Cuadernillo 1 de Probabilidad

CUADERNILLO DE TRABAJO DE LA MATERIA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CAPÍTULO 2.- PROBABILIDAD
SECCIÓN 2.1.- ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS
1.- Se selecciona una muestra de tres calculadoras de una línea de fabricación y cada una de ellas se clasifica
como defectuosa o aceptable. Si A, B y C denotan los eventos de que la primera, la segunda y la tercera
calculadora esté defectuosa, respectivamente:
a) Describir el espacio muestral para este experimento con un diagrama de árbol.
b) Describir cada uno de los eventos siguientes: A, B, A∩B, y BUC.
Solución:
Si el evento D indica que la calculadora es defectuosa y el evento E indica que la calculadora es
aceptable, entonces:
a) S={DDD, DDE, DEE, DED, EDD, EDE, EEE, EED}
b) A={DEE, DDD, DDE, DED}
B={EDD, EDE, DDE, DDD}
A∩B={DDE, DDD}
BUC={EDE, EDD, EED, DDE, DDD, DED}
2.- Muestras de hule espuma de tres proveedores se clasifican de acuerdo a sí cumplen o no con las
especificaciones. Los resultados de 100 muestras se resumen a continuación.
SI CUMPLEN
18
17
50
PROVEEDOR 1
PROVEEDOR 2
PROVEEDOR 3
NO CUMPLEN
2
3
10
Sea A el evento de que una muestra es del proveedor 1 y sea B el evento de que una muestra cumpla con
las especificaciones. Determinar el número de muestras en: a) A'∩B, b) B', c) AUB, y d) A∩B.
Solución: a) 67, b) 15, c) 87, d) 18.
SECCIÓN 2.2.- INTERPRETACIÓN DE LA PROBABILIDAD
3.- Un espacio muestral contiene 20 resultados igualmente factibles. Si la probabilidad del evento A es 0.3
¿cuántos resultados hay en el evento A?
Solución: 6.
4.- Si es igualmente factible que el último dígito de la medición de un peso sea cualquiera de los dígitos del 0
al 9.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el último dígito sea cero?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el último dígito sea mayor o igual que cinco?
Solución: a) 0.1 , b) 0.5
5.- El 25 % de los técnicos de un laboratorio hace correctamente una preparación muestral para una medición
química: 70 % la hace con un error secundario, y 5 % la hace con un error grave.
a) Si se selecciona aleatoriamente a un técnico para hacer la preparación , ¿cuál es la probabilidad de que la
haga sin error?, b) ¿cuál es la probabilidad de que la haga con un error secundario o con uno grave?
1
Solución: a) ¼, b) ¾.
6.- Muestras de una pieza de aluminio forjado se clasifican con base en el acabado de la superficie (en
µpulgadas) y en las mediciones de la longitud. Los resultados de 100 piezas se resumen a continuación:
Longitud excelente
75
10
Acabado excelente
Acabado bueno
Longitud buena
7
8
Sea A el evento de que una muestra tiene un acabado excelente en la superficie y B es el evento de
que una muestra tiene una longitud excelente. Si se selecciona una pieza al azar, determinar las siguientes
probabilidades:
a) P(A), b) P(B), c) P(A'), d) P(A∩B), e) P(AUB), y f) P(A'UB).
Solución: a) 0.82, b) 0.85, c) 0.18, d) 0.75, e) 0.92, f) 0.93
SECCIÓN 2.3.- REGLAS DE ADICIÓN
7.- Si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible que P(A)=0.3, P(B)=0.4 y P(C)=0.5?
¿Porqué sí o porqué no?
8.- Se analizan las placas circulares de policarbonato de un proveedor para la resistencia a las rayaduras y la
resistencia a los impactos. Los resultados de 100 placas circulares se muestran a continuación:
Resistencia Alta a
las rayaduras
Resistencia Baja a
ras rayaduras
Resistencia Alta a
los impactos
80
Resistencia Baja a
los impactos
9
6
5
a) Si se selecciona una placa circular al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su resistencia a las rayaduras sea
alta y su resistencia a los impactos sea alta?, b) ¿cúal es la probabilidad de que la placa seleccionada tenga alta
resistencia a las rayaduras o que su resistencia a los impactos sea alta?, c) considérese el evento de que una
placa circular tiene alta resistencia a las rayaduras y el evento de que otra placa circular tenga alta resistencia
a los impactos, ¿estos eventos son mutuamente excluyentes?
Solución: a) 0.8, b) 0.95
SECCIÓN 2.4.- PROBABILIDAD CONDICIONAL
9.- El análisis de las flechas para un compresor se resumen a continuación:
si cumple la superficie
no cumple la superficie
Si cumple la redondez
345
12
No cumple la redondez
5
8
a) Si se sabe que una flecha cumple con los requerimientos de redondez, ¿cuál es la probabilidad de que
cumpla con los requerimientos del acabado de la superficie?, b) Si se sabe que una flecha no cumple con los
requerimientos de redondez, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos del acabado de la
superficie?
2
Solución: a) 0.966, b) 0.3846
10.- Un lote contiene 15 piezas fundidas de un proveedor local y 25 piezas fundidas de un proveedor del
estado contiguo. Se seleccionan 2 piezas fundidas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Sea A el evento de
que la primera pieza seleccionada es del proveedor local y B es el evento de que la segunda pieza fundida
seleccionada sea del proveedor local. Determinar:
a) P(A), b) P(B|A), c) P(A∩B), y d) P(AUB).
Solución: a) 15/40, b) 14/39, c) 7/52, d) 0.6154
11.- Con los datos del ejercicio 2, suponer que se seleccionan 3 piezas fundidas al azar y sin reemplazo, del
lote de 40. Además de las definiciones de los eventos A y B, sea que C denote el evento de que la tercera
pieza seleccionada es del proveedor local. Determinar: a) P(A∩B∩C), b) P(A∩B∩C').
Solución: a) 0.046, b) 0.08856
12.- Se clasifican muestras de aluminio fundido con base en el acabado de la superficie (en µpulgadas) y las
mediciones de la longitud. Los resultados de 100 piezas se resumen a continuación:
Superficie excelente
Superficie buena
Longitud excelente
75
10
Longitud buena
7
8
Si A denota el evento de que una muestra tiene acabado de la superficie excelente y sea B el evento
de que una muestra tenga una longitud excelente. Determinar:
a) P(A), b) P(B), c) P(A|B), y d) P(B|A).
Solución: a) 0.82, b) 0.85, c) 0.8823, d) 0.9146
13.- En la tabla siguiente se muestra el análisis de muestras de acero galvanizado, por el peso del
recubrimiento y la rugosidad de la superficie:
Rugosidad alta
Rugosidad baja
Peso del recubrimiento
Alto
12
88
Peso del recubrimiento
Bajo
16
34
a) Si el recubrimiento de una muestra es alto, ¿cuál es la probabilidad de que la rugosidad de la superficie sea
alta?
b) Si la rugosidad de la superficie de una muestra es alta, ¿cuál es la probabilidad de que el peso del
recubrimiento sea alto?
c) Si la rugosidad de la superficie de una muestra es baja, ¿cuál es la probabilidad de que el peso del
recubrimiento sea bajo?
Solución: a) 0.12, b) 0.4286, c) 0.2787
14.- Un lote de 100 chips semiconductores (circuitos integrados) contiene 20 que están defectuosos. Se
seleccionan dos chips al azar y sin reemplazo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que se seleccione esté defectuoso?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo que se seleccione esté defectuoso, dado que el
primero estuvo defectuoso?
c) ¿Cómo cambia la respuesta de b) si los chips seleccionados se reemplazaron antes de la siguiente
selección?
Solución: a) 0.2, b) 19/99, c) 0.2
3
SECCIÓN 2.5.- REGLAS DE MULTIPLICACIÓN Y DE PROBABILIDAD TOTAL
15.- Suponer que P(A|B)=0.4 y P(B)=0.5. Determinar las siguientes probabilidades:
a) P(A∩B), b) P(A'∩B).
Solución: a) 0.2 y b) 0.3
16.- La probabilidad de que un conector eléctrico que se mantenga seco falle durante el periodo de garantía de
una computadora portátil es 1 %. Si el conector siempre está húmedo, la probabilidad de una falla durante el
periodo de garantía es 5 %. Si 90 % de los conectores se mantienen secos y 10 % están húmedos, ¿qué
proporción de conectores fallará durante el periodo de garantía?
Solución: 0.014
17.- En la fabricación de un adhesivo químico, 3 % de todas las corridas de producción tienen materias primas
de dos lotes diferentes. Esto ocurre cuando se rellenan los tanques de almacenamiento y la porción restante de
un lote es insuficiente para llenar los tanques. Sólo 5 % de las corridas con materias primas de un solo lote
requieren reprocesamiento. Sin embargo, es más difícil controlar la viscosidad de las corridas en que se usan
dos o más lotes de materia prima, y 40 % de las mismas requieren procesamiento adicional a fin de conseguir
la viscosidad requerida.
Sea A el evento de que una carga de producción esté constituida por 2 lotes diferentes y B es el
evento de que un lote requiere procesamiento adicional. Determinar las siguientes probabilidades:
a) P(A), b) P(A'), c) P(B|A), d) P(B|A'), e) P(A∩B), f) P(A∩B'), g) P(B)
Solución: a) 0.03, b) 0.97, c) 0.4, d) 0.0392, e) 0.012, f) 0.038, g) 0.05
18.- Muestras de cristal para laboratorio se colocan en paquetes pequeños y ligeros o en paquetes grandes y
pesados. Suponer que 2 % y 1 % de las muestras enviadas en paquetes pequeños y grandes, respectivamente,
se rompen durante la transportación. Si 60 % de las muestras se envían en paquetes grandes y 40 % se envían
en paquetes pequeños, ¿qué proporción de las muestras se rompe durante la transportación?
Solución: 0.014
19.- Un lote de 100 chips semiconductores contiene 20 que están defectuosos.
a) Se seleccionan dos chips al azar y sin reemplazo del lote. Usar la regla de probabilidad total para
determinar la probabilidad de que el segundo chip seleccionado esté defectuoso.
b) Se seleccionan tres chips del lote al azar y sin reemplazo. Usar la regla de probabilidad total para
determinar la probabilidad de que el tercer chip seleccionado sea defectuoso.
Solución: a) 0.2 y b) 0.2
SECCIÓN 2.6.- INDEPENDENCIA
20.- Se analizan las placas circulares de policarbonato de un proveedor para la resistencia a las rayaduras y la
resistencia a los impactos. Los resultados de 100 placas circulares se muestran a continuación:
Resistencia Alta a
las rayaduras
Resistencia Baja a
ras rayaduras
Resistencia Alta a
los impactos
80
Resistencia Baja a
los impactos
9
6
5
4
Si A denota el evento de que una placa circular tiene alta resistencia a los impactos y B es el evento
de que una placa tiene alta resistencia a las rayaduras . ¿Los eventos A y B son independientes? (Demostrar la
respuesta)
Solución: No
21.- Muestras de hule espuma de dos proveedores se evalúan de acuerdo a si cumplen o no con ciertas
especificaciones. Los resultados de 126 muestras se resumen a continuación:
Si cumple con las especificaciones
80
40
Proveedor 1
Proveedor 2
No cumple con las especificaciones
4
2
Si A denota el evento de que una muestra es del proveedor 1 y B es el evento de que una muestra
cumpla con las especificaciones.
a) ¿Son independientes A y B? (Demostrar la respuesta)
b) ¿Son independientes A' y B? (Demostrar la respuesta)
Solución: a) Si, b) Si
22.- Un dispositivo de almacenamiento óptico utiliza un procedimiento de recuperación de errores que
requiere una lectura satisfactoria inmediata de cualquier dato escrito. Si la lectura no tiene éxito después de
tres operaciones de escritura, ese sector del disco se elimina como inaceptable para almacenamiento de datos.
En una parte aceptable del disco, la probabilidad de una lectura satisfactoria es 0.98. Suponer que las lecturas
son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que una parte aceptable del disco sea eliminada como
inaceptable para almacenamiento de datos?
Solución: 8  10
6
SECCIÓN 2.7.- TEOREMA DE BAYES
23.- Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El porcentaje de
fracasos es 20 % para A y 10 % para B. Sin embargo, B cuesta más y por esto se utiliza solamente en el 30 %
de los casos (se utiliza A en el otro 70 %). Se entrenó a un trabajador según uno de los dos métodos, pero no
logró aprenderlo correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método
A?
Solución: 0.8235
24.- De los viajeros que llegan a un aeropuerto pequeño, 60 % utiliza aerolíneas importantes, 30 % viaja en
aviones privados, y el resto usa aviones comerciales que no pertenecen a las aerolíneas importantes. De las
personas que usan aerolíneas importantes, 50 % viaja por negocio, mientras que 60 % de los pasajeros de los
aviones privados, y 90 % de los que usan otras aeronaves comerciales, también viaja por negocios. Supóngase
que se selecciona al azar una persona que llega a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que la persona
a) viaje por negocios?
b) viaje por negocios en avión privado?
c) haya viajado en avión privado, dado que lo hace por negocios?
d) viaje por negocios, dado que usa un avión comercial?
Solución: a) 0.57, b) 0.18, c) 0.3158, d) 0.9
5