Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.

Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas se definirán el rango de una matriz y se probarán algunos resultados acerca de matrices
invertibles.
1.
Rango columna y rango fila de una matriz.
Empezaremos esta sección definiendo los espacios fila y columna de una matriz.
Definición. Sea M una matriz de m filas y n columnas con elementos en un campo K. El espacio
columna de M es el espacio generado por los n vectores formados por las columnas de M estos vectores
pertenecen al espacio vectorial Rm . El espacio fila de M es el espacio generado por los m vectores
formados por las filas de M estos vectores pertenecen al espacio vectorial Rn .
Definición. Sea M una matriz de m filas y n columnas con elementos en un campo K. El rango
columna de M , denotado por ρC (M ), es la dimensión del espacio columna de M . Similarmente, el rango
fila de M , denotado por ρF (M ), es la dimensión del espacio fila de M .
Teorema. El número de columnas linealmente independiente de una matriz es igual al número de
filas linealmente independientes de la misma matriz. En otras palabras, el ρC (M ) = ρF (M ).
Definición. El rango de una matriz, M , denotado por ρ(M ), es el valor de su rango fila o de su rango
columna, es decir
ρ(M ) = ρC (M ) = ρF (M )
El siguiente resultado, el mas importante de estas notas, muestra que el rango de una transformación
lineal es igual al rango de cualquiera de sus matrices representativas. En otras palabras el rango de una
transformación lineal es “invariante ”respecto a la selección de las posibles bases que se emplean para
representar la transformación lineal.
Teorema. Sea M ∈ M m×n sobre el campo K. Sean V y V′ tales que dimV = n y dimV′ = m y sea
T una transformación lineal de V a V′ . Si M es la matriz representativa de T respecto a bases arbitrarias
B de V y B ′ de V′ entonces el RT es isomórfico al espacio columna de M , por lo tanto ρ(T ) = ρ(M ).
Teorema. El rango fila de una matriz, ρc (M ), y por lo tanto el rango de la matriz, ρ(M ), es igual al
número de filas diferentes de cero de una, y de todas, las formas escalonadas de la matriz.
Prueba: Sea M ∈ M m×n y sean M1 , M2 , . . . , Mm las m filas de la matriz, estas filas pueden suponerse
que pertenecen a un espacio vectorial Rn . Sin pérdida de generalidad, suponga que M1 tiene su primer
componente diferente de cero, y suponga que se realiza el primer paso de escalonamiento, entonces, la
1
Figura 1: Representación Gráfica del Isomorfismo Entre el Rango de T y el Espacio Columna de M .
matriz se reduce a

M1
= M2 − λ12 M1
= M3 − λ13 M1
..
.
 M12

 M13


1
M =

 M1i = Mi − λ1i M1


..

.
M1m = Mm − λ1m M1


 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
m11
0
0
..
.
m12
ξ
ξ
..
.
···
···
···
..
.
m1n
ξ
ξ
..
.
0
..
.
ξ
..
.
ξ
..
.
0
ξ
···
..
.
···
ξ






,





donde el sı́mbolo ξ significa un número desconocido que en general es diferente de cero. Es importante
señalar que las filas de la matriz M 1 son combinaciones lineales de las filas de la matriz original M .
Nuevamente suponga, sin pérdida de generalidad, que M12 tiene su segundo componente diferente de
cero, y suponga que se realiza el segundo paso de escalonamiento, entonces


m11 m12 · · · m1n
 0
ξ
···
ξ 


 0

0
·
·
·
ξ




.
.
.
.
2
.
.
.
.

.
.
. 
M = .
,
 0

0
·
·
·
ξ


 .

.
.
..
..
.. 
 ..
.
0
0
···
ξ
donde el sı́mbolo ξ significa un número desconocido que en general es diferente de cero. Nuevamente,
es importante señalar que las filas de la matriz M 2 son combinaciones lineales de las filas de la matriz
original M .
Este proceso de escalonamiento debe terminar después de un número finito de pasos, menor o igual a
m − 1. Existen dos posibilidades:
1.
La fila Mj de la matriz se transformó en una fila de ceros, después de k pasos de escalonamiento.
En este caso, se tiene que
~0 = Mkj = Mk−1,j − λk−1,j M1,k−1
2
sin embargo, M1,k−1 y Mk−1,j , pueden escribirse como una combinaciones lineales de Mj , Mk−1 , . . . , M2
y M1 , además el coeficiente de Mj es diferente de cero. Por lo tanto, Mj es linealmente dependiente
del conjunto {M1 , M2 , . . . , Mk } y por lo tanto no puede formar parte de la base del espacio fila de
la matriz.
2.
La fila Mj de la matriz no se transformó en una fila de ceros, después de k pasos de escalonamiento.
En este caso, se tiene que Mj no puede escribirse como una combinación lineal de {M1 , M2 , . . . , Mj−1 }
y debe añadirse a este conjunto para formar una base de su espacio fila.
Por lo tanto, la dimensión del espacio fila es el número de filas diferentes de cero de cualesquiera de
sus formas escalonadas.
2.
Matriz Inversa.
En esta parte de las notas analizaremos las propiedades de las matrices inversas.
Teorema. Sea M ∈ Mm×m tal que ρ(M ) = m. Entonces existe una única matriz, denotada M −1 ,
tal que
M M −1 = Im = M −1 M
donde Im es la matriz identidad de orden m; es decir con m filas y m columnas.
Prueba: Por el isomorfismo entre matrices y transformaciones lineales, sabemos que hay una transformación lineal T : V → V′ tal que dimV = dimV′ = m —podemos, por simplicidad, suponer que
V = V′ — tal que M es la matriz representativa de T respecto a una base BV 1 del espacio vectorial V.
Puesto que ρ(M ) = m, entonces ρ(T ) = m y T es sobreyectiva, además, puesto que
ν(T ) + ρ(T ) = dim V
se tiene que
ν(T ) = m − m = 0
Por lo tanto T es biyectiva y existe una transformación inversa T −1 que satisface la propiedad
T T −1 = IV = T −1 T
(1)
Sea M −1 la matriz representativa de T −1 respecto a la base BV y recordando:
1.
La matriz identidad Im es la matriz representativa de IV respecto a cualquier base, y
2.
Si M y N son las matrices representativas de S y T respecto a una base, M N es la matriz
representativa de ST respecto a la misma base,
Aplicando estos dos resultados a la ecuación dada por (1), se tiene que
M M −1 = Im = M −1 M.
Para la unicidad suponga, nuevamente, que hay dos matrices inversas M1−1 y M2−1 , entonces
M M1−1 = Im = M1−1 M
y M M2−1 = Im = M2−1 M
Entonces
M M1−1 = Im = M M2−1
o
M1−1 (M M1−1 ) = M1−1 Im = M1−1 (M M2−1 )
(M1−1 M )M1−1 = M1−1 = (M1−1 M )M2−1
Im M1−1 = M1−1 = Im M2−1
1 Puesto
que V = V′ solo es necesario emplear una base.
3
o M1−1 = M2−1
Definición. Sea M ∈ Mm×m . Entonces M se dice que es no-singular o invertible si ρ(M ) = m.
Si ρ(M ) < m, M se dice singular o no-invertible.
Corolario. Si la matriz M ∈ Mm×m es invertible, existe una única matriz M −1 ∈ Mm×m tal que
M M −1 = Im = M −1 M
Teorema. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Entonces AB es no-singular, si y sólo
si A y B son no singulares. En este caso (AB)−1 = B −1 A−1 .
Teorema. Si A es no singular, entonces A−1 es no singular y (A−1 )−1 = A. Además, λA es no singular
para todo λ 6= 0 y (λA)−1 = λ1 A−1 .
Prueba: Si A es no singular, existe A−1 tal que
AA−1 = I = A−1 A
Entonces (A−1 )−1 = A y A−1 es no singular. Similarmente considere
1
1
(λA)( A−1 ) = λ AA−1 = 1I = I
λ
λ
y
µ
¶
1 −1
1
(λA) = λA−1 A = 1I = I
A
λ
λ
Por lo tanto, λA es no singular y
1 −1
A
λ
Teorema. Si A es no singular, entonces AT es no singular y (AT )−1 = (A−1 )T .
(λA =−1 =
Prueba. Si A es no singular, existe A−1 tal que
AA−1 = I = A−1 A
además
(A−1 )T AT = (AA−1 )T = I T = I = (A−1 A)T = AT (A−1 )T
Por lo tanto
(AT )−1 = (A−1 )T
3.
Problemas Resueltos.
Problema 1. Encuentre la matriz inversa de


−2 3
1
2
3 −1
1
M1 = −1
1
Solución. Para este fin, escriba la matriz “de

1
[M1 |I3 ] =  −1
1
bloques ”dada por
−2 3
1
2
3 −1
1 0
0 1
0 0

0
0 
1
El proceso consiste en realizar operaciones entre las filas de la matriz [M1 |I3 ] de tal manera que la
parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde M1 se convierta en la matriz I3 . Cuando
esto ocurra, la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde a I3 se convierte en M1−1 . El
proceso se realiza en etapas.
4
1.
En la primera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con la primera fila
y la tercera fila por la resta de la primera fila a la tercera fila. La matriz resultante es


1 0 0
1 −2 3
1 1 0 
[M1 |I3 ]I =  0 −1 5
0 5 −4 −1 0 1
Además, se multiplica la segunda fila por −1, de manera que al final de esta primera etapa, la
matriz de bloques tiene la forma
[M1 |I3 ]Ia
2.

1
0
3
−5 −1 −1
−4 −1 0
1 −2
= 0 1
0 5
En un segunda etapa, se tiene que substituir la tercera fila por la
a la tercera fila, de modo que

1
0
1 −2 3
[M1 |I3 ]II =  0 1 −5 −1 −1
0 0
21
4
5

0
0 
1
resta de −5 veces la segunda fila

0
0 
1
Además, se divide la tercera fila entre 21, de modo que
[M1 |I3 ]IIa
3.

1 −2 3

= 0 1 −5
0 0
1
4
21
5
21

0
0 
1
21
En una tercera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con 5 veces la tercera
fila y la primera fila por la resta de 3 veces la tercera fila a la primera fila. La matriz resultante es

1
−2 0

[M1 |I3 ]III =  0
0
4.
1
0
−1 −1
1
0
0
1
9
21
1
− 21
4
21
15
− 21
3
− 21
4
21
5
21
5
21
1
21



En una etapa final, se sustituye la primera fila por la suma de la primera con 2 veces la segunda
fila. La matriz resultante es

1
0 0

[M1 |I3 ]IV =  0
1 0
0
0 1
7
21
1
− 21
4
21
7
− 21
4
21
5
21
7
21
5
21
1
21



Por lo tanto, la matriz inversa, M1−1 , está dada por


M1−1 = 
7
21
1
− 21
4
21
7
− 21
4
21
5
21
7
21
5
21
1
21



Este resultado puede verificarse mediante multiplicación directa entre M y M −1 .
5
4.
Problemas Propuestos.
Problema 1. Determine el rango de

1 −2
1
M1 =  3
−1 2
las siguientes matrices


1
2 1 0
0 5 2 M2 = 3
0
1 −1 3
−1 3
2 0
1 2

1
−1
1
Problema 2. Considere el inciso 1, del problema 2, del apunte 14, Espacio Nulo y Rango de una
Transformación Lineal que presenta una transformación lineal dada por
T : P3 (x) → R4
T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (a0 − a1 , a2 , a3 , 0)
(2)
Encuentre la matriz representativa de la transformación lineal con respecto a las bases BP3 = {p1 (x) =
1, p2 (x) = x, p3 (x) = x2 , p4 (x) = x3 } y BR4 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} y muestre que
el rango de la matriz representativa es igual al rango de la transformación lineal.
Problema 3. Encuentre la matriz inversa de

1 −2
1
M1 =  3
−1 2
6

2
0
1