Práctica 8

Práctica 8
INTRODUCCION
El objetivo de esta práctica es el estudio de las herramientas de las que dispone el Mathematica para el
cálculo de integrales definidas e indefinidas de una o varias variables.
CALCULO DE PRIMITIVAS.
El cálculo de primitivas de una función real de variable real "f[x]" puede realizarse
mediante la orden de Mathematica "Integrate[f[x],x]". Observemos los siguientes
ejemplos:
In[1]:=
Integrate[1/(x^2-2x+5),x]
1
Out[1]=
In[2]:=
2
ArcTanB
1
2
H-1 + xLF
Integrate[E^x Cos[x/2],x]
x
x
‰x K2 CosB F + SinB FO
5
2
2
2
Out[2]=
In[3]:=
Integrate[x^n,x]
x1+n
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
1+n
Integrate[(x^4-1)/(x^2+1),x]
-x +
In[6]:=
4
In[7]:=
2
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
x
4 - x2 + 2 ArcSinB F
2
x
Integrate[(x-1)^2 E^(x^2),x]
1
Out[7]=
Cos@2 xD + Sin@xD
Integrate[Sqrt[4-x^2],x]
1
Out[6]=
3
Integrate[Cos[x]^3/(1+Sin[x]),x]
1
Out[5]=
x3
4
J2 ‰x H-2 + xL +
2
p Erfi@xDN
Integrate[(Cos[x]-Sin[x])/(Sin[x]+Cos[x]),x]
Log@Cos@xD + Sin@xDD
Integrate[x Log[x],x]
-
x2
4
+
1
2
x2 Log@xD
2
Pract8.nb
In[10]:=
Out[10]=
In[11]:=
Integrate[(x-4)/Sqrt[16-x^2],x]
-
x
16 - x2 - 4 ArcSinB F
4
Integrate[1/((x^2+4)ArcTan[x/2]),x]
x
LogBArcTanB FF
2
2
1
Out[11]=
In[12]:=
F[x_]=Integrate[E^x Sin[x],x]
1
Out[12]=
2
‰x H-Cos@xD + Sin@xDL
Es fácil comprobar para los ejemplos anteriores que el resultado es el correcto
simplemente calculando la derivada de la solución obtenida.
In[13]:=
D[%,x]
1
Out[13]=
2
‰x H-Cos@xD + Sin@xDL +
1
2
‰x HCos@xD + Sin@xDL
Cabe señalar que no todas la integrales tienen solución en Mathematica, como sucede en el ejemplo
siguiente:
In[14]:=
Out[14]=
Integrate[1/Sqrt[x^4+x^2+1],x]
1
-
H-1L2ê3
1 + H-1L1ê3 x2
1 - H-1L2ê3 x2 EllipticFA-Â ArcSinhAH-1L5ê6 xE, H-1L2ê3 E
1 + x2 + x4
INTEGRALES DEFINIDAS.
Dada la función "f[x]" integrable sobre un intervalo "[a,b]", el cálculo de la integral
definida de "f[x]" en dicho intervalo puede realizarse con Mathematica haciendo uso del comando
"Integrate[f[x],{x,a,b}]". Veamos algunos ejemplos de su utilización:
In[15]:=
Integrate[Sqrt[x^2-1],{x,2,10}]
1
Out[15]=
In[16]:=
2
3 + 30
11 + LogB2 +
3 F - LogB10 + 3
11 FN
Integrate[E^x Sin[x],{x,2,10}]
1
Out[16]=
J-2
2
‰2 ICos@2D - Sin@2D + ‰8 H-Cos@10D + Sin@10DLM
Observemos que lo único que hace esta orden es aplicar la Regla de Barrow, es decir calcula la integral
definida tomando una primitiva suya y calculando la diferencia en los puntos extremos. Así por ejemplo
como la primitiva de la función del ejercicio anterior es la función "F[x]", la salida anterior coincide justo
con:
Pract8.nb
In[17]:=
Out[17]=
F[10]-F[2]
-
1
2
‰2 H-Cos@2D + Sin@2DL +
1
2
3
‰10 H-Cos@10D + Sin@10DL
Recordemos que podemos utilizar la integral definida para el cálculo del área de una región comprendida
entre la gráfica de una función y el eje OX. Para ello es necesario determinar los intervalos donde la función es positiva o negativa. Veamos un ejemplo de su utilización: vamos a calcular el área de la región que
queda comprendida entre la gráfica de la función "Sin[x]" en el intervalo "[0,2 Pi]" y el eje "OX". Vamos a
determinar primero el intervalo
donde la función es negativa o positiva. Para ello observemos la gráfica de la función en dicho intervalo:
In[18]:=
Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi}]
1.0
0.5
Out[18]=
1
2
3
4
5
6
-0.5
-1.0
Entonces observamos que la función "Sin" es positiva en el intervalo "[0,Pi]" y negativa en el intervalo
"[Pi,2 Pi]". Luego, el área que queremos determinar sería:
In[19]:=
Out[19]=
Integrate[Sin[x],{x,0,Pi}]-Integrate[Sin[x],{x,Pi,2 Pi}]
4
Otra aplicación de la integral definida es el cálculo del área de la región plana delimitada por las gráficas
de dos funciones en un intervalo tal que una función está por encima de la otra. Por ejemplo, definamos las
funciones:
In[20]:=
f[x_]:=x
g[x_]:=x^3
Dibujemos las gráficas de las funciones f y g en el intervalo "[0,1]":
4
Pract8.nb
In[22]:=
Plot[{f[x],g[x]},{x,0,1},
PlotStyle->{{RGBColor[1.000,0.000,0.000]},
{RGBColor[0.251,0.000,0.251]}},PlotPoints->50,
AspectRatio->Automatic]
1.0
0.8
0.6
Out[22]=
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Observemos que la función f está por encima de la función g, luego el área de la región plana comprendida
entre dichas dos gráficas sería:
In[23]:=
Integrate[f[x]-g[x],{x,0,1}]
1
Out[23]=
4
INTEGRALES DOBLES.
Podemos calcular integrales dobles de funciones de dos variables definidas sobre regiones elementales. El
caso más sencillo es el cálculo de la integral doble de la función "f[x,y]" sobre el rectángulo
"R=[a,b]x[c,d]". Para este cálculo podemos emplear el comando "Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]".
Es importante señalar que la primera variable de integración que aparece en la sintaxis del comando anterior es la última respecto a la cual se hace la integración. Así por ejemplo, podemos calcular la integral de
la función:
In[24]:=
h[x_,y_]:=2x*Sqrt[1-y^2]
en el rectángulo "[0,1]x[-1,1]" mediante la expresión
Pract8.nb
In[25]:=
5
Integrate[h[x,y],{x,0,1},{y,-1,1}]
p
Out[25]=
2
Para la integral anterior el Mathematica integrará primero respecto de "y" y después respecto de "x".
También podemos calcular integrales dobles sobre dominios donde sus puntos "(x,y)" verifican que "x"
está en el intervalo "[a,b]" y la "y" está comprendida entre dos funciones de la "x". Observemos el
siguiente ejemplo. Calculemos la integral de la función
In[26]:=
j[x_,y_]:=x^2+y
en el dominio comprendido entre las funciones f y g definidas anteriormente. Observamos que en este
dominio la "x" está en el intervalo "[0,1]" y la "y" queda comprendida entre las funciones f y g. Por tanto
podemos calcular la integral buscada mediante la expresión:
In[27]:=
Integrate[j[x,y],{x,0,1},{y,g[x],f[x]}]
5
Out[27]=
28
INTEGRACIÓN NUMÉRICA.
Existen muchas integrales que no tiene solución en Mathematica, bien porque no exista primitiva de la
función o bien porque el propio programa no es capaz de resolverla. En estos casos Mathematica permite
otra opción, el cálculo de una aproximación numérica de la integral definida mediante un cierto método. La
sintaxis de esta orden es "NIntegrate[f[x],{x,a,b}]" para funciones de una variable y
"NIntegrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]" para funciones de dos variables.
Observemos en los siguientes ejemplos la diferencia entre los comandos "Integrate" y "NIntegrate".
In[28]:=
Integrate[Exp[2 x]*x^2,{x,0,1}]
1
Out[28]=
In[29]:=
Out[29]=
In[30]:=
Out[30]=
In[31]:=
Out[31]=
In[32]:=
Out[32]=
In[33]:=
Out[33]=
4
I-1 + ‰2 M
N[%]
1.59726
NIntegrate[Exp[2 x]*x^2,{x,0,1}]
1.59726
Integrate[1/Sqrt[x^4+x^2+1],{x,0,1}]
-H-1L2ê3 EllipticFA-Â ArcSinhAH-1L5ê6 E, H-1L2ê3 E
NIntegrate[1/Sqrt[x^4+x^2+1],{x,0,1}]
0.842875
Integrate[(1+Sin[x]^2)^(1/2)/Sin[y],{x,0,Pi},{y,Pi/8,Pi/4}]
2 EllipticE@-1D LogBCotB
p
F TanB FF
16
8
p
6
Pract8.nb
In[34]:=
Out[34]=
NIntegrate[(1+Sin[x]^2)^(1/2)/Sin[y],{x,0,Pi},{y,Pi/8,Pi/4}]
2.80218
EJERCICIOS.
Con las herramientas estudiadas en esta práctica, resolver los siguiente ejercicio:
1) Calcular el volumen del sólido delimitado superiormente por el cono x^2+y^2=z^2
e inferiormente por la región interior de la circunferencia de radio 1.