TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la

MATEMÁTICAS
TEMA 28:
Representación Gráfica de Funciones •1
Estudio global de funciones. Aplicaciones
representación gráfica de funciones.
a
la
Autor: Antonio Pizarro Sánchez
Esquema:
1. Introducción.
2. Dominio de definición y recorrido.
3. Cortes con los ejes.
Email: [email protected] • Web: http://www.preparadoresdeoposiciones.com
4. Periodicidad.
5. Simetrías.
6. Asíntotas.
7. Crecimiento y decrecimiento.
8. Extremos relativos y absolutos.
9. Convexidad y concavidad.
10. Puntos de inflexión.
11. Referencias bibliográficas y documentales.
1. INTRODUCCIÓN.
En todo lo que sigue de tema, estudiaremos globalmente las funciones
reales de variable real expresadas en forma explícita, por ser esta la
forma más usual de expresar una función y la usada en la E.S.O. y
Bachillerato. Dada la función f: Dom( f )
IR,
su
representación
gráfica es el compendio del estudio de los siguientes epígrafes que
pasamos a analizar.
REV.: 03/09
2. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y RECORRIDO.
El dominio de definición o campo de existencia de una función f, y se
suele representar por Dom (f) o por D, es el conjunto de los números
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reales x para los existe f(x). Formalmente: Dom( f ) = {x ∈ IR ∃ f ( x)}.
Ejemplos:
1. La función y = 9 − x 2 tiene dominio de definición el intervalo [− 3,3] ,
es decir, f está definida en ese intervalo.
2. Las funciones exponenciales, circulares, y n x (n impar) están
definidas en todo IR.
3. n x (n par) están definidas en [0,+∞] .
4. La función y = log(x − 4) está definida si y sólo si x − 4 > 0 , es decir,
su dominio es D = (4,+∞ ) .
Se llama recorrido de f o imagen de f, y se denota por Im(f), al conjunto
de los números reales y para los que existe x ∈ IR con y=f(x).
Im( f ) = { f ( x) : x ∈ Dom( f )}.
3. CORTES CON LOS EJES.
Con el eje OX: Los puntos de corte de la función y=f(x) con el eje OX,
son los puntos (x0 ,0) donde los x0 ∈ Dom( f ) y se obtienen resolviendo la
ecuación f ( x) = 0 .
Con el eje OY: Es el punto (0,f(0)), si 0 ∈ Dom( f ) .
4. PERIODICIDAD.
Se dice que una función f: Dom(f)
IR
es
periódica
si
∃ h ∈ IR, h > 0 , tal que: f ( x + h ) = f (x) ∀x ∈ Domf , es decir, cuando su
gráfica se repite cada tramo de longitud h.
Se define el período T de una función f como el mínimo valor h con la
propiedad anterior.
Observación: Es claro que si h verifica f (x + h ) = f (x) ∀x ∈ Domf , entonces
f ( x + kh) = f ( x ) ∀k ∈ Z .
Ejemplo: 1) Sen x, cos x tiene período 2π .
2) Tg x tiene período π .
Nota: Si una función es periódica basta estudiar un tramo (un período)
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de su gráfica, para después repetirla.
5. SIMETRÍAS.
Si una función f verifica f (x ) = f (− x ) ∀x ∈ Domf , entonces la gráfica de f
es simétrica respecto al eje vertical OY, pues toma los mismos valores a
ambos lados del eje OY.
Ejemplo: y = cos x es una función par.
Si una función f verifica f (− x ) = − f (x ) ∀x ∈ Domf ,entonces la gráfica de f
es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Ejemplo: y = sen x es una función impar ∀x ∈ IR .
Nota: La simetría, al igual que la periodicidad, permiten obtener la
gráfica de la función sin más que analizarla en un subconjunto de
Dom(f).
6. ASÍNTOTAS.
Se llaman asíntotas a las rectas cuya distancia a la curva tiende a cero
cuando una de las coordenadas del punto de la gráfica P=(x,f(x)) tiende
a infinito. Su interpretación geométrica es que son rectas que se “pegan
a la curva en el infinito”.
TIPOS DE ASÍNTOTAS:
1º) Asíntota vertical:
La recta x=a es una asíntota vertical de la función f(x) si al menos alguno
de los límites laterales de f en a lim f (x ) o lim f (x ) es + ∞ ó − ∞ .
x →a −
x→a +
La posición de la gráfica respecto a la asíntota vertical x=a queda
determinada calculando los límites: lim f (x ) y lim f (x ) . Si se obtiene + ∞ ,
x→a −
x→a +
la rama de la gráfica va hacia arriba, y cuando obtengamos − ∞ , la rama
de la gráfica va hacia abajo.
2º) Horizontal:
f ( x) = b ó
La recta y= b es una asíntota horizontal de la función f(x) si xlim
→+∞
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lim f ( x) = b . La posición de la gráfica respecto a la asíntota oblicua y=b,
x →−∞
queda determinada calculando los límites: lim [ f (x ) − b] y lim [ f (x ) − b] .
x → +∞
x → +∞
Si se obtiene 0 + , la gráfica está por encima de la asíntota, y cuando
obtengamos 0 − , la gráfica está por debajo de la asíntota.
3º) Oblicuas:
La recta y= mx+n (m ≠ 0) es asíntota oblicua de la función f(x) si
lim [ f ( x ) − (mx + n )] = 0 ó lim [ f (x ) − (mx + n )] = 0 .
x →+∞
x →−∞
La determinación práctica de m y n, se calcula del siguiente modo:
f (x )
y n = lim [ f (x ) − mx ] , o bien con límites en el − ∞ , pero en
x → +∞
x
cualquier caso debe obtenerse m, n ∈ IR , m ≠ 0 .
m = lim
x → +∞
La posición de la gráfica respecto a la asíntota oblicua y=mx+n, m ≠ 0 ,
queda determinada calculando los límites:
lim [ f ( x ) − (mx + n )] y lim [ f ( x ) − (mx + n )] .
x → +∞
x → +∞
Si se obtiene 0 + , la gráfica está por encima de la asíntota, y cuando
obtengamos 0 − , la gráfica está por debajo de la asíntota.
Observaciones:
ƒ La asíntota horizontal es una asíntota oblicua cuando m=0.
ƒ Es evidente, por definición de función, que si hay asíntota horizontal
a un “lado” (cuando x → ∞ ó x → −∞ ) no puede tener asíntota oblicua
a ese mismo lado, pero si al otro.
ƒ En los siguientes casos se suele decir que f tiene una “rama
parabólica”:
o Si m = ∞ , como por ejemplo con la función f (x ) = e x , la función
crece más deprisa que cualquier recta.
o Si m = 0 y n = ∞ , como por ejemplo con la función f (x ) = log x ,
la función crece más despacio que cualquier recta con
pendiente positiva.
7. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
Definiciones:
à Crecimiento en un intervalo:
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Se dice que una función f es creciente en un intervalo I ⊂ Dom( f ) cuando
para todo par de puntos x, y ∈ I con x < y , se tiene que f (x ) ≤ f ( y ) .
La función f es estrictamente creciente en I si para todo par de puntos
x, y ∈ I con x < y , se tiene que f ( x ) < f ( y ) .
à Decrecimiento en un intervalo:
Se dice que una función f es decreciente en un intervalo I ⊂ Dom( f )
cuando para todo par de puntos x, y ∈ I con x < y , se tiene que f (x ) ≥ f ( y ) .
La función f es estrictamente creciente en I si para todo par de puntos
x, y ∈ I con x < y , se tiene que f ( x ) > f ( y ) .
Creciente
Estrictamente creciente Estrict. decreciente
à Funciones monótonas:
Una función f se denomina monótona en I si es creciente en I o
decreciente en I, y se dice estrictamente monótona si f es estrictamente
creciente en I o estrictamente decreciente en I.
Una función f se dice que es monótona a trozos en un intervalo I si su
gráfica está formada por un número finito de trozos monótonos. Es decir,
f es monótona a trozos en [a, b] si existe una partición P de [a, b] tal que f
es monótona en cada uno de los subintervalos abiertos de P.
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Función monótona a trozos
Observación: Los conceptos de crecimiento y decrecimiento se definen
sin necesidad de atender a la derivabilidad de la función; pero si la
función es derivable, las derivadas nos suministran mucha información
sobre los conceptos anteriores, como pone de manifiesto el siguiente
resultado.
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Teorema: Sea f una función derivable en un intervalo I, entonces:
a)
b)
c)
d)
f es creciente en I si y sólo si f ´(x) ≥ 0 ∀x ∈ I .
f es decreciente en I si y sólo si f ´(x) ≤ 0 ∀x ∈ I .
Si f ´(x) > 0 ∀x ∈ I entonces f es estrictamente creciente en I.
Si f ´(x) < 0 ∀x ∈ I entonces f es estrictamente decreciente en I.
Demostración:
a) Supongamos que f es creciente en I y sean a y b dos puntos
arbitrarios de I tales que a<b. El intervalo [a, b] está contenido en I,
luego f es continua en [a, b] y derivable en (a, b ) y por el teorema del
valor medio, existe al menos un punto x ∈ (a, b ) tal que
f ´( x ) =
f (b ) − f (a )
. Si a<b y f (a ) ≤ f (b ) , entonces f ´(x) ≥ 0 .
b−a
Veamos el recíproco:
Supongamos que f ´(x) ≥ 0 ∀x ∈ I y sean a y b dos puntos arbitrarios
de I tales que a<b. El intervalo [a, b] está contenido en I, luego f es
continua en [a, b] y derivable en (a, b ) y por el teorema del valor medio,
existe al menos un punto c ∈ (a, b ) tal que f ´(c ) =
como f ´(c) ≥ 0 , entonces f (a ) ≤ f (b ) .
f (b ) − f (a )
. Si a<b,
b−a
b) Se prueba de forma análoga al anterior.
c) Se prueba de igual forma que la condición suficiente de función
creciente en un intervalo, con los lógicos cambios:
Supongamos que f ´(x) > 0 ∀x ∈ I y sean a y b dos puntos arbitrarios de I
tales que a<b. El intervalo [a, b] está contenido en I, luego f es continua
en [a, b] y derivable en (a, b ) y por el teorema del valor medio, existe al
menos un punto c ∈ (a, b ) tal que f ´(c ) =
f (b ) − f (a )
. Si a<b, como f ´(c) > 0 ,
b−a
entonces f(a)<f(b).
d) Se demuestra de forma análoga al apartado anterior.
Observación: Los recíprocos de las dos últimas afirmaciones no son
ciertos. En un entorno de un punto cuya derivada sea nula, puede ocurrir
cualquier situación. Por ejemplo, las siguientes funciones, que tienen
derivada nula en x=0, se tiene que:
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1) f(x)=x3 es estrictamente creciente en un entorno de 0.
2) f(x)=-x3 es estrictamente decreciente en un entorno de 0.
8. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.
à Extremos relativos.
Una función f tiene un máximo relativo (o local) en a si existe un δ > 0 tal
que f (x ) ≤ f (a ) para todo x ∈ (a − δ , a + δ ) ∩ Dom( f ) .
El concepto de mínimo relativo (o local) se define del mismo modo con
la desigualdad invertida:
Una función f tiene un mínimo relativo (o local) en a si existe un δ > 0 tal
que f (x ) ≥ f (a ) para todo x ∈ (a − δ , a + δ ) ∩ Dom( f ) .
à Extremos absolutos.
Una función f tiene un máximo absoluto en a si f (x ) ≤ f (a ) para todo
x ∈ Dom( f ) .
Una función f tiene un mínimo absoluto en a si f (x ) ≥ f (a ) para todo
x ∈ Dom( f ) .
Por ejemplo, la función f(x)=sen x, 0 ≤ x ≤ π , tiene un máximo absoluto en
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x=
π
2
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, y dos mínimos absolutos en x = 0 y x = π .
−1
≤ x ≤ 2 , tiene un máximo absoluto en x=2, un
2
1
−1
y un mínimo
máximo relativo en x = , un mínimo absoluto en x =
3
2
La función f(x)=x(1-x)2,
relativo en x=1.
Observaciones:
1) De las definiciones de extremos se deduce que todo máximo absoluto
es relativo, pero el recíproco no es cierto. Lo mismo ocurre con los
mínimos.
2) Una función f puede tener ninguno, uno o varios puntos distintos que
sean máximos y/o mínimos absolutos sobre su dominio. Naturalmente,
según vimos en el tema 25, si el Dom(f) es un intervalo cerrado y f es
continua, el teorema de Weierstrass nos garantiza que f tiene
efectivamente un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo cerrado.
à Condición necesaria de extremo:
Teorema:
Sea f: (a, b )
IR una función definida en el intervalo abierto (a, b ) . Si f
tiene un extremo relativo (máximo o un mínimo) en un punto c ∈ (a, b ) y f
es derivable en c, entonces f ´(c ) = 0 .
Demostración: Consideremos el caso en el que f tiene un máximo en c.
Si f tiene un máximo en c se verifica f (x ) − f (c ) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b ) por tanto, si
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f ( x ) − f (c )
f ( x ) − f (c )
≥ 0 y si x>c
≤0
x−c
x−c
f (x ) − f (c )
f ( x ) − f (c )
luego f ´− (c ) = lim−
≥ 0 y f ´+ (c ) = lim+
≤ 0.
x →c
x →c
x−c
x−c
x<c
Por hipótesis, la función es derivable en c, luego estos dos límites
existen y son iguales a f ´(c ) . Luego f ´(c ) = 0 . En el caso de que f tenga
un mínimo en c, basta considerar la función opuesta –f. Si f tiene un
mínimo en c entonces –f tiene un máximo en c y como –f es derivable en
c ( pues f es derivable en c), por el caso anterior − f ´(c ) = 0 y, por tanto,
f ´(c ) = 0 .
Observaciones:
1) La función f puede tener un máximo o un mínimo en puntos en
donde f no es derivable. Por ejemplo, la función f (x ) = x tiene un
mínimo en c = 0, sin embargo, f no es derivable en 0.
2) La condición es necesaria pero no suficiente, es decir, puede ser
que f ´(c ) = 0 sin que f tenga máximo ni mínimo en c. Por ejemplo,
la función f (x ) = x3 se tiene que f ´(x ) = 3x 2 y f ´(0) = 0 , y sin embargo,
f no tiene máximo ni mínimo en 0.
La condición f´(x)=0 no implica que x sea un punto máximo o mínimo
relativo de f, aunque sea un claro candidato pues la tangente en esos
puntos es paralela al eje de abscisas. Precisamente por esta razón, se
ha adoptado una terminología especial para describir los números x que
satisfacen la condición f´(x)=0.
Definición:
Se llama punto singular o punto crítico de una función f a todo número
real x tal que f´(x)=0. Al número f(x) se le llama valor singular o valor
crítico de f.
Consecuencia:
A la vista de las observaciones hechas, para hallar el máximo o el
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mínimo de f en un intervalo cerrado [a, b] (evidentemente, si f es continua
en [a, b] podemos estar seguros de que existe un máximo y un mínimo
en [a, b] ), se deben considerar tres clases de puntos:
1) Los puntos x de [a, b] donde f no es derivable en x.
a
b
2) Los puntos singulares de f en (a, b ) , es decir, los puntos c ∈ (a, b )
tales que f ´(c ) = 0 .
a
b
3) Los extremos del intervalo a y b.
b
a
à Condiciones suficientes de extremo:
Veamos varios criterios para decidir si un punto es máximo o mínimo
relativo:
Criterio 1. Variación de la función en un entorno del punto:
Sea x=a un punto donde puede existir un máximo o un mínimo relativo.
Si sustituimos en la función x por a ± h , para un valor de h>0
suficientemente pequeño, y se verifica:
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f (a ± h ) ≤ f (a ) , entonces la función f tiene un máximo relativo en x=a.
f (a ± h ) ≥ f (a ) , entonces la función f tiene un mínimo relativo en x=a.
Este criterio es, en realidad, la aplicación directa de la definición de
máximo y mínimo relativo. Evidentemente, dada su generalidad, se
puede aplicar a puntos no derivables de la función.
Criterio 2. Variación del signo de la primera derivada en un entorno del
punto:
Proposición: Sea f una función definida en una entorno de un punto
a ∈ IR . Si f ´(a ) > 0 en un intervalo a la izquierda de a y f ´(a ) < 0 en un
intervalo a la derecha de a, entonces f tiene un máximo relativo en a (la
función pasa de creciente a decreciente). Análogamente, si f ´(a) < 0 en
un intervalo a la izquierda de a y f ´(a) > 0 en un intervalo a la derecha de
a, entonces f tiene un mínimo relativo en a (la función pasa de
decreciente a creciente).
Demostración: En el primer caso, existe un δ > 0 tal que f es
estrictamente creciente en (a − δ , a ] y estrictamente decreciente en
[a, a + δ ) y, por tanto, f (x ) < f (a ) para todo x ∈ (a − δ , a + δ ) , es decir, f tiene
un máximo relativo en a.
En el segundo caso, existe un δ > 0 tal que f es estrictamente
decreciente en (a − δ , a ] y estrictamente creciente en [a, a + δ ) y, por tanto,
f ( x ) > f (a ) para todo x ∈ (a − δ , a + δ ) , es decir, f tiene un mínimo relativo en
a.
Criterio 3. Valor de la derivada segunda en el punto:
Proposición: Supongamos que f´(a)=0. Si f´´(a)<0, entonces f tiene un
máximo relativo en a; si f´´(a)>0, entonces f tiene un mínimo relativo en
a.
Demostración:
Si f´´(a)<0, la función f´ es estrictamente decreciente en un entorno del
punto a, y como f´(a)=0, en un intervalo a la izquierda de a, f´ es positiva
(f es decreciente) y en un intervalo a la derecha de a, f´ es negativa (f es
creciente). Luego f tiene un máximo relativo en a. La demostración para
f´´(a)>0 es análoga.
El siguiente criterio, es una generalización de éste:
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Criterio 4. Valor de la derivada de orden par en el punto:
Proposición: Supongamos que f es una función derivable hasta el orden
n y con derivadas finitas en un punto a, y supongamos que
f ´(a) = f ´´(a) = ... = f (n −1) (a) = 0 y que f (n ) (a) ≠ 0 . Entonces:
a) Si n es par y f (n ) (a) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en a.
b) Si n es par y f (n ) (a) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en a.
c) Si n es impar entonces f no tiene máximo ni mínimo relativo en a.
Demostración:
Consideremos el polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de f
(n )
f (n ) (a )
(x − a )n = f (a ) + f (a ) (x − a )n .
n!
n!
⎡ f ( x) − f (a ) f (n ) (a ) ⎤
E ( x)
f ( x) − Pn ( x)
=
−
0 = lim n n = lim
lim
⎢
⎥,
n
x→a
x→a
x→a (x − a )
n
!
( x − a )n
(
)
−
x
a
⎣
⎦
f ( x) − f (a )
*
en a Pn ( x) = f (a ) + f ´(a )(x − a ) + ... +
Sabemos
que
decir, en un entorno reducido E (a) se tiene que
mismo signo que
f (n ) (a )
.
n!
( x − a )n
s
tiene el
Por tanto, si n es par, entonces (x − a )n > 0 . Luego para cada
x ∈ (E (a ) − {a}) se tendrá que si f (n ) (a) > 0 entonces f(x)-f(a)>0, es decir, f
tiene un mínimo relativo en a; y si f (n ) (a) < 0 entonces f(x)-f(a)<0, es
decir, f tiene un máximo relativo en a.
Supongamos que n es impar, entonces (x − a )n es positivo o negativo
según sea x>a o x<a y por tanto f (x ) − f (a ) tiene signos distintos según
sea x>a o x<a, luego la función f no tiene máximo ni mínimo relativo en
a.
9. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD.
Definición 1: Una función f es convexa en un intervalo I, si para todo
a, b ∈ I , el segmento que une (a,f(a)) con (b,f(b)) queda encima de la
gráfica de f en (a, b ) .
Una función f es cóncava en un intervalo I, si para todo a, b ∈ I , el
segmento que une (a,f(a)) con (b,f(b)) queda debajo de la gráfica de f en
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(a, b ) .
f(b)
f(a)
f(b)
f(a)
a
f convexa
b
a
b
f cóncava
Esta condición geométrica se puede expresar de una forma analítica,
más útil en las demostraciones:
La recta que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de f es la
gráfica de la función g definida por g (x ) = f (a ) +
f (b ) − f (a )
(x − a ) .
b−a
Esta recta queda por encima de la gráfica de f, si para todo a, b, x ∈ I tal
a < x < b,
que
se
tiene
que
g(x)>f(x),
es
decir,
si
f (b ) − f (a )
(x − a ) > f (x ) o f (b ) − f (a ) (x − a ) > f (x ) − f (a ) o
b−a
b−a
f (b ) − f (a ) f (x ) − f (a )
>
.
b−a
x−a
f (a ) +
De forma análoga, se obtiene que la recta queda por debajo de la
gráfica de f, si para todo a, b, x ∈ I tal que a < x < b , se tiene que g(x)<f(x),
es decir, si
f (b ) − f (a ) f ( x ) − f (a )
<
, con lo que se tiene, por tanto, una
b−a
x−a
definición equivalente de convexidad y concavidad.
Definición 2: Una función f es convexa en un intervalo I, si para todo
a, b, x ∈ I tal que a < x < b , se tiene
f (b ) − f (a ) f (x ) − f (a )
.
>
b−a
x−a
Una función f es cóncava en un intervalo I, si para todo a, b, x ∈ I tal que
a < x < b , se tiene
f (b ) − f (a ) f ( x ) − f (a )
<
.
b−a
x−a
Dado que los puntos de (a, b ) son de la forma x = λa + (1 − λ )b con 0 < λ < 1 ,
sustituyéndolo en la definición anterior, se obtiene otra definición
equivalente a las anteriores.
Definición 3: Una función f es convexa en un intervalo I, si para todo
a, b ∈ I y para todo λ ∈ (0,1) , se verifica f (λa + (1 − λ )b ) < λf (a ) + (1 − λ ) f (b ) .
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Una función f es cóncava en un intervalo I, si para todo a, b ∈ I y para
todo λ ∈ (0,1) , se verifica f (λa + (1 − λ )b ) > λf (a ) + (1 − λ ) f (b ) .
Observaciones:
1) A veces, se utiliza la nomenclatura de cóncava hacia arriba y
cóncava hacia abajo para expresar funciones convexas y
cóncavas respectivamente; no obstante, en la literatura, pueden
aparecer cambiados los conceptos de función convexa y cóncava
definidas aquí.
2) Es fácil ver que f es convexa si y sólo si –f es cóncava. Este hecho
nos permite obtener las propiedades de las funciones cóncavas a
partir de las funciones convexas.
Proposición: Si f es derivable en a ∈ I y b ∈ I , y f es convexa en I
entonces para cada a, b ∈ I tal que a < b , se verifica f ´(a ) < f ´(b ) .
Demostración: Supongamos que f es convexa, veamos previamente los
siguientes casos:
f (a + h1 ) − f (a ) f (a + h2 ) − f (a )
, es decir, los
<
h1
h2
f (a + h ) − f (a )
decrecen cuando h → 0 + . Por tanto
valores de
h
f (a + h ) − f (a )
para h>0.
f ´(a ) <
h
1. si
0 < h1 < h2 ,
entonces
h2 < h1 < 0 ,
se
tiene
que
a + h2 < a + h1 < a ,
entonces
f (a + h1 ) − f (a ) f (a + h2 ) − f (a )
f (a + h ) − f (a )
<
es decir, los valores de
h1
h2
h
f (a + h ) − f (a )
para h<0. Así,
crecen cuando h → 0 − . Por tanto f ´(a ) >
h
f (a + (b − a )) − f (a ) f (b ) − f (a )
=
, y por
por ser b-a>0 se tiene que f ´(a) <
b−a
b−a
f (b + (a − b )) − f (b ) f (a ) − f (b )
=
, con lo que combinando
ser a-b<0, f ´(b) >
a−b
a−b
estas dos desigualdades obtenemos f ´(a ) < f ´(b ) . Análogamente se
2. si
demuestra la siguiente:
Proposición: Si f es derivable en a ∈ I y b ∈ I , y f es cóncava en I
entonces para cada a, b ∈ I tal que a < b , se verifica f ´(a ) > f ´(b ) . Veamos
varios criterios para decidir si una función es convexa o cóncava:
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Criterio 1. Derivada primera:
Proposición: Si f es derivable en I. Entonces f´ es creciente en I si y sólo
si f es convexa.
Demostración:
⇐ El recíproco es consecuencia de la propiedad anterior.
⇒ Sean a y b dos puntos arbitrarios de I tales que a<b. Los puntos de
(a, b ) son de la forma x = λa + (1 − λ )b con 0 < λ < 1 y probemos que
f ( x ) = f (λa + (1 − λ )b ) < λf (a ) + (1 − λ ) f (b ) .
Como
f ( x ) = λf ( x ) + (1 − λ ) f ( x ) ,
la
desigualdad a demostrar es λ ( f (x ) − f (a )) < (1 − λ )( f (b ) − f (x )) . Pero, por el
teorema del valor medio aplicado a f en los intervalos [a, x ] y [x, b] , existen
f ( x ) − f (a ) = f ´(c )( x − a )
puntos c ∈ (a, x ) y d ∈ (x, b ) tales que
y
f (b ) − f ( x ) = f ´(d )(b − x ) . Como f´ es creciente en I y c, d ∈ I siendo tales que
c<d, entonces f´(c)<f´(d), y como λ (x − a ) = (1 − λ )(b − x ) , se tiene que
λ ( f ( x ) − f (a )) = λf ´(c)( x − a ) < λf ´(d )( x − a ) = f ´(d )(1 − λ )(b − x ) = (1 − λ )( f (b ) − f ( x )) ,
como queríamos demostrar. Análogamente:
Proposición: Si f es derivable en I. Entonces f´ es decreciente en I si y
sólo si f es cóncava.
Como consecuencia del anterior teorema se tiene otra caracterización
de las funciones convexas y cóncavas siguiente:
Corolario: Si f es derivable en I, f es convexa en I si y sólo si para cada
x, a ∈ I se verifica f ( x ) ≥ f (a ) + f ´(a )( x − a ) , es decir, la gráfica de f queda por
encima de la tangente a la curva en el punto a, excepto en el punto de
contacto.
Demostración:
Si
f
es
convexa
y
si
0 < h1 < h2 ,
f (a + h1 ) − f (a ) f (a + h2 ) − f (a )
, es decir, los valores de
<
h1
h2
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entonces
f (a + h ) − f (a )
h
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decrecen cuando h → 0 + . Por tanto f ´(a ) <
f (a + h ) − f (a )
para h>0, pero
h
esto significa que para h>0 la secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y
(a+h,f(a+h)) tiene pendiente mayor que la tangente, y por tanto el punto
(a+h,f(a+h)) con h>0 queda por encima de la tangente.
Una situación parecida se presenta para h negativo: si h2 < h1 < 0 , se
tiene que a + h2 < a + h1 < a , entonces
decir, los valores de
f ´(a ) >
f (a + h1 ) − f (a ) f (a + h2 ) − f (a )
<
h1
h2
es
f (a + h ) − f (a )
crecen cuando h → 0 − . Por tanto
h
f (a + h ) − f (a )
para h<0, de modo que el punto (a+h,f(a+h)) queda
h
por encima de la tangente si h<0. Veamos el recíproco:
Sean a y b dos puntos arbitrarios de I tales que a<b. La tangente a la
gráfica de la función f en (a,f(a)) es la función g (x ) = f (a ) + f ´(a )(x − a ) , y
como el punto (b,f(b)) queda por encima de la tangente, tenemos
f (b ) > f (a ) + f ´(a )(b − a ) . (1)
Análogamente, la tangente a la gráfica de la función f en (b,f(b)) es la
función h(x ) = f (b ) + f ´(b )(x − b ) , y como el punto (a,f(a)) queda por encima
de la tangente, tenemos f (a ) > f (b ) + f ´(b )(a − b ) . (2)
De las desigualdades (1) y (2) se sigue que f´(a)<f´(b), con lo que f´ es
creciente en I y por tanto f es convexa.
Por la observación 2ª, como f es convexa si y sólo si –f es cóncava, se
tiene el siguiente:
Corolario: Si f es derivable en I, f es cóncava en I si y sólo si para cada
x, a ∈ I se verifica f ( x ) ≤ f (a ) + f ´(a )(x − a ) , es decir, la gráfica de f queda por
debajo de la tangente a la curva en el punto a, excepto en el punto de
contacto. También como consecuencia inmediata de la proposición
anterior, se tiene el siguiente:
Criterio 2. Derivada segunda:
Proposición: Si f tiene derivada segunda en I y si f´´>0 en I, f es convexa
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(al ser f´ estrictamente creciente). Si f´´<0 en I, f es cóncava (al ser f´
estrictamente decreciente).
10. PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Definición: Un punto de inflexión de f es un punto x0 ∈ Dom( f ) tal que la
función pasa de convexa a cóncava o viceversa, es decir, la curva es
convexa en (x0 − δ , x0 ) y cóncava en (x0 , x0 + δ ) , o viceversa, para algún
δ >0.
Nota: Si la función tiene tangente en x0 y x0 es un punto de inflexión, la
tangente corta a la gráfica.
Condición necesaria de punto de inflexión:
Proposición: Si f tiene un punto de inflexión en a y es derivable dos
veces en x=a, entonces f´´(a)=0.
Demostración: Supongamos que f ´´(a) ≠ 0 , entonces en un entorno de a
la función es convexa o cóncava, y por tanto no es punto de inflexión.
Condiciones suficientes de punto de inflexión:
Veamos varios criterios para decidir si un punto es de inflexión, los
cuales son similares a los estudiados para máximos y mínimos:
Criterio 1. Variación del signo de la derivada segunda en un entorno del
punto:
Proposición:
Sea f una función definida en un entorno de un punto a ∈ IR . Si f ´´(a) > 0
en un intervalo a la izquierda de a y f ´´(a) < 0 en un intervalo a la derecha
de a, entonces f tiene un punto de inflexión en a (la función f´ pasa de
creciente a decreciente). Análogamente, si f ´´(a) < 0 en un intervalo a la
izquierda de a y f ´´(a) > 0 en un intervalo a la derecha de a, entonces f
tiene un punto de inflexión en a (la función f´ pasa de decreciente a
creciente).
Criterio 2. Valor de la derivada tercera en el punto:
Proposición:
Supongamos que f´´(a)=0. Si f´´´(a)<0 o f´´´(a)>0, entonces f tiene un
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punto de inflexión en a.
El siguiente criterio es la generalización del anterior:
Criterio 3. Valor de la derivada de orden impar en el punto:
Proposición:
Supongamos que f es una función derivable hasta el orden n y con
derivadas finitas en un punto a, y supongamos que f ´´(a) = ... = f (n −1) (a) = 0
y f (n ) (a) ≠ 0 .
a) Si n es par y f (n ) (a) > 0 entonces f es convexa en a.
b) Si n es par y f (n ) (a) < 0 entonces f es cóncava en a.
c) Si n es impar entonces f tiene un punto de inflexión en a .
Demostración:
Consideremos el polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de f
en a
Pn ( x) = f (a ) + f ´(a )( x − a ) + ... +
(n )
f (n ) (a )
(x − a )n = f (a ) + f ´(a )(x − a ) + f (a ) (x − a )n ,
n!
n!
y
consideremos también la recta tangente a la curva en el punto (a,f(a))
y t = f (a) + f ´(a )( x − a ) .
Sabemos que
0 = lim
x→a
es
E n ( x)
( x − a )n
= lim
x→a
decir,
en
f ( x) − Pn ( x)
( x − a )n
un
f ( x) − ( f (a) + f ´(a )(x − a ))
(x − a )
n
⎡ f ( x) − ( f (a ) + f ´(a )( x − a )) f (n ) (a ) ⎤
= lim ⎢
−
⎥,
x→a
n! ⎦
( x − a )n
⎣
entorno
reducido
tiene el mismo signo que
E*(a)
f
(n )
se
tiene
que
(a ) . Por tanto, si n es
n!
par, entonces (x − a )n > 0 .
Luego para cada x ∈ (E (a) − {a}) se tendrá que si f (n ) (a) > 0 entonces f(x)yt>0, es decir, la gráfica de f permanece por encima de la recta tangente,
con lo que la función f es convexa en x=a; y si f (n ) (a) < 0 entonces f(x)yt<0, es decir, la gráfica de f permanece por debajo de la recta tangente,
con lo que la función f es cóncava en x=a. Supongamos que n es impar,
entonces (x − a )n es positivo o negativo según sea x>a o x<a y por tanto
f(x)-yt tiene signos distintos según sea x>a o x<a. Así pues la gráfica de f
atraviesa a la recta tangente en x=a y el punto (a,f(a)) corresponde a un
punto de inflexión.
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a
11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES.
• APÓSTOL, TOM M. Calculus. Volumen I. Ed. Reverté, S.A.
• SPIVAK, M. Calculus. Cálculo infinitesimal. Ed. Reverté, S.A.
• APÓSTOL, TOM M. Análisis Matemático. Ed. Reverté, S.A.
• FERNÁNDEZ NOVOA, J. Análisis Matemático I. Ed. U.N.E.D.
• GARCÍA LÓPEZ, A., DE LA VILLA CUENCA, A. Y OTROS. Cálculo I,
2ª edición. Ed. Clagsa.
• VIZMANOS, J.R., ANZOLA,M. Matemáticas I. Ed. S.M.
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