de $ 30 623,21obtenemos el nuevo saldo de $
61343,39.
Un aspecto que salta a la vista es que los intereses ganados van aumentando conforme avanza el plazo de
la anualidad.
Para obtener el saldo acumulado al final de cualquier periodo no es necesario elaborar toda la tabla, ya que
este saldo corresponde al monto acumulado por la misma anualidad ordinaria, sólo que ahora con un plazo
menor. Digamos que necesitamos conocer el monto acumulado al final del cuarto periodo en este ejemplo,
entonces:
R = - 30 623,21 PMT; n = 4:
S = 123 075,91
El monto acumulado al final del cuarto periodo es $123 075,91.
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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 5
1. Una deuda de $ 75,000. Debe amortizarse mediante 4 pagos mensuales vencidos con una taza de
interés del 22. 8 % anual capitalizable mensualmente.
a) Determina el importe de los pagos.
b) Elabora la tabla de amortización.
c) Determina los derechos adquiridos por el deudor al final del tercer mes.
2. Una empresa adquiere maquinaria por un valor de contado de $350,000.00 con un crédito de un
banco. Se acuerda pagar este crédito en pagos mensuales vencidos de $100,000.00 con una taza de
interés del 1.2% mensual.
a) Determina el número de pagos completos de $100.000.00 que se deben Efectuar.
b) Determina el monto del último pago.
c) Elabora la tabla de amortización
d) ¿Qué porcentajes de los derechos de la maquinaria ha adquirido la empresa al final del
segundo pago?
3. Para poder comprar una casa persona solicita una hipoteca de $300,000.00 a 15 años Determina el
importe de los pagos mensuales si la tasa de interés que cobra el banco es del 25,2% anual
capitalizable mensualmente.
a) Elabora los tres primeros renglones de la tabla de amortización.
b) Determina el saldo insoluto al final del décimo año.
4. El dueño de un edificio de oficina debe pagar cada trimestre de $ 25 000 a una empresa que le da
servicio a los elaboradores. Para prevenir este pago establece un fondo de amortización trimestral en
una cuenta que le paga una tasa de interés del 1.05% mensual.
a) Determina el importe de cada uno de los tres depósitos mensuales.
b) Elabora la tabla de crédito de cómo evoluciona el fondo mes a mes.
5. Al adquirir un apartamento en condominio el comprador se compromete a pagar además del enganche
y mensualidades, 6 pagos semestrales de $ 10 000. Con el propósito de afrontar este pago, el
comprador decide constituir un fondo de amortización cada semestre en una cuenta que le paga el
15.6% de interés anual capitalizable mensualmente.
a) Determina el importe de cada uno de los 6 depósitos mensuales.
b) Elabora la tabla que determina como evoluciona el fondo de mes a mes.
6. ¿Cuántos depósitos de $ 3 000 en una cuenta que paga el 1.6% mensual debe realizarse para
acumular $ 12 950? ¿Cuántos se debe aporta el ultimo mes para juntar exactamente esta cantidad?
Elabora la tabla que describe como evoluciona este fondo.
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PRACTICAS ADICIONALES PARA EXAMENES
PRACTICAS DE EXAMEN # 1
1. Eric retiró el día 27 / 06/ 2006 11.000 Bs. de un DPF cuya apertura esta fechada el día 14 / 11 / 2005.
¿Qué tasa de interés simple pagó el fondo?
2. Por la venta de un lote Alexis recibió el pasado 3 de mayo 7000 USD y un pagaré firmado por 13000bs
a 10 meses y con una tasa de interés simple del 51/2 %. Si por problemas económicos se vio obligado
a venderlo 105 días después y le pagaron 13155bs, ¿Qué tasa de interés le cobraron en la
transacción?
3. Mediante 3.500 Bs. al contado y dos pagos iguales a los 3 y 9 meses, Marcos quiere liquidar una
deuda que vence en 4 meses la cual contrajo inicialmente por 10.000 Bs. a dos años al 12% de interés
simple y otra que contrajo por 9.000 Bs. a 10 meses con intereses al 11%. Suponiendo un rendimiento
del 10% y tomando como fecha focal el final de los cuatro meses. Determine el valor del pago único
mencionado.
4. Como pago por servicios varios, “Jardinerías Chávez” recibió hoyun documento firmado por 10000 Bs.
pagaderos en un año al 5% de interés simple y para hacerlo efectivo acudió a un banco el cual se lo
descontó al 6%. ¿Cuál fue el ingreso de efectivo para la empresa?
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5. Si un banco paga $ 6118,76 por un documento de $ 6000 a once meses y con intereses al 8%.
Haciendo el respectivo descuento simple al 9%. ¿Cuánto tiempo antes del vencimiento es vendido
dicho documento?
PRACTICAS DE EXAMEN # 2
1. Por la venta de un auto un concesionario acepto un documento firmado por 14000 dólares pagaderos
en 10 años a una tasa de interés del 7 % convertible trimestralmente. Si transcurridos 3 años decidió
venderlo y le pagaron 16736,76 USD.
a) ¿Qué tasa efectiva le cobraron en la transacción?
b) ¿Cuál fue la tasa nominal convertible semestralmente equivalente?
2. Una microempresa compra un edificio por valor de 160.000 dólares pagando 20.000 de contado y
acordando pagar el resto en tres pagos iguales fijados a los 2; 6 y 10 años respectivamente. Si acordó
un rendimiento del 9 % convertible semestralmente en la operación. ¿Cuál fue el importe de cada
pago?
3. Al nacer su hijo un padre desea invertir 10,000 dólares de forma tal representen 17125,53 dólares
cuando el hijo tenga 18 años. ¿Qué tasa de interés convertible trimestralmente debe esperar que le
ofrezcan los bancos?
a) Si le ofrecieran un 2.82 % efectivo, ¿Cuánto tiempo deberá esperar para poder contar con esa
suma?
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4. Una empresa compró un terreno bajo un crédito de 16000 dólares pagaderos en 20 años a una tasa
del 9 % convertible semestralmente la cual vence dentro de 7 1/2 años. Si puede pagar 4500 dólares
hoy y el resto en dos pagos iguales a los 5 y 10 años con un rendimiento del 9½ % convertible
mensualmente. ¿Cuál seria el importe de dichos pagos si se renegocia el crédito?
PRACTICAS DE EXAMEN FINAL
7.
Mario no pudo pagar el día de su vencimiento un pagaré que firmo por 10000 bs a 5 años al 4 %
efectivo y decidió refinanciar su deuda. Si como liquidación 3 años más tarde el banco le aceptó
15454,38 bs, ¿Qué tasa de interés convertible mensualmente le cobró por la ampliación del crédito?
a) ¿Cuál seria la tasa efectiva equivalente?
8.
Anabel le debe a Leticia $5.000 con vencimiento en 51/2 años y al 5% convertible trimestralmente Y
$7.000 con vencimiento en 9 años( deuda contraída inicialmente 15 años y con un interés del 7%).
Desea renegociar el pago de sus deudas y propone dos pagos iguales a los 9 y 15 años.
¿Cuál seria el valor de dichos pagos considerando un rendimiento de dinero del 6 1/2% capitalizable
trimestralmente?
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9.
Malena se compró un Jeep Zamurai 0Km de 12.000 USD pagando 1.000 USD al contado y aceptó
liquidar el resto con depósitos mensuales por los próximos 7 años en la cuenta de IMCRUZ. Si acodo
un interés del 8.6% convertible mensualmente,
a. ¿Cuál debe ser el importe de cada depósito?
b. Si después de realizar 7 pagos decide liquidar la deuda ¿Cuánto debería pagar al vencimiento del
siguiente?
c. Si quisiera que los depósitos mensuales fuesen de 150 USD ¿cuántos depósitos completos deberá
realizar? Y ¿De cuanto deberá ser el último depósito?
10.
En la empresa GUILLER han comprado una maquina, la cual producirá un valor de 300 dólares
mensuales durante 10 años y entonces aun podrá venderse en 1100 dólares. Si el rendimiento para
este tipo de negocio es de 12 % convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la
maquina?
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11.
Pavel estuvo realizando depósitos semestrales desde que nació su hija durante 12 años en un fondo
que pagaba una tasa del 3% convertible semestralmente. Si lo hizo con la intención de que a partir de
los 18 años ella pudiera utilizar un fondo que le permitiera retirar 1500 USD al principio de cada
semestre durante 5 años.
a. ¿Cuál debió ser el valor de cada depósito?
b. Si hubiese creado dicho fondo con un único depósito el día que nació su hija, ¿Cuál debió ser el
valor de este?
12.
Para poder comprar una casa una persona solicita una hipoteca de $300,000.00 con una tasa de
interés del 22.8% anual capitalizable mensualmente. El comprador acuerda con el banco realizar
pagos mensuales por $7,000.00 para saldar la hipoteca.
Determina el numero de pago mensuales de $7,000.00que debe hacer el comprador.
Determina el importe del último pago mensual que salda el adeudo en su totalidad.
Elabora los tres primero reglones de la tabla de amortización.
Determina el saldo insoluto al final del sexto año.
a)
b)
c)
d)
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 1
UNIDAD O TEMA: INTERES SIMPLE
TITULO: Interés simple
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primer parcial
(ADM e IC)
El interés simple es ampliamente utilizado en las diferentes instituciones financieras bancarias y no
bancarias para diversos productos como créditos a corto plazo y DPF. Investigue las diferentes instituciones
del medio y responda:
a) ¿Cales son los diferentes productos que ofrecen dichas instituciones con este tipo de interés?
b) ¿De que forma se realizan los cálculos financieros en dichos productos?
(MKT)
Enlas políticas de mercadeo de las diferentes empresas, es común encontrar ofertas basadas en el precio
de los productos o servición y por lo tanto es importante conocer a cabalidad las diferentes maneras de
acumular interés. Investigue las diferentes instituciones del medio y responda:
a) ¿Qu elementos se toman en cuenta en el marketing de los diferentes productos que ofrecen
las instituciones financieras?
b) ¿De que forma se realizan los cálculos financieros en dichos productos?
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DIF’s # 2
UNIDAD O TEMA: DESCUENTO SIMPLE
TITULO: Documentos de deudas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primer parcial
Muchas de las operaciones financieras que se realizan en la actualidad entre empresas, se manejan a
través de documentos de deudas como las letras de cambio, las cuales tienen un determinado valor al
vencimiento y por ello se pueden vender antes de dicha fecha.
Investigue las diferentes instituciones del medio y diga de qué manera se realizan las transacciones de
compraventa de dichos documento.
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DIF’s # 3
UNIDAD O TEMA: INTERES COMPUESTO
TITULO: Formas de capitalización
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo parcial
(ADM e IC)
El interés es el más utilizado en las diferentes instituciones financieras bancarias y no bancarias para
diversos productos como líneas créditos, cajas de ahorro, prestamos a largo plazo, etc. Investigue las
diferentes instituciones del medio y responda:
a) ¿Cales son los diferentes productos que ofrecen dichas instituciones con este tipo de interés?
b) ¿De que forma se capitaliza el interés en las instituciones estudiadas y sus productos?
c) ¿De que forma se realizan los cálculos financieros en dichos productos?
(MKT)
Enlas políticas de mercadeo de las diferentes instituciones financieras se encuentran ofertas donde no se
dice toda la verdad, ocultando datos importantes como impuestos, formas de capitalización, TRe, etc.
Investigue los productos y servicios de las diferentes instituciones del medio y responda:
c) ¿Qu elementos importantes no exponen en el marketing de los diferentes productos que
ofrecen las instituciones financieras?
d) ¿De que forma se realizan los cálculos financieros en realidad y en que se diferencian de lo
presentado en la publicidad de dichos productos?
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DIF’s # 4
UNIDAD O TEMA: ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES
TITULO: Formas DE amortización
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Examen final
(ADM e IC)
La amortización es la forma en que las instituciones financieras bancarias y no bancarias conciben la
liquidación de una deuda mediante pagos periódicos y se utiliza en diversos productos como líneas créditos,
o prestamos a largo plazo, etc. Investigue las diferentes instituciones del medio y responda:
a) ¿Cales son los diferentes productos que ofrecen dichas instituciones basadas
amortizaciones?
b) ¿Cuáles son los métodos de amortización mas usados en Santa Cruz?
c) ¿De que forma se realizan los pagos en las instituciones estudiadas y sus productos?
en
(MKT)
En el marketin de las diferentes instituciones financieras se encuentra una gran diversidad de productos y
sevicios. Investigue los productos y servicios de las diferentes instituciones del medio y responda:
a) ¿Qu elementos importantes son comunes en la publicidad de los diferentes productos y en que
elementos difieren?
b) ¿Qué relación guardan los cálculos financieros que se realizan en realidad con lo presentado en
la publicidad de dichos productos?
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VISITA TECNICA No. 1
UNIDAD O TEMA :
LUGAR
:
FECHA PREVISTA :
RECURSOS NECESARIOS
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD
FORMAS DE EVALUACION (Si procede)
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA No. 1
UNIDAD O TEMA :
LUGAR
:
FECHA PREVISTA :
RECURSOS NECESARIOS
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD
FORMAS DE EVALUACION (Si procede)
U N
I V E R S
I D A D
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B O L
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