"número de copias vendidas a 18 €".

 Abel Martín
026
"Programación Lineal"
Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado
por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 17.5 € y 18
€, respectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más caro. Para cubrir los gastos
de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene
vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato.
(a) ¿Cuántas copias de cada disco puede vender?. Plantea el problema y representa
gráficamente su conjunto de soluciones.
BH2
PAU OVIEDO
junio 1997
(b) ¿Cuántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos ¿Cuál será
su importe?.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
D
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x ≡ "número de copias vendidas a 17.5 €".
y ≡ "número de copias vendidas a 18 €".
C
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CO
y ≤ 1500
x ≤ y
x + y ≥ 500
x ≥ 0
y ≥0
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I(x, y): Ingresos expresados en €
I(x, y) = 17.5x + 18y
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y ≥ 500 – x
x≤y
x
y
x
y
0
500
0
0
500
0
200
200
D
y ≤ 1500
C
x ≤y
A
200
B
200
x + y ≥ 500
El número de copias que puede vender de cada disco viene representado por los puntos
(x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de copias vendidas a 17.50
€ e "y" es el número de copias vendidas a 18 €, con la condición de que tanto "x" como "y"
sean números naturales.
Ejemplo: (200, 600) ∈ Región factible ¸ 200 copias de 17.5 € y 600 copias de 18 €.
Otros puntos: (211, 1020), (200, 650), (410, 990), (600, 1020), (611, 995), etc.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)
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CA
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Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
C
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CU
ÁLLLC
CÁ
Los vértices A, C y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A (500, 0)
C(1500, 1500)
D (0, 1500)
B(x, y)
Resolvemos el sistema
14
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 6
x + y = 500
 2x = 500 → x = 250 → y = 250 → B(250, 250)
x= y 
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ÁLLLIIIS
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AN
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
Ingresos = 17.5·x + 18·y
Valor
A (500, 0)
17.5·500 + 18·0
8750
B (250, 250)
17.5·250 + 18·250
8875
C (1500, 1500)
17.5·1500 + 18·1500
53250
D (0, 1500)
17.5·0 + 18·1500
27000
A
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El máximo beneficio se obtendrá cuando se vendan 1 500 copias del disco de 17.5 € y 1 500
copias de 18 €, momento en el que los ingresos ascenderán a 53250 €.
029
Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y
novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 7.6 € y el de cada
novedad 3.7. Se desea un coste total que no supere los 945 €. Por otra parte, el proveedor
les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades
más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unidades.
(a) ¿De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido?. Plantear el problema
y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
BH2
PAU OVIEDO
Sept 1998
(b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, ¿de cuántas unidades de
cada tipo ha de constar el pedido? ¿cuál es entonces el coste del pedido?
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
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DE
x ≡ "Número de películas de estreno".
y ≡ "Número de películas de novedades".
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JU
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CO
7.6x + 3.7y ≤ 945
x ≥ y/2
y + x/2 ≥ 100
x≥0
7.6x + 3.7y ≤ 945
¸
¸
¸
¸
y≥0
2x – y ≥ 0
2y + x ≥ 200
x ≥ 0
y ≥ 0
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AR
7.6x + 3.7y ≤ 945
x
0
124.3
y
255.4
0
2x – y ≥ 0
2y + x ≥ 200
x
0
5
x
0
200
y
0
10
C
y
100
0
2x – y ≥ 0
x + 2y ≥ 200
A
B
10
10
7.6x + 3.7y ≤ 945
El número de unidades de cada tipo de película que pueden constituir el pedido viene
representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número
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www.aulamatematica.tk
15
 Abel Martín
"Programación Lineal"
de unidades de películas de estreno e "y" es el número de unidades de películas de novedades,
con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales:
Ejemplo: (50, 80) ∈ Región factible Æ 50 películas de estreno y 80 películas de novedades.
Otros puntos: (65, 82), (57, 97), (71, 94), (82, 67), etc.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)
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N(x, y): Número total de unidades pedidas
N(x, y) = x + y
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CA
OC
Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
S
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C
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CU
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CÁ
A(x, y)
Resolvemos el sistema:
(2) 2 x − y = 0


(1) x + 2 y = 200
4x − 2 y = 0

 5x = 200 ¸ x = 40 ¸ y = 80
x + 2 y = 200
A(40, 80)
B(x, y)
Resolvemos el sistema:
(10) 7.6 x + 3.7 y = 945 

(−76)
x + 2 y = 200
76 x + 37 y = 9450 
 – 115y = – 5750
− 76 x − 152 y = −15200
y = 50 ¸ x = 100
B(100, 50)
C(x, y)
Resolvemos el sistema:
(10) 7.6 x + 3.7 y = 945

(37)
2x − y = 0 
76 x + 37 y = 9450
 150x = 9450
74 x − 37 y = 0 
A
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AN
x = 63
Æ y = 126
C(63, 126)
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
N(x, y) = x + y
Valor
A(40, 80)
40 + 80
120
B(100, 50)
100 + 50
150
C(63, 126)
63 + 126
189
Coste (x) = 7.60x + 3.70y
Coste (x) = 7.60· 40 + 3.70 · 80 = 600
A
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CR
SC
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AN
Para que el número de unidades sea mínimo el pedido ha de constar de 40 películas de estreno y
80 películas de novedades; En dicho momento el coste del pedido ascenderá a 600 €.
16
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
030
Tema 6
Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica
considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando 2
posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de PTAS por
anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de 100 000 PTAS por cuña. No
obstante, no pueden gastar más de 100 millones de PTAS para dicha campaña, a lo largo de
la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado
cifra en 10 000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en 2 000
copias por cuña radiofónica emitida.
a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el
problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de
copias posible? ¿se llegan a gastar los 100 millones de PTAS?.
BH2
PAU OVIEDO
JUNIO 1999
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
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DE
x ≡ "número de anuncios en televisión".
y ≡ "número de cuñas radiofónicas".
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JU
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CO
1 000 000x + 100 000y ≤ 100 000 000
y ≥ 50
y ≤ 100
; x≥0
10x + y ≤ 1000
y ≥ 50
y ≤ 100
; x ≥ 0
Æ
Æ
Æ
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10x + y ≤ 1000
x
y
0
1000
100
0
y ≤ 100
D
A
C
B
y ≥ 50
10
10x + y ≤ 1000
10
El número de anuncios y el número de cuñas viene representado por los puntos (x, y)
pertenecientes a la región factible, donde "x" es el de anuncios en televisión e "y" es el
número de cuñas radiofónicas, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números
naturales.
Ejemplo: (52, 65) ∈ Región factible Æ 52 anuncios de televisión y 65 cuñas radiofónicas.
Otros puntos: (37, 63), (15, 52), (5, 90), (55, 88), (88, 81), etc.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)
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C(x, y): Número total de copias que se venderán
C(x, y) = 10 000x + 2000y
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CA
OC
Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
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www.aulamatematica.tk
17
 Abel Martín
"Programación Lineal"
C
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CÁ
Los vértices A y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A (0, 50)
D (0, 100)
B(x, 50) Resolvemos el sistema
10 x + y = 1000

y = 50 
10x + 50 = 1000 → 10x = 950 → x = 95
B(95, 50)
C(x, 100) Resolvemos el sistema
10 x + y = 1000

y = 100 
10x + 100 = 1000 → 10x = 900 → x = 90
C(90, 100)
A
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SD
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AN
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A (0, 50)
B (95, 50)
C (90, 100)
D (0, 100)
Valor
100 000
1 050 000
1 100 000
200 000
C(x, y) = 10 000·x + 2000·y
10 000·0 + 2000·50
10 000·95 + 2000·50
10 000·90 + 2000·100
10 000·0 + 2000·100
Gasto = 90·1 000 000 + 100·100 000 = 100 000 000 PTAS
A
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CO
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CR
SC
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ÁLLLIIIS
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AN
Para vender el mayor número de copias posible se han de emitir en la campaña 90 anuncios en televisión y
100 cuñas radiofónicas, momento en el que se esperan vender 1 100 000 copias, gastándose en ese instante los
100 millones de PTAS.
032
Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, "clásico" (C) y "funcional" (F).
Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El
mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras
que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La
situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de
construcción y quince de pintura.
(a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
BH2
PAU OVIEDO
JUNIO 2000
(b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar?.
(c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de
acuerdo con la relación Bº= 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para
maximizar el beneficio? ¿cuál es el beneficio máximo?.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
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C
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DE
x ≡ "Número de muebles de estilo clásico".
y ≡ "Número de muebles de estilo funcional".
Cuadro resumen
Construcción (Unidades de tiempo)
Pintura (Unidades de tiempo)
Mueble clásico
1u
3u
Mueble funcional
2u
1u
C
S
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CO
1x + 2y ≤ 10 Tiempo construcción
3x + 1y ≤ 15 Tiempo de pintura
x≥0 y≥0
¸
¸
¸
¸
x + 2y ≤ 10
3x + y ≤ 15
x≥0 y≥0
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EG
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AR
x + 2y = 10
18
3x + y = 15
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 6
x
0
10
y
5
0
x
0
5
y
15
0
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 10
B
C
1
A
D
1
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)
El número de muebles de cada tipo que puede fabricar viene determinado por los puntos (x, y)
pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de muebles de estilo clásico e "y" es el
número de muebles de estilo funcional, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números
naturales. Así pues, las combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las siguientes:
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 10
B
C
1
A
D
1
Mueble
clásico
Mueble funcional
Mueble
clásico
Mueble
funcional
Mueble
clásico
Mueble
funcional
0
0
1
3
3
2
0
1
1
4
3
3
0
2
2
0
4
0
0
3
2
1
4
1
0
4
2
2
4
2
0
5
2
3
4
3
1
0
2
4
5
0
1
1
3
0
1
2
3
1
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)
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B(x, y): Beneficio expresado en unidades de beneficio
B(x, y) = 3·x + 2·y
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Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
S
E
C
T
R
É
V
E
D
O
U
C
Á
C
S
ES
CE
TIIIC
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OD
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CU
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CÁ
Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A (0, 0)
B(0, 5)
D(5, 0)
C(x, y) Resolvemos el sistema:
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19
 Abel Martín
"Programación Lineal"
(−3) x + 2 y = 10

(1) 3 x + y = 15
− 3x − 6 y = −30
 – 5y = – 15
3x + y = 15 
3x + 3 = 15
Æ y = 3
Æ 3x = 12 Æ x = 4
C(4, 3)
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Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
B(x, y) = 3·x + 2·y
Valor
A (0, 0)
3·0 + 2·0
0
B (0, 5)
3·0 + 2·5
10
C (4, 3)
3·4 + 2·3
18
D (5, 0)
3·5 + 2·0
15
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Para obtener el máximo beneficio empresarial han de fabricarse 4 muebles de estilo
clásico y 3 muebles de estilo funcional, momento en el que éste ascenderá a 18 unidades de
beneficio.
ANÁLISIS GRÁFICO DE ÓPTIMOS CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA GRÁFICA
Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos:
3 x + 2 y = 0
−3
En forma explícita ¸ y =
x ¸ m = – 3/2
2
De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de
restricciones, la que corresponde a unos beneficios máximos será aquella que corte al eje OY por el
punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma
y – y1 = m ( x – x1 )
Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x1, y1). En forma
explícita, para representarla en la calculadora, vendrá determinada por:
y = m ( x – x1 ) + y1
(4, 3)
040
Una compañía minera tiene dos explotaciones: Una explotación A obtiene diariamente
200 Kg de Cinc, 100 Kg de Cobre y 400 Kg de Plomo. La explotación B obtiene diariamente
100 Kg de Cinc, 200 Kg de Cobre y 400 Kg de Plomo.
La compañía necesita en los próximos años, al menos 40 Toneladas de Cinc, 50
Toneladas de Cobre y 140 Toneladas de Plomo.
Sabiendo que el coste diario por Kg es de 60 € en la mina A y 45 € en la mina B
¿Cuántos Kg se deben de extraer de cada mina para que el coste sea mínimo?
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
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x ≡ "Número de días de trabajo en la mina A.
y ≡ "Número de días de trabajo en la mina B.
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200 x +100 y ≥ 40 000 Kg Cinc
20
→
Matemáticas y TIC
y ≥ 400 – 2x
BH2
Curso ON LINE
Tema 6
100 x + 200 y ≥ 50 000 Kg Cobre
400 x + 400 y ≥ 140 000 Kg Plomo
x≥0
y≥0
→
y ≥ 250 – 0.5x
→
y ≥ 350 – x
→
x≥0
y ≥0
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2x + y = 400
x + 2y = 500
x + y = 350
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0
200
x
0
500
x
0
350
y
400
0
y
250
0
y
350
0
D
C
x + 2y = 500
B
A
2x + y = 400
x + y = 350
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Teorema: Como la región factible no es acotada, la función objetivo no alcanza necesariamente un
valor óptimo concreto, pero si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
S
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C
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D
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C
S:::
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Los vértices A y C se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A(0, 400)
C(x, y)
D(500, 0)
Resolvemos el sistema
(−1) x + y = 350 

2 x + y = 400
− x − y = −350
 x = 50 → y = 350 – x
2 x + y = 400 
y = 350 - 50 → y = 300
B(x, y)
C(50, 300)
Resolvemos el sistema
(−1) x + 2 y = 500

(1) x + y = 350
− x − 2 y = −500
 – y = - 150 → y = 150
x + y = 350 
x = 350 - y → x = 350 - 150 → x = 200
B(200, 150)
A
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Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
B(x, y) = 60·x + 45·y
Valor
A (0, 400)
60·0 + 45·400 =
18 000
B (200, 150)
60·200 + 45·150 =
18 750
C (50, 300)
60·50 + 45·300 =
16 500
D (500, 0)
60·500 + 45·0 =
30 000
Tanteamos a ojo y vemos que no hay otros valores de la región factible que la hagan menor que el del punto a (50, 300).
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21
 Abel Martín
"Programación Lineal"
En la mina A se debe de trabajar 50 días y en la mina B 300 días para que el coste sea
mínimo, momento en el que dicho coste asciende a 16 500 €.
ANÁLISIS GRÁFICO DE ÓPTIMOS CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA GRÁFICA
Veamos la recta que representa los costes son nulos::
C(x, y) = 60 x + 45 y
60 x + 45 y = 0
¸
En forma explícita ¸ y =
− 6000
4500
x
¸
y = (– 4/3)x
De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de costes nulos que pasan por el conjunto de
restricciones, la que corresponde a un mínimo será aquella que corte al eje OY por el punto más
cercano al origen. Veamos cuál es ésta, trazando mentalmente paralelas a la recta y = (- 4/3)x y que
pasen por los vértices:
→
→
→
→
¡Confirmado!: en la mina A se debe de trabajar 50 días y en la mina B 300 días para que el
coste sea mínimo, momento en el que dicho coste asciende a 16 500 €.
041
Una persona decide invertir parte o todo su dinero, 50 000 €, en un banco, atendiendo
a la siguiente oferta: Una cantidad, que será inferior a 30 000 €, tendrá un rendimiento
del 7% y otra cantidad un rendimiento de 9%, debiendo de invertir, como máximo, 10 000 €
más en la de rendimiento de 7%.
(a) ¿Cuánto debe invertir en cada modalidad para que el beneficio obtenido sea el
máximo?.
(b) ¿A cuánto asciende dicho beneficio?.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
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S
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x ≡ "€ ( expresados en 10 millares) que debe de invertir al 7%.
y ≡ "€ ( expresados en 10 millares) que debe de invertir al 9%.
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x≤3
x+y≤5
x ≤ y + 1 (x – 1 ≤ y)
x≥0
y≥0
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Matemáticas y TIC
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Curso ON LINE
Tema 6
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x= y+1
C
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B
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x+ y=5
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Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
S
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C
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S:::
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Los vértices A y C se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A(0, 0)
C(x, y)
x+ y =5
B(1, 0)
D(0, 5)
Resolvemos el sistema


x = y + 1
y + 1 + y = 5 → 2y = 4
→ y = 2
x=y+1=2+1 → x=3
C(3, 2)
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Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
R(x, y) = 0.07x + 0.09y
Valor
A (0, 0)
0.07·0 + 0.09·0 =
0
B (1, 0)
0.07·1 + 0.09·0 =
0.07
C (3, 2)
0.07·3 + 0.09·2 =
0.39
D (0, 5)
0.07·0 + 0.09·5 =
0.45
NOTA: Recuerda que las unidades venían expresadas en 10 millares: 0.45·10000 = 4 500
A
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El máximo rendimiento se obtendrá cuando se coloquen 0 € al 7% y 50 000 € al 9% momento
en el que se obtiene un rendimiento de 4500 €.
ANÁLISIS GRÁFICO DE ÓPTIMOS CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA GRÁFICA
Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyo rendimiento es nulo:
R(x, y) = 0.07x + 0.09y = 0
En forma explícita ¸ y =
− 0.07
x
0.09
¸ y = (– 7/9)x
EN LA PRÁCTICA representamos esta recta y buscamos MENTALMENTE , de todas las infinitas
rectas paralelas a ésta (m = – 7/9), la que corresponde a unos rendimientos máximos, es decir, la que
corta al eje OY por el punto más lejano al origen.
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23
 Abel Martín
"Programación Lineal"
→
→
→
→
¡Confirmado!: El máximo rendimiento se obtendrá cuando se coloquen 0 € al 7% y 50 000 € al
9% momento en el que se obtiene un rendimiento de 4500 €.
047
Un inversor dispone de 20000 € que quiere invertir en dos tipos de bonos. La
rentabilidad de los bonos A es del 17% y la de los bonos B tienen una rentabilidad del 9%.
Si por cada € invertido en bonos A es preciso invertir al menos dos en bonos B.
BH2
a) ¿Cuánto dinero se debe colocar en cada tipo de bonos para que el rendimiento sea
máximo?.
b) ¿A cuanto ascenderá dicha rentabilidad?.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
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x ≡ "Miles de € invertidos en bonos del tipo A".
y ≡ "Miles de € invertido en bonos del tipo B".
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x + y ≤ 20
2x ≤ y
x≥0
y≥0
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x + y = 20
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y = 2x
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2x ≤ y
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B(x, y) = 0.17x + 0.09y
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Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
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Los vértices A y C se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A(0, 0)
24
C(0, 20)
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
B(x, y)
Tema 6
Resolvemos el sistema
2x − y = 0 
 3x = 20 → x = 20/3 → y = 40/3
x + y = 20
B(20/3, 40/3)
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Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A (0,0)
B (6.6, 13.3)
C (0, 20)
Beneficio = 0.17·x + 0.09·y
0.17 · 0 + 0.09 · 0
0.17 · 6.6 + 0.09 · 13.3
0.17 · 0 + 0.09 · 20
Valor
0
2.333333
1.8
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El máximo beneficio se obtendrá cuando se inviertan 6 666.67 € en bonos de tipo A y
13 333.33 € en bonos de tipo B, momento en el que la rentabilidad será de 2 333.33 €.
049
En la elaboración de un determinado producto farmacológico se utilizan dos tipos de
pastillas de 40 gr. y 30 gr. Cada frasco ha de contener como máximo 600 gramos,
necesitándose, por razones de stock, al menos tres pastillas grandes y al menos el doble de
pequeñas que de grandes.
BH2
Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas
pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL
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x ≡ "número de pastillas grandes".
y ≡ "número de pastillas pequeñas".
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→
→
→
→
40x + 30y ≤ 600
y ≥ 2x
x≥3
y≥0
4x + 3y ≤ 60
y ≥ 2x
x≥3
y≥0
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4x + 3y = 60
x
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0
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y = 2x
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10
y
0
20
y ≥ 2x
C
B
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4x + 3y ≤ 60
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B(x, y): Beneficio expresado en €
B(x, y) = 2x + y
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CIIIÓ
AC
ZA
ALLLIIIZ
CA
OC
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25
 Abel Martín
"Programación Lineal"
Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
S
E
C
T
R
É
V
E
D
O
U
C
Á
C
S:::
ES
CE
TIIIC
RT
ÉR
VÉ
EV
DE
OD
ULLLO
CU
ÁLLLC
CÁ
A(3, y)
Resolvemos el sistema por sustitución:
y = 2x → y = 2·3 → y = 6
A (3, 6)
B(x , y)
Resolvemos el sistema por sustitución:
4 x + 3 y = 60 
 4x + 3·2x = 60 → 4x + 6x = 60 → 10x = 60 → x = 6
y = 2 x
B (6, 12)
C(3, y)
Resolvemos el sistema por sustitución:
4x + 3y = 60 → 4·3 + 3y = 60 → 3y = 60 - 12 → y = 16
C (3, 16)
A
S
O
M
T
Ó
E
D
S
S
Á
N
A
S
OS
MO
TIIIM
ÓPPPT
EÓ
DE
SD
SIIIS
ÁLLLIIIS
NÁ
AN
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
B(x, y) = 2 x + 1 y
Valor
A (3, 6)
23+16
12
B(6, 12)
2 6 + 1 12
24
C(3, 16)
2 3 + 1 16
22
A
S
O
D
A
T
U
S
E
R
S
O
E
D
O
C
T
R
C
S
S
Á
N
A
S
OS
DO
AD
TA
ULLLT
SU
ES
RE
SR
OS
E LLLO
DE
OD
CO
TIIIC
RÍÍÍT
CR
SC
SIIIS
ÁLLLIIIS
NÁ
AN
Para que el beneficio sea máximo se tendrán que elaborar 6 pastillas de 40 gramos y 12 pastillas de
30 gramos, momento en el que el beneficio ascenderá a 24 €.
056
Se dispone de 600 gramos de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y
pequeñas. Las grandes pesan 40 gramos y las pequeñas 30 gramos. Se necesitan como
mínimo 5 pastillas pequeñas y al menos el doble de las pequeñas que de las grandes. Cada
pastilla grande proporciona un beneficio de 50 céntimos de euro y las pequeñas de 30
céntimos de euro.
(a) Plantea el problema, representa e indica el conjunto solución para saber el número
de pastillas de cada clase que se pueden elaborar.
(b) Calcula el número de pastillas de cada clase para que el beneficio sea máximo. ¿A
cuánto asciende dicho beneficio?
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
D
S
A
T
N
G
Ó
C
N
E
D
N
Ó
C
A
N
M
R
E
T
E
D
S
AS
TA
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GN
ÓG
CÓ
NC
E IIIN
DE
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ÓN
CIIIÓ
AC
NA
MIIIN
RM
ER
TE
ET
DE
x ≡ "número de pastillas grandes".
y ≡ "número de pastillas pequeñas".
C
S
E
N
O
C
C
R
T
S
E
R
E
D
O
T
N
U
J
N
O
C
S
ES
NE
ON
CIIIO
CC
RIIIC
TR
ST
ES
RE
ER
DE
OD
TO
NT
UN
JU
NJ
ON
CO
40x + 30y ≤ 600
y≥5
y ≥ 2x
x≥0
→
→
→
→
4x + 3y ≤ 60
y≥5
y ≥ 2x
LLLA
E
B
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C
A
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G
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A
E
BLLLE
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N FFFA
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AR
4x + 3y = 60
x
y
0
20
26
y = 2x
x
0
Matemáticas y TIC
y
0
x≥0
BH2
Curso ON LINE
Tema 6
15
0
10
20
y ≥ 2x
D
C
10
y≥5
A
B
5
4x + 3y ≤ 60
FFFU
O
V
T
E
J
B
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C
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UN
B(x, y): Beneficio expresado en céntimos de €
B(x, y) = 50x + 30y
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S
E
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C
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A
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A
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OC
Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se
alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que
constituye la región factible:
C
S
E
C
T
R
É
V
E
D
O
U
C
Á
C
S:::
ES
CE
TIIIC
RT
ÉR
VÉ
EV
DE
OD
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CU
ÁLLLC
CÁ
Los vértices A y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:
A(0, 5)
B(x , 5)
D(0, 15)
Resolvemos el sistema por sustitución:
y = 2x → 5 = 2x → x = 2.5
C(x , y)
Æ
B(2.5, 5)
Resolvemos el sistema por sustitución:
4 x + 3 y = 60 
 4x + 3·2x = 60 → 4x + 6x = 60 → 10x = 60 → x = 6
y = 2 x
Æ C(6, 12)
A
S
O
M
T
Ó
E
D
S
S
Á
N
A
S
OS
MO
TIIIM
ÓPPPT
EÓ
DE
SD
SIIIS
ÁLLLIIIS
NÁ
AN
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
B
B
=
5
0
·
+
3
0
·
B(((xxx,,, yyy))) =
=5
50
0·
·xxx +
+3
30
0·
·yyy
Valor
A(0, 5)
50·0 + 30·5
150 ctos
B(2.5, 5)
50·2.5 + 30·5
275 ctos
C(6, 12)
50·6 + 30·12
660 ctos
D(0, 15)
50·0 + 30·15
450 ctos
A
S
O
D
A
T
U
S
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R
S
O
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D
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S
S
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Para que el beneficio sea máximo se tendrán que elaborar 6 pastillas de 40 gramos y 12 pastillas de 30
gramos, momento en el que el beneficio ascenderá a 6.6 €.
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