TEORÍA DE GRUPOS Évariste Galois (1811

TEORÍA DE GRUPOS
Évariste Galois (1811-32 francés). Esencialmente él creó el estudio de grupos. Fue el
primero en usar la palabra grupo en sentido técnico. Estudió la resolución de ecuaciones
algebraicas y lo relacionó con propiedades de grupos de permutaciones.
Temas 1-5:
Felix Klein (1849-1925 alemán). En 1872 en su discurso inaugural en la Universidad
de Erlangen, basado en los trabajos de Lie y de él mismo (en aplicaciones de la teoría
de grupos a la geometría), describía una geometría como el estudio de aquellas
propiedades de las figuras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo
concreto de transformaciones. Se conoce como El Programa de Erlanger (geometría
euclídea del plano - propiedades de las figuras del plano que quedan invariantes bajo la
acción de los movimientos; geometría afín - afinidades; geometría proyectiva proyectividades).
Niels Henrik Abel (1802-29 noruego). Desde la resolución de la ecuación cúbica y la
cuártica en el siglo XVI, los matemático no habían cesado de perseguir la resolución de
la quíntica. Abel también creyó, al principio, que había dado con una solución pero en
1824 publicó una memoria titulada: Sobre la resolución algebraica de ecuaciones, en
la que llegaba a la conclusión contraria, dando la primera demostración de que no es
posible ninguna solución y poniendo así punto final a un largo camino de investigación:
No puede haber ninguna forma general expresada en términos de operaciones
algebraicas explícitas sobre los coeficientes de una ecuación polinómica, que nos dé las
raíces de la ecuación, si el grado del polinomio es mayor que cuatro. Una demostración
incompleta anterior, de la irresolubilidad de la quíntica, la publicó Paolo Ruffini
(1765-1822) en 1799. Aquí veremos el teorema equivalente en grupos en el tema 6.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813 francés nacido en Italia como Giuseppe Lodovico
Lagrangia). Cuando en 1766 Euler dejó su cátedra en Berlín, Federico el grande
(Prusia) escribió a Lagrange diciendo “el más grande rey europeo desea tener en su
corte al mejor matemático europeo” Lagrange aceptó la invitación y durante 20 años
mantuvo el puesto que había dejado libre Euler. Estudió el conjunto permutaciones de
las raíces de un polinomio, sin componerlas, aun así se considera uno de los precursores
de la teoría de grupos.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857 francés). Representó un papel fundamental en la
teoría de permutaciones, escribió su primer artículo en este tema en 1815, en ese tiempo
lo que se estudiaba eran permutaciones de raíces. Introdujo la notación de potencias
positivas, negativas y cero de permutaciones, definió el orden de una permutación e
introdujo la notación cíclica. Cauchy llama dos permutaciones similares si tienen la
misma estructura cíclica y demuestra que esto equivale a que sean conjugadas (lo
veremos en el tema 6).
Leonhard Euler (1707-1783 suizo). Empezó a estudiar con Bernoulli en Basel. En 1761
estudió aritmética modular. Aunque su trabajo no lo expresa en términos de teoría de
grupos, da ejemplos de descomposición de un grupo abeliano en clases modulo un
subgrupo. También demuestra para casos especiales, que el orden de un subgrupo es un
divisor del orden del grupo.
Pierre de Fermat (1601-1665 francés). Trabajó fundamentalmente en teoría de
números. El teorema que hemos visto se llama el pequeño teorema de Fermat para
diferenciarlo del llamado Teorema de Fermat o Último Teorema de Fermat.
Temas 6-9:
Arthur Cayley (1821-1895 inglés) estudió en Cambridge (Inglaterra). Trabajó durante
14 años de abogado (aunque durante este tiempo seguía escribiendo artículos
matemáticos). En su época los únicos grupos conocidos eran los grupos de
permutaciones. Cayley define el concepto abstracto de grupo e introduce la tabla de la
multiplicación de un grupo. Sus artículos de 1854 eran muy avanzados para la época y
tuvieron poco impacto, cuando vuelve a trabajar con grupos en 1878 ya el concepto
abstracto de grupo toma una posición central en las matemáticas. Observa que las
matrices y los cuaterniones son grupos. Demuestra entre otras muchas cosas que
cualquier grupo finito se puede representar como un grupo de permutaciones (Teorema
de Cayley del tema 6).
Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832–1918 noruego) nació en Cristianía (Oslo en la
actualidad). Estudió en la Universidad de Cristianía y trabajó como profesor de Instituto
durante 40 años. Durante este tiempo también daba conferencias en la Universidad. Se
interesó en la teoría de grupos a través de los trabajos de Abel y Galois en ecuaciones
algebraicas. Los teoremas de Sylow (que veremos en el tema 8) son unos de los
resultados más profundos en teoría de grupos finitos, casi todo el trabajo en grupos
finitos usa estos teoremas.