GUÍA DE EJERCICIOS MATEMATICA MAT012 UNIVERSIDAD

GUÍA DE EJERCICIOS MATEMATICA MAT012 UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA √ 1. Encuentre las coordenadas del vector ~a de módulo 3, que sea ortogonal a los vectores ~ı −~ y ~ − ~k 2. Encuentre los valores de m y n (si es que existen) de modo que el vector ~a = 3~ı − 2~ + m~k sea paralelo con el vector ~b = n~ı +~ − 2~k. 3. Dados ~a, ~b ∈ R3 . ¿Es verdadera o falsa la proposición? ~a × ~b = ~0 ∧ ~a · ~b = ~0 ⇒ ~a = ~0 ∨ ~b = ~0 Justifique. 4. Si ||~a|| = 6; ||~a + ~b|| = 11; ||~a − ~b|| = 7, encuentre ||~b||. 5. Calcule el largo √ de las diagonales de un paralelogramo construido con los vectores 5~a + 2~b, ~ ~a − b si ||~a|| = 2 2, ~b = 3 y ](~a, ~b) = 45o 6. Considere los vectores ~u =~ı + 2~ + 3~k, ~v = 3~ı + 2~ + ~k en R3 . Determine un vector w ~ ∈ R3 de manera que ~u, ~v y w ~ no sean colineales. 7. Considere los vectores ~a = 3~ − 2~k, ~b =~ı +~ + ~k y ~c = 2~ı − 5~ + 6~k. Determinar si son colineales 8. Determinar un vector ~v que satisfaga las condiciones siguientes: a) ~v · ~c = 94 b) ~v · ~b = ~v · ~a = 0 9. determine el ángulo formado por ~a y ~b y la proyección de ~b sobre ~c. π1 : z = 2 − 6x − 7y 10. Determine el ángulo entre los planos π2 : z = 1 − 8x + 7y 11. Sean ~a1 , ~a2 dos vectores unitarios no colineales. Calcule (2~a1 −5~a2 )·(3~a1 +~a2 ) si ||~a1 +~a2 || = √ 3 12. Determine las coordenadas de un vector unitario p~ que sea ortogonal a los vectores ~a =~ı+~+~k y ~b =~ı + 3~ − ~k y que forme un ángulo obtuso con el vector ~c = (0, 1, 0) 1 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática a) Admite solución única b) No tiene solución 15. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto P0 (1, 1, 1) y que contiene a la recta formada por la intersección de los planos: π1 : x + y − z = 1 π2 : 2x − y + 2z = −1 → − → − → − − → − → − → − → − → − → − → − − 16. Considere los vectores en R3 → a = 3 i − 2 j + 6 k , b = −3 i − 5 j + 8 k y → c =− i −4j +2k → − → − − − a) Determine el ángulo formado por → a y b y la proyección de → a sobre b → − −c = α→ − b) ¿Existen α y β ∈ R tal que → a +β b? → − − c) Calcule el área del paralelógramo formado por b y → c → − → − → − − 17. Una partı́cula se mueve en la dirección del vector → v = 2 i − 3 j + 4 k . Sobre la partı́cula actúan 2 fuerzas: → − → − → − → − → − → − → − → − F 1 = 3 i − j + 6 k ; F 2 = i + j − k . Determine la fuerza total que actúa sobre la partı́cula en la dirección → − del vector v → − − − 18. Si los extremos de tres vectores distintos → a, b y→ c de origen común son colineales, demuestre que se cumple la relación → − − −c = 0 α→ a + β b + γ→ con α + β + γ = 0 Siendo α, β, γ números reales distintos de cero. ¿Qué ocurre si algunos de los valores α, β ó γ son cero? → − → − → − − − − 19. Demuestre que (→ a + b ) y (→ a − b ) son ortogonales si y sólo si k→ a k = k b k. → − → − − 20. Descomponer el vector → v = 17 i + 53 j en dos componentes, una en dirección de la bisectriz del primer cuadrante y la otra perpendicular a esta dirección. 21. Considere R3 con el producto interno euclidiano, si u, v ∈ R3 demuestre que: u·v = 1 1 ku + vk2 − ku − vk2 4 4 − ◦ → − → − → 22. ¿Cuántos vectores no nulos de R3 forman un ángulo de 60 con cada uno de los vectores canónicos i , j , k . √ → − → − → − → − − − − − a · b . ¿Qué ángulo forman → a y b. Sean → a , b ∈ R3 no nulos tales que k→ a × b k = 3→ → − − −c = (0, λ, 2λ). Encuentre λ (si es que existe) de modo que el 23. Dados → a = (2, 4, −2), b = (1, −1, −1), → → − − −c tenga volumen igual a 1 paralelepı́pedo formado por → a , b ,→ 166 → − → − → − → − − − − −c = 2(→ − 24. Sean → a , b vectores l.i. en R3 que satisfacen las condiciones → a · b = 2, k→ a k = 4. Sea → a × b )−3 b . Calcular: → − − − a) → a ·(b +→ c) → − − b) El ángulo entre b y → c. → − → − → − − − − − − − 25. Sean → a y b dos vectores no nulos de R3 . Determine un vector unitario → u tal que: → u ×(→ a + b ) = (→ a − b )× → u → − → − − − − − − 26. Sean → a = (1, 2) y b = (−1, 1). Encuentre → u tal que: → u ·→ a = −1 y → u · b =3 −−→ −→ −−→ 27. Sea ABC un triángulo. Pruebe que: kABk = kACk cos α + kBCk cos β → − → − → − − − − 28. Sean → a y b vectores unitarios de R3 , tales que ](→ a , b ) = θ ˙Pruebe que k→ a − b k = 2 sin θ2 29. Sean A, B, C, D puntos en R2 , no colineales, M, N, P, Q los puntos medios de los trazos AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestre que: 2 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática −−→ −−→ −−→ a) M N = 12 (AB + BC) −−→ −−→ b) M N = QP c) M P y QN se bisectan 30. Dados x = 3i + 2j − k; y = −2i + j + 3k; z = 2i + 6j + 4k a) Decida si x, y, z son o no LI b) Decida si 7j − 7k está o no en hx, yi 31. Sean a = 3i + 2j − k, b = −2i + j + 3k, c = 2i + 6j + 4k. a) Calcule k2a − 3 proybc k b) Un vector unitario perpendicular a a y a b c) El ángulo entre a y b + c 32. Si a, b, c ∈ R3 y a + b + c = 0. Verificar que: a × b = b × c = c × a. Dé una interpretación geométrica de: ka × bk = kb × ck = kc × ak → − p − − − − ) sea igual 33. Sea → a = (1, −1, 2) y → p = (2, β, 1). ¿Existe β tal que la proyección de → p a lo largo de → a (proy→ − a → − a a → − − → − − → − → − − → − − − − −c × → − 34. Si → a , b ,→ c ∈ R3 y → a + b +→ c = 0 demuestre que → a × b = b ×→ c =→ a , además dé una interpretación → − → − → − → − → − → − geométrica de la igualdad | a × b | = | b × c | = | c × a | − → − → − − − → − → − → → − → − → − → − → − 35. Sean → a = i + j − k, b = − i −3j −λk y → c = 2 i − j + k . Encontrar el valore de λ ∈ R tal que → − − −c , b ) = π/4 ∠(→ a ×→ → − → − − − −c = (2, 1, −3). Encuentre un número t tal que: → − −c 36. Sea → a = (17, −31, 1), b = (5, 6, −7) y → a ×(b ×→ c ) = t→ 37. Encontrar la ecuación cartesiana del plano que es perpendicular a la recta L1 , y contiene a la recta L2 , donde: L1 : L2 : y−2 z+1 x+2 = = −3 1 2 x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z =1−t → − − → − → − − − − − 38. Sean → u = (3, −2, 1), → v = i +2j −3k, → w = (−1, 1, 2). Determine α, tal que, α→ u +→ v sea perpendicular → − a w. 39. Calcule, usando vectores, el volumen de un cubo cuyos vértices basales son: A = (0, 0, 0); B = (2, 0, 0); C = (2, 2, 0); D = (0, 2, 0) − → − − − → − → − → − → → − → − → → − → − − 40. Dados los vectores → a =3 i +2j − k; b =− i +3j + k y → c = −5 i + 4 j + 3 k → − − b a) Calcular 3→ a + 2 proy→ − c → − − b) Determine un vector de tamaño 3 perpendicular a b y → c. − − − → − → → − → − 41. Sean → u = i − k, → v = j + k 42. Calcule: → − v a) proy→ − u √ − − u ×→ v b) Un vector de norma 2 que sea perpendicular a → → − → − c) El ángulo entre u y v 3 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática → − − − − −c = proy→ a 43. Sea → a = (5, 2, 0) y b = (4, 0, 3). Calcular el área del paralelógramo cuyos lados son → a y→ → −. b −c tal que k→ −c k = 44. Encuentre un vector → √ − → − − → − → − → → − → − → − 5 y sea ortogonal a los vectores → a = i + j + k , b = i +3 j − k 45. Si A(3, 2), C(5, 1), E(1, −2) son tres de los vértices de un paralelógramo ACM E, determine la longitud de la ¯ diagonal AM → − → − → − → − → − → − → − − → − − 46. Encuentre un valor de m ∈ R de modo que los vectores → a = i − j +2 k , b = 3 i + j y → c = −m2 i + 2 k sean coplanares. → − − − − 47. Dados → a = (2, 3) y b = (1, 2) encuentre dos vectores → u y→ v que cumplan simultáneamente: − − a) → u tenga dirección de → a → − − b) v sea perpendicular a → a → − − − c) → u +→ v = b − 48. Encuentre ecuación del plano paralelo a la dirección dada por → w = 3i − j + 3k y que contenga a la recta de ecuaciones x + y = 3, 2y + 3z = 4 → − − 49. Si → a y b , vectores de R3 , son ortogonales, pruebe que: → − → − − − k→ a − b k2 = k→ a k2 − k b k2 → − − − −c = (1, 1, −2), determine todos los vectores → 50. Dado los vectores → a = (2, −1, 1), b = (1, 2, −1) y → d de la forma → − → − → − → − → − d = x a + y b x, y ∈ R que sean ortogonales al vector a y k d k = 1 → − − − 51. Si los vectores unitarios → a, b, → c , satisfacen la condición → − − → − a + b +→ c =0 determine: → − → − − → → − − a · b + b ·→ c + −c · → a → − → − ◦ − − 52. Sean → a y b vectores que forman un ángulo de 120 . Determine el valor de x ∈ R tal que k b k = 2k→ ak y → − → − → − → − a + x b es ortogonal al vector a − b 53. Calcule la distancia del origen al plano x − 2y + 2z = 6 − − 54. Encuentre condiciones necesarias y suficientes para que los vectores → v 1 = (a1 , a2 ) y → v 2 = (b1 , b2 ) de R2 sean linealmente independientes. 55. Demuestre que la recta que une un vértice de un paralelógramo con el punto medio del lado opuesto, divide a la diagonal en la razón 1 : 2 56. Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos (0, 0, 1); (1, 2, 1), y es tal que forma con los planos coordenados un tetraedro de volumen máximo. → − −−→ −−→ 57. Hallar la distancia del punto A = (a, b, c) a la recta OP = OP 0 + t d , t ∈ R − − − − − − 58. Dadas dos rectas Lt (p, v) : → x =→ p + t→ v y Ls (q, ω) : → x =→ q + s→ ω . Estudie todas las posibilidades según → − → − → − → − p , q , v , ω para que Lt (q, ω) = ∅ y Lt (p, v) ∩ Ls (q, ω) 6= ∅ − 59. Una partı́cula se lanza desde (0, 0, 0) ∈ R3 siguiendo la dirección → v = (1, 1, α), para que choque con el plano π : x + y + z = 5, determine el punto de impacto y la distancia recorrida por la partı́cula; si el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión determine la ecuación de la recta en que se mueve la partı́cula después del choque con el plano π. ¿Existe α ∈ R tal que después del choque la partı́cula vuelva a (0, 0, 0). Si ası́ fuese, ¿Cuál es? 4 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática 60. Encuentre la ecuación del plano π que cumple simultáneamente con: a) (0, 0, 0) ∈ π b) π⊥π1 donde π1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y − z = 1} c) π//L donde L = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0 ∧ x + 2y − z = 1} 61. Sea L la intersección de los planos M1 : 2x + y − z + 3 = 0, M2 : Encuentre el ángulo que forma L con la normal al plano: M3 x − y + 2x + 1 = 0 x+y+z =0 62. Dados el punto A = (2, 0, 1) y la recta L: −−→ OP = (1, 2, 3) + t(−2, −1, 1), t∈R a) Encuentre la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a L b) Encuentre la ecuación vectorial de la recta que pasa por A, e intercepta perpendicularmente a L 63. Una partı́cula P se mueve en el espacio de modo que en el instante t : → − −−→ → − → − OP = (1−t) i +(2−3t) j +(2t−1) k a) Verifique que P se mueve en una recta. b) Encuentre una dirección de la trayectoria. c) ¿En qué instante t0 iniciará en el plano 2x + 3y + 2z = 1? 64. Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A = (1, 2, 3) y B = (2, −3, 4) y sea ortogonal al plano de ecuación 3x + 2y − z = 0. ¿Cuál es la distancia al origen? 65. Desde el origen (0, 0, 0) de un sistema de coordenadas sale una partı́cula (con velocidad constante), moviéndose → − → − → − − sobre la recta que tiene vector director → v = i − j + α k (α parámetro real) a) Determine la ecuación paramétrica de la recta en que se mueve la partı́cula. b) En el mismo sistema de coordenadas determine la ecuación de un plano π que pasa por P1 = (1, 0, 0), P2 = (0, 2, 0) y P3 = (0, 0, 3). c) Determine el punto del plano π en el cual la partı́cula lo impacta. Determine la distancia recorrida por la partı́cula desde el origen hasta impactar el plano. ¿Para qué valor de α, la partı́cula recorre la mı́nima distancia para impactar al plano π? → − − − → − −c ) = ](→ −c es ortogonal al vector − 66. Sean → a, b y→ c vectores no nulos de R3 , tales que ](→ a ,→ b , −c ). Pruebe que → → − → − → − − − x = k b k→ a − k→ akb 67. Una partı́cula se mueve en R3 siguiendo la trayectoria que une los puntos A(1, 2, 4) y B(8, −2, 6) a) Calcule la distancia de A al punto de impacto C en el plano π : b) Calcule la distancia de A al plano π √ 68. Considere los planos π1 : x − z = 2 y π2 : 2x + 6y − z = 8 √ x + y = 2 2. a) Calcule el ángulo más pequeño (agudo) que forman los planos π1 y π2 b) Encuentre la forma paramétrica de la recta L, en que se intersectan los planos π1 y π2 . c) Encuentre la ecuación del plano π que bisecta el ángulo agudo que forman los planos π1 y π2 y que usted calculó en (1) 5 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática 69. Sea Π1 el plano 2x − y + 3z = α, α ∈ R. Sea Π2 el plano que contiene a los puntos (1, 1, 2) y (0, 1, 3) y es → − → − − paralelo al vector → v = i + 1/2 j . Sea Π3 el plano que contiene al punto (1, 1, −1) y sea perpendicular a la recta: x−1 y−5 z−3 L: = = 1 1 2 Determine α ∈ R de modo que la intersección Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 sea una recta. 70. Sea M el plano cuya ecuación cartesiana es: ax + by + cz + d = 0. Establezca en cada caso, la relación que deben satisfacer los coeficientes a, b, c, d de modo que a) M sea paralelo al plano 2x − y + x = 7 → − → − → − → − b) M es perpendicular al vector d = − i + 3 j + 5 k c) M intercepta a los ejes coordenados en x = 2, y = −1, z = 1 d ) M contenga la recta L : x = 2y = z 71. Sean l1 y l2 las rectas de intersección de los respectivos planos 3x − y − 5 y 4x − z − 4 = 0 y+z−λ=0 x−y−1=0 a) Demuestre que las direcciones de l1 y l2 son perpendiculares b) ¿Para qué valor(es) de λ, las rectas l1 y l2 determinan un plano? Justifique su respuesta. 72. En una habitación cúbica de lado a, se lanza una partı́cula desde una esquina en lı́nea recta con velocidad constante, después de 1 segundo la partı́cula está en el punto q = (a/5, a/3, a/2), ¿al cabo de cuánto tiempo choca con una pared?, ¿con qué pared? y ¿en qué punto?, ¿qué distancia recorre la partı́cula desde su lanzamiento hasta el segundo choque? 73. Sea L una recta del espacio euclidiano: ax + by + cz = 1, a0 x + b0 y + c0 z = 1 y π un plano dado por: αx + βy + γz = 1. ¿Existe una relación entre a, b, c, a0 , b0 , c0 , α, β, γ para que L esté contenida en π? Si hay, encuéntrela. 74. Considere el sólido que consiste de una pirámide de base un cuadro de lado 2a y de altura h. Poniendo un sistema adecuado de coordenadas: a) Encuentre la ecuación de un plano π que contenga a una de las caras laterales (hay 4 caras laterales y una basal) b) Determine la ecuación de una recta que contenga a una arista en la intersección de dos caras laterales. c) Si se fabrica este sólido, utilizando cartón para confeccionar las caras y alambre para fabricar las aristas. Determine la superficie de cartón y la longitud de alambre que se necesita. √ → − 75. Una partı́cula parte desde el punto (1, −1, 2) con una rapidez constante de 2 3 [unidades] y dirección i − − → − → j + k a) ¿Qué tiempo tarda en llegar al plano: π : x − 2y + z = 1? b) Si se mueve con la misma rapidez en dirección perpendicular a π; ¿en qué tiempo llegará al plano π? 76. Sea L la recta determinada por M1 ∩ M2 donde M1 = {(x, y, z) ∈ R3 /2x + 2y − 3z = 6} y M2 = {(x, y, z) ∈ R3 /2x − z = 1}. Sea P = (1/2, 1/2, λ) ∈ R3 . Determinada λ ∈ R tal que d(P, L) = 1 77. Una placa triangular está contenida en el plano M de ecuación x + y + z = 18. Desde el origen y con rapidez − constante sale una partı́cula P1 con trayectoria rectilı́nea siguiendo la dirección de → v 1 = (1, 2, 3). Desde el punto (1, 1, −4) sale otra partı́cula P2 con rapidez constante y trayectoria rectilı́nea y que pasa por (1, 1, 1). a) Encontrar las coordenadas del punto de intersección Q1 de la trayectoria de P1 con el plano M b) ¿En qué dirección debió salir P1 para llegar a la placa en el menor tiempo posible? 6 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática c) Encontrar las coordenadas del punto de intersección Q2 de la trayectoria P2 con el plano M d ) ¿Se intersectan en R3 , las trayectorias de las partı́culas? 78. Encontrar el ángulo formado por los planos: Ax + By + Cz + D = 0 y ax + by + cz + d = 0 79. Encontrar la distancia mı́nima desde el punto P = (7, 5, −10) a la superficie de la esfera: (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 4 80. Determinar la ecuación del plano paralelo al plano M : equidiste de ambos planos. x + 3y − z − 5 = 0, tal que el punto (−1, 1, 1) 81. Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente a la esfera: (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 38 en el punto (2, 1, −5). 82. Encontrar la ecuación de la familia de planos Mα que pasan por P = (0, 0, 1) y forman un ángulo de π/4 con el plano XY 83. Entre los planos Mα determinados en (1), encontrar uno de forma que el volumen encerrado por él y los planos coordenados sea 1/3 84. Encuentre la distancia del origen al punto de intersección del plano π con la recta L donde: π : 3x − 2y + z = 0 − L = → x = (1 + t, 2t − 1, 1 + 3t), t∈R 85. Determine el ángulo que forma la recta L y un vector normal al plano. 86. Determine todas las transformaciones lineales U : R2 → R2 tales que U (1, 0) = (2, 1) y U no sea invertible. 87. En el espacio euclidiano tridimensional R3 se considera la esfera S 2 , S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = R2 }. → − − Desde el origen O = (0, 0, 0) ∈ R3 se lanza una partı́cula m1 en la dirección del vector → v 1 = (1, 1, 1) y otra → − partı́cula m2 en la dirección del vector v 2 = (1, 1, 0). a) Determine las coordenadas p1 y p2 de los puntos en los cuales las partı́culas m1 y m2 perforan la esfera S2 b) Determine las ecuaciones de los planos π1 y π2 tangentes a la esfera en los puntos de impacto p1 y p2 c) Determine el coseno del ángulo que forman los planos π1 y π2 88. Sean los puntos A = (1, 1, 1), B = (−2, 1, 3) y C = (λ, −1, 0). Determinar el valor de λ, tal que el plano que contiene los tres puntos, no intersecte el eje y, de coordenadas. 89. Sea el plano π : ax − y + bz = 2 y la recta l: x−1 y z−1 = = 3 −1 2 Determinar a, b ∈ R tal que l//π y (1, −1, 1) ∈ π 90. Encontrar la(s) ecuación(es) del (de los) plano(s) paralelo(s) al eje z, que contengan el punto (−1, 2, 1) y que equidiste(n) una unidad del origen 91. Demostrar, vectorialmente, que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equidista de los tres vértices. → − − − → − → − → − → − → − → − → − → − − −c y → − 92. Sean → a =2 i − j +2k y → c = 3 i + 4 j − k . Determine b ∈ R3 tal que → a × b =→ a · b = −1 ¿Es → − único el vector b con esta propiedad? 7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática 93. Sea π : ax+by +cz +d = 0 un plano. Determine, en cada caso, las condiciones que deben satisfacer a, b, c, d ∈ R para que a) π sea paralelo al eje z b) π contenga al eje z c) π sea paralelo al plano π1 : 2x + 3y − z + 4 = 0 d ) π sea perpendicular a la recta l : 2−x 2 = y − 3 = 2z − 94. Considere → u = (1, 1, 1) ∈ R3 − − a) Determinar un vector → v que sea ⊥ a → u ◦ ◦ → − − − b) Determine un vector w que forme un ] de 45 con → u y de 45 con → v → − → − → − c) Si k v k = 2. Determine el área del paralelógramo que forman u y v − 95. ¿Existe un plano perpendicular al vector → v = (3, 5, 6) que sea paralelo a la recta claramente su respuesta. x 1 = y 2 = z 3? Justifique 96. Dado los planos π1 : x + y + z = 1 y π2 : x − y + 2z = −1, y la recta L1 de vector director (1, 1, 0) y que pasa por el origen O. − a) Encuentre la recta L2 = {P ∈ R3 /P = P0 + λ→ v , λ ∈ R} que resulta de la intersección en R3 de los planos π1 y π2 . b) Encuentre un vector no nulo ortogonal a L1 y L2 . −−→ c) Tome O ∈ L1 y P0 ∈ L2 y calcule el módulo de la proyección del vector OP 0 sobre la dirección normal calculada en b). 8

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