derrota loxodromica

Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
LOXODROMICA
1
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
DERROTA LOXODROMICA
2.1 GENERALIDADES
La derrota es el camino seguido por un buque sobre la superficie marina del
globo, cuando tiene que trasladarse de un punto a otro.
La derrota puede ser loxodrómica y ortodrómica, siendo la primera aquella que
se efectúa siguiendo un rumbo constante y la segunda la que recorre un arco de
círculo máximo, el cual, por otro lado, determina la mínima distancia entre esos
dos puntos de una esfera.
El elegir entre una u otra derrota dependerá de la clase de navegación que se
vaya a realizar.
En este capítulo se verá la primera de las derrotas definida, la loxodrómica,
dejando para el siguiente la derrota ortodrómica.
2.2 DERROTA LOXODROMICA
Se Define la derrota loxodrómica como aquella curva que trazada sobre la esfera
terrestre corta a todos los meridianos bajo el mismo ángulo, es decir, aquella
que se realiza siguiendo un rumbo constante.
Es de doble curvatura debido a que no está contenida en un plano y si se pudiese
seguir sobre la esfera terrestre sería una derrota que iría dando vueltas a la
Tierra acercándose gradualmente al Polo, alcanzándolo después de un número
infinito de ellas.
Esta derrota queda representada en la carta mercatoriana como una recta.
Evidentemente, dos puntos de la tierra podrían unirse por infinitas derrotas
loxodrómicas, sin más que ir variando los ángulos de corte de cada una de ellas
con los meridianos, sin embargo la que interesa es la que une los dos puntos
directamente.
De esta forma, se definirán el rumbo directo (Rd) y la distancia directa (Dd)
entre dos puntos.
2
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
2.3 ECUACION DE LA LOXODROMICA
Se definirá la ecuación de la loxodrómica como aquella que relaciona la longitud
(L) y la latitud aumentada (la) de cualquier punto de la derrota loxodrómica con
dos constantes, que son, la longitud del punto de corte de la derrota loxodrómica
con el Ecuador, que denominamos (Lo) y el rumbo (R).
Esta ecuación es de la forma (y = ax + b), lo que justifica que la derrota
loxodrómica quede representada por una recta en la carta mercatoriana.
Fig. 1 Loxodromica en una Carta Mercatoriana
En la figura anterior se puede observar una loxodrómica sobre la Carta
Mercatoriana en la que se representa el punto de corte de la misma con el
Ecuador (A) y otros dos puntos de dicha derrota, el X y el B. El punto A tiene una
longitud (Lo).
Del triángulo ABC se obtiene que: tgR = AC
BC
Si se tiene en cuenta que la longitud del punto B es (L) se podrá establecer la
ecuación de la loxodrómica despejando en la expresión anterior:
AC = BC • tgR ⇒ L − Lo = BC • tgR
L = Lo + la • tgR
3
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
Expresión esta última que es la ecuación de la loxodrómica que tambien se
puede escribir poniendo la latitud aumentada de acuerdo a su valor analítico, en
cuyo caso quedará:
L = Lo +
1
l⎞
⎛
• log tg ⎜ 45º + ⎟ • tgR
2⎠
sen1´
⎝
Si se particulariza esta ecuación para algunos casos determinados, se podrá ver
cuales son las peculiaridades de dicha derrota loxodrómica:
•
•
•
•
Cuando l=0º resultará que la la=0, con lo que el punto se encontrará en el
Ecuador y además L=Lo.
Cuando l=90º, sucederá que la=∞, con lo que la longitud L=∞ y habrá
infinitas soluciones posibles.
Cuando R=0º, entonces L=Lo, y cualquiera que sea la latitud (l), la
loxodrómica será el meridiano de longitud (Lo). Es decir, todos los
meridianos son loxodrómicas.
L − Lo
= 0 , con lo que la latitud será 0,
Cuando R=90º, se cumplirá que la =
tg 90 º
lo que implica que el Ecuador es una loxodrómica.
Si se particulariza la ecuación de la loxodrómica para dos puntos de la misma se
obtendría:
L = Lo + la • tgR
L1 = Lo + la1 • tgR
Restando ambas ecuaciones resulta:
L1 − L = (la1 − la ) • tgR ⇒ (la1 − la ) =
Cuando el rumbo sea 90º se cumplirá que
L1 − L
tgR
(la1 − la ) = 0 ⇒ l1 = l .
Esto quiere decir que todos los paralelos son loxodrómicas ya que sobre ellos se
navega bien al rumbo 90º o bien al 270º.
Para calcular el rumbo loxodrómico entre dos puntos de coordenadas dadas se
aplicará la expresión:
4
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
tgR =
∆L
∆la
Trabajando la ecuación anterior para valores de L1 que vayan aumentando de
360º en 360º, que es lo mismo que continuar sobre el mismo meridiano, se
obtendrán los correspondientes de rumbo, lo que verifica que entre dos puntos
pueden trazarse infinitas loxodrómicas.
2.4 NAVEGANDO POR ESTIMA
Se dice que se navega por estima cuando la situación del buque se halla a partir
de las coordenadas del punto de salida y las distancias y rumbos a los que se ha
navegado. Se utilizará el rumbo verdadero, el rumbo de superficie, si existe
viento o el rumbo efectivo si existe corriente y se tendrá en cuenta que el buque
navega a la velocidad del propulsor sobre el rumbo verdadero y el superficial,
mientras que se moverá con la velocidad efectiva sobre el rumbo efectivo.
Los rumbos verdaderos y las velocidades del propulsor se obtienen de la aguja y
de la corredera. Los rumbos de superficie y efectivos, así como la velocidad
efectiva se obtienen aplicando técnicas ya conocidas por el alumno.
Cada tramo de estima que se navega a un rumbo fijo es un trozo de
loxodrómica, siendo la carta mercatoriana la más adecuada para dibujarla y
resolver los problemas planteados. Si se desea más exactitud, la estima se
resolverá por tratamiento analítico.
La navegación de estima no deja de ser un medio auxiliar de posicionamiento del
buque que da situaciones probables, aunque su empleo es necesario y se usa
continuamente.
La situación de estima es aquella que se obtiene cuando se utilizan técnicas de
navegación por estima y representa el centro de un círculo de situación probable
cuyo radio dependerá de los errores cometidos en la navegación, como pueden
ser malas apreciaciones de rumbos, desvíos, velocidades, etc., y de las causas
externas que hayan afectado al buque y que sean desconocidas o conocidas
erróneamente, como pueden ser corrientes mal calculadas, etc.
Sea A un punto de salida y B el de llegada, separados por una distancia D. La
línea AB será la loxodrómica que los une y (Be) y (cd) serán, respectivamente, la
diferencia en latitud (∆l) y la diferencia en longitud (∆L) entre dichos puntos A y
B.
5
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
Fig. 2 División de la lóxodrómica en un número infinito de partes
Es evidente que habida cuenta que la loxodrómica corta a todos los meridianos
bajo el mismo ángulo, el rumbo (R) para ir de A a B será constante y tendrá
como valor el ángulo formado entre cualquiera de los meridianos a los que corta
la loxodrómica y ésta.
Si se divide la loxodrómica AB en un número infinito de partes cuyo tamaño sea
(dD), y por tanto infinitesimal, se podrá trazar por los extremos de cada una de
las partes los paralelos y meridianos que pasen por sus extremos, quedando
definidos así triángulos elementales que, debido a ser infinitésimamente
pequeños, se podrán considerar planos.
Se podrán establecer, si se observa la figura siguiente, las siguientes
expresiones:
dl = dD • cos R
da = dD • senR
da = dl • tgR
6
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
Fig. 3 Triángulo elemental en una loxodrómica
Expresiones que integradas dan:
∆l = D • cos R
A = D • senR
A = ∆l • tgR
Siendo el apartamiento, que se representa por (A), la suma de todos los catetos
infinitesimales situados sobre los infinitos paralelos trazados por cada uno de los
infinitos tramos en que se dividió la loxodrómica.
Si se tiene en cuenta, de acuerdo a lo que se estudió en el capítulo de
proyecciones, que cada arco de paralelo se correspondía con uno de Ecuador, al
que se multiplicaba por el cosl, o lo que es lo mismo, que para representar
correctamente la proyección cilíndrica de una esfera circunscrita, tangente al
cilindro en el Ecuador, era necesario “estirar” los paralelos en función de un
coeficiente igual a la
sec l =
1
, se podrá relacionar el apartamiento, que se
cos l
mide en un paralelo, con el (∆L), sin más que multiplicar aquél por la secante de
la latitud.
7
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
En el caso que nos ocupa resultará que la suma de todos los catetos elementales
corresponderá a un apartamiento que se ha medido no en un solo paralelo sino
en un número infinito de ellos. Pues bien, se podrá hacer la suposición de que el
valor obtenido para (A) es igual al tamaño del arco de paralelo de latitud media
entre los puntos (A) y (B). Dicha suposición es suficientemente exacta ya que
dicho arco en su primera mitad (AM) es menor que la suma de los apartamientos
diferenciales a los que sustituye, pero sin embargo, en la otra mitad, (MB), es
mayor, con lo que se compensan las diferencias.
Fig. 4 Apartamiento e incremento en longitud
Teniendo en cuenta lo anterior, se podrá expresar:
∆L = A • sec lm
8
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
En caso de que se quiera trabajar con exactitud, se usará la expresión:
∆L = ∆la • tgR
Para los signos se tendrán en cuenta los nombres y sentidos hacia el Norte, Sur,
Este u Oeste de los valores de latitudes y longitudes.
2.5 ESTIMA – CASO DIRECTO
El problema directo de la estima consiste en calcular la situación de llegada
teniendo como datos la posición de salida, el rumbo o rumbos navegados y la
distancia o distancias navegadas a cada rumbo.
La resolución de este problema puede hacerse sobre la carta o analíticamente.
Sobre la carta el problema se resuelve situando el punto de salida y trazando los
distintos rumbos y distancias navegadas sobre cada uno de ellos obteniendo un
punto final que será la posición de llegada.
Analíticamente se resolverá el problema usando las fórmulas de la estima
siguiendo los pasos a continuación:
•
•
•
•
Con la expresión ∆l = D • cos R se calcularán las diferencias en latitud que
resultan de cada rumbo y distancia navegada. Convendrá trabajar con
rumbos cuadrantales ya que dichos rumbos expresarán sin ninguna duda
hacia donde se ha producido el incremento en latitud (hacia el Norte o
hacia el Sur igual que el nombre del rumbo cuadrantal). Las diferencias en
latitud a los distintos rumbos se sumarán algebraicamente, obteniendose
una diferencia en latitud resultante que aplicada a la latitud de salida nos
dará la de llegada.
Con la expresión A = D • senR se calcularán los apartamientos que resultan
de cada rumbo y distancia navegada. Convendrá trabajar con rumbos
cuadrantales ya que dichos rumbos expresarán sin ninguna duda hacia
donde se ha producido el incremento en longitud (hacia el Este o hacia el
Oeste igual que el nombre del rumbo cuadrantal). Los apartamientos a los
distintos rumbos se sumarán algebraicamente, obteniendose un
apartamiento resultante, hacia el Este o hacia el Oeste.
Con la latitud de salida y la de llegada, hallada según el primer apartado,
se calculará la latitud media (lm).
Con la expresión ∆L = A • sec lm se calcula el incremento en longitud, que
tendrá el mismo nombre que el apartamiento resultante del apartado
anterior. Dicho incremento en longitud se aplicará a la longitud de salida
obteniendo una longitud de llegada.
9
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
Los rumbos de aguja se deberán pasar a rumbos verdaderos aplicándoles la
corrección total.
Si hay viento se deberá trabajar la estima con el rumbo superficial.
Si hay corriente, su rumbo se introducirá en la estima como uno más, siendo la
distancia navegada a ese rumbo igual a la intensidad horaria de la corriente
multiplicada por el intervalo horario durante el cual afecta al buque.
Cuando se produzcan incrementos en latitud superiores a 5º, o distancias
navegadas superiores a 300 millas náuticas, para obtener una solución exacta
convendrá trabajar la estima con latitudes aumentadas, aplicando las fórmulas
exactas de la estima.
Para evitar errores se recomienda trabajar el problema rellenando la siguiente
tabla:
Ra
dm
∆
Rv/Rc
Aº
Rs
D
N20E
S50W
+2º
+2º
+1º
0º
N23E
S52W
N70E
+10º
- 5º
N33E
S47W
50
30
16
∆l
A
N
41,9
-----5,5
∑N
47,4
S
----20,4
----∑S
20,4
E
27,2
----15,0
∑E
42,2
W
-----21,9
-----∑W
21,9
∑N-∑S
∑S-∑N
∑E-∑W
∑W-∑E
27
-----
20,3
En el cuadro anterior se ha representado un buque que navega a una velocidad
de 10 nudos, a un Ra=N20E, durante 5 horas y al Ra=S50W, durante 3 horas. Le
afecta una corriente de Rc=N70E y de Ih=2 millas. La declinación magnética y
los desvíos a cada rumbo se expresan en dicha tabla, así como los abatimientos
producidos por el viento.
El resultado final de la tabla ofrece el incremento en latitud y el apartamiento
total bajos las condiciones expuestas, así como los nombres de ambos, en este
caso es un ∆l = 27´N y un A = 20,3´E.
Notar que los resultados vienen expresados en minutos.
Si se tuviese que trabajar con latitudes aumentadas debido a que las distancias
navegadas fuese mayores de 300 millas, los incrementos en longitud se hallarían
igual que en el caso anterior y se aplicarían a la latitud de salida expresada como
latitud aumentada, obteniendo una situación de llegada que se debe transformar
10
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
en grados, minutos y décimas de minuto. Para el cálculo de la longitud, sin
embargo, se aplicará directamente la fórmula conocida ∆L = ∆la • tgR .
2.6 ESTIMA – CASO INVERSO
El problema inverso de estima consiste en calcular el rumbo directo (Rd) y la
distancia directa (Dd) entre dos puntos de los que se conocen sus coordenadas.
La resolución de este problema puede hacerse sobre la carta o analíticamente.
Sobre la carta el problema se resuelve situando el punto de salida y el de llegada
y trazando el rumbo. La distancia navegada se medirá sobre la escala de
latitudes de la carta, teniendo en cuenta lo que se dijo al respecto para el caso
de las proyecciones mercatorianas.
Analíticamente se resolverá el problema usando las fórmulas de la estima
siguiendo los pasos a continuación:
•
•
Se halla el incremento en latitud entre la latitud de salida (l1) y llegada (l2):
∆l = l2 − l1 . Dicho incremento en latitud se deberá expresar en minutos de
arco.
Se halla la latitud media entre la posición de salida y la de llegada:
lm =
•
•
•
l1 + l 2
.
2
Se halla la diferencia en longitud entre la longitud de salida (L1) y la de
llegada (L2): ∆L = L 2 − L1 . Dicho incremento en latitud se deberá expresar
en minutos de arco.
Se halla el apartamiento mediante la fórmula: A = ∆L • cos lm .
El rumbo directo (Rd) entre la posición de salida y la de llegada se calcula
mediante la expresión: tgRd =
A
∆l
1
.
Al valor de rumbo obtenido se le
pondrán los nombres (N o S) del incremento en longitud y (E u W) del
apartamiento.
•
La distancia directa (Dd) se obtendrá con la expresión: Dd =
∆l
cos Rd
En caso de tener que trabajar con exactitud debido a que la diferencia en latitud
sea mayor de 5º, se deberán usar las fórmulas exactas de la estima. Para ello se
transformarán las latitudes de salida y llegada en latitudes aumentadas y con
éstas se hallará el ∆la = la2 − la1 .
1
Los datos de apartamiento e incremento en longitud deben estar expresados en minutos de arco.
11
Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica
El incremento en longitud se hallará de la misma forma que en el epígrafe
anterior. Se aplicará la fórmula: tgR =
∆L
.
∆la
Para hallar la distancia, una vez conocido el rumbo, se trabajará de la misma
forma que en el epígrafe anterior.
2.7 CASOS PARTICULARES Y NOTAS IMPORTANTES
•
•
•
•
•
Cuando el rumbo a que se navega sea 000º ó 180º, es decir se navega por
un meridiano, no existirá apartamiento dedicándose toda la distancia
navegada a incremento en latitud.
Cuando el rumbo a que se navega sean 090º ó 270º, es decir se navega
por un paralelo o por el Ecuador, no existirá incremento en latitud
dedicándose toda la distancia navegada a variar el apartamiento.
El cuadrante del rumbo queda determinado por los nombres del incremento
en latitud y del incremento en longitud.
Si ∆l>A, el rumbo será menor de 045º y si ∆l<A, el rumbo estará
comprendido entre 045º y 090º. Si ∆l=A el rumbo será 045º.
El rumbo que se obtiene es el rumbo verdadero si no existe ni viento ni
corriente. Si existe viento se obtendrá el rumbo superficial y si además hay
corriente, el rumbo será el efectivo.
12