Semejanza de figuras

Carrera- Diseño de Interiores y MobiliarioAsignatura: MATEMÁTICA
Prof. Alicia Iturbe– Prof. Cecilia Ariagno
Semejanza de figuras- Teorema de Thales
Repasando conceptos básicos de Ángulos
Ángulos entre rectas
A) Ángulos determinados entre dos rectas que se cortan
Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el
vértice son iguales, por eso decimos, que son iguales dos a dos.
El ángulo agudo formado por las rectas r y s de las figura tiene una amplitud de 43º.
Figura Nº 1
B) Ángulos determinados entre dos rectas cortadas por una transversal
Observa en el dibujo que dos rectas cortadas por una recta transversal crean 8 ángulos que reciben
distintos nombres según la posición que ocupan:
ángulos correspondientes: ; :
ángulos alternos internos: :
ángulos alternos externos: :
Figura Nº 2
conjugados internos: :
conjugados externos: :
C) Ángulos determinados entre dos rectas paralelas que se cortan con una transversal
Cuando las rectas son paralelas se cumple:
Figura Nº 3
1
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Actividad 1
1. Observa la figura siguiente y responde a las preguntas siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Figura Nº 4
¿Cómo son los ángulos 1 y 2?
¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?
¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?
¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?
¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?
¿Cómo son los ángulos 4 y 6?
¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?
¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?
¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?
¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?
2. En la figura L1 //L2, indica el valor de x.
Figura Nº 5
3. Determina la amplitud del ángulo x, considerando que L1 //L2.
Figura Nº 6
4. La recta AB // DC,
encuentra la amplitud de
Figura Nº 7
2
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Semejanza de figuras
Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma son figuras congruentes.
Las figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, son figuras semejantes.
Las condiciones de semejanza entre dos polígonos son:
1º.- los ángulos del primero son respectivamente congruentes a los del segundo.
2º.-los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.
Comparemos los polígonos ABCMN y A´B´C´M´N´ ¿Son semejantes? Para responder ésta pregunta tendríamos
que verificar si se cumplen las condiciones de semejanza que quedarían expresadas así:
Figura Nº 8
Criterios de semejanza de triángulos
Cuando se trata de triángulos, los criterios de semejanza se simplifican. No es necesario verificar la igualdad
de todos los ángulos ni la proporcionalidad de todos los pares de lados.
a) CRITERIO ángulo - ángulo ( A A )
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos
ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos
triángulos son semejantes.
Si en los triángulos ABC y DEF se cumple que:
como
entonces  ABC   DEF
Figura Nº 9
b) CRITERIO lado - ángulo - lado ( LAL )
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales
y congruente el ángulo comprendido entre ellos.
En los triángulos ABC y DEF , se cumple que:
Como
Figura Nº 10
3
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c) CRITERIO lado - lado - lado ( LLL )
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente
proporcionales.
Como en los triángulos ABC y DEF se cumple que
AB
DE

BC
EF

AC
DF
Figura Nº 11
Entonces  ABC   DEF
Actividad 2
1. Decidan cuáles de estas figuras son semejantes. Expliquen por qué lo decidieron.
Figura Nº 12
2. Lucia tiene una fotografía rectangular de 40 cm x 20 cm y quiere armarle un marco de 5 cm
de ancho en cada lado. El rectángulo que se forma con el borde exterior del marco, ¿es
semejante al de la fotografía? ¿Cómo pueden estar seguros?
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3.
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Analiza si son semejantes los triángulos indicados, señala el criterio adoptado.
b)
a)
Figura Nº 14
QTM y CJX?
Figura Nº 13
BQL y CJR?
d) AWG y KWQ?
c) ABC y DEF?
Figura Nº 15
Figura N°16
KQ // AG
4.
5.
¿Cómo se simplificarían los criterios anteriores cuando se trata de triángulos rectángulos?
Son semejantes BAP y B´A´P´?
Figura Nº 17
6.
Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos mide 24 cm y 10 cm, se desea construir otro triángulo
semejante a éste. ¿Cuánto medirán los catetos del triángulo semejante si su hipotenusa mide 52m?
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Actividad 3
1. En base a la siguiente información, determinen si los triángulos son semejantes:
a) los tres ángulos de cada uno de los dos triángulos miden 45°, 65° y 70° y sus lados son proporcionales.
b) en un primer triángulo dos lados miden 4cm y el tercero 5cm, el ángulo comprendido entre los primeros
mide 77°. En otro triángulo los lados correspondientes miden 8 cm, 8 cm y 10cm y el ángulo
correspondiente se conserva.
2. Analizar las situaciones que se describen a continuación y determinar si se trata o no de figuras
semejantes.
a) Dos triángulos cualesquiera.
b) Dos triángulos isósceles ABC, A’B’C’ en los que el ángulo desigual mide 45°.
c) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en que un ángulo agudo de ABC es congruente con un ángulo
agudo de A’B’C’ correspondiente.
d) Dos cuadrados cualesquiera.
3. Si dos triángulos son semejantes ¿cómo es la razón entre sus perímetros? Den ejemplo y luego
demuestren que siempre se cumple esa propiedad.
Actividad 4
La gran pirámide de la planicie de Gizeh, la conocida como pirámide de Keops, siempre ha sido una
fuente de misterios, y la mayoría están aún por resolver. Sus medidas han sido estudiadas
exhaustivamente, pues los egipcios no construyeron la pirámide dándole unas medidas al azar, sino que
sus proporciones mantienen unas relaciones matemáticas muy interesantes entre sí. Medía
originalmente 147 m de altura, y el lado de la base cuadrada tenía una longitud de 230 m,
aproximadamente. Hoy en día la pirámide es un poco más baja, porque a lo largo de los siglos y sobre
todo en la Edad Media ha sido utilizada de cantera artificial. Las piedras de las que estaba compuesta se
han ido partiendo y tallando en ladrillos más pequeños.
Consultando la página de matemáticas www.epsilones.com, según el
historiador Heródoto, los egipcios construyeron la gran pirámide de tal forma
que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el
área de un cuadrado de lado igual a la altura de la pirámide.
Analizando los triángulos que se formaron podemos plantear las
siguientes fórmulas:
Figura N°16
Figura N°18
Considerando la pirámide de Keops:
a) ¿Cuál es la longitud de la apotema (segmento a) de la cara? ¿Cuál es el área de una de las caras? ¿Se
verifica en esta pirámide la propiedad de las pirámides enunciadas en el párrafo anterior?
b) ¿Cuánto mide cada una de las aristas laterales de la pirámide?
Fuente: La gran pirámide: pi por la raíz de fi es casi cuatro por Paulino Valderas
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Otros de los matemáticos interesados en está pirámide fue Thales. Cuenta la historia que el
matemático griego Thales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops utilizando su bastón. Thales
esperó un día de sol y colocó su bastón de tal manera que la sombra de éste terminara justo con la
sombra de la pirámide, como muestra el siguiente dibujo.
Figura Nº 19
Fuente Imagen: Latorre/Spivak/Kaczor/Elizondop “Matemática 9 “Santillana EGB
c) ¿Cuál habrá sido la altura de la pirámide de Keops, calculada por Thales, considerando que el
bastón medía 1 m, su sombra era de 3 m y la sombra que proyectaba la pirámide era de 438 m?
Teorema de Thales:
Si tres rectas o más, son cortadas por dos transversales, los segmentos formados en ambas
transversales son proporcionales:
En los diferentes gráficos de la Figura N° 20 podemos observar expresiones del teorema de Thales.
a) AÁ //B´B//C´C
b) ab//cd//ef
Figura N °20
d)
mn//ab
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Actividad 5
5.1- Una torre de 28 m de altura proyecta una sombra de 32 m en el mismo momento en que una
columna de alumbrado público proyecta una sombra de 2,4 m. ¿Cuál es la altura de la columna?
5.2- Las longitudes de los lados de un triángulo son 9, 12 y 15 cm. Cuando se traza una paralela a uno de
sus lados se obtiene un triángulo cuyo perímetro es de 12 cm. Calcular las longitudes de los lados del
nuevo triángulo.
5.3- Un segmento mide 3 cm. ¿Cuánto mide otro segmento si la razón entre las medidas de éste último y
del primero es de 6/5?
Actividad 6
6.1 Interpretar geométricamente las siguientes proporciones numéricas. Graficar. Calcular X.
a)
2cm 4cm

4cm
X
b)
2cm 4cm

3cm
X
6.2 Dividir el segmento A en dos partes proporcionales a X e Y.
A
X
Y
6.3 Realicen una figura de análisis siguiendo estas instrucciones:

Construir un triangulo acutángulo PQR.

Marcar un punto T sobre
, de modo que
sea perpendicular a
.

Marcar un punto S sobre
, de modo que
sea perpendicular a
.

Demostrar que
Problemas para seguir practicando.
1- En un laboratorio, imprimen fotos de los siguientes tamaños:
Figura Nº 21
¿Son semejantes las fotos que se obtienen en cada caso? ¿Por qué?
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2- Se tiene un rectángulo inscripto en un triángulo isósceles, como se indica en la
Figura Nº22. Sabiendo que la base del triángulo mide 2 cm y la altura 3 cm, y que la
altura del rectángulo es 2 cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.
Figura N°22
3- En un triángulo ABC rectángulo: se sabe que el mayor de sus lados,
, mide 40 cm. En otro
triángulo rectángulo PQR, el menor de sus lados,
, mide 40 cm. Sugieran medidas para los lados
,
,
,
para que los triángulos resulten semejantes.
4- En un triángulo ABC rectángulo el mayor de sus lados,
mide 18 cm. En otro triángulo rectángulo
PQR, el lado
, que no es ni el mayor ni el menor, mide 18 cm. sugieran medidas para los lados
,
,
,
5- La siguiente Figura Nº 23muestra 3 lotes que colindan uno a uno. Los
límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el
frente total de los 3 lotes en la calle 9 mide 120 m. Determina la
longitud de cada uno de los lotes sobre la calle 9.
Figura Nº 23
66.-En la Figura Nº24, el triángulo ABC es rectángulo en A, y la altura
HA es perpendicular a la base BC:
¿Cuántos triángulos semejantes hay? Nómbralos por las letras de
sus vértices, e indica cuáles son los ángulos congruentes.
78-
Figura Nº 24
7.-En el triángulo pqs,
//
.
a) Calculen la medida de .
b) ¿Es posible calcular cuanto mide ?
c) si el perímetro de pqs es 29,5, ¿cuál es la longitud de
Figura N°25
9
?
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8.- Un observador apostado sobre la playa
ve un barco anclado fuera de la costa.
De a cuerdo con los datos que Figura Nº26
en el siguiente dibujo, ¿a qué distancia está
el barco de la costa? ¿y el observador del
barco?
Figura N°26
9- Una trepadora de la plaza, cuya forma se muestra en la Figura Nº 27, tiene roto el anteúltimo
escalón.
Si la altura es de 2,40 m y el primer escalón por el cual se
sube mide 105 cm, ¿cuántos mide el escalón roto? (Los
escalones están todos a la misma distancia.)
Figura N°27
10- Consideren los triángulos de la Figura Nº 28 en la que
se cumple que
a)
//
. Selecciona la expresión correcta:
=
b)
c)
Figura N° 28
d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas.
11- Observa la Figura Nº 29 y selecciona la expresión correcta.
10
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Figura Nº 29
12- Consideren la Figura Nº 30
Seleccionen la respuesta correcta
a)
b)
c)
Figura Nº 30
d) Todas las afirmaciones son incorrectas.
13- En esta Figura Nº 31, los triángulos IJK y MKL son semejantes.
Si
, ¿cuánto mide el perímetro de IJK?
Figura Nº 31
11
no es paralelo a .