Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… En la Fig. 5.14 se observa que existe una nivelación diferenciada entre ambas márgenes en la mayoría del cauce, lo que se traduce en que por tramos existe cierta protección de una margen mientras que en la margen frontal no la hay. Nuevamente se analizaron los tramos más bajos con ayuda de las imágenes de Google Earth (ver Figs. 5.15 a 5.17). 10 ELEVACIONES (msnm) 9 Sitio 1, 2 y 3 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0+000 2+000 4+000 6+000 8+000 10+000 12+000 CADENAMIENTO MARGEN IZQUIERDA MARGEN DERECHA Figura 5.14. Perfil de la nivelación de bordos del río Grijalva Figura 5.15. Margen izquierda del puente Grijalva II. Sitio 1 253 Plan Hídrico Integral de Tabasco… Figura 5.16. Margen izquierda del río Grijalva en la zona del Muelle. Sitio 2 Figura 5.17. Aguas arriba, margen izquierda del río Grijalva en la zona del Muelle. Sitio 3 En todos los casos anteriores, se observa que nuevamente coinciden las manchas de inundación de las Figs. 5.1 y 5.2, por lo que hay una correspondencia entre los sitios críticos y las zonas con bordos discontinuos resultantes de los levantamientos de campo. 254 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… 3. ESTUDIOS HIDRÁULICOS Tanto la gerencia local de la CONAGUA como el INVITAB proporcionaron al IIUNAM dos planos, en los que se señalan las zonas afectadas por las inundaciones en octubre-noviembre de 2007. 3.1 Funcionamiento hidráulico de la Laguna Los Zapotes Ubicación. Se analizó el funcionamiento hidrológico de la zona denominada: Laguna Los Zapotes, con la finalidad de determinar su capacidad de regulación considerando los gastos de ingreso provenientes del sistema de los ríos de la Sierra, la precipitación sobre la laguna y los niveles del río Grijalva en sus gastos de egreso. El análisis realizado sirvió para la elaboración de una Nota Técnica relativa a la altura de los bordos de la zona del aeropuerto y los puentes Zapote I y II. El área de estudio se localiza al sureste de la Ciudad de Villahermosa, y tiene una extensión aproximada de 150 km2. En la Fig. 5.18 se muestra su ubicación en relación con la Ciudad de Villahermosa, Tabasco y los bordos: Aeropuerto (al norte) y Gaviotas (al oeste). Bordo Derecho del cauce alivio hasta El Mango y San Cipriano ESTRUCTURA DE CONTROL DREN CENTRAL No. 1 DREN CENTR No. 1 (PARTE AL I) Proyecto Lomitas Rectificación del río Medellín UNDUACÁN Bermúdez Bordo Aeropuerto DR No. EN C 1 (P EN AR TRA TE L II) ESTRUCTURA DE CONTROL FELIPE GALVAN ESTRUCTURA DE CONTROL ARROYO HONDO ESTRUCTURA DE CRUCE CARRETERA FERDERAL VILLAHERMOSA Bordo Gaviotas Bordo Parrilla iento: D. Est. de control río Pichucalco Canal hacia la laguna Sabanilla PARRILLA Est. de control río La Sierra Bordo Playas del Rosario M.I. M.I. río Grijalva PLAYAS DEL ROSARIO Camino P.del Rosario Huasteca Camino a San Isidro PUEBLO NUEVO Camino P. del Rosario - P. Nuevo Camino Astapa - P.Nuevo Rectificación de caminos Camino Jalapa - Astapa JALAPA Figura 5.18. Ubicación de la laguna Los Zapotes en el área de estudio 255 Plan Hídrico Integral de Tabasco… Capacidad de regulación. A partir de un levantamiento aerofotogramétrico, realizado en el año 2000 que proporcionó Comisión Federal de Electricidad (CFE), (Fig. 5.19), se elaboró la curva de Áreas-Capacidades de la zona de estudio. 3 3 3 7 6 7 3 7 3 7 7 3 3 3 7 7 3 OT RÍ T AL AC O PAN PU B LO N U E VO D E LA S R AI C ES 7 7 5 7 6 6 7 20 5 7 7 5 Laguna el Oshal 7 6 5 7 6 6 7 FCO. J. STA. MARIA 7 A V IL LA H ER MOS A B EN I T O JU AR EZ R ÍO TA CAT ALPA A V IL LA 12 10 12 10 12 11 12 13 12 12 12 12 12 13 A R ROY O E LZ A P OTE a l oma s tristes a entronque car rete ra ar ch ri a sa n mi guel JAL APA A RÍO TACOTALP A R R OY O EL Z AP OTE Figura 5.19. Topografía con curvas de nivel de la zona de estudio. Fuente: CFE, 2000 La curva de áreas-capacidades se muestra en la Fig. 5.20, en ella se puede observar que para una elevación de 10 m se cuenta con una superficie de 14 500 Ha (145 km2) y una capacidad potencial de 725 hm3. En el bordo aeropuerto, existen dos zonas de descarga de agua de la laguna Los Zapotes hacia el río Grijalva; dichas salidas dependen de la diferencia de niveles entre la laguna y el río Grijalva, por lo que su máxima capacidad de almacenamiento es únicamente teórica, ya que las salidas descargan un volumen considerable en tiempo real. 256 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… AREAS (ha) 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 ELEVACIONES (msnm) 10 16,000 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 100 200 300 400 500 600 700 ELEVACIONES (msnm) 0 0 800 3 VOLUMENES (Mm ) VOLUMENES AREAS Figura 5.20. Curva de Elevaciones-Capacidades de la laguna Los Zapotes Puentes Los Zapotes. Los puentes Zapotes I y II son las salidas de la Laguna. En octubre de 1999, la Gerencia Estatal de la CONAGUA, aforó las secciones de los Puentes denominados Zapotes I y Zapotes II, los cuales se ubican sobre el bordo Aeropuerto (Fig. 5.21) RIO GRIJALVA PUENTE ZAPOTES I PUENTE ZAPOTES II LAGUNA LOS ZAPOTES Figura 5.21. Ubicación de los puentes Los Zapotes I y II 257 Plan Hídrico Integral de Tabasco… Tabla 5.1. Registro de aforos en los Puentes Zapotes I y II GASTO AFORADO (m3/s) FECHA 28/10/99 10:00 horas 29/10/99 10:00 horas 29/10/99 16:00 horas 30/10/99 10:00 horas 31/10/99 10:00 horas 01/11/99 12:00 horas ZAPOTES I 500.62 452.87 373.71 311.21 288.49 ZAPOTES II 278.81 283.27 249.61 160.59 133.01 También se analizaron los registros y niveles de las estaciones hidrométricas relacionadas con los Zapotes: Porvenir y Las Gaviotas (Fig. 5.22). La primera de ellas en el río de la Sierra y la segunda sobre el río Grijalva, aguas abajo de la conexión de agua del río Pichucalco con el río Grijalva desde los Puentes Zapotes I y II. Figura 5.22. Ubicación de las Estaciones Hidrométricas Gaviotas y Porvenir 258 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… En la Fig. 5.23 se presentan gráficamente los registros de las estaciones antes mencionadas correspondientes a las fechas de la Tabla 5.1, con la finalidad de hacer una comparación de los niveles de agua de la laguna Los Zapotes, y las estaciones Porvenir y El muelle. ELEVACIONES (msnm) 7.50 7.30 7.10 6.90 6.70 6.50 6.30 6.10 5.90 EH Porvenir contínuo EH Porvenir Estimación Laguna Los Zapotes 01/Nov 12:00 a.m. 31/Oct 12:00 a.m. 30/Oct 12:00 a.m. 29/Oct 12:00 a.m. 28/Oct 12:00 a.m. 27/Oct 12:00 a.m. 26/Oct 12:00 a.m. 25/Oct 12:00 a.m. 24/Oct 12:00 a.m. 23/Oct 12:00 a.m. 22/Oct 12:00 a.m. 21/Oct 12:00 a.m. 20/Oct 12:00 a.m. 5.50 19/Oct 12:00 a.m. 5.70 E El Muelle Figura 5.23. Registros hidrométricos de las estaciones Porvenir, El Muelle y laguna Los Zapotes 3.2 Funcionamiento hidráulico de los principales ríos del sistema del drenaje superficial Para hablar de los principales ríos del sistema de drenaje superficial, es necesario considerar el sistema Grijalva-Usumacinta, el cual pertenece a la Región Hidrológica No. 30 y es la más importante del país. La RH 30 está ubicada en el sureste de la República Mexicana y comprende parte de los estados de Chiapas, Tabasco, Campeche y Oaxaca. Una porción importante de sus escurrimientos proviene de la República de Guatemala. La zona de la planicie que conforman los ríos Grijalva y Usumacinta, antes de su desembocadura al Golfo de México, está formada por una gran cantidad de ríos, arroyos y lagunas. Tanto por su conformación topográfica como por la ocurrencia de fenómenos meteorológicos locales, así como por los grandes caudales que escurren normalmente desde las partes altas, se considera una zona susceptible de ser inundada a partir del mes de agosto y hasta los meses de enero y febrero. El desarrollo de los asentamientos humanos y la generación de actividades productivas en la zona han sido determinados en gran medida por esa condición y, a su vez, este desarrollo ha afectado la capacidad de regulación natural existente en la planicie. 259 Plan Hídrico Integral de Tabasco… Hoy en día, a pesar de que el escurrimiento del río Grijalva está prácticamente controlado antes de entrar en la zona de la llanura, gracias a los grandes almacenamientos de las presas La Angostura y Malpaso, el peligro de inundación en la ciudad de Villahermosa, así como en otras zonas urbanas y rurales en el estado de Tabasco, sigue latente. Incluso, los daños potenciales se han incrementado por el crecimiento urbano descontrolado, por el incremento de la erosión en sus partes altas y por el cambio de uso de suelo con fines productivos y de comunicación, en zonas que en forma natural permitían la regulación y el drenaje de las crecientes. El esquema de drenaje de la zona de estudio se divide en tres sistemas principales: El sistema Mezcalapa-Samaria, que permite la conducción hasta el mar de los escurrimientos excedentes provenientes de la cuenca alta del río Grijalva; el de los ríos de la Sierra, que conduce los excedentes de dichos ríos a la región lagunar de la cuenca baja de los ríos Grijalva y Usumacinta; y, por último, el Carrizal-Medellín, que conduce los escurrimientos del río Carrizal hacia el mar, por medio de la rehabilitación de un pequeño cauce del río Medellín. De esta manera se utilizó la cartografía existente, en formato digital como impresa para obtener un plano base de trabajo (Fig. 5.24) de la red de drenaje superficial del Estado. L. STA. ANA B A S C O T A RÍO TU LIJ A PROGRAMA HÍDRICO INTEGRAL TABASCO 2008 RED DE DRENAJE PRINCIPAL Y SECUNDARIA DR. ÓSCAR A. FUENTES MARILES MI JUAN JAVIER CARRILLO SOSA MI FAUSTINO DE LUNA CRUZ MI JUAN ANSBERTO CRUZ MI JUAN GABRIEL LÓPEZ NOVIEMBRE 2008 INSTITUTO DE INGENIERÍA UNAM TALLER DE MODELOS MATEMÁTICOS EN RIOS Y PLANICIES DE INUNDACIÓN Figura 5.24. Red de drenaje superficial del Estado de Tabasco 260 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… 3.3 Modelación matemática para estimar zonas inundables La resolución de problemas con información y datos recolectados de fenómenos físicos adquiere día a día mayor auge como herramienta en la solución de problemas de carácter nacional. La modelación matemática de ríos y llanuras en las condiciones en que se encuentre la zona de estudio sirve por un lado para calibrar los resultados de la modelación y, por otro lado, una vez que se ha desarrollado un diagnóstico de las condiciones actuales y de escenarios asociados a diferentes periodos de retorno, para proponer las acciones estructurales y estrategias para disminuir los efectos negativos que pudieran ocasionar las crecientes y desbordamientos en poblaciones e infraestructura. Asimismo, los resultados numéricos de los modelos hidráulicos pueden utilizarse para obtener resultados gráficos más dinámicos y aplicables a la cartografía básica de la planeación, el desarrollo de proyectos y la toma de decisiones en las estrategias como el ordenamiento territorial y los planes de protección civil. 3.3.1 Cálculo de flujo unidimensional en ríos con flujo permanente empleando el método del Instituto de Ingeniería En el IIUNAM, se aplicó un método desarrollado en esa institución para el cálculo del flujo permanente en cauces naturales por medio de un programa de cómputo. Este método consta de tres partes. En la primera de ellas reconoce los datos correspondientes a las secciones transversales disponibles para generar en cada una de ellas para distintos tirantes, variables hidráulicas tales como son: áreas hidráulicas, radio hidráulico, perímetro mojado y ancho de superficie libre. La segunda parte se aboca a la interpolación entre secciones transversales, para disponer de tramos de ríos que sean tengan longitud menor a una que se considere razonable para el estimado de las pérdidas de carga por fricción. El producto de esta parte del programa se puede entender como si se tratase de incluir secciones transversales adicionales a las existentes. En la última, se consideran datos como el tirante en la frontera aguas abajo, el coeficiente de rugosidad de la fórmula Manning; y el gasto. Con base en esta información se obtiene el perfil del flujo permanente gradualmente variado y los valores en las secciones transversales proporcionadas de los tirantes, área hidráulica, ancho de superficie libre, velocidades medias entre otros. Como son conocidas las cotas de los barrotes del río en las secciones, se dibujan junto con las de la superficie libre el agua y el fondo del cauce (talweg). A continuación se describen los principales aspectos del modelo numérico desarrollado en el IIUNAM. 261 Plan Hídrico Integral de Tabasco… 3.3.1.1 Secciones transversales Como los cauces naturales tienen secciones irregulares, el método numérico considera que dichas secciones están definidas por una serie de puntos contenidos en un plano vertical. Por tanto, se proporcionan las coordenadas de esos puntos de manera que permitan definir con una adecuada aproximación a la forma de la sección transversal. Para una sección transversal se pueden escoger hasta 50 puntos. En la Fig.5.25 se presenta un ejemplo de una sección real y la configuración generada a partir de 15 puntos; a ésta última se le denominará en adelante sección discretizada. Figura 5.25. Sección de río, sección real y sección discretizada En la Fig. 5.26 se muestra el dibujo de la sección discretizada del cauce del río. Se identifican las abscisas X(i) y las ordenadas Z(i) respecto a un sistema de ejes cartesiano ubicado a la izquierda de la sección transversal. z ΔT T( i ) x Figura 5.26. Tirantes considerados en cada sección discretizada del cauce natural De acuerdo con la Fig. 5.26, se considera que en cada sección transversal el tirante se define como: 262 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… T (i ) = (i − 1) ΔT 3.3.1.2 (1) Variables hidráulicas Para cada tirante de interés T (i ) se obtienen las variables hidráulicas siguientes: el ancho de superficie libre B, está definido por: N B = ∑ b( m ) 1 (2) el área hidráulica A, a partir de trapecios, es: N A = ∑ a( m ) 1 (3) y el perímetro mojado P, es igual a: N P = ∑ p( m ) 1 (4) donde b(m) y a (m) son el ancho de la superficie libre y área del trapecio m , la contribución al perímetro mojado del trapecio m y, N es el número de trapecios (ó triángulos al inicio y al final de las sumas) formados en la sección transversal para el tirante T ( j ) . Para cada tirante T ( j ) se dispone de los valores correspondientes de B(j), A(j), P(j) . con lo cual se forma una tabla para cada sección transversal. 3.3.1.3 Factor de fricción La pendiente de la línea de fricción se obtiene a partir de la fórmula de Manning de la manera siguiente: Sf = V 2n2 r 4 3 (5) En términos del gasto se escribe como: Sf = V 2 n 2 A2 Q 2 n 2 = 4 4 2 r 3 A A2 r 3 (6) Por lo que la pérdida de carga por fricción, está dada por: 263 Plan Hídrico Integral de Tabasco… j +1 Q2n2 j A2 r hf = ∫ 4 dl 3 (7) Si la integral se resuelve en forma numérica mediante la regla trapezoidal resulta ⎛ Q 2n2 1 Q 2n2 + h f = ⎜⎜ 2 ⎜ A 2 r 43 A 2 r 43 j j ⎝ j +1 j +1 ⎞ ⎟ΔL ⎟⎟ ⎠ (8) la hf es función del gasto (cuando no hay ingresos ni egresos laterales no cambia), el área hidráulica y radio hidráulico en las secciones transversales en los extremos del tramo de cauce natural en análisis ( j y j + 1 ) así como del coeficiente de fricción de Manning. 3.3.1.4 Energía específica La energía específica en flujo permanente a superficie libre está dada como: E = y +α Q2 2 g A2 (9) Generalmente en los ríos de planicie se presenta régimen subcrítico, de cumplirse con esto, el tirante en cada una de las secciones transversales del río en estudio es mayor al tirante crítico (tc) de ella. Por lo que en los cálculos necesarios para obtener los tirantes no conocidos, se considera en cada sección transversal que el valor mínimo del tirante es mayor al tirante crítico, tc, de la sección para el gasto de interés. Para obtener el mínimo de la función de energía específica se derivó la ec. 9 con respecto al tirante y se igualó a cero dando: α Q 2 dA dE =1− =0 dy g A3 dy (10) Ya que para cualquier sección la derivada del área respecto al tirante es igual al ancho de la superficie libre: dA =B dy al sustituir la expresión anterior, se tiene: 264 (11) Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… 1− α Q2 g A3 B=0 (12) o bien, A3 Q2 −α =0 B g (13) Como el área hidráulica y el ancho de superficie libre son función del tirante, se tiene que A = A( y ) y B = B ( y ) , la ecuación queda como: [ A( y )] 3 Q2 −α =0 B( y ) g (14) Para encontrar el tirante y que cumpla con la ec. 14, que es precisamente el tirante crítico Yc, se empleó el procedimiento numérico de bisección (Fuentes, 1989). El cálculo de A( y ) y B ( y ) se realiza a partir de los valores discretos del tirante y = y (i ) por medio de una interpolación lineal. • Ecuación de conservación de la energía para flujo permanente a superficie libre en régimen subcrítico. La Fig. 5.27 representa la ecuación de la conservación de la energía entre las secciones y y y+1. y j+ 1 Q yj Zj Δl Figura 5.27. Perfil de las secciones j y j+1 De esta manera, se establece la ec. 15. 265 Plan Hídrico Integral de Tabasco… y j +1 + v 2j +1 2g + Δzj = yj + v 2j 2g + hf (15) donde Δz = z j +1 − z j en términos del gasto, por lo que: Q2 Q2 y j +1 + + Δzj = yj + + hf 2 gA2j +1 2 gA2j (16) Sustituyendo: y j +1 + ⎛ 1 ⎜ Q2n2 Q2 Q2 Q 2n2 + Δ z = y + + + j j 2 gA 2j +1 2 gA 2j 2 ⎜⎜ A 2 r 4 3 A 2 r 4 3 j j ⎝ j +1 j +1 ⎞ ⎟ΔL ⎟⎟ ⎠ (17) Ya que 1/r2/3 = (P/A)2/3 al factorizar se tiene: y j +1 + 4/ 3 Pj4 / 3 ⎞ Q2 Q2 Q 2 n 2 ΔL ⎛⎜ Pj +1 ⎟ + Δ = + + + z y j j ⎜ A10 / 3 A10 / 3 ⎟ 2 gA2j +1 2 gA2j 2 + j j 1 ⎝ ⎠ (18) Agrupando los términos y+1 y los y, se llega a: y j +1 + 4/3 4/ 3 Q2 Q 2 n 2 ΔL Pj Q2 Q 2 n 2 ΔL Pj +1 z y − + Δ = + + j j /3 2 gA2j +1 2 2 gA2j 2 A10 A10j +1/ 3 j (19) 4/3 ⎛ Q2 ⎞ ⎡ 1 ⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1 ⎛ Q2 ⎞ ⎡ 1 ⎛ Pj ⎞ n 2 ΔL ⎤ ⎞⎤ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ −Δ zj ⎜ + y j +1 + − F j +1 ⎟⎟⎥ = y j + − y j +1 + 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ A 2 ⎟ ⎜⎝ 2 g ⎜ A 2 ⎟ ⎢⎢ 2 g 2 2 g A A ⎢ ⎥ ⎠⎦⎥ ⎝ j⎠ ⎝ j ⎠⎣ ⎝ j +1 ⎠ ⎝ j +1 ⎠ ⎣ ⎦ (20) La ecuación 20 se puede escribir de la forma siguiente: ⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1 ⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ y j +1 + ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜ − F j +1 ⎟⎟ = y j + ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜ + F j ⎟⎟ − Δ z j ⎜ A ⎟ ⎝ 2g ⎜ A ⎟ ⎝ 2g ⎠ ⎠ ⎝ j +1 ⎠ ⎝ j ⎠ ε −j +1 ε −j +1 = ε +j − Δz j 266 ε +j (21) Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… Sí F j +1 = 4/3 n 2 ΔL Pj +1 2 A 4j +/13 y F= 4/3 n 2 ΔL Pj 2 A 4j / 3 (22) Como en flujo subcrítico son conocidas las condiciones en la sección aguas abajo ( y ) se sabe el valor de ε +j y dado que también se tiene el valor de Δz j , sea K j = ε +j − Δz j . Se trata de proponer un valor de y j +1 y con el calcular A j +1 y F j +1 de tal manera que se cumpla la ecuación: ⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ y j +1 + ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜ − F j +1 ⎟⎟ − K j = 0 ⎜ A ⎟ ⎝ 2g ⎠ ⎝ j +1 ⎠ (23) Una vez que se determina el tirante y j +1 y se dispone de ε −j +1 se obtiene ε +j +1 por medio de ε +j +1 = ε −j +1 + 2 F j +1 , para asignar a y el valor de y + 1 y repetir el proceso de cálculo tantas veces como sea necesario. Los resultados de este modelo se presentan en los Capítulos 7 y 8. 3.3.2 Cálculo de flujo no permanente gradualmente variado De igual forma, que para el flujo permanente, el programa de cómputo para el cálculo del flujo no permanente se compone de tres partes esenciales: la primera es el preproceso donde se leen las condiciones iniciales o de frontera, se definen las variables hidráulicas y se realiza un cálculo de calentamiento con un gasto base calculado en el flujo permanente gradualmente variado. La segunda o proceso consiste en calcular las variables hidráulicas dentro del cauce como son, por ejemplo, los perfiles del flujo, áreas, gasto, velocidades con respecto al tiempo. La tercera o posproceso permite ver en forma gráfica los hidrogramas de entrada al sistema de ríos, mostrando el avance de cálculo de los mismos; los perfiles del fondo; bordos del cauce y del flujo; las secciones transversales con su correspondiente nivel de superficie libre; las secciones en planta que tienen derrames; y en forma tabular, para cada sección el cadenamiento, elevación del fondo del cauce, bordos, superficie libre del agua, tirantes, áreas, velocidades, gastos de entrada al cauce, gastos de derrame derecho e izquierdo. El modelo matemático descrito considera como flujo unidimensional al movimiento del agua en el cauce natural y se limita al flujo en cauces y volúmenes de control constantes en el espacio, en los que sólo se modifica el tirante hidráulico. El modelo matemático resuelve las ecuaciones de continuidad y conservación de la cantidad de movimiento utilizando diferencias finitas en su forma implícita: ∂ (AV ) ∂Y =B ∂x ∂t (24) 267 Plan Hídrico Integral de Tabasco… ⎡V ∂V 1 ∂V ⎤ ∂Y + Sf ⎥ = −⎢ + ∂x ⎣ g ∂x g ∂t ⎦ (25) donde Y A V B g Sf x t elevación de la superficie del agua respecto a un plano horizontal de referencia (suma del tirante más la cota de plantilla), en m área hidráulica, en m2 velocidad media, en m·s-1 ancho de la superficie libre, en m aceleración de la gravedad en, m·s-2 pendiente de la línea de energía, adimensional distancia longitudinal, en m Tiempo, en s Para representar en diferencias finitas a la ec. 25 se toman en cuenta los volúmenes de control, según la Fig. 5.28. (i-1) (i) Gi,j (i+1) Yi-1,j Yi, j Ui-1,j Vi, j Yi+1,j Ui, j Vi+1,,j Δx PHC Δx Figura 5.28. Secciones a lo largo del cauce en diferencias finitas Debido a que las elevaciones y velocidades varían con el tiempo y la posición, los distintos términos de las ecuaciones de continuidad y conservación de la cantidad de movimiento en su forma implícita, se escriben en diferencias finitas como: ( ) ( 1− θ ∂Y θ ≅ Yi +1, j +1 − Yi , j +1 + − Yi , j Y ∂x Δx i Δx i i +1, j ) (26) V ∂V Vi + 1, j + 1 + U i , j + 1 ⎛ ≅ ⎜Vi + 1, j − U i , j ⎞⎟ ⎝ ⎠ g ∂t 2gΔx i [ (27) ] 1 ∂V 1 ≅ (U i , j +1 + Vi +1, j +1) − (U i , j + Vi +1, j ) g ∂t 2gΔt 268 (28) Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… Sf ≅ 1 n2 U i . j + Vi +1, j (U i , j + 1 + Vi + 1, j + 1 ) 4 ri 4,j/ 3 (29) ∂( AV ) Ai + 1, j Vi + 1, j + 1 − Ai , j U i , j + 1 ≅ ∂x Δx i B (30) ∂Y Bi + 1, j + Bi , j ≅ (Yi + 1, j + 1 + Yi , j + 1 ) − (Yi + 1, j + Yi , j ) ∂t 4 Δx i [ ] (31) Donde θ , es un factor de peso que sirve para calcular promedios ponderados en el tiempo con la finalidad de mejorar la aproximación de las derivadas temporales. Sustituyendo estas, se obtiene: ( Ai , j U i , j +1 − Ai +1, jVi +1, j +1 = Fi , j Yi +1, j +1 + Yi , j +1 − Yi +1, j − Yi , j Ci , j U i , j +1 − Ci , jVi +1, j +1 = Yi +1, j +1 − Yi , j +1 + Di , j donde Fi , j = Ci , j = Di , j = U i , j − Vi +1, j 2gθ 1− θ θ − ( Δx i Bi +1, j + Bi , j 4Δt ) Δx i Δx n 2 − i 4 / 3 U i , j + Vi +1, j 2gθΔt 4θ ri , j (Yi + 1, j − Yi , j ) − Δx i (U i , j + Vi , j ) 2gθΔt ) (32) (33) (34) (35) (36) Así, se forma un sistema lineal no homogéneo en U i , j +1 y Vi +1, j +1 , cuya solución se escribe como: U i , j +1 = Pi , j Yi +1, j +1 + Qi , j Yi , j +1 + Ri , j (37) Vi , j +1 = Si , j Yi +1, j +1 + Ti , j Yi , j +1 + Wi , j (38) En estas expresiones 269 Plan Hídrico Integral de Tabasco… Fi , j Pi , j = Ai , j + Ai + 1, j Fi , j Qi , j = Ai , j + Ai + 1, j Ai + 1 C i , j ( Ai , j + Ai + 1, j ) + C i , j ( Ai , j + Ai + 1, j ) C i , j + ( Ai , j + Ai + 1, j ) Ai , j Si , j = C i , j ( Ai , j + Ai + 1, j ) Ai , j C i , j Ai , j + Ai + 1, j Wi, j = (39) Ai + 1, J Di , j Ai + 1, j Ri, j = Ti , j = + + − − (40) Fi , j (Yi + 1, j + Yi , j ) ( Ai , j + Ai + 1, j ) (41) Fi , J ( Ai , j + Ai +1, j ) (42) Fi , J Ai , j + Ai + 1, j Di , j Ai + 1, j C i , j + ( Ai , j + Ai + 1, j ) + (43) Fi , j (Yi + 1, j + Yi , j ) ( Ai , j + Ai + 1, j ) (44) Cuando la relación de continuidad se establece en la sección i (ver Fig. 5.30), se obtiene Ai , j U i , j +1 + θGi , j +1 + (1 − θ )Gi , j = Ai , jVi +1, j +1 (45) Sustituyendo las ecuaciones 39 a 44 en la 45, se obtiene: Ti − j Yi , j −1 + (Qi , j − Si −1, j )Yi , j + 1 + Pi . j Yi + 1, j + 1] = W i −1, j − R i , j + 1 (θGi , j + 1 + (1 − θ )Gi , j Ai , j (46) La ec. 46 se plantea en las secciones intermedias, pero cuando el flujo es subcrítico, se requieren dos ecuaciones adicionales, una en cada extremo del río, mismas que se desarrollan más adelante. Estas tres ecuaciones, forman un sistema de ecuaciones lineales tridiagonal, cuyas incógnitas son las elevaciones Yi en la etapa de cálculo j + 1 . Una vez obtenidas las elevaciones, las velocidades de llegada Vi , j +1 y de partida U i , j +1 , se calculan con las ecuaciones descritas. En las secciones inicial y final deben fijarse las condiciones de frontera, las cuales se determinan de acuerdo con el problema en estudio. Por ejemplo, para el caso particular de flujo subcrítico la condición de frontera aguas arriba se obtiene de la manera siguiente: 270 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… En la primera sección i = 1 , se propone como condición que el gasto de ingreso es conocido, de modo que el gasto G1 promedio es igual al de salida A1, j U 1, j +1 , esto es: Qi , j Y1, j + Pi . j Y1, j = −R1, j + [ 1 (θGi , j + 1 + (1 − θ )Gi , j Ai , j ] (47) Como condición de frontera aguas abajo, se considera que la elevación de la superficie libre del agua conocida es Y f 1 , por lo que las velocidades en el último tramo son las siguientes: U M −1, j +1 = PM −1, j YF + QM −1,YM −1, j + RM −1, j (48) VM −1, j +1 = SM −2YM −1, j +1 − TM −2, j YM −2, j +1 + WM −2, j (49) Ahora bien sí se propone la ecuación de continuidad en la penúltima sección i = M − 1 se tiene: 3TM −2, j YM −2, j +1 + (QM −1, j − SMi −2, j )YMi−1, j = WM −2, j − RM −1, j − 1 AM −1 [θGM−1, j +1 + (1− θ )GM−1, j ] − PM−1, jYF (50) Para asegurar que la descarga de esta sección sea con una elevación del agua mayor o igual a la mínima (la asociada al tirante crítico y cj para el instante j ), se emplea la ecuación siguiente: Acj Bcj = VMj g (51) donde: Acj área correspondiente al tirante crítico en m2 Bcj ancho de la superficie libre correspondiente al tirante crítico en m Vmj velocidad de entrada en la sección M para el instante j en m·s Y F , queda definido de la manera siguiente: YF = donde ZF YF y f + Z F , sí y F > y cj y cj + ZF sí y F ≤ y cj , (52) elevación del fondo de la sección i = M , en m es el tirante conocido de la sección, en m 271 Plan Hídrico Integral de Tabasco… El procedimiento de cálculo aquí descrito se aplica en el modelo matemático desarrollado por el IIUNAM y sirve para determinar los volúmenes de desbordamiento a partir de los hidrogramas en las secciones transversales del cauce. 3.3.3 Modelo numérico para simular inundaciones en llanuras Para determinar las áreas de inundación, profundidades, velocidades y direcciones del flujo, se presenta un modelo numérico que permite obtenerlos y, a partir de ello, elaborar mapas de inundación. El modelo numérico desarrollado en el Instituto de Ingeniería, hace la simulación numérica de inundaciones provocadas por avenidas en planicies; por lo que fue aplicado en este estudio. El carácter dinámico de las inundaciones hace necesario emplear modelos matemáticos que, por lo menos, incluyan ecuaciones de flujo en dos dimensiones (Fuentes, et al 1997), a través de las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento (ecs. 53 y 54) y ecuación de continuidad (ec. 55). 2 ∂h ∂z 1 ∂u n u u + 4/3 = − − g ∂t ∂x ∂x h (53) 2 ∂h ∂z 1 ∂v n v v + 4/3 = − − g ∂t ∂ y ∂y h ∂h ∂ ∂ + uh + vh = 0 ∂t ∂x ∂y (54) (55) donde Sfx = Sfy = n2 u u h4/3 n2 v v g u v h n x y z t pendiente de fricción en las direcciones x y y , adimensional h4 / 3 aceleración de la gravedad, en m·s-2 componentes de la velocidad en las direcciones x y y , adimensional nivel de la superficie libre del agua con respecto al nivel del terreno, en m En, s·m-1/3 direcciones del sistemas de ejes cartesiano derecho Tiempo, en s Para calcular el flujo en una planicie de inundación se debe resolver el sistema de ecuaciones anterior considerando condiciones iniciales y de frontera. Dado que no 272 Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… existe un método analítico para encontrar la solución, se propone un método numérico de diferencias finitas. Sea el área de inundación en proyección horizontal dividida en celdas con longitud a lo largo del eje x ( Δx ) y del eje y (Δy ) (Fig. 5.29). Figura 5.29. Arreglo de celdas considerado en el método numérico para el área de inundación 3.3.3.1 Ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento Las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento son: uu +α v v +α 1 ∂u ⎡ ∂h ∂z ⎤ = −α ⎢ + ⎥ g ∂t ⎣ ∂x ∂x ⎦ (56) ⎡ ∂h ∂z ⎤ 1 ∂v = −α ⎢ + ⎥ g ∂t ⎣ ∂y ∂y ⎦ (57) donde α= h4/3 n2 (58) Así, para el componente de la velocidad en dirección del eje x (ec. 59), se puede expresar en diferencias finitas del modo siguiente: 273 Plan Hídrico Integral de Tabasco… u ip++11/ 2, j u ip++11/ 2, j u ip++11/ 2, j − u ip+1/ 2, j + α ip+1/ 2, j gΔt = −α ip+1/ 2, j ⎡hp − hp z i +1, j − z i , j i, j ⎢ i +1, j + Δx Δx ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (59) En la ec. 59, i y j son subíndices que se emplean para ubicar en el espacio a las literales de interés (Fig. 5.29) y p es un superíndice que representan el instante en que se considera a dichas literales. Reescribiendo la ec. 59, se tiene u ip++11/ 2, j u ip++11/ 2, j + B x u ip++11/ 2, j + C x = 0 (60) siendo Bx = α ip+1/ 2, j Cx = gΔt α ip+1/ 2, j Δx (h p i +1, j ) − hip, j + z i +1, j − z i , j − α ip+1/ 2, j gΔ t u ip+1/ 2, j (61) donde α ip+1/ 2, j ⎛ hp + hp i +1, j i, j = ⎜⎜ 2 ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 4/3 1 n i2+1/ 2, j y n i +1/ 2, j = n i , j + n i +1, j 2 (62) Para resolver la ecuación anterior se consideran dos casos: Cx ≤ 0 ( La velocidad u ip++11/ 2, j tiene que ser positiva, esto es u ip++11/ 2, j u ip++11/ 2, j = u ip++11/ 2, j ) 2 con lo cual la ecuación queda como una ecuación de segundo grado, cuya solución es: u ip++11/ 2, j = 1⎛ 2 ⎜ − B x + B x − 4C x ⎞⎟ ⎠ 2⎝ (63) Cx > 0 La u ip++11/ 2, j velocidad − u ip++11/ 2, j − u ip++11/ 2, j = ( tiene ) con que ser negativa, esto es 2 − u ip++11/ 2, j lo cual la ecuación 6.9 queda como una ecuación de segundo grado, cuya solución es: u ip++11/ 2, j = 274 1⎛ 2 ⎜ B x − B x − 4C x ⎞⎟ ⎠ 2⎝ (64) Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución… Siguiendo un razonamiento similar para el componente de la velocidad en dirección del eje y (ec. 61), se tiene: v ip, j++11/ 2 v ip, j++11/ 2 + B y v ip, j++11/ 2 + C y = 0 (65) siendo: By = β ip, j +1/ 2 gΔt , Cy = β ip, j +1/ 2 Δy ( hip, j +1 − hip, j ) + z i , j +1 − z i , j − β ip, j +1/ 2 gΔt v ip, j +1/ 2 (66) donde β ip, j +1/ 2 ⎛ hp + hp i , j +1 i, j = ⎜⎜ 2 ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 4/3 1 n i2, j +1/ 2 n i , j +1/ 2 = y n i , j + n i , j +1 2 (67) De esta forma para: Cy ≤ 0 v ip, j++11/ 2 = 1⎛ 2 ⎜ − B y + B y − 4C y ⎞⎟ ⎠ ⎝ 2 (68) v ip, j++11/ 2 = 1⎛ 2 ⎜ B y − B y − 4C y ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 (69) Cy > 0 3.3.3.2 Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad se puede expresar en diferencias finitas del modo siguiente: hip, j+1 − hip, j Δt + ( ) ( uip++11/ 2, j hip+1, j + hip, j − uip−+11/ 2, j hip, j + hip−1, j 2Δx )+ v p +1 i , j +1/ 2 (h p p i , j +1 + hi , j )− v p +1 i , j −1/ 2 (h p i, j + hip, j −1 2Δy )=0 (70) Ordenando términos se llega a: hip, j+ 1 = hip, j − [ ( ) ( )] [ ( ) ( Δt Δt u p + 1 h p + hip, j − u ip−+11/ 2, j hip, j + hip−1, j − v p + 1 h p + hip, j − v ip, j+−11 / 2 hip, j + hip, j −1 2Δx i + 1 / 2, j i + 1, j 2 Δy i , j + 1 / 2 i , j + 1 )] (71) 275 Plan Hídrico Integral de Tabasco… Con las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de u , v y h en el tiempo ( p + 1)Δt para las celdas ubicadas en el interior de la zona donde ocurre la inundación. 3.3.3.3 Condiciones para resolver las ecuaciones Condiciones iniciales Para comenzar los cálculos en el modelo matemático en el tiempo inicial t 0 es necesario asignar los valores a las variables u , v y h . En este caso, si la zona aledaña al río está sin agua, a estas variables se les asigna cero, por el otro lado, cuando existe un cuerpo de agua, estos valores serian diferentes de cero y las profundidades h corresponderían a los tirantes conocidos en dichos cuerpos de agua. Condiciones de frontera Se considera que las velocidades en las fronteras izquierda, derecha, superior e inferior son igual a cero. Hidrograma de entrada El sitio de entrada del hidrograma puede ser cualquiera de las celdas, para ello se requiere conocer el gasto Q que ingresa a la malla durante cada intervalo Δt . El gasto se considera igual a: Q = qB donde B q (72) longitud por donde entra el gasto ( Δx o Δy ), en m gasto unitario, en m3·s-1·m-1 En las orillas de las celdas donde entra el gasto que produce la inundación se especifica el gasto unitario q . 3.4 Planos de zonas inundables Los resultados de la modelación matemática aplicando los modelos numéricos desarrollados por el IIUNAM, se presentan en los Capítulos 7 y 8 “Caracterización del evento y evaluación y reformulación del PICI”. 276