Tema 1: Sintaxis y Semántica de la Lógica Proposicional

Tema 1:
Sintaxis y Semántica de la Lógica Proposicional
Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Universidad de Sevilla
Lógica y Computabilidad
Curso 2010–11
LC, 2010–11
Lógica Proposicional
1.1
Contenido
Sintaxis
Fórmulas
Inducción sobre fórmulas
Semántica
Valoraciones
Consecuencia Lógica y satisfactibilidad
Problemas de decisión
LC, 2010–11
Lógica Proposicional
1.2
Problema básico
(PB)
Dado un conjunto de enunciados, BC, y un enunciado φ decidir
si φ ha de ser necesariamente cierto, suponiendo que todos los
enunciados de BC lo son.
La Lógica nos proporciona formulaciones precisas de este problema
y diferentes soluciones. Dos aspectos esenciales del problema son:
I Un lenguaje para expresar (representar) los enunciados, y
I
Algoritmos para la Deducción.
Discutiremos estas cuestiones en un caso sencillo: la Lógica
Proposicional.
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Lógica Proposicional
1.3
Sintaxis (I)
Caracterı́sticas generales de la Lógica proposicional:
I
Una lógica de oraciones y/o propiedades
I
No distingue entre elementos no explı́citos en el lenguaje
I
Semántica: Verdadero/falso
El lenguaje proposicional consta de:
1. Un conjunto numerable, Var , de variables proposicionales:
p0 , p1 , . . .
2. Las conectivas lógicas: ¬ (negación) y ∨ (disyunción).
3. Sı́mbolos auxiliares: “(” y “)”.
Los sı́mbolos p, q, r , . . . representarán variables proposicionales, y
los sı́mbolos F , G , H, . . . representarán fórmulas.
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Lógica Proposicional
1.4
Sintaxis (II)
El conjunto PROP de las fórmulas proposicionales es el menor
conjunto de expresiones C tal que:
I
Var ⊆ C,
I
F ∈C
I
F,G ∈ C
=⇒
=⇒
¬F ∈ C
(F ∨ G ) ∈ C
La sintaxis debe evitar la ambigüedad en la interpretación de las
fórmulas.
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Lógica Proposicional
1.5
Árboles de formación
Podemos asociar de manera única un árbol a cada fórmula.
Ejemplo:
¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s))
(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s))
H
HH
¬(p ∨ q)
(p ∨ q)
HH
p
q
(¬r ∨ s)
H
¬r
s
r
Las fórmulas que aparecen en el árbol de formación de una fórmula
F se denominan subfórmulas de F .
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Lógica Proposicional
1.6
Principio de Inducción sobre fórmulas
Gracias a la definición de PROP si deseamos probar que toda
fórmula proposicional satisface cierta propiedad Φ, podemos
probarlo por inducción sobre fórmulas.
Para ello probamos:
1. Caso base: Si F ∈ Var , entonces F tiene la propiedad Φ.
2. Paso de inducción:
2.1 Si F ∈ PROP tiene la propiedad Φ, entonces ¬F tiene la
propiedad Φ.
2.2 Si F , G ∈ PROP tienen la propiedad Φ, entonces (F ∨ G )
tiene la propiedad Φ.
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Lógica Proposicional
1.7
Notación
Para facilitar la lectura de las fórmulas, se usará:
1. F ∧ G en lugar de ¬(¬F ∨ ¬G ).
2. (F → G ) en lugar de (¬F ∨ G ), y
(F ↔ G ) en lugar de ((F → G ) ∧ (G → F )).
3. Para reducir el número de paréntesis
I
I
Omitiremos los paréntesis externos.
Daremos a las conectivas una precedencia de asociación.
De mayor a menor, están ordenadas por: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
Ejemplo: F ∧ G → ¬F ∨ G es ((F ∧ G ) → (¬F ∨ G )).
4. Cuando una conectiva se usa repetidamente, se asocia por la
derecha: F ∨ G ∨ H es (F ∨ (G ∨ H)).
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Lógica Proposicional
1.8
Semántica (I)
I
Los elementos del conjunto {0, 1} se llaman valores de
verdad. Se dice que 0 es el valor falso y el 1 es el valor
verdadero.
I
El significado de una conectiva se determina mediante su
función de verdad:
I
I
I
1, si i = 0;
0, si i = 1.
La funciónde verdad de la disyunción es la función
0, si i = j = 0;
H∨ (i, j) =
1, en otro caso.
Para la negación es la función H¬ (i) =
Las variables proposicionales se interpretan mediante una
valoración de verdad, es decir, una aplicación
v : Var → {0, 1}
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Lógica Proposicional
1.9
Semántica (II)
Podemos extender cada valoración, v , al conjunto de todas las
fórmulas de manera que para cada fórmula F se verifique:
I
v (¬F ) = H¬ (v (F )).
I
v ((F ∨ G )) = H∨ (v (F ), v (G )).
Fijada v estas ecuaciones permiten asignar de manera única un
valor v (F ) a cada fórmula. Se dice que v (F ) es el valor de
verdad de F respecto de v .
Para las demás conectivas podemos usar las funciones de verdad:
1, si i = j = 1;
H∧ (i, j) =
0, en otro caso.
0, si i = 1, j = 0;
H→ (i, j) =
1, en otro caso.
1, si i = j;
H↔ (i, j) =
0, en otro caso.
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Lógica Proposicional
1.10
Semántica (III)
Veamos el cálculo de v (¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)) en el árbol de
formación.
¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s))
(0)
¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)
(1)
H
H
HH
¬(p ∨ q)
(0)
(¬r ∨ s)
(1)
H
H
(p ∨ q)
(1)
H
H
H
p
(1)
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q
(1)
¬r
(1)
s
(0)
r
(0)
Lógica Proposicional
1.11
Semántica (IV)
El valor v (F ) está bien definido gracias al siguiente resultado:
Teorema. Para cada valoración de verdad, v , existe única a una
aplicación V : PROP → {0, 1} tal que


si A ∈ Var
v (A)
V (A) = H∨ (V (B), V (C ))
si A es (B ∨ C )


H¬ (V (B))
si A es ¬B
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Lógica Proposicional
1.12
Tablas de verdad
Dada una valoración v , el valor de verdad de F respecto de v está
determinado por los valores de verdad de las subfórmulas de F
Ejemplo: si v (p) = v (q) = 0 y v (r ) = 1, entonces
v (¬((p → q) ∨ r )) = H¬ (H∨ (v (p → q), v (r ))) =
= H¬ (H∨ (H→ (p, q), 1)) = 0
Fijada v podemos presentar el cálculo de F mediante una tabla:
p q r p → q (p → q) ∨ r
0 0 1
1
1
¬((p → q) ∨ r )
0
Una tabla de verdad para F es una tabla similar que contiene una
fila por cada valoración que asigne valores distintos a las variables
proposicionales que aparecen en F .
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Lógica Proposicional
1.13
Validez y consistencia
I
F es válida para v (o v modelo de F , v |= F ) si v (F ) = 1.
I
v es modelo de un conjunto U, v |= U, si v es modelo de
toda fórmula de U.
I
F es lógicamente válida (tautologı́a) si es válida para toda
valoración (notación |= F ).
I
Un conjunto de fórmulas U es satisfactible (o consistente) si
existe una valoración que es modelo de U. En caso contrario
diremos que es insatisfactible (o inconsistente).
Relación entre estos conceptos:
Lema. Para cada F ∈ PROP se verifica:
I
F lógicamente válida
=⇒
F satisfactible.
I
F lógicamente válida
⇐⇒
¬F insatisfactible.
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Lógica Proposicional
1.14
Consecuencia Lógica
Una fórmula F es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas
U, U |= F , si todo modelo de U es modelo de F . Es decir,
Para toda valoración, v ,
v |= U
=⇒
v |= F
La relación de consecuencia lógica permite formular el problema
básico (PB) en el marco de la lógica proposicional.
Relación entre consecuencia lógica, consistencia y validez:
Proposición. Sea {F1 , . . . Fn } ⊆ PROP. Son equivalentes:
I
{F1 , . . . , Fn } |= F
I
|= F1 ∧ · · · ∧ Fn → F
I
{F1 , . . . , Fn , ¬F } es inconsistente.
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Lógica Proposicional
1.15
Algoritmos de decisión
Dado un conjunto de fórmulas proposicionales, U, un algoritmo
de decisión para U es un algoritmo que dada A ∈ PROP,
devuelve SI cuando A ∈ U y NO si A 6∈ U.
Casos especialmente interesantes:
I
SAT = {A ∈ PROP : A es satisfactible}
I
TAUT = {A ∈ PROP : A es una tautologı́a}
I
Fijado U ⊆ PROP, la teorı́a de U es
T (U) = {A ∈ PROP : U |= A}
Un algoritmo de decisión para T (U) propociona una respuesta al
Problema Básico considerado al principio del tema.
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Lógica Proposicional
1.16
Algoritmos de decisión (II)
Problema Básico:
Obtener un algoritmo que dado un conjunto finito de fórmulas
proposicionales, U, y una fórmula F decida si U |= F .
El problema anterior se reduce a decidir la satisfactibilidad de una
cierta fórmula (o si se prefiere, la validez de otra). Por tanto,
I
La construcción de tablas de verdad proporciona un algoritmo
(ineficiente) para decidir la consecuencia lógica.
I
El Problema Básico es resoluble algorı́tmicamente, aunque no
se conoce ninguna solución eficiente y se duda de la existencia
de algoritmos de decisión eficientes para este problema, ya que
I
Determinar la satisfactibilidad de una fórmula proposicional es
un problema NP-completo.
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Lógica Proposicional
1.17
Algoritmos de decisión (III)
Problema Básico (bis):
Obtener un algoritmo eficiente que dado un conjunto finito de
fórmulas proposicionales, U, y una fórmula F decida si U |= F .
Observaciones:
I
Este problema es equivalente al de obtener un algortimo
eficiente para determinar la satisfactibilidad de una fórmula
proposicional.
I
Se trata de un problema abierto, que posiblemente tendrá
una respuesta negativa (se sospecha que no existen algoritmos
eficientes para resolver SAT).
I
Para propósitos prácticos puede bastar con algoritmos
eficientes para alguna clase especial de fórmulas.
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Lógica Proposicional
1.18