La integral definida - Departamento de Matemáticas

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integral
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Integral
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HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
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Índice
Integral
definida
Propiedades
La integral definida. Definición y ejemplos
Propiedades
Bibliografı́a
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Integral
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La integral definida.
Definición y ejemplos
La integral definida
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Integral
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Propiedades
Sean
f : [a, b] −→ R una función continua y positiva.
Af [a, c]: área contenida entre la función, el eje OX, y las rectas x = a y
x = c. En lo que sigue, a será fijo y c será variable.
Relación entre las funciones Af [a, ·] y f
Cuando f es continua en c, se verifica que para cualquier h > 0 (pequeño) el
valor de Af [a, c + h] − Af [a, c] es aproximadamente f (c)h, o lo que es lo
mismo,
Af [a, c + h] − Af [a, c]
∼ f (c)
h
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Propiedades
Tomando ahora lı́mite cuando h −→ 0 en ambos miembros de la expresión
Af [a, c + h] − Af [a, c]
∼ f (c)
h
y usando la definición de derivada, se tiene que
A0f [a, c] = f (c)
es decir, Af [a, ·] es una primitiva de f .
Teorema (Teorema fundamental del cálculo y Regla de Barrow)
Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b]. Entonces Af [a, ·] es derivable y su
derivada es f , o lo que es equivalente, Af [a, ·] es una primitiva de f .
A0f [a, c] = f (c)
Además, si φ es primitiva de f , el área Af [a, b] se puede calcular ası́:
Af [a, b] = [φ(x)]ba = φ(b) − φ(a),
La integral definida
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Integral
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Definición (Integral de Riemann)
Llamamos integral definida o de Riemann de f en el intervalo [a, b] al valor
de Af [a, b], que normalmente se denota con la expresión
Z b
f (x)dx
a
En caso de a > b, se define:
Z
a
b
Z
f (x)dx = −
b
f (x)dx.
a
Para calcular la integral definida de una función continua basta conocer
una de sus primitivas φ(x):
Z b
f (x) dx = [φ(x)]ba = φ(b) − φ(a).
a
La integral definida
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Integral
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Ejemplos
Z
2
x2 dx =
0
Z
π/4
0
Z
1
5
x3 2
8
0 =
3
3
√
2
π/4
sen(x)dx = −cos(x) 0 = −cosπ/4 + cos0 = −
+1
2
√
2(5x + 1)3/2 5
2(26)3/2
2(6)3/2
5x + 1dx =
−
1 =
15
15
15
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Integral
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Propiedades
Propiedades de la integral
definida
Propiedades de la integral definida
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Propiedades
1
Si m y M son respectivamente el valor mı́nimo y máximo de f en [a, b],
entonces
HEDIMA
b
Z
f (x)dx ≤ M (b − a).
m(b − a) ≤
Integral
definida
a
Propiedades
Z
b
b
Z
(f (x) ± g(x))dx =
2
a
Z
a
b
Z
a
Z
a
b
a
b
Z
f (x)dx =
4
g(x)dx.
a
f (x)dx, ∀c ∈ R.
cf (x)dx = c
3
b
Z
f (x)dx ±
c
b
Z
f (x)dx, ∀c ∈ (a, b).
f (x)dx +
a
c
b
Z
5
Si f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces
b
Z
f (x)dx ≤
a
g(x)dx.
a
Propiedades de la integral definida
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Teorema
Toda función continua en un intervalo [a, b] es integrable en [a, b]. Además,
se tiene
1
Integral
definida
Si f : [a, b] −→ R es una función integrable en [a, b], y f (x) ≥ 0,
Z b
entonces
f (x)dx es igual al área de la región entre la gráfica de f y
Propiedades
a
el eje OX desde a hasta b.
2
Si f es integrable en [a, b], entonces
Z
b
1
f (x)dx es igual al área por encima del eje OX menos el área por
2
debajo del eje OX
Z b
|f (x)|dx es igual al área de la región entre la gráfica de f y el eje
a
a
OX desde a hasta b.
Propiedades de la integral definida
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Ejemplo
La integral entre a y b de la función f (x) del dibujo inferior es
A2 + A4 − (A1 + A3 )
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Integral
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Propiedades
Z
Asimismo, se tiene que
|f (x)|dx = A1 + A2 + A3 + A4 .
Propiedades de la integral definida
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Integral
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Propiedades
Observación
Hemos supuesto que f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b].
Sin embargo, todo sigue siendo válido si admitimos que f presenta un
número finito de discontinuidades de salto finito.
Basta descomponer [a, b] en intervalos donde f sı́ sea continua y podamos
aplicar las propiedades anteriores.
Ejemplo
Por ejemplo, f : [0, 5] −→ R definida por
x
e
si x ∈ [0, 3]
f (x) =
x
si x ∈ (3, 5]
presenta una discontinuidad de salto finito en
x = 3. Su integral definida en [0, 3] es
5
Z
3
Z
ex dx +
f (x)dx =
0
0
Z
3
5
x dx = [ex ]30 +
x2
2
5
3
= (e3 − 1) + 8.
Propiedades de la integral definida
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Integral
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Propiedades
Observación
Es posible extender el concepto de integral definida a un marco más general.
Por ejemplo, se pueden considerar funciones que no estén acotadas o que
estén definidas sobre intervalos no acotados (llamadas integrales impropias).
Sin embargo, estas cuestiones superan los objetivos de esta lección.