PROBLEMA 1 grao de dificultade fácil Nota

PROBLEMA 1
grao de dificultade fácil
Nota: neste exercicio e o seguinte, os beneficios relativos aparecen cambiados de signo
(en relación a como traballamos en clase)
a) Variables de decisión:
Xi = Número de horas dedicadas al subprograma i
Restricciones
Disponibilidad en horas para programar
X1 +X2+X3+X4
40
El segundo subprograma le cuesta el doble que el primero
-2X1 +X2 =0
El tiempo empleado en el tercer y cuarto subprograma es el mismo
X3 –X4 =0
La suma del tiempo empleado en los subprogramas 1 y 2 supone al menos el 60% del
tiempo total
0.6(X1 +X2+X3+X4)
X1 +X2
No negatividad de las variables de decisión
X1, X2, X3, X4 0
Función objetivo
max z = 10 X1 + 12 X2 + 14 X3 + 16 X4
MODELIZACIÓN
max z = 10 X1 + 12 X2 + 14 X3 + 16 X4
s.a
X1 +X2+X3+X4 40
-2X1 +X2 =0
X3 –X4 =0
0.6(X1 +X2+X3+X4) X1 +X2
X1, X2, X3, X4 0
b) Añadimos dos variables de holgura asociadas a las restricciones 1 y 4 y dos variables
artificiales, asociadas a las restricciones 2 y 3. Aplicamos el método del Simplex para
obtener la solución óptima.
Método del Simplex
0
-M
0
-M
0
-M
0
14
0
12
0
14
10
12
0
14
10
12
16
14
X5
X6
X7
X8
X5
X6
X7
X3
X5
X2
X7
X3
X1
X2
X7
X3
X1
X2
X4
X3
10
X1
1
-2
-4
0
2M-10
12
X2
1
1
-4
0
-M-12
14
X3
1
0
6
1
-M-14
16
X4
1
0
6
-1
M-6
0
X5
1
0
0
0
0
-M
X6
0
1
0
0
0
0
X7
0
0
1
0
0
-M
X8
0
0
0
1
0
10
X1
1
-2
-4
0
2M-10
12
X2
1
1
-4
0
-M-12
14
X3
0
0
0
1
0
16
X4
2
0
12
-1
-30
0
X5
1
0
0
0
0
-M
X6
0
1
0
0
0
0
X7
0
0
1
0
0
-M
X8
-1
0
-6
1
M+16
40
0
0
0
0
10
X1
3
-2
-12
0
-34
12
X2
0
1
0
0
0
14
X3
0
0
0
1
0
16
X4
2
0
12
-1
-30
0
X5
1
0
0
0
0
-M
X6
-1
1
4
0
M+12
0
X7
0
0
1
0
0
-M
X8
-1
0
-6
1
M+16
40
0
0
0
0
0
X7
0
0
1
0
0
-M
X8
-1/3
-2/3
-10
1
M+14/3
10
X1
1
0
0
0
0
10
X1
1
0
0
0
0
12
X2
0
1
0
0
0
14
X3
0
0
0
1
0
12
X2
0
1
0
0
0
16
X4
2/3
4/3
20
-1
-22/3
14
X3
0
0
0
1
0
0
X5
1/3
2/3
4
0
34/3
-M
X6
-1/3
1/3
0
0
M+2/3
16
X4
0
0
1
0
0
0
-M
X5
X6
1/5
-1/3
2/5
1/3
1/5
0
1/5
0
64/5 M+2/3
40
0
0
0
0
40/3
80/3
160
0
1360/3
0
-M
X7
X8
-1/30
0
8
-1/15 -1/2 16
1/20 -1/2
8
1/20
½
8
11/30 M+1 512
c) La solución es única ya que todos los valores indicadores de las variables no básicas
son mayores que cero.
PROBLEMA 2
grao de dificultade fácil
Variables de decisión :
X1 = Número de horas dedicadas a la producción de tiras
X2 = Número de horas dedicadas a la producción de espirales
Restricciones
Disponibilidad en horas de producción la próxima semana
X1 +X2
40
Cantidad máxima que se puede producir de tiras y de espirales
200X1 6000
140X2 4000
Condiciones de no negatividad de las variables de decisión
X1 0
X2 0
Función objetivo
max z = 25
200
X1 + 30
140
X2
X2
MODELIZACIÓN
40
R2
R1
max z = 5000 X1 + 4200 X2
s.a
X1 +X2 40 (R1)
200X1 6000 (R2)
140X2 4000 (R3)
X1 0
X2 0
30
R3
20
F
10
(30, 10)
X1
10
20
30
40
0
X5
0
0
1
0
40
30
200/7
0
Método del Simplex
0
0
0
X3
X4
X5
5000
X1
1
1*
0
-5000
4200
X2
1
0
1
-4200
0
X3
1
0
0
0
0
X4
0
1
0
0
0
5000
0
4200
5000
0
X3
X1
X5
X2
X1
X5
Solución óptima : x1*
5000
X1
0
1
0
0
4200
X2
1*
0
1
-4200
0
X3
1
0
0
0
0
X4
-1
1
0
5000
0
X5
0
0
1
0
10
30
200/7
15000
5000
X1
0
1
0
0
4200
X2
1
0
0
0
0
X3
1
0
-1
4200
0
X4
-1
1
1
800
0
X5
0
0
1
0
10
30
130/2
192000
30, x 2*
10, x3*
x 4*
0, x5*
65, z *
192.000euros
PROBLEMA 3
grao de dificultade media. Quizá teñades algunha dificultade
para expor a función do obxectivo. Para as restricións non deberiades ter moitas
dificultades.
Variables de decisión :
Xi = Número de horas dedicadas a la asignatura i, i=1,2,3,4.
Restricciones
El alumno debe aprobar las cuatro asignaturas
X1 ≥ 12
X2 ≥ 20
X3 ≥ 25
X4 ≥ 18
El alumno, lógicamente, no puede sacar más de un diez en cada asignatura luego no
tiene sentido estudiar en cada una de ellas más del tiempo necesario para sacar un 10
X1 ≤ 20
X2 ≤ 45
X3 ≤ 60
X4 ≤ 30
El alumno dispone de un total de 120 horas
X1+X2+X3+X4 ≤120
Los tiempos dedicados a cada asignatura no deben diferir en más de 5 horas
|X1-X2| ≤ 5
|X1-X3| ≤ 5
|X1-X4| ≤ 5
|X2-X3| ≤ 5
|X2-X4| ≤ 5
|X3-X4| ≤ 5
Æ X1 - X2 ≤ 5 y
Æ X1 - X3 ≤ 5 y
Æ X1 - X4 ≤ 5 y
Æ X2 - X3 ≤ 5 y
Æ X2 - X4 ≤ 5 y
Æ X3 - X4 ≤ 5 y
X1 - X2 ≥ -5
X1 - X3 ≥ -5
X1 - X4 ≥ -5
X2 - X3 ≥ -5
X2 - X4 ≥ -5
X3 - X4 ≥ -5
Función objetivo
max z =
( X 1 − 12) ⎞ ⎛
( X − 20) ⎞ ⎛
( X − 25) ⎞ ⎛
( X − 18) ⎞⎤
1 ⎡⎛
⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1
⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1
⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1
⎟⎥
⎢⎜⎜ 5 ×
4 ⎣⎝
(20 − 12) ⎠ ⎝
(45 − 20) ⎠ ⎝
(60 − 25) ⎠ ⎝
(30 − 18) ⎟⎠⎦
MODELIZACIÓN
max z =
( X 1 − 12) ⎞ ⎛
( X − 20) ⎞ ⎛
( X − 25) ⎞ ⎛
( X − 18) ⎞⎤
1 ⎡⎛
⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1
⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1
⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1
⎟⎥
⎢⎜⎜ 5 ×
4 ⎣⎝
(20 − 12) ⎠ ⎝
(45 − 20) ⎠ ⎝
(60 − 25) ⎠ ⎝
(30 − 18) ⎟⎠⎦
s.a
X1 ≥ 12
X2 ≥ 20
X1 ≤ 20
X2 ≤ 45
X1+X2+X3+X4 ≤120
X1 - X2 ≤ 5
X1 - X2 ≥ -5
X1 - X3 ≤ 5
X1 - X3 ≥ -5
X1 - X4 ≤ 5
X1 - X4 ≥ -5
X2 - X3 ≤ 5 X2 - X3 ≥ -5
X2 - X4 ≥ -5
X2 - X4 ≤ 5
X3 - X4 ≤ 5
X3 - X4 ≥ -5
Xi ≥ 0
X3 ≥ 25
X3 ≤ 60
X4 ≥ 18
X4 ≤ 30
PROBLEMA 4
Nota:
grao de dificultade media
1. a) Las variables de decisión se indican en el enunciado, siendo éstas
xi : número de unidades a fabricar del producto i = 1, 2.
El esquema de los procesos para la fabricación de ambos productos se muestra en la figura
A partir de este esquema construimos primero las restricciones debidas a las limitaciones mensuales en los
tiempos de producción con cada taller, siendo éstas
Taller A:
x 1 x2
+
4
2
400
Taller B:
x 1 x2
+
3
6
300
Taller C:
x 1 x 1 x2
+
+
8
2
2
700
A continuación consideramos las limitaciones por producciones máximas por mes, que serán
x1 800
y
x2 900,
además de las condiciones de no negatividad. Finalmente, la función objetivo es
max B = 20x1 + 30x2
donde B es el beneficio total debido a un programa de producción (x1 , x2 ).
Operando y simplificando las restricciones, se tiene el programa lineal
max B
s. a
=
20x1 + 30x2
x1 + 2x2
2x1 + x2
5x1 + 4x2
x1
x2
x1 , x 2 0
1600
1800
5600
800
900
(r1 )
(r2 )
(r3 )
(r4 )
(r5 )
b) La resolución gráfica se muestra en la figura
La solución óptima es el punto extremo intersección de las restricciones (como igualdades) primera (r1 ) y
segunda (r2 ), dada por
x1 = 666.67, x2 = 466.67 con B = 27333.33
Observamos de la resolución gráfica que las restricciones tercera (r3 ) y quinta (r5 ) son redundantes. Además,
si calculamos los valores de las restricciones en la solución óptima tendremos que las holguras (hi ) para las
restricciones r1 y r2 son nulas, es decir, h1 = 0 y h2 = 0, y por tanto, se consumen en su totalidad los tiempos
disponibles para los talleres A y B. Sin embargo, ya que h3 = 400, se tendrá que (deshaciendo la transformación
sobre la restricción r3 ) de la disponibilidad total para el taller C, no se utilizan 50h.
Finalmente, observemos que la producción máxima no se alcanza en ambos productos ya que se dejan de
producir h4 = 133.3 unidades del producto 1 y h5 = 433.3 unidades del producto 2.
1
Figure 1:
PROBLEMA 5
grao de dificultade: media
Variables de decisión :
i
= Viajeros que van de Ithaca a Newark en la clase i, i=1,2,3.
X IN
i
= Viajeros que van de Newark a Boston en la clase i, i=1,2,3.
X NB
i
= Viajeros que van de Ithaca a Boston en la clase i, i=1,2,3.
X IB
Restricciones
Experiencia en número de pasajeros:
X 1IN
4
2
X IN
8
3
X IN
22
X 1NB
8
2
X NB
13
3
X NB
20
X
1
IB
3
X
2
IB
10
X
3
IB
18
Capacidad del avión de 30 personas en los trayectos Ithaca-Newark y Newark-Boston
2
3
1
2
3
X 1IN + X IN
+ X IN + X IB + X IB + X IB
30
2
3
1
2
3
X 1NB + X NB
+ X NB + X IB + X IB + X IB 30
No negatividad de las variables de decisión
i
X IN
i
0, X NB
i
0, X IB
0
i =1,2,3
Función objetivo
2
3
2
+160 X 1NB +130 X NB
max z = 300 X 1IN +220 X IN
+100 X IN
+
3
3
80 X NB
+360 X 1IB +280 X IB2 +140 X IB
MODELIZACIÓN
2
3
2
+160 X 1NB +130 X NB
max z = 300 X 1IN +220 X IN
+100 X IN
+
3
3
80 X NB
+360 X 1IB +280 X IB2 +140 X IB
s.a
X 1IN
3
X IN
22
X
3
NB
20
3
10
X
X
X
2
3
1
2
X + X IN + X IN + X IB + X IB + X
3
IB
3
IB
18
30
X
1
NB
4
2
X IN
8
2
NB
1
IB
1
IN
X
8
13
2
IB
2
3
1
2
3
+ X NB + X IB + X IB + X IB 30
X 1NB + X NB
i
X IN
i
0, X NB
i
0, X IB
0
i =1,2,3
PROBLEMA 6
grao de dificultade: difícil
Variables de decisión:
NX = Número de secretarias que trabajan el miércoles
NJ = Número de secretarias que trabajan el jueves
NV = Número de secretarias que trabajan el viernes
ABX = Número de alumnos que piden beca el miércoles (se matriculan y piden beca)
ABJ = Número de alumnos que piden beca el jueves (se matriculan y piden beca)
AX = Número de alumnos que no piden beca el miércoles (sólo se matriculan)
AJ = Número de alumnos que no piden beca el jueves (sólo se matriculan)
AV = Número de alumnos que no piden beca el viernes (sólo se matriculan)
Restricciones
Restricciones sobre el número de alumnos que se matriculan y piden beca
ABX + ABJ=200
AX+ AJ+ AV=300
Restricciones en el tiempo de servicio que se presta
ABX 5 + AX 10 NX 300
ABJ 5 + AJ 10 NJ 300
AV 5 Nv 300
Un día no pueden recogerse más de 10 becas que el otro
| ABX - ABJ |
10
ABX - ABJ
10 y ABJ - ABX
Condición de no negatividad de las variables de decisión
ABX, ABJ, AX, AJ, AV, NX, NJ, Nv 0
Función objetivo
min z = NX+ NJ+ Nv
MODELIZACIÓN
min z = NX+ NJ+ Nv
s.a
ABX + ABJ=200
AX+ AJ+ AV=300
ABX 5 + AX 10 NX 300
ABJ 5 + AJ 10 NJ 300
AV 5 Nv 300
ABX - ABJ 10
ABJ - ABX 10
ABX, ABJ, AX, AJ, AV, NX, NJ, Nv 0
10