Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 1.

Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.- Carga eléctrica. Propiedades.
2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual.
3.- Principio de superposición.
4.- Distribuciones continuas de carga.
5.- Ley de Gauss. Aplicaciones.
6.- Potencial electrostático.
7.- Energía electrostática de distribuciones.
Descargas
eléctricas en
la atmósfera
“Elektron” significa
ámbar en griego
Fenómenos eléctricos
en la Naturaleza y la Técnica
¿Por qué una costra de polvo
se endurece con el tiempo?
Precipitador
electrostático
Aplicaciones industriales
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Estructura atómica.
Base de la Química
1.1.- Carga eléctrica. Propiedades.
La carga es la cualidad de la materia responsable
de la interacción electromagnética.
- Dos barras de resina frotadas
contra cuero se repelen.
- Dos barras de vidrio frotadas
contra seda se repelen.
Pero... una de resina y otra
de vidrio se atraen.
Conclusión: hay dos tipos de
electrificación, la positiva y la
negativa.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.1.- Carga eléctrica. Propiedades.
Propiedades de la carga:
1.- Es dual: positiva o negativa. Cancelan sus efectos.
2.- Está cuantizada: existe una porción mínima, que
es la carga del protón (o del electrón, si es negativa).
C: Coulombio
3.- Se conserva localmente: si se crea una carga en un
punto, de allí mismo surge otra carga opuesta.
4.- Toma el mismo valor en cualquier sistema de
referencia.
Esto no ocurre con la masa, según la Teoría de la Relatividad Especial.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual.
Ley de Coulomb
atractiva o repulsiva según
el producto de signos
dirigida según
la recta que
une las cargas
ley de inverso
del cuadrado
de la distancia
distancia entre
cargas
vector unitario
dirigido de q1 a q2
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Explícitamente:
1.2 Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual.
Campo de una carga puntual
- Reinterpretamos la Ley de Coulomb:
donde definimos
Unidades: N/C
- El campo eléctrico no depende de la existencia de q2,
y está definido en todo el espacio.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual.
Representación del campo de una carga puntual
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
Mediante
vectores
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
15
10
5
0.5
Mediante líneas de campo
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.0
1.5
2.0
1.3.- Principio de superposición
Principio de superposición
- El campo de un grupo de cargas es
la suma vectorial de los campos
producidos por cada carga.
- Proviene del principio de superposición para fuerzas.
Dos cargas
iguales
Dos cargas
opuestas
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.3.- Principio de superposición.
Interpretación de un diagrama de líneas de campo:
- Las cargas positivas
producen líneas y las
negativas las reciben.
- Su número es
proporcional al valor
de la carga.
- Las líneas también
pueden venir de
(o escapar a) el
infinito.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.3.- Principio de superposición.
¿Cómo se ve un grupo de carga a grandes distancias?
- Las líneas acaban
pareciéndose a las de
una carga puntual de
valor igual a la carga
neta del grupo.
- Esto ocurre para
distancias mucho
mayores que el
tamaño del grupo.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.4.- Distribuciones continuas de carga.
Densidad volumétrica de carga
Las distribuciones de carga son siempre discretas
(conjunto de partículas), pero si son muchas
podemos usar un modelo de medio continuo.
Ejemplo: ¿cuantos átomos de un gas hay en 1 mm3
en condiciones normales (p=1 atm, T=25o)?
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.4.- Distribuciones continuas de carga.
Cálculo de carga asociada a un volumen
Ejemplo:
Partición del volumen
en N elementos
(2,3,2)
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.4.- Distribuciones continuas de carga.
Campo producido por una distribución de carga
en volumen
Descomponemos el volumen
en elementos dτ1, con carga
dq1, que produce un campo
Por superposición,
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.4.- Distribuciones continuas de carga.
Otras distribuciones:
- Superficiales:
- Lineales o filiformes:
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.4.- Distribuciones continuas de carga.
Ejemplo de cálculo: anillo cargado.
Por simetría el campo es axial:
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Concepto de flujo eléctrico (1)
1.- Campo uniforme a través de
una superficie plana perpendicular:
El flujo es proporcional al campo.
2.- Campo uniforme a través de una
superficie plana oblicua.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Concepto de flujo eléctrico (2)
3.- Caso general: campo no uniforme a través de
una superficie arbitraria.
- Podemos interpretar (no definir) el flujo eléctrico
como el número neto de líneas que atraviesa una
superficie.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Flujo del campo de una carga puntual a través de
una superficie esférica concéntrica:
...¡sale independiente del radio de la superficie!
Lo interpretamos diciendo que el mismo número
de líneas atraviesan superficies de distinto radio.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Si la superficie cerrada elegida no es
esférica, también es atravesada
por las mismas líneas, luego
Pero si la carga no está dentro,
las líneas que entran, salen
también, luego
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Ley de Gauss (1)
Cargas interiores:
Carga exterior:
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Ley de Gauss (2)
Generalizando:
“El flujo del campo eléctrico a través de cualquier
superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada
dividida por la permitividad del vacío”
- El campo eléctrico que aparece en la ley es el campo
creado por todas las cargas (interiores y exteriores).
- La superficie cerrada S, que llamaremos superficie
gaussiana, puede ser cualquiera y la elegiremos
según nos convenga.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
Aplicaciones:
1.- Campo de una carga puntual (reobtención)
- Por simetría,
- Elegimos una superficie
gaussiana esférica, S(r)
¡como cabía esperar!
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones.
2.- Campo de un cascarón esférico uniformemente
cargado con carga total
- También por simetría,
- Sigue siendo adecuada una
superficie gaussiana esférica.
Flujo:
- Evaluación de qint. Hay dos casos:
- Por tanto:
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Idem
carga
puntual
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
3.- Campo de una esfera uniformemente cargada
con carga total
- Mismo procedimiento.
Flujo:
- Evaluación de qint:
Idem
carga
puntual
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
4.- Campo de un hilo recto infinito uniformemente
cargado con densidad lineal λ0
¡ojo!
- Por simetría,
- Superficie gaussiana cilíndrica,
con r genérico y L arbitrario.
- Flujo:
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones
5.- Campo de un plano infinito uniformemente
cargado con densidad lineal ρS0
- Por simetría,
- Superficie gaussiana: prisma
recto con bases paralelas al plano
de carga, colocadas en z y -z.
- Flujo:
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.- Carga eléctrica. Propiedades.
2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual.
3.- Principio de superposición.
4.- Distribuciones continuas de carga.
5.- Ley de Gauss. Aplicaciones.
6.- Potencial electrostático.
7.- Energía electrostática de distribuciones.
1.6.- Potencial electrostático.
Recordatorio del concepto de trabajo:
- El trabajo elemental es
- Trabajo entre los puntos A
y B a lo largo de un camino γ
- En general, el trabajo depende del camino.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Teorema de la energía cinética (1)
- La segunda ley de Newton,
referida a una partícula sometida
a varias fuerzas dice:
- En un intervalo dt, se recorre
un segmento
.
Multiplicando escalarmente:
- Transformamos el 1er miembro:
- Definimos la energía cinética
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Teorema de la energía cinética (2)
- Luego considerando el intervalo tA -> tB, que
traslada la partícula de A a B:
“La variación de energía cinética de una partícula
en un proceso es igual a la suma de trabajos
realizados por todas las fuerzas que actúan sobre
ella”
Escuetamente,
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Trabajo de la fuerza de Coulomb (1)
Integramos la fuerza de una carga sobre otra:
(q1 en el origen)
¡independiente de γ!
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Trabajo de la fuerza de Coulomb (2)
- Si el trabajo es independiente del camino entre
los puntos inicial y final, decimos que la fuerza es
conservativa.
- El trabajo se puede expresar como una diferencia
de una función de la posición, evaluada en A y B:
donde
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Energía potencial
electrostática de una carga
en el campo de otra
1.6.- Potencial electrostático.
Interpretación de la energía potencial
- Consideramos un proceso
que trae una carga q2 desde
el infinito al punto r gracias
a una fuerza F' que actúa a
lo largo de la trayectoria γ.
- Si parte y llega en reposo,
el T. de la Energía Cinética da:
Por tanto,
Energía potencial = trabajo realizado por nosotros.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
- Se denomina energía potencial porque es un trabajo
recuperable.
- Otras fuerzas conservativas que se estudian en
mecánica: gravitatorias y elásticas en un muelle.
Admiten también definir una energía potencial.
- Lo contrario de fuerza conservativa es fuerza
disipativa (rozamiento, de viscosidad, etc.).
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Potencial creado por una carga puntual
- Hemos definido para dos cargas puntuales
- Definimos ahora potencial de una carga en un
punto como el trabajo que hemos de realizar para
traer la unidad de carga desde el infinito hasta ese
punto, partiendo y llegando en reposo.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Potencial creado por un campo electrostático
- Supongamos que existe un campo
Este campo
estará creado por cargas qi.
- La fuerza electrostática ejercida sobre una carga q
es la superposición de fuerzas producidas por las
cargas individuales qi.
- Como todas estas fuerzas son conservativas, la
superposición también lo es.
- Si traemos la carga q desde el infinito,
T. Energía Cinética
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Diferencia de potencial (d.d.p.)
- Entre dos puntos A y B se establece una diferencia
de potencial dada por
- Si consideramos dos puntos infinitamente próximos,
cuya separación es
- Si α = 0, la disminución de V es
máxima, y para ello debemos
desplazarnos en la dirección de
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Cálculo del potencial a partir del campo
- Usamos la relación
- Usamos como punto inicial el infinito, donde
Ejemplo: Potencial de un cascarón esférico
uniformemente cargado con carga total
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Superficie equipotencial
- Lugar geométrico de puntos para los que el
potencial toma un mismo valor.
ecuación implícita
de una superficie
- Ejemplo: superficies equipotenciales
creadas por una carga puntual.
Las equipotenciales resultan ser
superficies esféricas.
- Visualiza la función
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Superficies equipotenciales y líneas de campo
- Las líneas de campo son
perpendiculares a las
superficies equipotenciales.
En efecto, si nos desplazamos
sobre una superficie
equipotencial,
Ejemplo: campo y potencial
De dos cargas opuestas
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Obtención del campo a partir del potencial
- En coordenadas cartesianas:
- Si elegimos
- Haciendo lo mismo en las otras dos direcciones:
“grad”
=gradiente
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Interpretación del gradiente de una función
escalar
dV es máxima cuando α = 0.
El gradiente es un vector que apunta hacia la
dirección de máxima variación de la función.
Su módulo nos da la máxima variación por
unidad de longitud.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Potencial de distribuciones de carga (1)
- A partir del principio de superposición, para un
conjunto de cargas,
con
- Si la distribución es continua,
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.6.- Potencial electrostático.
Potencial de distribuciones de carga (2)
- Para otras distribuciones sólo hay que adaptar dq:
- Distribución superficial:
- Distribución filiforme:
Ejemplo: anillo uniformemente cargado
Ejercicio: comprobar
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.7.- Energía electrostática de distribuciones.
Trabajo de formación de una distribución
· Traemos q1 desde el infinito sin coste alguno:
· q2:
· q3:
, etc.
- Podemos demostrar que
donde
energía electrostática
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1.7.- Energía electrostática de distribuciones.
Energía electrostática de una distribución
continua
- Si la distribución es continua,
Ejemplo: cascarón esférico con carga Q.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
RESUMEN (1)
- La carga es la cualidad de la materia responsable
de la interacción electromagnética. Es dual, está
cuantizada, se conserva localmente y no depende del
sistema de referencia elegido.
- La ley de Coulomb da la fuerza entre cargas, que
resulta dirigida según la línea que las une, es
proporcional a las cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia.
- Un conjunto de cargas produce un campo en todo
el espacio, obtenido por aplicación del principio de
superposición. La fuerza sobre una carga de prueba
es el producto de la carga por el campo en ese punto.
- Las líneas de campo describen sus características.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
RESUMEN (2)
- Podemos describir distribuciones de carga y sus
efectos mediante los conceptos de densidad lineal,
superficial y volumétrica.
- La ley de Gauss surge de la ley de Coulomb y del
principio de superposición. Establece una relación
entre el flujo eléctrico a través de una superficie
cerrada y la carga neta encerrada en ella.
- La ley de Gauss permite obtener campos de
distribuciones de carga con alta simetría.
- Las fuerzas eléctricas son conservativas. Esto
permite definir una energía potencial electrostática.
- El potencial electrostático es el trabajo necesario
para traer una carga desde el infinito, partiendo y
llegando en reposo, dividido por la carga.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
RESUMEN (3)
- Obtenemos la diferencia de potencial entre dos
puntos como menos la circulación del campo, y el
campo como menos el gradiente del potencial.
- Las superficies equipotenciales describen bien la
distribución de potencial en una región. Las líneas
de campo son perpendiculares a estas superficies.
- Se define la energía electrostática de un sistema
de cargas como el trabajo necesario para traerlas
desde el infinito, partiendo y llegando en reposo.
- Como resultado auxiliar importante, hemos
establecido el concepto e interpretación de gradiente.
Física. 1º Ingeniería Civil. Curso 2010-11
Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO