Sucesiones - Matemática para todos

El mayor logro del período
babilónico (3000 a. C.), fue el análisis
de los movimientos aparentes del Sol
y de la Luna, aspecto esencial para
determinar el inicio de cada mes.
Tabla de cálculo del 2400 aC.
Los babilonios establecieron que
el ángulo entre el horizonte, la
eclíptica y el recorrido del Sol a
través del cielo, varía durante el
año. Además, el recorrido de la
Luna se desvía periódicamente del
plano de la eclíptica unos cinco
grados hacia ambos lados. Y
descubrieron que ambos cuerpos
se mueven a un ritmo variable.
Muchas tablillas babilónicas muestran ejercicios de sucesiones
aritméticas que podrían ser intentos de crear las tablas solares y lunares
utilizadas para predecir con tres años de antelación la aparición de la Luna
creciente (ello dependía de la posición relativa del Sol y de la Luna). A
partir de las evidencias disponibles, parece que los métodos de
interpolación aritmética se usaron para seguir los trazos planetarios.
Un gran logro en la época
medieval fue encontrar una fórmula
para la suma de sucesiones, y fue
desarrollada por Yang Hui (s. XIII) en la
China.
Uno de los aspectos más
notables de un trabajo de Yang Hui,
escrito en 1275, llamado Cheng Chu
Tong Bian Ben Mo (que se traduce
como el 'Alfa y omega de variaciones
en la multiplicación y división'), es un
documento sobre la educación de la
matemática, que pone énfasis en un
programa sistemático y coherente, y
está basado en la comprensión real, en
lugar de estar fundamentado en el
aprendizaje de la repetición. La Xi
Suan Gang Mu es quizás el primer
programa de estudios de matemática.
100
Yang Hui
(China, 1238–1298)
GUSTAVO A. DUFFOUR
6
EL AVARO Y EL MENDIGO
NOCIONES
SOBRE
SUCESIONES
1 – DEFINICIÓN
Se denomina sucesión a una función f
cuyo dominio es el conjunto de todos los
números naturales excepto el cero.
Dado que la variable es un número
natural, se acostumbra a usar la letra n, en
lugar de x.
Generalmente, la dependencia de n se
indica utilizando subíndices y se escribe an,
bn, sn,
en vez de f(n),
g(n) ...
De esta manera se obtiene la siguiente
correspondencia:
1
↓
a
1
2
↓
a
2
3
↓
a
3
... ... ... n
↓
... ... ... a
Un mendigo le pide hospedaje
a un avaro haciéndole la
siguiente proposición: «yo
pagaré $1000 por el primer día,
$2000 por el segundo, $3000
por
el
tercero
y
así
sucesivamente. A cambio,
usted me pagará $1 el primer
día, $2 el segundo, $4 el
tercero y así sucesivamente».
El avaro y el mendigo llegaron
a un acuerdo por 30 días.
¿Quién salió perjudicado en
este contrato y por qué?
UN NÚMERO MUY
IMPORTANTE
Trabajando
con la
sucesión:
(
)
n
f(n) = 1 + 1
n
n
Calcular:
f(100) =
f(1000) =
f(10000) =
Se utiliza la notación
{an} para
indicar la sucesión cuyo término
enésimo es an.
MATEMÁTICA DE QUINTO
¿Qué se observa?
¿A qué número tiende?
Preguntar al profesor cómo se
llama este número.
Véase el resultado en la página 475.
101
2 – ALGUNAS FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN
Por una fórmula explícita.
Por ejemplo:
{an} : an =
1 . Esta fórmula recibe el nombre de término general de
n
{ }
la sucesión, pues a partir de ella es posible encontrar cualquiera de los términos de a .
n
EJEMPLO:
Determinar el término general de la siguiente sucesión a partir
de sus primeros términos: a
= {1, 3, 9, 27, 81, ...}
n
{ }
El estudiante debe reconocer en estos números, las primeras potencias de 3.
n−1
{an} : an = 3
∀ n ≥1
Por una ley de recurrencia.
Fórmula que relaciona un término cualquiera, los anteriores y el lugar que ocupa.
El principal inconveniente de esta forma de expresar una sucesión está en la
necesidad de conocer un término para hallar el siguiente.
EJEMPLO:
En la siguiente sucesión dada por recurrencia:
i)
iii)
i)
{bn} :
b =2
1
= 2b − 3 ∀ n ≥ 1
b
n+1
n
Calcular los diez primeros términos. ii) Graficarlos.
Encontrar una fórmula explícita para bn en función de n.
{bn} = {2, 1, − 1, − 5, − 13, − 29, − 61, − 125, − 253, − 509, ...}
b
n
ii)
•
0
iii) En algunos casos, es posible
encontrar una formula explícita
para bn en función de n.
n −1
b :b = 3− 2
∀n≥1
n
n
{ }
102
•
•
n
•
•
Véase otros ejemplos
de representación gráfica
de sucesiones, en la
página 104 y 118.
•
GUSTAVO A. DUFFOUR
3 – SUCESIONES CRECIENTES O DECRECIENTES
Una sucesión se dice que es estrictamente creciente si cada término es mayor que el
anterior.
a es estrictamente creciente si para todo n∈`* an + 1 > an
n
{ }
Una sucesión se dice que es estrictamente decreciente si cada término es menor que
el anterior.
a es estrictamente decreciente si para todo n∈`* an+1 < an
n
{ }
Una sucesión
{an}
se llama monótona creciente si para todo n∈`*
Una sucesión
{an}
se llama monótona decreciente si para todo n∈`* an + 1 ≤ an
Una sucesión
{an}
se llama constante si para todo n∈`* an + 1 = an
Mientras que
{an} : an =
EJEMPLO:
an + 1 ≥ an
sen n es oscilante pues sus valores varían entre – 1 y + 1
{an} : an =
1
n
es una sucesión estrictamente decreciente.
Demostrar que:
a
n
Para ello se debe demostrar que:
para todo n∈`*
an + 1 < an.
1
< 1
n +1
n
1
− 1 < 0
n +1
n
O sea que:
mismo:
o, lo que es lo
al buscar un
−1
se
<0
n(n + 1)
confirma que la sucesión es decreciente, pues
común denominador:
la desigualdad indicada se verifica para todos
los `*.
MATEMÁTICA DE QUINTO
0
n
103