Apuntes FUNCIONES 1º Bach

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
1.- DEFINICIONES.
Definición.
Todos sabemos que, por ejemplo:
El consumo de combustible de un coche depende de la velocidad.
El precio de una llamada telefónica depende de su duración.
El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado.
Cuando, como en estos ejemplos, una cantidad o magnitud
depende de otra, se dice que la primera es función de la
segunda (en lugar de depende de, se puede decir es función de).
Podríamos decir que una función es una relación entre dos
magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la segunda. Más concretamente:
Formas de expresar una función.
En lo sucesivo nos referiremos siempre a funciones definidas por una expresión (o fórmula) algebraica.
Dominio y recorrido.
2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.
Una gráfica representa una función si y sólo si cualquier recta vertical corta a la gráfica como máximo
en un punto.
Cuando queramos estudiar como funciones algunas curvas como la que tenemos más abajo, las
descompondremos en dos, de modo que cada una de ellas cumpla la condición requerida: a cada valor
de x le corresponde un único valor de y.
Traslaciones y dilataciones de la gráfica de una función.
Dilataciones verticales.
Dilataciones horizontales.
Si hacemos y = f(kx) la función se dilata horizontalmente: si
k es positivo y mayor que 1 la gráfica se contrae, si 0 < k < 1
la gráfica se estira.
En la figura, a partir de una función f se representan las
 g( x ) = f ( 2 x )

funciones 
1 
 h( x ) = f  2 x 



Si k es negativo, se obtiene la gráfica de f(|k|x) y, después, se
halla su simétrica respecto del eje Y.
3.- PROPIEDADES GLOBALES DE UNA FUNCIÓN.
Puntos de corte con los ejes.
La gráfica de una función puede cortar a los ejes. Al eje x puede cortarlo en cualquier número
de puntos (uno, dos,…, hasta infinitos), o no cortarlo. Pero al eje y (por ser función) no puede
cortarlo en más de un punto (o en ninguno). Se calculan resolviendo el sistema que forma la
función con la ecuación de cada eje:
Signo de la función.
Determinar el signo de una función es averiguar en que partes (intervalos) de su dominio la
gráfica está por encima o por debajo del eje X. Es decir, donde se cumple que f(x) > 0, y
donde que f(x) < 0. Para ello se deben señalar sobre el eje X los puntos de corte de la función
con él y los puntos en que no existe la función, y a continuación estudiar el signo de la
función en cada uno de los intervalos en que queda dividido el eje X.
Simetrías.
De todas las posibles simetrías que puede haber sólo se estudian dos:
Respecto al eje Y (la función se llama par): intuitivamente significa que si doblamos la
gráfica de la función por el eje Y coincide una parte sobre la otra.
La función f es simétrica respecto al eje Y
f(- x) = f(x)
x
Respecto al origen (la función se llama impar): intuitivamente significa que si doblamos la
gráfica de la función primero por un eje y luego por el otro (en cualquier orden) coincide una
parte sobre la otra.
La función f es simétrica respecto al origen
f(- x) = - f(x) x.
Funciones acotadas.
Funciones periódicas.
Un fenómeno es periódico cuando se repite de la misma forma cada cierto tiempo fijo: el período.
4.- OPERACIONES CON FUNCIONES.
Operaciones algebraicas.
A partir de dos funciones f y g pueden obtenerse otras funciones combinándolas mediante las
operaciones algebraicas habituales:
El dominio de f ± g, y de fg son los valores que pertenecen al dominio de f y al de g.
El dominio de f / g son os valores que pertenecen al dominio de f y al de g, y además, no
anulan al denominador.
OJO: en este ejemplo escriben f·g para indicar el producto. Es preferible no poner el punto
entre f y g para no confundir el producto con la composición de la que hablaremos a
continuación.
Composición de funciones.
5.- FUNCIÓN INVERSA.