Teoria de Cirugía: Prop. III.3.6 Libro Browder

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Teoria de Cirugía: Prop. III.3.6 Libro Browder
Sea ( X, Y ) un Z2 -par de Poincaré de dimension m. Recordemos que la clase de Wu
de X está dado por V ( X ) = 1 + v1 + v2 + ... donde vi ∈ H i ( X, Z2 ) es tal que ( x, vi ) =
(Sqi x )[ X ] para todo x ∈ H m−i ( X, Y; Z2 ).
Observación 0.1. Notemos que V = V ( X ) está caracterizado por la ecuación ( x, V ) = (Sqx )[ X ]
para cualquier x ∈ H ∗ ( X, Y; Z2 ): En efecto, si W = w0 + w1 + w2 + ... (con wi ∈ H i ( X, Z2 ))
cumple la ecuación ( x, W ) = (Sqx )[ X ] entonces para todo x ∈ H i ( X, Y; Z2 ) con i ≤ m
(H i ( X, Y; Z2 ) = 0 para i > m por dualidad de Poincaré) se tiene (Sqm−i x )[ X ] = (Sqx )[ X ] =
( x, W ) = ( x ∪ wm−i )[ X ], es decir wi = vi .
Sea ξ k un espacio fibrado (o haz fibrado) sobre X con fibra F, donde F tiene la Z2 homología de una (k − 1)-esfera, i.e. H∗ ( F; Z2 ) = H∗ (Sk−1 ; Z2 ). Si definimos T (ξ ) =
X ∪π cE(ξ k ) donde π : ξ k → X es la proyección, entonces existe una clase de Thom
U ∈ H k ( T (ξ ); Z2 ) tal que se pueden definir los morfismos
∪U : H q ( X, ∗; Z2 ) → H q+k ( T (ξ ), ∗; Z2 )
∪U : H q ( X, Y; Z2 ) → H q+k ( T (ξ ), T (ξ |Y ); Z2 )
∩U : Hs ( T (ξ ), T (ξ |Y ); Z2 ) → H s−k ( X, Y; Z2 )
∩U : Hs ( T (ξ ), ∗; Z2 ) → H s−k ( X, ∗; Z2 )
y son isomorfismos (ver Corolario II.2.5, Teorema II.2.6 y II.2.7 pag.36 para el caso de ξ k
un haz vectorial de dimencion k).
Definiremos Sq−1 (operación inversa de Sq) de una manera indirecta: Estamos interesados en un elemento W = w0 + w1 + w2 + ... en H ∗ ( X, Y; Z2 ) tal que x ∪ V ∪ W = x
para todo x ∈ H ∗ ( X, Y; Z2 ), pues si definimos Sqi−1 x := x ∪ wi se tendria
Sq−1 Sq( x )[ X ] = ( x ∪ V ∪ W )[ X ] = x [ X ].
(1)
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El elemento W que estamos buscando tiene que cumplir (1 + v1 + v2 + ...)(w0 + w1 +
w2 + ...) = 1. Luego podemos tomar
w0 = 1
w1 = − v 1
w2 = v21 − v2
w3 = −v31 + 2v1 v2 − v3
···
Recordemos también el homomorfismo de Hurewicz (mod 2) h : πn ( A, B) → Hn ( A, B; Z2 ),
el cual está definido de la siguiente manera: si [ f ] ∈ πn ( A, B) es representado por un
mapeo f : ( D n , ∂D n , so ) → ( A, B, b0 ) entonces se define h([ f ]) = f ∗ ([ g]) donde [ g] es el
generador de Hn ( D n , ∂D n ) ≈ Z2 . Ahora bien, si γ denota una operacion cohomologica
que incremente el grado en i > 0 entonces la unica posibilidad de que γ(z)( f ∗ ([ g])) 6= 0
es cuando z ∈ H n−i ( A, B), sin embargo se tiene lo siguiente:
γ(z)( f ∗ ([ g])) = f ∗ γ(z)([ g]) = γ f ∗ (z)([ g]) = 0
pues f ∗ (z) ∈ H n−i ( D n , ∂D n ) = 0.
Notemos que ∪ vi ,∪ wi : H k ( X, Y ) → H k+i ( X, Y ) con i ≥ 1 son operaciones cohomologicas que incrementan el grado. Por lo tanto
(Sq−1 z)(h(α)) = z(h(α))
(Sqz)(h(α)) = z(h(α))
Proposición 0.2. Sea ( X, Y ) un Z2 -par de Poincaré de dimension m y ξ k un espacio fibrado (o
haz fibrado) sobre X con fibra F, donde F tiene la Z2 -homología de una (k − 1)-esfera. Supongamos que existe un elemento α ∈ πm+k ( T (ξ ), T (ξ )) tal que (h(α)) ∩ U = [ X ] ∈ Hm ( X, Y; Z2 )
la clase fundamental de ( X, Y ). Entonces V ( X ) ∪ U = Sq−1 (U ).
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Demostración. Escribamos Sq−1 U = V 0 ∪ U, lo cual es posible pues ∪ U es un isomorfismo.
Entonces
(Sqx )[ X ] = (Sqx )(h(α) ∩ U ) = (Sqx ∪ U )(h(α))
= (Sq−1 (Sqx ∪ U ))(h(α)) = ( x ∪ Sq−1 U )(h(α))
= ( x ∪ V 0 )(h(α) ∩ U ) = ( x ∪ V 0 )[ X ] = ( x, V 0 ).
Pero esto es precisamente la ecuación que caracteriza a V ( X ), por lo tanto V 0 = V ( X ).