Imaginemos que una firma actúa en un mercado

Economía Matemática – Facultad de Ciencias Económicas y de Administración - Curso 2016
Práctica 2 – Primer Trimestre
Estática Comparativa
Ejercicio 1
Considere un modelo simple de oferta y demanda de determinado bien:
QD  a  bP  cY
QS  eP
(1.1)
Donde Q D es la cantidad demandada, QS es la cantidad ofertada, P es el precio, e Y es el
ingreso del consumidor.
En base a esta información, se pide:
1. Determine las variables endógenas y exógenas de este modelo.
2. Si se supone que los parámetros a, b, c, e son positivos: ¿qué signo tienen las
pendientes de ambas curvas?; ¿qué tipo de bien se analiza en este modelo?
3. Determine el efecto sobre una variable endógena de una variación en una variable
exógena. Interprete desde el punto de vista económico el resultado.
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Ejercicio 2
Suponga ahora que la demanda ( Q D ) y oferta ( QS ) del bien analizado en el ejercicio 1
tienen las siguientes formas funcionales:
QD  QD P, Y 
QS  QS P 
(2.1)
Suponiendo que existe una solución única, el exceso de demanda se iguala a cero cuando el
mercado está en equilibrio, esto es:
EDP, Y   QD P, Y   QS P  0
(2.2)
En base a esta información, se pide:
1. Considerando la función 2.2, ¿resulta posible obtener explícitamente el precio de
equilibrio?
2. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que exista una solución explícita de la
función EDP, Y   0 ?
3. ¿Determine cual será el efecto sobre el precio de equilibrio de un incremento en el
ingreso (Y)?
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Ejercicio 3
Suponga una empresa que actúa en un mercado perfectamente competitivo tomando
decisiones en forma estática sobre la cantidad a producir (Y) con el objeto de maximizar
sus beneficios.
La tecnología o función de producción se supone continua y sujeta a la “Ley de
rendimientos marginales decrecientes”. Esto es:
Y  f ( K , L)
siendo K el factor capital y L el factor trabajo, tenemos que
f K ()  0, f KK ()  0, f L ()  0, f LL ()  0 .
Dada las características de los mercados perfectamente competitivos, las variables de
precios son exógenas a las decisiones de la empresa. Bajo este marco, los precios a tener
en cuenta son: p (precio unitario del bien que la empresa produce y vende), r (precio
unitario del capital) y w (precio unitario del trabajo).
En base a esta información, se pide:
1. Plantee el problema de maximización de beneficios de la empresa
2. Deduzca las condiciones de primer orden que le permiten a la empresa obtener las
demandas óptimas del stock de capital y trabajo que potencialmente maximizan su
beneficio.
Nota: plantee estas condiciones de primer orden como un sistema de dos ecuaciones
expresados en forma implícita. Establezca las variables endógenas y exógenas del
sistema
3. ¿Qué condiciones se deben cumplir para poder expresar a las variables endógenas
como función de las variables exógenas?
4. Establezca las condiciones de segundo orden del problema. ¿Qué aseguran el
cumplimiento de estas condiciones?
5. Considerando las condiciones de primer orden planteadas anteriormente, realice
ejercicios de estática comparativa para variaciones de las variables exógenas.
Interprete desde el punto de vista económico los resultados obtenidos.
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Ejercicio 4
Suponga ahora que el objetivo de la misma empresa del ejercicio 3 es minimizar los costos
de producción de un volumen predeterminado del producto ( Y0 ). Teniendo en cuenta que
ahora estamos ante un problema de optimización restringida, se pide:
1. Plantee el problema de optimización.
2. Establezca las condiciones de primer orden de este problema. ¿Qué características e
interpretación tiene el multiplicador de Lagrange (parámetro  ) en este caso?
3. ¿Qué condiciones deben cumplirse para expresar las variables endógenas en función
de las variables exógenas?
4. Considerando las condiciones de primer orden planteadas anteriormente, realice
ejercicios de estática comparativa para variaciones de las variables exógenas.
Interprete desde el punto de vista económico los resultados obtenidos.
Ejercicio 5
Demuestre que el multiplicador de Lagrange  (Y0 , r, w) obtenido en el ejercicio 4 es el
costo de producir una unidad adicional del bien cuando la función de costos se evalúa en su
nivel mínimo.
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Ejercicio 6
Considere un modelo simple de consumo con dos bienes ( x1 , x 2 ) en cual un consumidor
típico maximiza la siguiente función de utilidad:
Máx .U  x1 , x 2 
x1 , x2
Sujeto a la siguiente restricción presupuestaria:
Y  P1 x1  P2 x2
En base a esta información, se pide:
1. Deduzca las condiciones de primer orden del problema. ¿Qué condiciones se deben
cumplir para poder expresar a las variables endógenas como función de las variables
exógenas? Considerando las condiciones de primer orden planteadas anteriormente,
realice ejercicios de estática comparativa de variaciones de los precios sobre las
cantidades demandadas de cada bien.
2. Plantee y resuelva el problema dual del anterior problema de maximización. En este
último caso, analice los efectos ingreso y sustitución de variaciones en los precios
de ambos bienes. Interprete desde el punto de vista económico estos resultados
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Ejercicio 7.- Modelo de Ingreso Nacional IS-LM
Suponga una econom´ıa cerrada en donde los mercados de bienes y de dinero se rigen por las
siguientes ecuaciones:
Mercado de Bienes:
Y=C+I+G
C = C(Y − T )
G = G0
I = I(r)
T = T (Y )
Donde Y es el nivel de producto o ingreso nacional de la economía, C es el consumo privado
agregado, con 0 < C0(Y d) < 1, I la inversión privada con I0(r) < 0, la recaudación del gobierno
es T , con 0 < T 0(Y ) < 1 y el gasto del gobierno,G = G0, es ex´ogeno.
Mercado de Dinero:
Md = L(Y, r)
Ms = Ms 0
Ms = Md
Donde L es la demanda de dinero con LY > 0 y Lr < 0, Ms es la oferta de dinero y está dada.
r es la tasa de interés.
Se pide:
1. Escriba las ecuaciones de equilibrio de ambos mercados (curva IS del mercado de
bienes y curva LM del mercado de dinero) y encuentre las pendientes de ambas
curvas en el plano Y, r.
2. Identifique las variables endógenas y exógenas; escriba el sistema de ecuaciones que
definen el equilibrio simultáneo de ambos mercados y establezca las condiciones que
se deben cumplir para expresar las variables endógenas en función de las variables
exógenas.
3. Realice ejercicios de estática comparativa para variaciones del gasto público.
Interprete desde el punto de vista económico los resultados obtenidos.
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Ejercicio 8.- Modelo de Ingreso Nacional IS-LM en una economı́a
abierta
A las dos identidades de equilibrio del ejercicio anterior para los mercados de bienes y de
dinero, se incorpora una ecuación que refleja el vı́nculo de la economı́a doméstica con el resto
del mundo.
Exportaciones netas: sean X las exportaciones, M las importaciones y E el tipo de cambio
nominal.
X = X(E)
con X0(E) > 0
M = M (Y, E)
con MY > 0, ME < 0
Flujos de capital: Sea K el flujo neto de capitales hacia la economı́a doméstica, función de
la tasa de interés nacional, r, y la tasa de interés internacional, rw .
K = K(r, rw )
con Kw > 0, Krw < 0
Balanza de Pagos: suma de la cuenta corriente y la cuenta capital:
BP = [X(E) − M (Y, E)] + K(r, rw )
Si suponemos un régimen de tipo de cambio flexible, el mismo se ajusta para mantener la BP
en equilibrio (BP = 0). En este marco, la oferta de moneda extranjera es igual a su demanda
en la economı́a doméstica.
Se pide:
1. Escriba las tres ecuaciones de equilibrio de esta economı́a.
2. Identifique las variables endógenas y exógenas y establezca las condiciones que se deben
cumplir para aplicar el teorema de la función implı́cita.
3. Realice ejercicios de estática comparativa para el caso en que se modifica la tasa de interés
internacional. Interprete desde el punto de vista económico los resultados obtenidos.
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