UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
Departamento de Estadística y Econometría
PAUTA
Prueba Nº 1 de Estadística y Probabilidades
Alumno:…………………………………………………….………Rut:……..…..…..…. Nota
1.- La distribución del consumo mensual de energía eléctrica (en miles de KW/H) de un grupo de industrias del
sector empresarial se presenta en la siguiente tabla:
Consumo
10 - 20
20 - 24
24 - 30
30 - 45
45 - 60
60 - 64
Xi
15
22
27
37,5
52,5
62
N. empresas
3
7
12
20
18
4
Ni
3
10
22
42
60
64
La industrias son estratificadas en tres grupos, el primero constituido por las industrias de menor consumo que
llegan hasta 29 mil KW/H, el segundo constituido por las industrias de consumo intermedio que están entre 29
mil KW/H y 55 mil KW/H y el resto constituido por el grupo de mayor consumo.
a) Establezca explícitamente la distribución de cada uno de los grupos.
Solución:
i)
Primer grupo de menor consumo
64k
 10)
100
Pk  29  24 
 6  k  31,25%; esto indica que son 20 empresas
12
(
Consumo
10 - 20
20 - 24
24 - 29
Total
ii)
Xi
15
22
26,5
N. empresas
3
7
10
20
Ni
3
10
20
Segundo grupo de consumo intermedio
64k
 42)
100
Pk  55  45 
 15  k  84,375%; esto indica que son 54 empresas
18
(
Consumo
29 - 30
30 - 45
45 - 55
Total
iii)
Xi
29,5
37,5
50
N. empresas
2
20
12
34
Ni
2
22
34
Tercer grupo de mayor consumo(es la diferencia)
Consumo
55 - 60
60 - 64
Total
Xi
57,5
62
N. empresas
6
4
10
Ni
6
10
b) Si el primer grupo tiene que pagar $ 40.000 por cargo fijo y $ 250 por cada KW/H , el segundo grupo
debe pagar $ 50.000 por cargo fijo y $ 300 por cada KW/H, finalmente el tercer grupo debe pagar
$ 60.000 por cargo fijo y $ 380 por cada KW”/H. Determine el gasto medio total por concepto del
consumo de energía para este grupo de de industrias.
Solución:
i)
X 1  23,2 miles KW / hrs
X I  40000  250·23200  $5840000
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X 2  50000  3000  41441,1  $12.482.330
ii) X 2  41,4411 miles KW / hrs
iii
X 3  59,3 miles KW / hrs
X 3  60000  350·59300  $22594000
Luego,
XT 
20·5840000  34·12482300  10·22594000
 $11.986.550,31
64
Interpretación: El consumo promedio por empresa es de $ 11.986.550,31
2.- Una empresa conformada por 136 trabajadores está estratificada en tres grupos o estratos:



2
100 Empleados que ganan en promedio (m$) 185, con una Varianza de (m$) 4900
2
30 Profesionales con un ingreso medio de (m4) 858,3, con una Varianza de (m$) 114.564,44
6 Directivos Superiores cuyo ingreso medio alcanza a (m$) 4.166,7 con un 36,77% de variabilidad
relativa.
a) Si se otorga un reajuste del 15% a los empleados, un 10% a los profesionales y un 5% a los directivos,
más una bonificación de 15 (m$) y 10 (m$) a los dos primeros estratos respectivamente. Lo anterior,
tiene por objetivo homogeneizar los ingresos, ¿en que estrato se logro dicho objetivo?
Solución:
Sea X: “ ingresos de los empleados de la empresa”; estratificando, se tiene:
X 1  (m$)185, con  12  (m$) 2 4900, n1  100 empleados
 C.V ( X 1 ) 
4900
 0,378
185
X 2  (m$)858,3; con  22  (m$) 2 114.564,44; n2  30 profesionales
 C.V ( X 2 ) 
114564,44
 0,394
858,3
X 3  (m$)4.166,7, con C.V ( X ) 
x
 0,3677,   32  (m$)2 2.347.316,9; n3  30 Directivos
X
Una vez otorgado el reajuste:
X 1  (m$)185  1,15  15  (m$) 227,75; con  12  (m$) 2 4900  (1,15) 2  (m$) 2 6.480,25
de donde : C.V ( X 1 ) 
6.480,25
 0,3534577  0,353; un 35,3% de var iabilidad relativa
227,75
X 2  (m$)858,3  1,10  10  (m$)954,13; con  22  (m$) 2 114.564,44  (1,10) 2  (m$) 2 138.622,97
de donde : C.V ( X 2 ) 
138.622,97
 0,390; un 39,0% de var iabilidad relativa
954,13
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X 3  (m$)4.166,7  1,05  (m$)4.375,035; con  32  (m$) 2 2.347.316,9  (1,05) 2  (m$) 2 2.587.916,9
de donde : C.V ( X 3 ) 
2.587.916,9
 0,3677  0,368; un 36,8% de var iabilidad relativa
4.375,035
Conclusión:
Prácticamente en ninguno de ellos, el grupo de empleados
 de un 37,8% logro bajar a un 35,3%
El grupo de profesionales  de un 39,4% logro bajar a un 39%
Los directivos, quedaron exactamente igual
b) Al observar la variabilidad de los ingresos tanto dentro, como entre cada estrato después de otorgar el
reajuste a los trabajadores, ¿cuál es la mayor fuente de variabilidad?
Solución:
Se pide observar la Intra v/s Inter varianza
i)
Calcular el promedio total:
ii)
 W2 (int ra ) 
iii)
XT 
227,75  100  954,13  30  4.375,035  6
 (m$)570,95
100  30  6
6.480,25  100  138.622,97  30  2.587.916,9  6
 (m$) 2 149.516,29
136
(227,75  570,95) 2  100  (954,13  570,95) 2  30  (4.375,035  570,95) 2  6

136
  (m$) 2 757.425,055
 b2 (int er ) 
2
2
=== (m$) 757.425,055 > (m$) 149.516,29
Conclusión:
Como la Inter > Intra, la mayor fuente de variabilidad se debe
a la variabilidad entre los estratos.
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3.- La Subsecretaría de Transporte realizó un estudio durante el mes de Mayo del presente año, para medir, en
horario punta, el tiempo de recorrido de los buses de la Línea E-205 del Transantiago. Los resultados
obtenidos en una muestra aleatoria de 97 de dichos buses, se resumen en el siguiente gráfico:
D i st r i b u c i ó n d e l o s t i e m p o s
N º d e b u ses
25
23
21
20
17
14
15
12
10
5
5
5
0
32
35
38
41
44
47
50
T ie m p o ( e n m in u t o s )
a) La Subsecretaría de acuerdo con un informe, que tiene en su poder, entregado por los administradores
de la línea de buses, al inicio del año, en el cuál se asegura (entre otras cosas) que: “el tiempo
promedio no supera los 40 minutos, con una variabilidad relativa del 15%”. De acuerdo con los datos
obtenidos, ¿se verifica lo del informe?
Solución.
De los datos se tiene:
i ) X  41,309278  41,31 min utos  40 min utos
ii )  x  4,64926  4,649 min utos
de donde se tiene : C.V ( X ) 
4,649
 0,1125  0,15
41,31
Conclusión:
El informe se cumple sólo en parte: el promedio es superior a lo informado,
La variabilidad relativa es menor al 15% señalada.
b) Por otra parte, la Subsecretaría a definido el siguiente índice de calidad del servicio:
acuerdo a las exigencias en el contrato debe encontrarse en intervalo:
datos, ¿Qué puede Ud indicar al respecto? Justifique claramente.
Ic 
Me
, que de
X
0,9 ; 1,1. De acuerdo con los
Solución:
Se requiere calcular la mediana Me.
Tiempos
30,5 a 33,5
33,5 a 36,5
36,5 a 39,5
39,5 a 42,5
42,5 a 45,5
45,5 a 48,5
48,5 a 51,5
Conclusión:
Xi
32
35
38
41
44
47
50
ni
5
12
17
21
23
14
5
El tiempo promedio X  41,31 min utos
 97

  34 
2
  3  41,57 min utos
M e  39,5  
21
Luego el índice : I c 
41,57
 1,006
41,31
De acuerdo con los datos, se observa que el índice se encuentra en el intervalo, por
tanto, la empresa esta cumpliendo con el contrato.