Universidad de Zaragoza Departamento

Universidad de Zaragoza
Departamento de Informática e Ingenierı́a de Sistemas
MEMORIA DE TESIS DOCTORAL
SIMULACIÓN EFICIENTE DE FENÓMENOS
FÍSICOS EN MEDIOS CONTINUOS:
SU APLICACIÓN A LA LOCOMOCIÓN HUMANA
Autora: Sandra S. Baldassarri
Director: Dr. D. Francisco José Serón Arbeloa
Zaragoza 2004
Grupo de Informática Gráfica Avanzada
SIMULACIÓN EFICIENTE DE FENÓMENOS
FÍSICOS EN MEDIOS CONTINUOS:
SU APLICACIÓN A LA LOCOMOCIÓN HUMANA
Memoria presentada para optar al grado de
Doctor en Ingenierı́a Informática
por
Dña. Sandra S. Baldassarri
Departamento de Informática e Ingenierı́a de Sistemas
Universidad de Zaragoza
Dirigida por
Dr. D. Francisco José Serón Arbeloa
Departamento de Informática e Ingenierı́a de Sistemas
Universidad de Zaragoza
Septiembre 2004
Grupo de Informática Gráfica Avanzada
Universidad de Zaragoza
Derechos de autor
Los derechos de la presente obra pertenecen a Dña. Sandra Baldassarri y al Dr. D.
Francisco Serón Arbeloa del Departamento de Informática e Ingenierı́a de Sistemas
del Centro Politécnico Superior de la Universidad de Zaragoza. Queda prohibida la
reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin el permiso escrito
de los autores.
El Dr. D. Francisco José Serón Arbeloa
Catedrático de la Universidad de Zaragoza
CERTIFICA
Que Dña. Sandra S. Baldassarri
ha realizado en el Departamento de Informática e Ingenierı́a de Sistemas de la
Universidad de Zaragoza, bajo mi dirección, el trabajo:
Simulación Eficiente de Fenómenos Fı́sicos en Medios Continuos: Su
Aplicación a la Locomoción Humana
Que constituye la memoria para aspirar al grado de Doctor en Informática,
reuniendo a mi juicio las condiciones necesarias para ser presentada y defendida
ante el tribunal correspondiente.
Zaragoza, Septiembre de 2004
Publicaciones directamente relacionadas con
la tesis
Publicaciones en Revistas Internacionales
Software Laboratory for Physical Based Human Body Animation
F. Rojas, S. Baldassarri, F. J. Serón
Lecture Notes in Computer Science 2492: Articulated Motion and Deformable
Objects - Springer-Verlag.
ISBN 3-540-00149-2. Páginas 226-240.
Ed. Francisco J. Perales, Edwin R. Hancock. Publicado por Springer. 2002.
Lugar de publicación: Berlin, Alemania.
Modelling objects with changing shapes: A survey
S. Baldassarri, D. Gutiérrez, F. J. Serón
Machine GRAPHICS & VISION. Vol. 11, No 4.
ISSN 1230-0535. Páginas 399-430.
Published by The Institute of Computer Science - Polish Academic of Science. 2002.
Lugar de publicación: Varsovia, Polonia.
Publicaciones en Congresos Internacionales
Visualización en Tiempo Real de la Locomoción Humana
S. Baldassarri, F. J. Serón
XVI Congreso Internacional de Ingenierı́a Gráfica
ISBN: 84-95475-39-1. Páginas 396-405. 2 al 4 de junio de 2004.
A Human Locomotion System for the Calculus of Muscle Forces
S. Baldassarri, F. Rojas, F. J. Serón
ICCB’03: International Congress on Computational Bioengineering
Depósito Legal: Z-2045-2003. Páginas 351-358. 24 al 26 de septiembre de 2003.
Obtención de los elementos anatómicos relacionados con una hernia
inguinal para su aplicación en el campo de la enseñanza en cirugı́a
D. Gutiérrez, F. J. Serón, S. Baldassarri
Ingegraf’99: XI Congreso Internacional de Ingenierı́a Gráfica
ISBN 84-699-0473-6. Vol. No 1. Páginas 492-503. 2, 3 y 4 de Junio de 1999.
Reports de Investigación
Técnicas de Modelado de Objetos Orgánicos y Naturales
S. Baldassarri, D. Gutiérrez, F. J. Serón
Research Report No 14-99 Septiembre de 1999.
Lugar de publicación: Universidad de Zaragoza, Zaragoza, España.
Aceptado para Publicación en Congreso Internacional
The Light Simulation Lab: An Inmersive Environment for the
Visualization of Complex Global Illumination Problems
F. J. Serón, S. Baldassarri, E. Sobreviela, J. A. Magallón, D. Gutiérrez
Aceptado en el Workshop Virtual Reality for Industrial Applications: VIA 2004 a
celebrar el 4 y 5 de Noviembre de 2004 en Compeigne, Francia.
Publicaciones parcialmente relacionadas con
la tesis
Publicaciones en Revistas Internacionales
Geometric and Visual Modelling of Complex Stratigraphic Structures
F. J. Serón, J. J. Torrens, J. A. Magallón, A. Turón, S. Baldassarri
Computer & Graphics, Volumen 28, Número 4. Páginas 585-599.
Agosto de 2004. Lugar de publicación: England.
Publicaciones en Congresos Internacionales
A VRML Practice Tool for Continuous and Distance Training
F. Rojas, S. Baldassarri, J.R. Lamenca, M. Rincón, F. Serón
WBLE 2000: Web-based Learning Environments
ISBN: 972-752-035-9. Páginas 58-60. Junio 2000.
Lugar de publicación: Porto, Portugal.
Publicaciones en Congresos Nacionales
Entorno de Simulación de Bajo Coste para Máquinas Herramientas
CNC
F. Rojas, S. Baldassarri, E. Meléndez, J. Lamenca, M. Rincón, J. Larroy, F. Serón
CEIG 2000: Congreso Español de Informática Gráfica
ISBN: 84-8021-314-0. Páginas 385-386.
Edit.: Publicacions de la Universitat Jaume I.
28 al 30 de junio de 2000.
Visualización 3D y 4D de algunas magnitudes provenientes de la
simulación numérica de la dinámica de fluidos F. Rojas, S. Baldassarri,
J.A. Gutiérrez, J. Ferrer.
ISBN 84-87867-71. Métodos Numéricos en la Ingenierı́a Vol. 2 - Páginas 1563-1577.
1996.
Ed. M. Doblaré, J.M. Correas, E. Alarcón, L. Gavete, M. Pastor, publicado por:
Sociedad Española de Métodos numéricos en la Ingenierı́a.
Proyectos de Investigación
CAD para Seguridad Vial basado en Sistemas de Simulación de la
Iluminación
Programa Tecnologı́a de la Información y las Comunicaciones de la Comisión
Investigadora de Ciencia y Tecnologı́a (CICYT) No TIC2001-2392-C03-02
Entidades participantes: Universidad de Girona, Universidad de Zaragoza,
Universidad de Granada
Duración: 2001 - 2004
Investigador principal: Juan José Alba López
INEVAI3D: Integración de escenarios virtuales con agentes inteligentes
3D
Programa Tecnologı́a de la Información y las Comunicaciones de la Comisión
Investigadora de Ciencia y Tecnologı́a (CICYT) No TIN2004-07926
Entidades participantes: Universidad de las Islas Baleares, Universidad de Zaragoza,
Universidad de Navarra
Duración: 2004-2007
Investigador principal: Francisco Perales
Dedicación: 16 horas
Simulación rápida de la iluminación global y sus aplicaciones al cálculo
inverso de reflectores
Programa Tecnologı́a de la Información y las Comunicaciones de la Comisión
Investigadora de Ciencia y Tecnologı́a (CICYT) No TIN2004-07672-C03-03
Entidades participantes Universidad de Girona, Universidad de Zaragoza,
Universidad de Granada
Duración: 2004-2007
Investigador principal: Francisco Serón Arbeloa
Dedicación: 16 horas
A Malena.
Agradecimientos
Es difı́cil agradecer a todas las personas que me han acompañado y ayudado
durante todos estos años para que esta tesis haya podido, por fin, ver la luz.
Ante todo quiero mencionar a mi director de tesis, el Dr. Francisco Serón. En
primer lugar, quiero agradecerle sinceramente el haberme introducido en el mundo
de los gráficos y de la enseñanza, y por haberme abierto las puertas del GIGA
desde el primer momento, sin él seguramente hoy no estarı́a aquı́... Su ayuda, sus
conocimientos y su guı́a a lo largo del desarrollo de esta tesis me ha ayudado, no
sólo a entender muchos conceptos cientı́ficos, sino también a superar los momentos
difı́ciles (que no fueron pocos). A pesar de nuestros encuentros y desencuentros,
siempre ha sacado tiempo de donde no habı́a, y sé que siempre puedo contar con él.
A todos mis compañeros del GIGA por su constante apoyo y por aguantar mis
cambios de humor, en especial en este último tiempo... Realmente es muy difı́cil
nombrarlos sin olvidarme a nadie, pero quiero hacer una mención especial para
Guti, Elsa, Juan, Emilio, y en particular, Andrés, por ser mi soporte técnico en
temas relacionados con la tesis. Y, por supuesto, al resto tengo que agradecer su
amistad, su buena predisposición, y estar “ahı́” siempre que se los necesita.
A Pilar y a Eva, porque sin ellas los veranos y los fines de semana en el CPS
hubieran sido mucho menos llevaderos.
A la Dra. Begoña Calvo tengo que agradecer el tiempo dedicado a validar los
datos de mi sistema de elementos finitos, a encontrar errores y a resolverlos. Porque
siempre estuvo dispuesta.
A mi familia de Argentina, y en especial a mi madre, por animarme y apoyarme
en esta tarea, a pesar de que la decisión de hacer la tesis constituyó el primer paso
para quedarme en España.
Y a mi familia de Zaragoza, a los que recurrı́ continuamente y que siempre
estuvieron dispuestos a ayudarme y cuidar a Malena para que yo pudiera trabajar.
A todos mis amigos que me “perdieron” durante este tiempo...
Y por supuesto, a “mi” Paco, porque sin él no estarı́amos hoy presentando este
trabajo. Su paciencia me ayudó a superar innumerabales bajones y desánimos... y
también por soportar tantos fines de semana dedicados a la tesis. Y a Malena, mi
hija, por el tiempo que no he podido dedicarle y porque me llena la vida de alegrı́a.
Índice general
1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Area de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Deformaciones musculares durante la locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
4
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9
2.Conceptos previos de anatomı́a y fisiologı́a: Modelado del cuerpo
humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Anatomı́a y fisiologı́a del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.El sistema óseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.Los ligamentos y el sistema articular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.El sistema muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.Sistema de referencias. Convenciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.Modelos Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.Modelos Anatómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15
16
17
17
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25
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28
30
3.El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) . . . 35
3.1. Descripción del sistema MOBiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Descripción e implementación del modelo de cuerpo humano . . . . . . . . . . 39
3.2.1.Definición de la estructura esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2.Definición de la capa muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3.Datos antropométricos y parametrización de los modelos . . . . . . . . . 43
3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.Simulación del movimiento global de locomoción: Fase esqueletal .
4.1. Movimiento humano y locomoción: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.Antecedentes del movimiento y la locomoción en Informática Gráfica
4.1.2.Antecedentes de la locomoción en Biomecánica y Robótica . . . . . . .
4.1.3.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Conceptos de locomoción humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.Secuenciación de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
53
56
56
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67
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ii
Contenidos
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.2.2.Simetrı́a en el paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3.Minimización del consumo energético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Descripción del sistema de movimiento global del esqueleto . . . . . . . . . . .
4.3.1.Parámetros control de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MOBIL: Implementación del modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.Método de resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.Dinámica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.Dinámica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5.Continuidad entre los sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MOBIL: Implementación del modelo cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1.Cinemática de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.Cinemática de la cadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.Cinemática de la propulsión pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4.Cinemática de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5.Cinemática del cuerpo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.6.Proceso de inicio y fin de la locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones . . . . . . . . . . . .
4.6.1.Determinación de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos
4.6.2.Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL . . . . . . . . . . .
Validación de la fase esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1.Comparación de variaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2.Comparación de valores de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3.Comparación de valores de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.Simulación de la deformación local del músculo: Fase músculoesqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.1.Modelos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.2.Modelos basados en la fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1.3.Modelos hı́bridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.4.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.1.Métodos experimentales de obtención de fuerzas musculares . . . . . . 149
5.2.2.Análisis funcional de las acciones musculares durante la locomoción 150
5.3. Descripción del sistema de deformación local del músculo . . . . . . . . . . . . 153
5.4. Modelo basado en lı́neas de acción: Introducción de músculos en el
modelo esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4.1.Distribución de fuerzas musculares en las articulaciones . . . . . . . . . . 154
5.4.2.MOBiL: Implementación del modelo de lı́neas de acción muscular . 157
5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los músculos164
Contenidos
iii
5.5.1.Formulación matemática del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2.Formulación por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3.MOBiL: Implementación del sistema de deformaciones . . . . . . . . . .
5.6. Validación de la fase músculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
169
171
179
182
6.Integración final y visualización: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Sistema de Visualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1.Detalles de implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.Simulación del movimiento esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.Simulación de las deformaciones musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.Integración de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.Tiempos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.Conclusiones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Objetivos Planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Objetivos Alcanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Trabajo en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1.Apariencia visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2.Movimiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3.Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.4.Optimizaciones para Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
217
217
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Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Apéndice: Datos y constantes antropométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1. Datos correspondientes al esqueleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Datos correspondientes a los músculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Uniones entre huesos y músculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Apéndice: Actividad Muscular durante la Locomoción . . . . . . . . . . . . . . .
C. Apéndice: Parámetros de diferenciación del paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Apéndice: Constantes fı́sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
241
241
241
241
245
253
255
1 Introducción
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Area de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deformaciones musculares durante la locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introducción
El ser humano se caracteriza por interactuar de forma activa con el
entorno, por lo que moverse, hablar o manipular objetos son acciones
comunes en nuestra vida. Es natural, entonces, la tendencia que se observa
en el mundo cientı́fico por recrear con verosimilitud las acciones funcionales
y de comportamiento del ser humano. Como la Informática Gráfica es la
última de las disciplinas cientı́ficas que se ha incorporado a la tarea de
“replicar” al ser humano, cualquier trabajo de investigación sobre animación
realista del cuerpo humano está continuamente bordeando las interrelaciones
con la Biomecánica o la Robótica. En este capı́tulo introductorio se presenta,
en primer lugar, el marco en que se desarrolla esta tesis. A continuación
se lleva a cabo una revisión de los trabajos que abordan el problema de la
deformación de los músculos durante la locomoción humana, indicando las
diferentes lı́neas de investigación y los problemas que hoy en dı́a permanecen
abiertos. Este estudio permite definir los objetivos de la tesis y determinar
los problemas que se van a abordar en la misma. En último lugar se describe
la estructura seguida para el desarrollo de la memoria.
1.1.
Area de desarrollo
Durante años, tanto el modelado como la animación de la figura humana han sido
objetivos muy importantes en el mundo de la Informática Gráfica. Los primeros
humanos generados por ordenador datan de los años ’60 y estaban representados
por estructuras constituidas únicamente por segmentos articulados, mientras que
el movimiento se simulaba por medio de modelos cinemáticos. Sin embargo, estos
modelos no permitı́an simular el cuerpo humano ni su movimiento de una manera
realista... Por ello, numerosos investigadores se han dedicado a mejorar la apariencia
del cuerpo superponiendo superficies y volúmenes sobre el esqueleto, y a mejorar la
continuidad y la fluidez de los movimientos por medio de modelos dinámicos.
Gracias a las investigaciones realizadas en el mundo de los gráficos y a los avances
tecnológicos, hoy en dı́a es posible encontrar seres humanos sintéticos en entornos
que van desde los juegos por ordenador hasta la realidad virtual o la realidad
aumentada, tanto para aplicaciones lúdicas, médicas, ergonómicas, educativas o
militares [FDFH89] [BPW93] [KMTM+ 98] [Bad01].
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Capı́tulo 1: Introducción
Sin embargo, la simulación de seres humanos tiene asociados problemas complejos,
fundamentalmente debido a la capacidad de cualquier observador para detectar
anomalı́as o irregularidades en algo tan familiar como es el movimiento o el cuerpo
de una persona. Y, a pesar de los avances logrados, aún hoy en dı́a los modelos y
las animaciones suelen ser computacionalmente muy costosas cuando se pretende
simular de manera realista. Por una parte, hay que considerar que es casi imposible
de representar la complejidad inherente al cuerpo humano a no ser que se trabaje
con modelos simplificados para recrear las formas... y por otro lado, el modelado
del movimiento implica considerar un gran número de articulaciones y grados de
libertad (más de 200 grados de libertad [Zel82]), prácticamente inabordables desde
el punto de vista de su resolución numérica.
Asimismo, aunque se consiga recrear perfectamente la forma del cuerpo humano,
hay que tener en cuenta que ésta puede variar durante la animación, ya que
los músculos se mueven, se estiran o contraen, y la apariencia externa cambia
continuamente. Por ello, para representar la complejidad del cuerpo humano es
fundamental abordar la simulación de los músculos y las deformaciones que se
producen cuando se realiza un movimiento. La visualización del comportamiento
de los músculos durante una actividad determinada es de particular interés en
numerosos campos como la medicina, los videojuegos, los entornos de realidad
virtual, el análisis ergonómico o, por ejemplo, el alto rendimiento de los atletas.
El modelado y la animación de las deformaciones del cuerpo humano requiere
entender e integrar conocimientos que provienen de áreas tan diversas como la
anatomı́a, la fisiologı́a, la biomecánica, la fı́sica, la robótica, las matemáticas y la
informática. En esta tesis confluyen dichos conocimientos para lograr la generación
y visualización, en tiempos cercanos al real, de las deformaciones que se producen en
los músculos del cuerpo humano durante la animación de un movimiento particular
como es la locomoción.
En el próximo capı́tulo se van a repasar los diferentes modelos y sistemas que se han
ido proponiendo en el campo de la Informática Gráfica para tratar la representación
y simulación de las deformaciones musculares durante la locomoción. No se trata de
un recorrido exhaustivo, sino de una breve exposición de los trabajos más relevantes
que incluyen movimientos y deformaciones, dentro de la Informática Gráfica.
1.2.
Deformaciones musculares durante la locomoción
La simulación de los seres humanos involucra dos áreas fundamentales: la creación
de la forma y de su apariencia, y el movimiento del esqueleto. En este trabajo
de investigación estos conceptos están altamente relacionados, ya que es necesario
“animar” la forma del cuerpo, a partir de los movimientos que se realizan con el
esqueleto. De este modo, el problema involucra además del modelado de la forma del
cuerpo, la representación y la simulación del movimiento del esqueleto y la animación
de las deformaciones que se producen en el cuerpo a partir de dichos movimientos.
Capı́tulo 1: Introducción
5
A lo largo de esta memoria se hace un análisis especı́fico de los trabajos
relacionados con cada uno de los temas abordados para el desarrollo de esta tesis.
En cada capı́tulo se realiza un estado del arte de los trabajos más relevantes: el
modelado del cuerpo humano en la sección 2.2, la simulación del movimiento
en Informática Gráfica en la sección 4.1.1, y más especı́ficamente, los trabajos en
locomoción tanto desde el punto de vista biomecánico como robótico en la sección
4.1 ya que sus conceptos y datos experimentales son de especial interés, y finalmente,
la animación de las deformaciones musculares en la sección 5.1.
Por lo tanto, en este apartado no se pretenden abordar todos los estudios
realizados. El objetivo es centrar la atención en aquellos trabajos que relacionan
directamente las deformaciones musculares con la locomoción. Sin embargo, hay
que aclarar, en primer lugar, que aunque existen numerosos trabajos que generan
animaciones donde se incluye el movimiento del esqueleto y la deformación muscular,
las deformaciones se producen a partir de un cambio en las posiciones de los
segmentos que forman en el esqueleto, normalmente con datos capturados o por
especificación directa del animador. En ningún caso se producen deformaciones de
manera coordinada con un sistema de locomoción.
Uno de los primeros e importantes trabajos en el área de la simulación de las
deformaciones de los músculos es el modelo presentado por Chen y Zeltzer [CZ92].
En dicho trabajo se utiliza el modelo biomecánico de acción muscular de Zajac-Hill
[Zaj89] para simular las fuerzas musculares y visualizar la dinámica de la contracción
muscular. Estas fuerzas no lineales se aplican a una malla de elementos finitos, a la
que luego se le aplica una deformación de forma libre. Sin embargo, el modelo sólo
permite trabajar con los músculos de manera aislada y es una aproximación muy
costosa para tiempo real. A pesar que tiene en cuenta los desplazamientos de los
segmentos del esqueleto, el método no puede usarse para generar deformaciones en
entornos dinámicos.
En el trabajo de Komura [KSK00] se utiliza un modelo músculo-esqueletal
[DLH+ 90] simplificado donde la acción muscular también se representa por medio
del modelo biomecánico de Zajac-Hill. Los movimientos del esqueleto se calculan por
interpolación de curvas B-spline entre cuadros claves, capturados o especificados por
el usuario. Posteriormente se aplica una función basada en la dinámica muscular
que permite determinar si el movimiento es o no factible, e incluso hacer que el
movimiento sea factible balanceando el cuerpo a partir de los valores de fuerza
de los músculos [KS97]. Dichos valores se obtienen por dinámica inversa con el
paquete comercial SD/FAST. En el trabajo, los movimientos que genera están
relacionados con las extremidades inferiores, de modo que sólo se visualizan, por
medio de cilindros generalizados, algunos de los músculos asociados a las piernas.
En los trabajos de Wilhelms [Wil95] [Wil97] y de Scheepers [SPCM97] se utilizan
modelos anatómicos en los cuales los músculos se representan por medio de un
conjunto de elipsoides deformables. Los cambios como la flexión o el aumento de
la musculatura se simulan deformando los elipsoides de acuerdo a los cambios de
6
Capı́tulo 1: Introducción
las articulaciones del esqueleto subyacente. En [WV97], sin embargo, se extiende la
representación a cilindros deformables discretizados que yacen entre puntos fijos de
orı́genes e inserciones en huesos especı́ficos. La animación de la deformación muscular
se realiza recalculando la forma del músculo cada vez que mueve la articulación del
origen o de la inserción. El volumen del músculo se mantiene “aproximadamente”
constante, escalando el ancho en función de la longitud de reposo y la longitud
después de realizar la deformación.
[IMH02] trabaja con modelo 3D reconstruido a partir de datos anatómicos, del que
resultan tres capas: hueso, músculos y tejido blando. Las deformaciones se realizan
por medio de un sistema de masa-muelle que se aplica sobre los puntos de masa
que forman la superficie de la capa muscular. Para generar el movimiento parte del
cálculo de la fuerza muscular, para luego calcular la fuerza en la articulación y poder
deducir la posición del músculo. Sin embargo, no se especifica en ningún momento
donde obtiene los valores de las fuerzas musculares, bastante difı́ciles de hallar, aún
en la literatura biomecánica. El sistema no permite trabajar con varios músculos
sino de manera individual, de modo que cada uno genera una fuerza y produce
un movimiento especı́fico. Asimismo, no se ofrece ninguna información para saber
qué músculo está asociado a una articulación o cómo puede producir un movimiento
determinado.
[NT98] también se basa en un modelo anatómico de tres capas formado por
esqueleto, músculo y piel [ST95]. La forma de los músculos se define por medio
de una superficie implı́cita y se utiliza una lı́nea de acción para representar la
fuerza producida por el músculo en el hueso. La simulación del movimiento se hace
desplazando primero la lı́nea de acción y deformando después el músculo en base a un
sistema de partı́culas modelado con muelles. La simulación del movimiento se hace
aplicando las ecuaciones de movimiento a cada partı́cula del modelo [TPBF87]. El
problema de este método consiste en que requiere unos parámetros de deformación
(elasticidad y curvatura) que no están relacionados con ningún concepto fı́sico, y
no son intuitivos para el animador. El movimiento global del esqueleto se obtiene
por modificación interactiva del valor de una articulación [NT98] o por medio de
datos capturados [NT00]. Aunque utiliza primitivas de volumen, el modelado de los
músculos no es volumétrico ya que no hay información acerca del interior de los
músculos. Y, a pesar de que en [NT00] incluye más de una lı́nea de acción muscular,
y de que se trabaja con polilı́neas, no hay información acerca de como se restringe la
superficie del músculo en el caso de que la lı́nea de acción esté compuesta por varios
segmentos. Los resultados pueden ser en tiempo real, dependiendo de la exactitud
buscada. Sin embargo, el realismo no es mucho si se trabaja para tiempo real.
Aubel y Thalmann se basan en el trabajo citado anteriormente para desarrollar una
herramienta interactiva que permite deformar automáticamente una capa muscular
de manera anatómicamente correcta [AT01b] [AT01a]. El resultado que se obtiene es
una colección de posturas estáticas, en las que no se incluye ningún efecto dinámico
Capı́tulo 1: Introducción
7
como inercia o gravedad. Los modelos de músculo en los que se basa provienen de
[PBP+ 96].
En el trabajo de Dong et al. [DCKY02] los músculos se representan por una lı́nea
de acción y una superficie que se genera a partir de un perfil de curva extraı́do de
datos anatómicos. Sin embargo, en este caso, los músculos se dividen en categorı́as
de acuerdo a su forma estructural y su esquema de deformación. Concretamente, las
deformaciones se hacen de acuerdo al movimiento de las inserciones de los músculos
en los huesos, reposicionando lı́neas de acción, moviendo los tendones y deformando
los perfiles de las curvas que forman el músculo en respuesta al movimiento de
los tendones, luego se recalcula la superficie de modo que preserve volumen. Los
datos de movimiento se obtiene a partir de captura de movimiento, por medio del
software 3DStudio. Los músculos se visualizan de manera individual y presentan una
apariencia realista, principalmente porque sobre su superficie se aplican texturas
obtenidas a partir de las orientaciones de las fibras de los datos anatómicos. Sin
embargo, los resultados distan mucho de poder visualizarse en tiempo real, aunque
esto mejorarı́a si se incluyeran modelos musculares volumétricos en lugar de modelos
de superficies ya que reducirı́a el tiempo que se emplea en detección de colisiones.
A pesar de que los resultados están pensados para la educación en medicina y en
biomecánica, no se obtienen valores fı́sicos ni musculares reales, ni el método sigue
patrones biomecánicos.
En el trabajo de Ng-Thow-Hing y Fiume [NF02] los músculos se representan de
forma individual, pero basándose en un B-spline sólido como primitiva básica. La
formulación matemática del B-spline sólido permite trabajar con múltiples formas de
músculos (fusiforme, triangular,...) y diferentes tamaños de inserciones. La forma del
músculo se obtiene a partir de extracción de curvas de contorno de datos anatómicos,
representando también la arquitectura de las fibras musculares. La deformación
muscular se logra embebiendo una red de tipo masa-muelle-amortiguador en el sólido
B-spline, aunque en la práctica la red no coincide exactamente con los puntos de
control del B-spline [Ng 01]. Variando las magnitudes de fuerza en la red se obtienen
diferentes efectos fı́sicos que permiten realizar animaciones, sin embargo, su trabajo
está centrado en el modelado realista de los músculos, más que en su animación.
Por otra parte, en [ZLW03] la forma de los músculos también se obtiene por
extracción de curvas de contorno a partir de datos anatómicos, pero en este caso
se representa por medio de una curva axial que define la posición y dirección del
músculo y varias secciones de cruce con puntos de control que permiten definir
la forma del músculo. A partir del movimiento de las articulaciones se realiza la
deformación del modelo, en base a relaciones puramente geométricas entre la curva
axial y las secciones de cruce, teniendo en cuenta caracterı́sticas fisiológicas de los
músculos. El trabajo se centra en obtener deformaciones musculares en el tiempo
real, a costa de no ofrecer imágenes muy realistas.
En el mundo de los gráficos existen, por supuesto, muchas más investigaciones
acerca de las deformaciones musculares, pero no incluyen ningún tipo de información
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Capı́tulo 1: Introducción
acerca del movimiento del esqueleto subyacente [ZCK98] [TBNF03] o la deformación
producida no está directamente relacionada con los movimientos del esqueleto,
como por ejemplo en las simulaciones de deformaciones en cirugı́a virtual [BNC96]
[CDA99] [CDA00] [KÇM00]. Como ya se ha comentado, estos trabajos se detallan
en la sección 5.1.
1.3.
Limitaciones de los modelos
En vista de los modelos previamente estudiados se observa que es común encontrar
sistemas que permiten representar la deformación muscular producida a partir
de ciertos movimientos, pero no existen referencias que permitan la animación
conjunta y coordinada de la simulación de la locomoción humana y la deformación
muscular que se produce por dicho movimiento. No suele haber retroalimentación
ni coordinación en los movimientos y en ningún caso se integra la deformación local
con la animación de un movimiento complejo y global como la locomoción.
En su gran mayorı́a, los trabajos existentes se centran en la realización de
movimientos generales, muy simples, donde la deformación exterior se produce a
partir de un desplazamiento especı́fico del esqueleto, que generalmente provienen de
un movimiento articular simple o de sistemas de captura. A pesar que las técnicas
de captura de movimiento ofrecen resultados satisfactorios, están restringidas a los
movimientos del actor, no hay soluciones generales, y resulta difı́cil trabajar con
movimientos no capturados. Sin embargo, por medio de la sı́ntesis y la simulación por
ordenador es posible generar datos (para cada instante de tiempo) de un movimiento
complejo como la locomoción. De este modo es posible representar individuos con
caracterı́sticas diferentes, como altura, peso o grado de balanceo de la pelvis mientras
se mantiene el mismo realismo desde el punto de vista fı́sico.
Asimismo, en los trabajos relacionados con el movimiento en Informática Gráfica
se observa que los objetivos perseguidos son, o bien visualización en tiempo real
o bien representar resultados “realistas” o visualmente correctos. Por lo tanto,
prácticamente no existen referencias en las que se represente la fı́sica del problema.
Estos modelos, por tanto, no incluyen parámetros fı́sicos ni los modelos planteados
se utilizan para verificar ningún tipo de comportamiento fı́sico. Para abordar estos
problemas es conveniente trabajar con entornos de simulación regulados por leyes de
comportamiento basadas en la Fı́sica y realizar validaciones con estudios realizados
en el área de biomecánica.
Desde el punto de vista del modelado del cuerpo, en la gran mayorı́a de los
trabajos estudiados, la especificación de los músculos se realiza utilizando modelos
de superficies, aún en los modelos basados en la anatomı́a y en aquellos que incluyen
varias capas. Para considerar la posibilidad de trabajar con la composición interna
de los diferentes elementos que forman el cuerpo, es necesario tratar con modelos
volumétricos donde se caracterice no sólo la superficie sino también el interior de los
objetos.
Capı́tulo 1: Introducción
1.4.
9
Objetivos de la Tesis
En las secciones anteriores se han presentado diferentes modelos que abordan el
problema de la animación de las deformaciones musculares producidas por algún
movimiento del cuerpo y se han puesto de manifiesto las limitaciones de dichos
modelos.
La idea básica de esta tesis es proveer de un sistema que permita animar,
de manera coordinada, las deformaciones locales de los músculos y
el movimiento global del esqueleto, durante el desarrollo de una actividad
compleja, como es la locomoción.
Dentro de este contexto, esta tesis tiene los siguientes objetivos especı́ficos:
Estudio de la problemática relacionada con las deformaciones musculares y con el
control del movimiento del cuerpo humano, en particular durante la locomoción.
Desarrollo de un sistema integrado de simulación capaz de generar las
deformaciones que se producen en los músculos durante la locomoción humana.
• Desarrollo e implementación de un método para animar la locomoción
humana que permita:
◦ Controlar el movimiento de una forma sencilla e intuitiva,
◦ Generar animaciones en tiempo real de locomociones de individuos de
caracterı́sticas antropomórficas diferentes,
◦ Generar valores de momentos y fuerzas.
• Desarrollo e implementación de un sistema de simulación para la deformación
de objetos en 3 dimensiones que permita:
◦ Utilizar los datos de fuerzas obtenidos de la locomoción,
◦ Realizar deformaciones con apariencia realista,
◦ Trabajar con tiempos de cálculo aceptables.
Desarrollo de una plataforma que permita visualizar y generar animaciones de
los resultados de las simulaciones.
1.5.
Estructura de la memoria
El capı́tulo 1 presenta el marco de desarrollo de esta tesis y describe brevemente
el estado actual de la investigación en las deformaciones que se producen en los
músculos durante la locomoción humana. Dicho estudio permite establecer las
limitaciones de los diferentes modelos y especificar los objetivos concretos que se
abordan en este trabajo.
El capı́tulo 2 se centra en la definición del cuerpo humano, describiendo sus
caracterı́sticas anatómicas y fisiológicas. Un estado del arte del modelado del cuerpo
humano permite establecer las bases para la elección del modelo a implementar.
En el capı́tulo 3 se presenta una descripción general del sistema desarrollado a lo
largo de esta tesis, denominado MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion).
El sistema está formado por dos fases: la fase esqueletal, que corresponde a la
10
Capı́tulo 1: Introducción
simulación del movimiento global y la fase músculo-esqueletal, que corresponde
a la simulación de la deformación local del músculo. Posteriormente, se describe
el modelo de cuerpo humano adoptado para este trabajo, ya que es común a
ambas fases, y se establecen las medidas antropométricas utilizadas y las técnicas
implementadas para la parametrización de los modelos.
El capı́tulo 4 se centra en la simulación del movimiento global de locomoción. En
primer lugar se presentan los trabajos desarrollados en este campo, considerando
no sólo los antecendentes en Informática Gráfica sino también en Biomecánica
y Robótica. Posteriormente se describe detalladamente el sistema implementado
de movimiento global, que se divide, básicamente, en dos modelos: un modelo
dinámico y un modelo cinemático, que permiten realizar el cálculo de las fuerzas
y los momentos netos en las articulaciones. Por último, se validan los sistemas
desarrollados con datos obtenidos de la literatura, tanto para el comportamiento
del sistema de locomoción como para la obtención de los patrones de momentos
netos en las articulaciones.
En el capı́tulo 5 se presentan los trabajos realizados hasta el momento en el
área de deformación muscular. A continuación se detalla el sistema de cálculo
de deformaciones musculares, que se divide en una fase de cálculo de lı́neas de
acción y una fase de resolución de la deformación por medio de un modelo de
elementos finitos. Finalmente se valida el modelo de elementos finitos implementado,
comparando sus resultados con los resultados obtenidos por medio de otras
aplicaciones de FEM.
Tanto el capı́tulo 4 como el capı́tulo 5 contienen un apartado en el que se
establecen todos aquellos conceptos teóricos necesarios para un mejor entendimiento
del capı́tulo.
El capı́tulo 6 describe el sistema de visualización desarrollado, que integra los
módulos de MOBiL desarrollados en los capı́tulos anteriores. Posteriormente se
presentan los resultados obtenidos a lo largo de este trabajo.
Y, finalmente, en el capı́tulo 7 se presentan las conclusiones y las lı́neas de trabajo
previstas para el futuro.
La memoria finaliza con cuatro apéndices que se dedican a presentar los
datos antropométricos utilizados a lo largo del trabajo (Apéndice A), detallar la
actividad de los músculos durante la locomoción (Apéndice B), definir los diferentes
parámetros de diferenciación del paso que permiten presentar individualizar las
locomociones de los diferentes individuos (Apéndice C) y definir las constantes fı́sicas
utilizadas (Apéndice D).
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11
12
Capı́tulo 1: Introducción
[SPCM97]
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Conceptos previos de anatomı́a y fisiologı́a:
2 Modelado del cuerpo humano
2. Conceptos previos de anatomı́a y fisiologı́a: Modelado del cuerpo humano
2.1. Anatomı́a y fisiologı́a del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.El sistema óseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.Los ligamentos y el sistema articular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.El sistema muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.Sistema de referencias. Convenciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.Modelos Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.Modelos Anatómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conceptos previos de anatomı́a y fisiologı́a:
Modelado del cuerpo humano
Este capı́tulo ofrece una descripción de la estructura del cuerpo humano.
En primer lugar se presenta la descripción del cuerpo desde el punto de
vista anatómico y fisiológico, considerando tanto el sistema óseo, como
el articular y el muscular, haciendo especial hincapié en este último.
Posteriormente se presenta la evolución de las técnicas de modelado del
cuerpo humano en el área de la Informática Gráfica. Estas técnicas se
han clasificado de acuerdo a dos categorı́as básicas: modelos geométricos y
modelos anatómicos, dependiendo si los modelos incluyen representaciones
abstractas de los elementos que forman el cuerpo o si se basan en datos
anatómicos, obteniendo representaciones concretas de huesos, músculos y
tejidos blandos. Por último se realizan consideraciones acerca del método de
modelado de cuerpo humano más adecuado para el desarrollo de este trabajo.
2.1.
Anatomı́a y fisiologı́a del cuerpo humano
El cuerpo humano se caracteriza por ser un sistema muy complejo desde el punto de
vista mecánico, ya que es una estructura complicada con más de doscientos huesos,
un centenar de articulaciones y más de 650 músculos actuando de forma coordinada.
Un modelo completo de funcionamiento del cuerpo se deberı́a representar por
medio de un conjunto de elementos rı́gidos y deformables, con más de 200 grados
de libertad [Zel82], lo que serı́a extremadamente complejo. Además, los músculos
cambian su forma debido a contracciones, extensiones o contactos . Tanto los
músculos como los huesos, se encuentran recubiertos por las diferentes capas que
constituyen la piel, que suavizan visualmente los movimientos y las formas.
A continuación se presenta la descripción anatómica y fisiológica de los sistemas
óseo, articular y muscular. En particular, se fijan una serie de conceptos sobre
el funcionamiento de los músculos esqueléticos, fundamentales en el proceso del
movimiento del cuerpo humano. Asimismo se describe el sistema de referencias que
se utiliza en anatomı́a para expresar las relaciones entre las diferentes partes del
cuerpo.
15
16
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
2.1.1.
El sistema óseo
El sistema óseo del cuerpo humano está formado por 208 huesos [NG99]: 26 en la
columna vertebral, 8 en el cráneo, 14 en la cara, 8 en el oı́do, 1 hueso Hioides, 25
en el tórax, 64 en los miembros superiores, 62 en los miembros inferiores (los más
importantes se pueden observar en la figura 2.1). El conjunto de huesos y cartı́lagos
forma el esqueleto. Las funciones del esqueleto son múltiples: sostiene al organismo
y protege a los órganos delicados, a la vez que sirve de punto de inserción a los
tendones de los músculos.
Figura 2.1. Principales huesos del esqueleto humano
Desde el punto de vista del sistema óseo, el cuerpo humano se suele dividir en
cabeza, tronco y extremidades. La cabeza está constituida por el cráneo y la cara.
Los huesos del cráneo son 8 y forman una caja resistente para proteger el cerebro.
Los huesos de la cara son 14. Entre los huesos del tronco se puede encontrar en
primer lugar la clavı́cula y el omóplato, que sirven para el apoyo de las extremidades
superiores. La columna vertebral es un fuerte pilar que tiene una cierta flexibilidad y
está formada por una treintena de vértebras que cierran por detrás la caja torácica.
En la porción dorsal de la columna, se articula con las costillas que protegen a
los pulmones, formando la caja torácica o tórax. Las costillas de ambos lados se
unen en el esternón. En la pelvis (ilion, isquión y pubis) se apoyan las extremidades
inferiores. Las extremidades superiores se articulan con el tronco en la unión de
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
17
clavı́cula y omóplato con el húmero, formando la articulación del hombro. El resto
de los huesos del brazo son: el cúbito y el radio que forman el antebrazo, el carpo,
formado por 8 huesecillos de la muñeca, los metacarpianos en la mano y las falanges
en los dedos. Las extremidades inferiores se articulan en la unión de la pelvis y el
fémur, formando la articulación de la cadera. El resto de los huesos de las piernas
son: la rótula que se encuentra en la rodilla, la tibia y el peroné, el tarso, formado
por 7 huesecillos del talón, el metatarso en el pie y las falanges en los dedos.
2.1.2.
Los ligamentos y el sistema articular
Las diferentes partes del esqueleto se conectan entre sı́ por medio de los ligamentos
y las articulaciones. Sus funciones principales son las de movilidad y estabilidad.
Los ligamentos permiten conectar huesos adyacentes por medio de las
articulaciones y están compuestos de colágeno. El ligamento más poderoso del cuerpo
humano se encuentra en la cápsula de la articulación de la cadera e impide el giro
hacia atrás de la pierna (soporta valores de fuerza de 3000 N).
Las articulaciones están formadas por cápsulas que cubren los extremos de los
huesos con cartı́lago y que por su parte exterior están recubiertas por poderosos
ligamentos. En la capa más interna de las cápsulas existen unas células que producen
un fluido, de nombre lı́quido sinovial, que es un excelente lubricante. Una fina capa
de grasa separa las zonas interna y externa de la articulación.
Existen diferentes tipos de articulaciones que normalmente se clasifican atendiendo
al modelo mecánico que las describe, en particular según el número de grados de
libertad que permite la articulación y si son traslaciones o giros. En general, la
unión entre dos cuerpos puede tener seis grados de libertad, tres traslaciones y
tres giros sobre tres direcciones perpendiculares entre sı́ (roll, pitch, yawn). Sin
embargo, muchas de las articulaciones del cuerpo humano no pueden ser comparadas
con los tipos representados y se deben utilizar combinaciones de varios tipos para
describirlas.
La figura 2.2 presenta la representación y localización de las articulaciones del
cuerpo humano.
2.1.3.
El sistema muscular
Los músculos son estructuras activas capaces de transformar la energı́a quı́mica
en energı́a mecánica, eléctrica o térmica, dependiendo de la función del músculo.
Desde el punto de vista anatómico, los músculos se clasifican en:
Esqueléticos: Estos músculos, también llamados voluntarios o estriados,
constituyen el 40 % de la masa corporal. Reciben el nombre de estriados por
estar formados por células largas estriadas adheridas al esqueleto óseo, al que
mueven de forma voluntaria.
Lisos: Estos músculos están formados por células en forma de huso, cortas y
sin estrı́as. Son músculos involuntarios de contracción lenta, que se encuentran
18
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
Figura 2.2. Principales tipos de articulaciones del cuerpo humano
principalmente en el estómago, el intestino y las paredes de los vasos sanguı́neos.
Constituyen algo menos de un 10 % de la masa corporal.
Músculo cardı́aco: Este músculo tiene una estructura especial ya que se trata de
una variedad de músculo estriado, pero de contracción involuntaria.
Los músculos esqueléticos son los responsables del movimiento de las
articulaciones, y por lo tanto, de todos los huesos del cuerpo. Los músculos están
unidos al esqueleto por medio de los tendones, los cuales, al igual que los ligamentos,
están compuestos de colágeno.
La estructura interna del músculo esquelético está compuesta por una parte central
que se encuentra rodeada por una capa de material conectivo llamada epimysium
(ver figura 2.3), unida al hueso por medio del tendón. El ángulo que forman las
fibras del músculo con el tendón se denomina ángulo de pennation.
Las fibras del músculo, denominadas fasciculi, poseen diferentes longitudes y un
diámetro aproximado de 10 a 100 micras. Están compuestas por elementos más
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
19
Figura 2.3. Estructura interna del músculo esquelético
pequeños, de 1 a 2 micras de diámetro, llamadas miofibrilas. Estas miofibrilas están
compuestas a su vez por elementos llamados sarcómeros de 1 a 2 micras de longitud
que se repiten formando patrones, que dan la apariencia externa caracterı́stica de los
músculos. Frente a estı́mulos externos los sarcómeros se contraen a lo largo de su eje,
de manera tal que las estructuras que conforman son capaces de ejercer una fuerza
total entre los extremos del músculo. A nivel microscópico, existen dos proteı́nas
contráctiles que se encuentran en la composición de los sarcómeros, la actina y la
miosina, que forman dos tipos de filamentos, unos gruesos de miosina y otros mucho
más finos de actina que se encadenan en uniones hexagonales. Cuando el músculo se
contrae, los filamentos de actina se mueven entre los de miosina y como consecuencia
la miofibrilas se acortan y engordan.
Aunque la estructura interna de todos los músculos esqueléticos es similar, existen
diferentes tipos de músculos atendiendo a su forma, número de inserciones y otras
caracterı́sticas morfológicas (ver figura 2.4).
El cuerpo humano tiene unos 650 músculos de acción voluntaria (ver figura 2.5),
que son los “motores” fundamentales de todos los movimientos del ser humano.
De acuerdo a su participación en la producción de un determinado movimiento,
se pueden clasificar en:
Agonistas o motores: representan aquellos músculos directamente responsables
de producir un un movimiento articular.
Antagonistas: la contracción de estos músculos tiende a producir una acción
articular exactamente opuesta a alguna acción articular determinada de los
músculos agonistas.
Sinergistas (o motores secundarios): colaboran con la acción del agonista en la
ejecución de un movimiento, pero son menos efectivos e importantes.
Sin embargo, en la práctica se habla de fuerzas y movimientos articulares globales
(por ejemplo, un momento flexor es igual a la acción de los flexores -agonistasmodificada por los sinergistas y antagonistas que actúan de estabilizadores).
20
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
Figura 2.4. Tipos de músculos esqueléticos de la anatomı́a humana
Origen e Inserción del músculo. La mayor parte de los músculos se conectan con los
huesos en sus dos extremos, y pueden pasar a través de una articulación (músculo
monoarticular ), dos articulaciones (músculo biarticular ) o varias articulaciones
(músculo poliarticular ). Los puntos en los que el músculo se une al esqueleto se
denominan origen e inserción. Por convención, se considera como origen al punto
más cercano al centro de masas del cuerpo, y debido a que la masa es mayor en
el centro, usualmente es también el menos móvil de los dos puntos (ver figura 2.6),
mientras que la inserción es el punto donde se realiza la acción. Sin embargo, esto
no es una regla formal, ya que hay músculos que están unidos a dos huesos en una
articulación, y cada uno de los huesos puede funcionar tanto como punto fijo o como
móvil en un momento dado [Whi03].
El punto donde el músculo se une a la articulación es particularmente importante,
ya que un centı́metro de diferencia en la longitud que existe desde el punto de
giro de articulación al punto de inserción del músculo puede producir un aumento
considerable en el momento de la fuerza. Frecuentemente los tendones se apoyan
en protuberancias óseas o tienen huesecillos interpuestos que cambian la dirección,
aumentando el ángulo de inserción y con ello el brazo del momento.
Activación y Contracción muscular. Los músculos están conectados a la columna
vertebral por medio de los nervios. El estı́mulo que produce el sistema nervioso
llega al músculo por medio de ramificaciones nerviosas que penetran hasta las fibras
musculares, produciendo la contracción de las fibras. Para regular la potencia de
la contracción, se activa un número variable de fibras. De este modo, las fibras
musculares permiten variar la intensidad de la contracción dependiendo de la carga
contra la que tengan que actuar: cuántas más fibras estimule el sistema nervioso,
mayor será la fuerza generada por la contracción muscular.
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
21
Figura 2.5. Principales músculos del cuerpo humano
Sin embargo, una contracción muscular representa la generación de tensión dentro
del músculo, pero no implica necesariamente un acortamiento visible del propio
músculo o un movimiento articular. Por ello, atendiendo al modo en que se realice
la tensión en un músculo, las contracciones se clasifican en:
Contracción isométrica o estática: el músculo experimenta una tensión muscular
sin cambio perceptible en la longitud y sin producir movimiento.
Contracción isotónica o dinámica: el músculo desarrolla y mantiene una tensión
constante mientras se acorta o alarga, por lo tanto produce movimiento.
• Contracción concéntrica: el músculo, al reducir su longitud, desarrolla una
tensión suficiente para superar una resistencia o para mover un segmento
corporal.
• Contracción excéntrica: el músculo se alarga lentamente mientras cede a una
resistencia/fuerza externa mayor que la tensión/fuerza de contracción ejercida
por el músculo.
Co-contracción: representa la contracción que ocurre cuando se contraen
simultáneamente los músculos agonistas y antagonistas. Consecuentemente, no
hay movimiento articular.
22
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
Figura 2.6. Origen e inserción de un músculo
Fuerza muscular. La fuerza máxima que puede realizar un músculo está relacionada con
el área de sección transversal fisiológica (ASTF) y con la disposición de las fibras
del músculo. La disposición de las fibras dentro del músculo determina la dirección
de la fuerza, y puede ser: “penniforme” o “paralela” (ver figura 2.7).
Figura 2.7. Orientación de las fibras musculares: Penniforme y Paralela, donde Lm es la longitud del músculo junto con
el tendón, Lt es la longitud del tendón, Lm es la longitud del músculo, Lf es la longitud de las fibras y α es el ángulo
de pennation
La orientación paralela o longitudinal se compone de fibras que recorren toda la
longitud del músculo, desde el origen a la inserción. El área de sección transversal
fisiológica (ASTF) de un músculo de fibras paralelas se puede estimar a partir de
los siguientes datos [Win90]:
AST F = m/(Lf · ρ)
(2.1)
donde m es la masa del músculo, Lf es la longitud de las fibras y ρ representa la
densidad del músculo.
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
23
Sin embargo, los músculos penniformes poseen fibras oblicuas cortas, de modo que
la fuerza sólo se ejerce a través de una distancia reducida. El ángulo que las fibras
forman con el tendón en los músculos penniformes se denomina ángulo de pennation.
En estos músculos el ASTF se calcula del siguiente modo [Pie95], creciendo a medida
que el músculo se acorta:
AST F = (m · cos α)/(Lf · ρ)
(2.2)
donde m, Lf y ρ representan los mismos valores que en la ecuación 2.1, y α es el
ángulo de pennation.
2.1.4.
Sistema de referencias. Convenciones.
Los términos anatómicos que describen las diferentes partes del cuerpo se basan
en una posición de referencia, denominada posición anatómica. Dicha posición
corresponde a una persona erguida, de pie, con los pies juntos y los brazos a los
costados del cuerpo, con las palmas hacia afuera. Sin embargo, para definir de
manera inequı́voca la disposición de las partes del cuerpo es necesario establecer
planos de referencia: plano sagital, plano frontal y plano transversal. En la figura
2.8 se puede observar la posición anatómica, junto con la disposición espacial de los
planos de referencia.
Figura 2.8. La posición anatómica y los planos de referencia del cuerpo humano
La mayor parte de las articulaciones pueden moverse en uno o dos de los tres
planos de referencia. Las direcciones de los movimientos de la cadera y la rodilla
24
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
Figura 2.9. Movimientos con respecto a las articulaciones de la cadera y de la rodilla
Figura 2.10. Movimientos básicos del tobillo y los dedos del pie
se muestran en la figura 2.9, mientras que los movimientos del tobillo y el pie se
pueden observar en la figura 2.10.
Los movimientos básicos son los siguientes:
Flexión y extensión: tienen lugar en el plano sagital. En el tobillo estos
movimientos reciben el nombre de dorsiflexión y plantaflexión, respectivamente.
Abducción y aducción: tienen lugar en el plano frontal.
Rotación interna y externa: tienen lugar en el plano transversal. También reciben
el nombre de rotación medial y lateral, respectivamente.
Aunque también se utilizan los siguientes términos (ver figura 2.11) para describir
los movimientos de las articulaciones y de los segmentos del cuerpo [Whi03]:
Varus y valgus: describen la desviación angular de una articulación hacia dentro
o fuera con respecto al eje central, respectivamente.
Pronación y supinación: corresponden a rotaciones del empeine con respecto al
eje longitudinal del pie, de manera que la parte de afuera del empeine va casi
para arriba.
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
25
Inversión y eversión: corresponden a rotaciones del tobillo con respecto al talón,
produciendo movimientos de los dedos del pie hacia el interior y hacia el exterior,
respectivamente.
Figura 2.11. Movimientos de la articulación del tobillo y del pie
2.2.
Modelado del cuerpo humano: Estado del arte
La historia del modelado del cuerpo humano se remonta a finales de los años
’60, cuando W. Fetter introduce el primer modelo humano creado por computador
[Fet82]. El “primer hombre” estaba compuesto por sólo 7 segmentos articulados,
realizado a partir de tablas de datos antropométricos [Doo82]. A partir de ese
momento se han buscado técnicas y métodos que permitan modelar con éxito la
complejidad de la forma humana, tanto en su modelo de representación interna
como en el proceso de construcción.
El problema radica principalmente en que, como se ha comentado anteriormente,
el sistema músculo-esqueletal humano incluye alrededor de 200 huesos y 800
músculos, produciendo más de 200 grados de libertad. Estos grados de libertad están
distribuidos en 4 o 5 niveles de control y en ocasiones se presentan varios unidos
en cadenas cinemáticas cerradas. Por otra parte, el gran número de diferentes tipos
de uniones entre elementos añade una causa más a las dificultades de estructurar
y analizar estos sistemas, lo que representa un problema añadido a la hora de
simularlos.
Las figuras humanas generadas por ordenador se estructuran, generalmente, a
partir de un cuerpo articulado que forma un esqueleto que admite movimiento en sus
uniones y que es el soporte de una “piel” superficial que completa su forma humana.
Una vez que el modelado y la animación del esqueleto están resueltos, se debe
26
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
mejorar su apariencia y el realismo del movimiento, no sólo el articular, sino también
de las diferentes deformaciones que sufren las formas externas de las partes del
cuerpo. Existen técnicas de simulación basadas en la utilización de diferentes capas:
esqueleto, hueso, músculo, tejidos blandos y piel, que permiten alcanzar el grado de
realismo deseado. Pero para manipular y animar a un modelo humano generado
por computador se debe encontrar la representación apropiada, dependiendo de
la finalidad y el tipo de aplicación. En este trabajo las técnicas de modelado del
cuerpo humano se clasifican considerando si se basan en modelos geométricos o en
estudios de la anatomı́a real del cuerpo [BGS02]. Aunque en la literatura se pueden
encontrar diversos tipos de clasificaciones atendiendo a diferentes criterios [TP88]
[Ned98] [Sav02].
2.2.1.
Modelos Geométricos
Los modelos geométricos son aquellos que incluyen representaciones abstractas
de los diferentes elementos que forman el cuerpo (esqueleto, músculos, piel, . . . )
sin basarse en ningún tipo de dato anatómico. De estos modelos, el más popular
y usado para la animación del cuerpo humano es el modelo esqueletal, que
implica la representación mecánica del esqueleto humano por medio de segmentos
rı́gidos conectados por articulaciones. Estos modelos también reciben el nombre
de cuerpos articulados y pueden ser más o menos complejos, dependiendo del
número de segmentos y articulaciones involucrados. Los esqueletos suelen tener
sus elementos jerarquizados en estructuras funcionales (piernas, brazos, tronco,
etc) de forma que se pueden representar por medio de estructuras de árbol. Esta
modelización facilita el almacenamiento y el movimiento de las diferentes partes
del cuerpo. La principal ventaja de este modelo es que el movimiento se puede
especificar de manera simple, cambiando las posiciones relativas de los segmentos
y animando el modelo del esqueleto como un objeto sólido. Por contra, este tipo
de representación produce simulaciones poco realistas. La falta de volumen hace
que la percepción de la profundidad sea difı́cil y puede causar ambigüedades en las
imágenes. Algunos movimientos, como algunas rotaciones o torsiones son imposibles
de representar [MTT90]. Los primeros modelos de esqueleto fueron utilizados para
representaciones en danza [Wit70] [SO77] [BWG+ 77]. En [TMTB82] se describe el
proceso de modelado y animación del héroe de la pelı́cula Dream Flight, modelado
por medio de un esqueleto formado por 32 segmentos y 15 articulaciones (ver figura
2.12).
En general, los modelos de esqueleto se utilizan como soporte de la forma exterior
(ya sea ésta de superficies o volumétrica) y no son visibles aunque, en ocasiones,
también se los utiliza como método de representación del movimiento [BS79]. En
muchos casos el esqueleto se recubre por medio de superficies compuestas de
“parches” planos o curvos, simulando la piel. Aunque existen modelos simples que
mantienen la información de la forma de las partes del cuerpo humano mediante
el uso de lı́neas de contorno paralelas (como anillos) cuyo centro se sitúa sobre la
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
27
Figura 2.12. El héroe de Dream Flight
lı́nea del esqueleto [CBD+ 93], la representación mediante polı́gonos es la más común,
sobretodo desde la aparición de tarjetas con aceleradores gráficos por hardware. Jack
[BPW93], Marilyn Monroe y Humphrey Bogart [MTT87] [Tha93], o los modelos
creados por Fetter [Fet82] son ejemplos de modelos humanos basados en polı́gonos.
Su apariencia final no es suficientemente realista, pero es adecuada para poder
representarlos en tiempo real. Los modelos desarrollados a partir de parches curvos,
en cambio, están formados por una o más funciones paramétricas de dos variables,
y mantienen la continuidad entre dos parches adyacentes [Cat75]. Los modelos
humanos construidos de este modo se suelen emplear para animaciones que no
trabajan en tiempo real, ya que el incremento de realismo en la representación
de las diferentes partes del cuerpo necesita mayor cantidad de cálculo, sobretodo
para suavizar y permitir variaciones de forma en las uniones de las articulaciones.
Para abordar este problema normalmente se utilizan modelos mixtos, con un modelo
de esqueleto para especificar los movimientos y un modelo de superficies para dar
sensación de volumen y apariencia realista. En [MTT87] se introduce la primera
solución al problema de la deformación en las articulaciones, mediante el uso de
operadores de deformaciones locales dependientes de la articulación (JLD). Este
tipo de operadores permite combinar información sobre el tipo de articulación y el
ángulo que forman los segmentos en esa unión, para controlar la evolución de la
superficie. Esta técnica se utiliza para simular deformaciones del cuerpo humano
[MTT91] [MTT92] como también para el modelado y deformación de una mano
[MTLT88]. [Kom88] adopta un modelo con una estructura de esqueleto formada por
14 articulaciones, a la que le agrega cuatro capas independientes que interactúan
entre ellas. La capa muscular se deforma por medio de transformaciones de los puntos
de control de superficies de Bèzier bicuádrica que representan la piel. Un modelo
similar, también compuesto por cuatro capas, se presenta en [CHP89]. En este caso,
la capa muscular se representa de manera abstracta mediante las deformaciones de
forma libre (FFD) [SP86], cuyos puntos de control están fijos a una malla masa-
28
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
muelle, que a su vez, está relacionada con la estructura interna del cuerpo. Una
versión mejorada de las FFD, denominada DFFD (FFD de Dirichlet) se presenta en
[MMT97]. La DFFD no está limitada por la restricción de la FFD de que los puntos
de control deben estar situados inicialmente en una malla cúbica regular.
Varios autores representan el cuerpo humano aproximando la estructura y la forma
del cuerpo por medio de una colección de primitivas de volumen. Estas primitivas
pueden ser cilindros [Eva76] [PK75] [GVP91], elipsoides [HE74] o esferas [BOT79].
Estos modelos no producen mejores resultados que los modelos de superficies, y
carecen de adecuados mecanismos de control cuando se trabaja un conjunto grande
de primitivas durante la animación. Una generalización de los modelos de esferas,
que soluciona gran parte de los problemas de modelado, es considerar el volumen
como una función de potencial con un centro y una propiedad asociada que decrece
de forma polinomial o exponencial desde el exterior al centro. También llamados
blobs o metaballs, los modelos de volumen determinados por funciones de potencial
se construyen a partir de elementos determinados, más por un valor de la función
que crea un campo que, por un radio o un tamaño. El primer trabajo en este campo
se debe a [Bli82] que reemplaza el hasta entonces tradicional modelo de esferas
y segmentos por superficies implı́citas. Aunque su objetivo es la visualización de
moléculas, construye un modelo humano (Blobby Man) formado por una superficie
equipotencial, donde las fuentes puntuales de potencial están fijadas a un esqueleto
articulado. Utilizando el mismo tipo de fuentes puntuales de potencial que [Bli82],
[Hen90] simula la presencia de músculos creando campos de velocidad que deforman
un modelo de piel resistente al estiramiento. El modelo de piel está implementado
como una malla de parches bicúbicos. [BS91] trabajan con superficies de potencial
a partir de un esqueleto, con las cuales representan formas orgánicas como los
músculos y brazos. [Sin95] usa funciones implı́citas y modelos semifı́sicos para
simular el efecto de la contracción de los músculos, aunque sin llegar a modelar
los músculos individuales desde un punto de vista anatómico. Este tipo de técnicas
permite obtener modelos bastante realistas, como en el caso de las bailarinas de
Yoshimoto [Yos92] (el cuerpo y la ropa de cada bailarina se diseño con 500 metaballs
- mayoritariamente esferas, y algunos elipsoides) y a bajo coste computacional (ver
figura 2.13).
2.2.2.
Modelos Anatómicos
Los modelos anatómicos parten del estudio de la anatomı́a del cuerpo, de manera
que obtienen representaciones concretas de los huesos, músculos y tejidos blandos.
Para ello es necesario contar con datos anatómicos, que pueden obtenerse a partir de
diferentes tipos de imágenes médicas, como rayos X y tomografı́as computerizadas
(CT), resonancias magnéticas (MRI), tomografı́as por emisión de positrones (PET),
ultrasonido (US), etc. Cada una de estas técnicas presenta ventajas e inconvenientes
cuando se aplican a la construcción de modelos anatómicos. Por ejemplo, los
músculos son más visibles en MRI que en CT, mientras que con los huesos ocurre
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
29
Figura 2.13. Bailarina modelada con metaballs
exactamente lo contrario. Algunos de los métodos de adquisición de los datos
anatómicos con los que trabajan estos modelos están descritos en [Web88] [Lap99],
aunque muchos investigadores utilizan los datos de la biblioteca biomédica digital
generada mediante el proyecto “Visible Human” [Vis]. El procedimiento para la
extracción de los datos y la generación de los modelos anatómicos completos del
hombre y de la mujer del “Visible Human” se describe detalladamente en [TSH96]
y [Sim96].
El sistema LEMAN desarrollado por [Tur95], presenta un modelo por capas, donde
los músculos son superficies implı́citas deformables compuestas por primitivas
(esferas, cilindros, ...). Estas primitivas están asociadas a una articulación cercana,
que es la que controla su evolución. El modelo deformable elástico de la piel se
adhiere luego a la capa muscular mediante técnicas de minimización de energı́a.
Shen [ST95] [She96] construye un modelo similar, el sistema Body Builder, que
difiere en la generación de la piel: la superficie muscular se muestrea mediante raycasting, y las muestras obtenidas se utilizan como puntos de control de los B-splines
cúbicos que conforman la piel. En [PBP+ 96] se presenta una versión mejorada de este
modelo, donde se reemplazan las superficies implı́citas que modelaban los músculos
por mallas poligonales basadas en datos anatómicos.
Los métodos geométricos basados en la anatomı́a que se utilizan en [Wil95]
[WV97] para modelar y animar animales, podrı́an aplicarse al modelado del ser
humano. En el modelo los huesos, los músculos y la grasa se representan a partir de
elipsoides. La piel que recubre el modelo, en cambio, está compuesta por triángulos,
cuyas aristas se rigen por el comportamiento de un muelle con una cierta elongación
en reposo y un cierto coeficiente de elasticidad que depende de las áreas de los
30
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
triángulos que comparten cada arista. Este coeficiente, por lo tanto, no es uniforme
para todas las aristas. Un enfoque similar se utiliza en [SPCM97] para modelar
la musculatura del torso y un brazo de un ser humano, incluyendo además el uso
de un lenguaje procedural que permite al modelador especificar la apariencia y
comportamiento de cada objeto.
Otro modo de modelar el cuerpo humano basándose en datos anatómicos utiliza
sistemas masa-muelle. Holton y Alexander [HA95] se basan en el método que utiliza
Miller para modelar serpientes y gusanos [Mil91] para representar los músculos de
manera volumétrica. El principal objetivo de este trabajo es lograr la simulación
en tiempo real de tejidos blandos, de modo que se puedan utilizar en simulación
quirúrgica. Cada tejido se construye a partir de numerosas celdas tetraédricas que
se conectan para formar el volumen. Lamentablemente sólo se trabaja cada músculo
de manera aislada. Nedel y Thalmann [Ned98] [NT98] [NT00], junto con el proyecto
europeo “A Comprehensive Human Animation Resource Model (CHARM)” [CHA]
presentan una versión mejorada del sistema Body Builder de Shen [She96], al que se
le reemplazan los músculos generados por metaballs por mallas poligonales basadas
en datos anatómicos provenientes del Visible Human Project. La forma del músculo
consiste en un modelo de superficies masa-muelle que concuerda con el contorno de
los datos médicos.
Chen y Zeltzer [CZ92] desarrollan un modelo biomecánico que simula la
geometrı́a y las propiedades del tejido muscular mediante el método de elementos
finitos (FEM), modelando los músculos como materiales elásticos, homogéneos
e isótropos. Los resultados de la simulación por elementos finitos se usan para
modificar los puntos de control de una malla dada por una deformación de
forma libre (FFD). El principal problema de este método es la imposibilidad de
utilizarlo para animaciones en tiempo real, debido a su alto coste computacional.
Zhu, Chen y Kaufman [ZCK98] también presentan un modelo biomecánico para
simular las deformaciones de los músculos utilizando elementos finitos. El modelo
matemático incorpora parámetros fisiológicos y parámetros mecánicos para calcular
las deformaciones estáticas y dinámicas del músculo. El método utiliza una
malla de voxels que se construye con métodos jerárquicos, permitiendo tener
una aproximación volumétrica de los datos originales del músculo a diferentes
resoluciones. En general, los modelos basados en voxels se utilizan principalmente en
el campo médico, ya que su capacidad de almacenar valores de diferentes propiedades
los hacen ideales para el diagnóstico médico y la visualización de órganos [FLP89].
2.3.
Conclusión
En este capı́tulo se ha presentado una descripción completa del cuerpo humano
y su constitución, desde el punto de vista anatómico y fisiológico. Se ha realizado
una clasificación de las técnicas de modelado del cuerpo humano en dos categorı́as
básicas: geométricas y anatómicas. De este estudio se deduce que la elección de
Capı́tulo 2: Modelado del cuerpo humano
31
un modelo apropiado para representar el cuerpo humano es un compromiso entre
exactitud y eficiencia. Por ello, resulta imprescindible decidir qué partes del cuerpo
se quieren representar y con qué nivel de detalle.
En este trabajo se opta por una representación anatómica basada en dos capas: una
capa esqueletal, que permite representar el cuerpo como un conjunto de segmentos
rı́gidos articulados, y una capa muscular, mediante la cual se representa la forma
de los músculos. Los músculos se representan por medio de mallas volumétricas
para permitir trabajar con la composición interna de los mismos.
El detalle del modelo adoptado se presenta en el siguiente capı́tulo, donde se realiza
una descripción general del sistema desarrollado.
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El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in
3 Biped Locomotion)
3.El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) . . . 37
3.1. Descripción del sistema MOBiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Descripción e implementación del modelo de cuerpo humano . . . . . . . . . . 39
3.2.1.Definición de la estructura esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2.Definición de la capa muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3.Datos antropométricos y parametrización de los modelos . . . . . . . . . 43
3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
35
El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in
Biped Locomotion)
Este capı́tulo se ha concebido como ayuda para una mejor navegación
por los capı́tulos de esta memoria. Se ha optado por introducir esta breve
descripción del sistema desarrollado (denominado sistema MOBiL) porque
por su carácter modular es aconsejable presentar una visión general antes
de ir capı́tulo a capı́tulo profundizando en cada una de las muchas fases
y modelos que lo componen. Asimismo, siguiendo con la misma intención
clarificadora, este breve capı́tulo se completa con la descripción del modelo
de cuerpo humano adoptado, por dos razones: es un elemento común a todo el
sistema e ilustra, por su propia estructura esqueletal y muscular, la inherente
multidisciplinariedad del trabajo desarrollado.
MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) es un sistema complejo que
permite animar, de forma realista y con tiempos de cálculo aceptables para la
interacción con el animador, el movimiento del cuerpo humano y la deformación
volumétrica local de sus músculos, durante una actividad motora coordinada, como
es la locomoción.
La propuesta de esta tesis es trabajar de forma coordinada según varios modelos
basados en la fı́sica con diferente nivel de simplificación. En primer lugar, se
desarrolla una simulación de la locomoción que permite obtener datos sobre las
fuerzas articulares que intervienen en este proceso. A partir de esos valores se
calculan las fuerzas musculares que alimentan al sistema de deformaciones. De este
modo, se asegura un movimiento coordinado. Más detalladamente, la secuencia de
trabajo que se sigue es la siguiente:
Simulación de la locomoción humana.
Obtención de los momentos de fuerzas que se generan en cada articulación en
cada fase del ciclo de locomoción.
Estimación de las fuerzas y las deformaciones de los músculos de las extremidades
inferiores, considerando agrupaciones de músculos.
Deformación de cada grupo muscular por medio de elementos finitos.
Integración del sistema de elementos finitos y de la simulación de la locomoción.
Visualización de los resultados: la deformación de un grupo muscular insertado
en un modelo esqueletal “que camina”.
37
38
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
Alguno de estos procesos ha sido necesario subdividirlos a su vez en nuevos
subprocesos para conformar mediante su secuenciación el sistema completo,
presentado con mayor detalle a lo largo de los siguientes apartados.
3.1.
Descripción del sistema MOBiL
Básicamente, el sistema MOBiL se divide en dos fases, según se observa en la figura
3.1. La fase esqueletal permite obtener el movimiento de segmentos y articulaciones
(movimiento global) mientras que en la fase músculo-esqueletal es donde se
coordina el movimiento y la deformación local de los músculos (movimiento local).
Figura 3.1. De lo global a lo local. Los diferentes modelos de MOBiL. El sistema permite la coordinación de un movimiento
complejo como es la locomoción con deformaciones locales en los músculos de las piernas
A lo largo de cada fase se trabaja a su vez con varios modelos del cuerpo, de
complejidad creciente: modelo dinámico y modelo cinemático en la fase esqueletal y
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
39
modelo de lı́neas de acción muscular y modelo de elementos finitos en la músculoesqueletal. Cada modelo se ha tratado de simplificar al máximo para poder conseguir
tiempos de cálculo cercanos al tiempo real. En cada fase, el primer modelo es de
bajo nivel y produce los patrones necesarios para “poner en marcha y gobernar” el
segundo.
En la fase esqueletal es el patrón de movimiento de la cadera, que se obtiene a
partir de un modelo dinámico muy básico, el que permite calcular el movimiento
de un modelo cinemático del cuerpo humano de 48 segmentos.
En la fase músculo-esqueletal, es un patrón de fuerza muscular, que se obtiene a
partir de un modelo simple de lı́neas de acción muscular insertadas en el modelo
esqueletal, el que permite calcular las deformaciones del volumen de los músculos
que intervienen en la generación del movimiento global de locomoción.
A lo largo de todas las fases y modelos se utilizan conocimientos de anatomı́a,
fisiologı́a y, en especial, de biomecánica.
3.2.
Descripción e implementación del modelo de cuerpo humano
La elección de un modelo apropiado para representar el cuerpo humano es un
compromiso entre exactitud y eficiencia. Es necesario determinar, entonces, el nivel
de detalle requerido en las diferentes partes del cuerpo, considerando, además, que
el ser humano está muy familiarizado con la representación del cuerpo.
En este trabajo se ha adoptado una representación final del cuerpo en base a un
modelo músculo - esqueletal compuesto por dos capas: una capa esqueletal, que
permite representar el cuerpo como un conjunto de segmentos rı́gidos articulados, y
una capa muscular, que permite representar la forma de los músculos en las distintas
partes del cuerpo. La capa esqueletal está constituida por segmentos articulados
de manera que el análisis y el movimiento son tareas que no tienen un coste
computacional alto y, sin embargo, permiten obtener resultados aceptables. La capa
muscular modela volumétricamente la forma de los músculos, permitiendo obtener
una apariencia realista.
A continuación se describen detalladamente ambas capas, se especifican los datos
antropométricos considerados y las decisiones adoptadas para la parametrización de
los mismos, y finalmente, se comentan los detalles de implementación del modelo.
3.2.1.
Definición de la estructura esqueletal
De igual forma que muchos de los modelos presentes en la literatura, el
modelo esqueletal que se propone está formado por segmentos rı́gidos articulados,
organizados de manera jerárquica por medio de una estructura de árbol. La
topologı́a jerárquica permite la propagación del movimiento desde de la raı́z hacia
los nodos terminales, de modo que la posición de un nodo se define localmente en
relación con su nodo “padre” en la jerarquı́a.
40
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
El modelo de esqueleto simplificado que se ha propuesto está formado por una
estructura de 48 segmentos que corresponden a los principales conjuntos esqueletomusculares del ser humano. La figura 3.2 muestra una vista frontal del esqueleto y
una vista lateral del pie con los nombres de los diferentes segmentos.
(a) Vista frontal del cuerpo
(b) Vista lateral del pie
Figura 3.2. Detalle de los segmentos del esqueleto
La cadera (l0 ) es el elemento principal y nodo raı́z. Si ésta realiza un movimiento
de traslación o giro, el cuerpo entero se mueve. El resto de elementos sólo realizan
movimientos de rotación relativos a su segmento “padre”.
De la cadera cuelga el tronco superior y ambas piernas. El cuerpo superior
está constituido por: el conjunto de vértebras lumbares, el conjunto de vértebras
torácicas y el conjunto de vértebras cervicales y la cabeza (lcabeza ). Las vértebras
lumbares son siete segmentos (lv lumb1 ... lv lumb7 ) y las torácicas doce (lv tor1 ...
lv tor12 ) y presentan diferentes longitudes. El movimiento de la columna vertebral es
muy importante en la apariencia exterior del movimiento. Las vértebras cervicales
están formadas por siete segmentos (lv cerv1 ... lv cerv7 ), el último de de los cuales
está relacionado con la cabeza. Cada hombro está formado por un omóplato (l15 ) y
una clavı́cula (l20 ) y de cada hombro “cuelga” un brazo formado por los segmentos
de brazo (l21 ), antebrazo (l22 ), palma de la mano (l23 ) y dedos de la mano (l24 ).
Existe un brazo izquierdo y otro derecho, simétricos respecto a la vertical.
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
41
En cada pierna existen los segmentos del muslo (l3 ), pantorrilla (l4 ), empeine (l12 )
y dedos del pie (l13 ). Existe una pierna izquierda y otra derecha, simétricas respecto
a la vertical.
Para completar el modelo es necesario incluir información sobre el tipo de
uniones que existen entre los diferentes segmentos. Normalmente corresponden a
articulaciones bien conocidas como rodilla, cadera, codo, tobillo o muñeca. Con el fin
de simplificar los modelos y facilitar la interpretación de los resultados, generalmente
se ignoran las rotaciones longitudinales o las traslaciones de las articulaciones
[Win90]. En este trabajo se han restringido los grados de libertad. Ası́, por ejemplo,
la rodilla es una unión cilı́ndrica sin rozamiento, de forma que sólo se permite el
movimiento según el eje principal, fijando los movimientos de pronación o adducción
de la cadera.
3.2.2.
Definición de la capa muscular
De la misma forma que con el esqueleto, la representación de los músculos también
se hace de manera simplificada. En la figura 3.3 se presenta una imagen de dos
grupos musculares del muslo: los isquiotibiales y el cuádriceps. Esta imagen se ha
reconstruido por segmentación manual de imágenes de resonancia magnética, y en
ella se puede observar el grado de complejidad de las geometrı́a de los músculos.
Figura 3.3. Reconstrucción gráfica de los grupos musculares del cuádriceps (rojo) y de los isquiotibiales (azul)
En este trabajo se ha optado por representar la capa muscular por medio del
modelado volumétrico de los diferentes músculos o grupos musculares. De este modo,
no sólo se representa la forma exterior de los músculos sino que también es posible
tener información sobre el interior. La representación de los músculos, en este caso,
42
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
se hace por medio de mallas tridimensionales (ver figura 3.4) mediante las cuales
se especifican las caracterı́sticas de la geometrı́a: nodos, conectividades entre los
nodos, elementos, materiales de cada elemento... Dichas mallas se especifican según
el estándar GID [Gid] y se detallan con más profundidad en la sección 5.5.3.
Figura 3.4. Malla volumétrica con 117 nodos y 48 elementos
En el caso particular de la especificación de la capa muscular hay que tener en
cuenta que las caracterı́sticas geométricas se definen considerando el músculo en
posición anatómica. Su geometrı́a está fuertemente relacionada con la respuesta
frente a estı́mulos nerviosos, es decir, que la geometrı́a varı́a si el músculo está en
reposo o si se halla sometido a una contracción interna o a una fuerza externa. Por lo
tanto, siguiendo la pauta establecida en la mayor parte de los trabajos relacionados
con los músculos, en este trabajo se han especificado todos los datos correspondientes
a la geometrı́a del músculo (longitud, longitud de las fibras y del tendón, masa)
considerando que éste se halla en posición anatómica. Asimismo, es conveniente
disponer de algunas medidas de los músculos como el valor de su ASTF (Area de
Sección Transversal Fisológica) y el valor del ángulo de pennation, necesarios para
determinar la fuerza máxima que puede realizar un músculo, aunque la mayorı́a de
los modelos no consideran el ángulo de pennation y la longitud de las fibras, debido
a que su estructura biomecánica se comporta igual que una sola fibra, larga [NG99].
Sin embargo, además de los datos mencionados, también es necesario representar
las deformaciones que se producen en la geometrı́a de los músculos cuando están
sometidos a una fuerza. Para ello, además de la información geométrica, hay que
incorporar las caracterı́sticas que permitan representar el comportamiento del tejido
muscular como su densidad, sus parámetros de elasticidad o su amortiguamiento.
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
43
El modelado de dichas variaciones en la forma se representa, en el sistema MOBiL,
por medio de deformaciones realizadas sobre la malla volumétrica, tal como se
describe en la sección 5.5.3.
3.2.3.
Datos antropométricos y parametrización de los modelos
Los datos antropométricos permiten definir las caracterı́sticas de los individuos
indicando la relación entre las medidas de las diferentes partes del cuerpo. De
este modo, la antropometrı́a estudia las medidas fı́sicas que permiten caracterizar
diferencias como raza, sexo, edad, complexión, etc.
MOBiL requiere medidas corporales que van desde áreas, volúmenes, masas, hasta
momentos de inercia y posiciones. Asimismo requiere información sobre los centros
de rotación de las articulaciones, sobre el origen e inserción de los músculos, sobre
las lı́neas de acciones musculares o las dimensiones de los músculos... y todo ello
para cualquier individuo de peso, altura, complexión y estado fı́sico no predefinidos,
tal y como se describe a continuación.
Antropometrı́a. La constitución y facultades fı́sicas de cada persona dependen de dos
factores: los no modificables (factores genéticos predeterminados por la herencia
biológica que se agrupan bajo el nombre de biotipo) y los modificables (nivel de
entrenamiento, hábitos y costumbres, estado de salud... que se agrupan bajo el
concepto de estado fı́sico).
En la clasificación más simple y más usada, existen 3 biotipos humanos básicos,
recogidos en la figura 3.5, los cuales son claramente identificables (clasificación
planteada en 1921 por el psiquiatra alemán Ernest Kretschmer en su obra
Constitución y carácter):
Figura 3.5. Biotipos: de izda. a dcha. Ectomórfico, Endomórfico y Mesomórfico [Med]
a) ECTOMORFICO (llamado también LONGUILINEO o ASTENICO): aspecto
delgado, estatura alta, panı́culo adiposo escaso, musculatura poco desarrollada,
cara delgada, rasgos agudos, cintura escapular estrecha, tórax largo, ángulo
epigástrico agudo y cintura pélvica angosta.
44
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
b) ENDOMORFICO (llamado también BREVILINEO o PICNICO): aspecto
grueso, estatura baja, panı́culo adiposo grueso, musculatura poco desarrollada,
cara redonda, rasgos gruesos, nariz corta, cintura escapular ancha, tórax corto,
ángulo epigástrico ancho y cintura pélvica ancha.
c) MESOMORFICO (llamado también NORMOLINEO o ATLETICO): aspecto
robusto, estatura media, adiposidad media, musculatura muy desarrollada, cara
angular, mandı́bula ancha, nariz media, cintura escapular ancha, tórax amplio,
ángulo epigástrico medio y cintura pélvica media.
Por otra parte, en la medicina nutricional y deportiva existen un serie de ı́ndices
fisiológicos que permiten la valoración de la constitución fı́sica de una persona. De
todos ellos son de especial utilidad, el ı́ndice de masa corporal (IMC), que indica
el grado de obesidad, el ı́ndice de robustez (IR), que determina el estado fı́sico y el
área de superficie corporal (ASC), que indica la relación entre superficie de piel y
volumen corporal.
Índice
Índice de Robustez
Fórmula
Índice de Masa Corporal
IM C =
M/H 2
<5
Débil
5 − 10
Regular
ASC = 0, 202
Area de Superficie Corporal
M 0,425 H 0,725
ASC =
HM
3600
Mujeres
Bueno
16 − 20
Muy bueno
> 21
Excelente
< 15
Delgadez pronunciada
< 13
15 − 20
Delgadez
13 − 18
20 − 25
Normal
18 − 23
25 − 30
Sobrepeso
23 − 28
30 − 35
o Índice de Quetelet
(ASC)
Valoración
IR = (p − a) − (H − 100 − M ) 11 − 15
(IR)
(IMC)
Hombres
Obesidad moderada 28 − 33
35 − 40
Obesidad grave
33 − 38
> 40
Obesidad mórbida
> 38
Fórmula Du Bois
Fórmula Mosteller
Tabla 3.1. Siendo p el perı́metro del tórax en inspiración; a el perı́metro del abdomen en espiración; H la altura y M la
masa del individuo. (p y a están expresados en centı́metros, M en kilogramos, H en metros salvo en IR y en ASC de la
Fórmula de Mosteller, que es en centı́metros).
Estos ı́ndices morfológicos sólo representan valores “externos” al individuo
y no dan información, por ejemplo, de como se distribuye internamente el
peso. Una técnica complementaria es entonces el análisis de la composición
corporal (en ocasiones denominado valoración de los compartimientos) que
estudia estas proporciones “internas” según dos modelos básicos: el modelo de
dos compartimientos - grasa y masa libre de grasa; y el modelo de cuatro
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
45
compartimientos: mineral/hueso, proteı́nas, agua y grasa. La información más útil
que permiten calcular estos métodos es la proporción que supone la grasa corporal
o la masa muscular en el peso de un cuerpo (o en cualquiera de sus extremidades).
% Grasa Corporal
Valoración
% Grasa Corporal
Hombres
Mujeres
6 − 14
Delgadez (deportistas)
9 − 22
15
Normal
23
16 − 24
Sobrepeso (sedentarios)
24 − 31
Tabla 3.2. Valores medios de la proporción de grasa corporal en individuos adultos de raza caucasiana
Mediante métodos de análisis directo se ha logrado establecer que -en promedio- el
cuerpo humano está formado por un 60 % de agua, 17 % de grasa, 15 % de proteı́nas
y 8 % de otros elementos. Estas proporciones varı́an con el sexo, la edad y la raza.
Las mujeres tienen una mayor proporción de grasa que los hombres. De igual forma
que la raza negra presenta ı́ndices de grasa corporal superiores a los de la raza
caucasiana. Y de los 20 hasta los 50 años el peso aumenta en 10 a 15 %, pero la
cantidad de grasa aumenta más, debido a una reducción leve y progresiva de la
masa muscular.
Algoritmo de parametrización de los modelos. Todos los datos básicos utilizados en
este trabajo para las medidas de las extremidades inferiores provienen de [Pie95]
a partir de una colección de artı́culos, tal como se detalla en el Apéndice A de
Datos y constantes antropométricas. Estos datos se consideran “normalizados”
y corresponden a un individuo patrón que se toma como referencia en la
parametrización del modelo.
La parametrización llevada a cabo responde a la caracterı́stica más avanzada del
sistema MOBiL: la posibilidad de animar cuerpos que difieran en altura, masa e
incluso en tipo de complexión y estado fı́sico.
El modelo esqueletal paramétrico es muy simple. Cada segmento del cuerpo queda
determinado a partir de una relación proporcional con respecto a la altura total
del individuo (valor ref erencia = longitud segmento/altura individuo). Los datos
requeridos para el sistema esqueletal de MOBiL corresponden a los valores dados en
la figura 3.6 y se detallan en el apartado A.1 del Apéndice de Datos y constantes
antropométricas. Para las extremidades inferiores provienen de [Pie95] y para el
resto del cuerpo de diversos trabajos [Win79] [BC89] [Win90].
Las propiedades de masa, centro de masas y radio de giro normalizados de cada
uno de los segmentos del cuerpo se obtienen de diferentes investigaciones, recopiladas
en [Win90]. Los valores utilizados se expresan directamente de forma proporcional
a los datos de masa del individuo. En la tabla 3.3 se detallan los datos normalizados
de referencia para los diferentes segmentos.
46
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
Segmento
Valor
Descripción
l0
0.10059
Pelvis
l2
0.47
Cuerpo superior
l3
0.23882
Muslo
l4
0.24706
Pantorrilla
l5
0.0858
Proyección del empeine
l6
0.04734
Proyección de los dedos del pie
l7
0.02367
Altura del metatarso al talón
l8
0.02959
Proyección del talón
l9
0.03846
Altura del talón
l11
0.04853
Talón
l12
0.08901
Empeine
l13
0.0496
Dedos del pie
l15
0.017288553 Homóplato
l20
0.1068758 Clavı́cula
l21
0.1900968 Brazo
l22
0.1603750 Antebrazo
l23
0.0415492 Palma de la mano
l24
0.0415492 Dedos de la mano
lv lumb1 0.0244348985 Primera vértebra lumbar
lv lumb2 0.0209818118 Segunda vértebra lumbar
lv lumb3 0.0209818118 Tercera vértebra lumbar
lv lumb4 0.0180135865 Cuarta vértebra lumbar
(a) Denominación de las variables lv lumb5 0.0180135865 Quinta vértebra lumbar
utilizadas en MOBiL para los
lv tor1 0.0180135865 Primera vértebra torácica
segmentos del esqueleto
lv tor2 0.0151191023 Segunda vértebra torácica
lv tor3 0.0151191023 Tercera vértebra torácica
lv tor4 0.0151191023 Cuarta vértebra torácica
lv tor5 0.0151191023 Quinta vértebra torácica
lv tor6
0.0148302 Sexta vértebra torácica
lv tor7 0.0151191023 Séptima vértebra torácica
lv tor8 0.012187691 Octava vértebra torácica
lv tor9 0.012187691 Novena vértebra torácica
lv tor10 0.012187691 Décima vértebra torácica
lv tor11 0.012187691 Decimoprimera vértebra torácica
lv tor12 0.012187691 Decimosegunda vértebra torácica
lv cerv1 0.012187691 Primera vértebra cervical
lv cerv2 0.012187691 Segunda vértebra cervical
lv cerv3 0.012187691 Tercera vértebra cervical
lv cerv4 0.012187691 Cuarta vértebra cervical
lv cerv5
0.0088859 Quinta vértebra cervical
lv cerv6 0.009360109 Sexta vértebra cervical
lv cerv7 0.009360109 Séptima vértebra cervical
lcabeza
0.13
Cabeza
lal pelvis 0.0512722696 Altura a la pelvis
(b) Los valores de los segmentos deben multiplicarse por la
altura del individuo
Figura 3.6. Valores de referencia normalizados necesarios para calcular las longitudes de los segmentos del cuerpo indicados
en las figuras de la izquierda.
Los momentos de inercia se calculan a partir de la altura de un segmento, su masa
y su radio de giro, con respecto al centro de masas, [Win90] como:
Ii = mi (li × γi )2
donde Ii es el momento de inercia del segmento i segmento, mi es su masa, li su
longitud y γi su radio de giro.
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
segmento
i
Pelvis
Pierna
Cuerpo superior
Muslo
Pantorrilla
0
1
2
3
4
47
peso del segmento
centro de masas
radio de giro/
( % del peso del cuerpo) ( % de la longitud del segmento) ( % de la longitud del segmento)
0.161
0.447
0.326
0.678
0.626
0.496
0.1
0.433
0.323
0.061
0.606
0.416
Tabla 3.3. Valores antropométricos de referencia de los segmentos de las extremidades inferiores necesarios para el análisis
dinámico y cinemático. Los valores de los centros de masa están dados desde el extremo proximal del segmento y el radio
de giro está especificado con respecto al centro de masas.
Los datos normalizados utilizados para definir la geometrı́a del músculo también
provienen de datos tabulados reunidos por [Pie95]. Es necesario que haya
correspondencia entre los valores de longitud de músculos y segmentos del esqueleto
(especialmente en los puntos de origen e inserción y lı́neas de acción). Para ello,
previamente a cualquier operación de parametrización, los datos de referencia de
MOBiL (que se detallan en el apartado A.2 del Apéndice de Datos y constantes
antropométricas) se han obtenido ajustando los datos normalizados de los músculos
en posición anatómica extraı́dos de Pierrynowski hasta la dimensión “normalizadas”
de los segmentos de las extremidades inferiores.
Los datos del músculo, tanto geométricos como fisiológicos, son los siguientes:
longitud de músculo, longitud del tendón y longitud de las fibras, ángulo de
pennation, masa y ASTF. Del mismo modo se extrae y ajusta la información
geométrica de los puntos donde se conectan músculos y huesos por medio de
los tendones (tabla 7.8, apartado A.3 del Apéndice de Datos y constantes
antropométricas).
Estos datos del modelo músculo-esqueletal son la referencia básica en el proceso
de parametrización principal de MOBiL. A diferencia de la parametrización del
esqueleto, que es prácticamente directa a partir de la altura, para obtener los datos
geométricos de los músculos de un individuo especı́fico se utiliza un algoritmo más
potente que incluye el biotipo y el estado fı́sico del individuo.
El parámetro de alto nivel denominado biotipo corrige las desviaciones a la
hora de precisar conceptos como el exceso de peso. Se han definido tres biotipos:
LONGUI, NORMO y BREVI, equivalentes a los de las clasificaciones existentes en
la literatura al uso. A cada uno de ellos se le ha hecho corresponder un ı́ndice de
masa corporal (IMC) básico. Este último valor también puede introducirse como
parámetro en sustitución de los anteriores, por lo que MOBiL permite un amplio
rango de constituciones fı́sicas.
El parámetro de alto nivel denominado estado fı́sico permite modular el volumen
y fuerza de los músculos según el estado de forma del individuo. Las diferentes
posibilidades de estado fı́sico son: ATLÉTICO, NORMAL y DÉBIL, y condicionan
los parámetros de masa que, a su vez, influyen en la deformación muscular. Su
acción consiste en modificar los valores de referencia de la masa muscular, mediante
su multiplicación por un factor, el Factor5. Este factor es conceptualmente similar al
48
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
Índice de Robustez, y refleja el hecho que con el mismo peso y altura los individuos
atléticos tienen una mayor masa muscular.
En la tabla 3.4 se exponen los valores medios de los parámetros antropométricos.
Los valores de referencia del Factor5 se han extrapolado a partir de un análisis
comparativo de la composición corporal de futbolistas e individuos inactivos en el que
el porcentaje de grasa corporal medio se diferenciaba en cinco puntos porcentuales
y en 3 kilos, la masa muscular en las piernas [LJD+ 01]. El grupo de control consistı́a
en individuos inactivos con una edad media 23 años y cuya altura media y peso eran
de 1,76 metros y 73 Kg. Sus valores de referencia fueron de un 18 por 100 de grasa
corporal y 18 kilogramos de masa muscular en las piernas.
BIOTIPO IMC normalizado ESTADO FÍSICO Factor5 normalizado
LONGUI
19
DEBIL
0.8
NORMO
24.5
NORMAL
1
BREVI
30
ATLÉTICO
1.16
CULTURISTA
2
Tabla 3.4. Valores medios de los parámetros antropométricos de alto nivel de MOBiL
El esquema 3.7 muestra el algoritmo de decisión que se sigue para para incluir la
complexión y estado fı́sico entre los parámetros del sistema MOBiL y calcular los
distintos valores de la geometrı́a de los músculos y segmentos del cuerpo.
3.3.
Conclusiones
En este capı́tulo se ha presentado una breve descripción introductoria del sistema
MOBiL, sistema que constituye el principal resultado de este trabajo.
Tal como se puede entrever se trata de un sistema complejo, creado a
partir de diferentes modelos dinámicos y cinemáticos que se resuelven por fases
para simplificar las ecuaciones del movimiento o la deformación. Por ello, se
ha considerado necesario facilitar esta primera visión global para una mejor
comprensión de su verdadera dimension y alcance. La enumeración previa de sus
módulos e interacciones permite navegar con conocimiento de causa a través de los
capı́tulos, fundamentando de esta manera todo el sistema MOBiL.
Por otra parte, es necesario destacar que el modelo músculo-esqueletal desarrollado
en este trabajo permite diferentes niveles de complejidad: es extremadamente simple
para utilizar la dinámica y se aumenta su complejidad para calcular, por medio de la
cinemática, el movimiento de un gran número de segmentos y articulaciones y, por
medio de las lı́neas de acción, el movimiento de los músculos. Todas las posiciones y
restricciones de músculos, segmentos del cuerpo y articulaciones del modelo global
se describen en detalle en este capı́tulo por ser un elemento común a todo el sistema
MOBiL.
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
49
Otra de las caracterı́sticas más destacadas del modelo es que, aunque en su
definición se ha optado por utilizar datos antropométricos correspondientes a
hombres de raza blanca, su carácter paramétrico lo hace fácilmente extensible a
otros segmentos de la población y permite la simulación de la locomoción en mujeres
e individuos de otras razas, edades o complexiones.
50
Capı́tulo 3: El sistema MOBiL
Figura 3.7. Algoritmo de decisión para escalar la geometrı́a del músculo. Lm es la longitud del músculo, Lf es la longitud
de las fibras, Lt es la longitud del tendón, F actor1 = (altura individuo/altura ref erencia) · datos longitudes y
F actor3 = (masa individuo/masa ref erencia) · datos masas
Referencias
[BC89]
Armin Bruderlin and Thomas W. Calvert. Goal-directed, dynamic animation of human walking.
Computer Graphics, 23(3):233–242, July 1989.
[Gid]
Gid: The Personal Pre/PostProcessor. http://gid.cimne.upc.es.
[LJD+ 01] J. A. López, J. Jiménez, C. Dorado, J. Sanchı́s, and L. P. Rodrı́guez. Nuevas perspectivas de investigación
en las ciencias del deporte, chapter Importancia del ejercicio fı́sico para el mantenimiento de la integridad
del esqueleto a lo largo de la vida., pages 109–130. Universidad de Extremadura, 2001.
[Med]
Medicentro. http://www.medicentro.com.co/metodo-star/star-101/1-diagnostico.htm.
[NG99]
B. M. Nigg and S. K. Grimston. Biomechanics of the Musculo-skeletal System, chapter 2, pages 64–85.
John Wiley and Sons, 2 edition, 1999.
[Pie95]
Michael R. Pierrynowski. Three-Dimensional Analysis of Human Movement, chapter 11: Analytic
Representation of Muscle Line of Action and Geometry, pages 215–256. Human Kinetics, 1995.
[Win79]
David A. Winter. Biomechanics of Human Movement. Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc.,
New York, 1979.
[Win90]
David A. Winter. Biomechanics and Motor Control of Human Movement. Wiley-Interscience. John
Wiley & Sons, Inc., 2nd edition, 1990.
51
Simulación del movimiento global de
4 locomoción: Fase esqueletal
4.Simulación del movimiento global de locomoción: Fase esqueletal . 55
4.1. Movimiento humano y locomoción: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.1.Antecedentes del movimiento y la locomoción en Informática Gráfica 56
4.1.2.Antecedentes de la locomoción en Biomecánica y Robótica . . . . . . . 63
4.1.3.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Conceptos de locomoción humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1.Secuenciación de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2.Simetrı́a en el paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3.Minimización del consumo energético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3. Descripción del sistema de movimiento global del esqueleto . . . . . . . . . . . 75
4.3.1.Parámetros control de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.2.Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4. MOBIL: Implementación del modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1.Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.2.Método de resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.3.Dinámica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.4.Dinámica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.5.Continuidad entre los sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5. MOBIL: Implementación del modelo cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.1.Cinemática de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5.2.Cinemática de la cadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.3.Cinemática de la propulsión pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.4.Cinemática de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.5.Cinemática del cuerpo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5.6.Proceso de inicio y fin de la locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6. Cálculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones . . . . . . . . . . . . 121
4.6.1.Determinación de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos 122
4.6.2.Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL . . . . . . . . . . . 124
4.7. Validación de la fase esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7.1.Comparación de variaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7.2.Comparación de valores de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7.3.Comparación de valores de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
53
54
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Simulación del movimiento global de
locomoción: Fase esqueletal
En este capı́tulo se presenta el trabajo desarrollado en la primera fase
del sistema MOBiL con el fin de simular la locomoción humana con un
computador (ver figura 4.1).
Figura 4.1. Fase esqueletal del Sistema MOBiL
En él se describen, en primer lugar, los modelos computacionales existentes
en la Informática Gráfica para el movimiento del cuerpo humano, con
especial interés en aquellos relacionados con la locomoción. Asimismo, se
describen los antecedentes en la locomoción en los campos de la Biomecánica
y la Robótica, ya que son de gran importancia los estudios realizados
en estas áreas en el análisis del caminar humano y en la simulación de
la locomoción. A continuación, tras explicar los conceptos básicos sobre
la locomoción humana, se presenta el funcionamiento general del sistema
55
56
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
propuesto, exponiendo, de manera detallada las dos diferentes partes que
componen este sistema hı́brido: la fase de cálculo dinámico y la fase de
mejora cinemática. En último lugar se presenta el desarrollo del cálculo de
las fuerzas y momentos de fuerza netos en las articulaciones.
4.1.
Movimiento humano y locomoción: Estado del arte
La tarea de especificar a un ordenador el movimiento de un objeto animado es
sorprendentemente difı́cil, y esta dificultad es aún mayor si lo que se pretende animar
es la locomoción del cuerpo humano.
El problema radica principalmente en que es muy complicado dar realismo a los
movimientos por tres motivos:
Debido a que el ser humano está muy familiarizado con el movimiento humano,
puede detectar rápidamente si éste no es natural o es poco convincente.
En la vida real los mismos movimientos no se hacen siempre de la misma forma.
El movimiento del ser humano depende no sólo del estado fı́sico sino también del
mental... Una persona no se mueve igual si está contenta que si está deprimida.
Sin embargo, este problema ha sido abordado durante años desde distintas
disciplinas cientı́ficas, debido a la importancia, en multitud de aplicaciones, de sus
resultados.
Actualmente, el movimiento, y más concretamente, la locomoción son de los
problemas más estudiados entre las técnicas de animación del cuerpo humano.
Existen dos causas que han producido este hecho: la previa existencia de estudios
relacionados provenientes de otras disciplinas cientı́ficas y la evidente aplicación
futura de los posibles resultados.
A continuación, en primer lugar, se detallan los trabajos relacionados con el
movimiento, en el área de Informática Gráfica, para posteriormente presentar los
antecedentes de la locomoción en las áreas de biomecánica y robótica.
4.1.1.
Antecedentes del movimiento y la locomoción en Informática Gráfica
Desde el punto de vista de la informática gráfica se ha investigado mucho en
este campo y se han desarrollado numerosas técnicas que para generar animaciones
realistas y/o en tiempo real.
En la literatura se pueden encontrar numerosas clasificaciones sobre las diferentes
técnicas de control del movimiento del cuerpo humano [BS79] [Zel85] [TP88]
[MTT96] [CPS99], pero todas tienen en común la dificultad de establecer divisiones
claras en un campo en el que se mezclan constantemente métodos y sistemas. En
las próximas secciones se hará un resumen de las aproximaciones más importantes
al problema de la representación del movimiento. Las técnicas se clasifican en las
siguientes categorı́as, atendiendo al modo de especificar el movimiento:
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
57
Modelos Guiados o Descriptivos
Modelos Generativos o Basados en la Dinámica
Modelos de Comportamiento
Modelos Guiados. Estos métodos, también denominados descriptivos, reproducen un
movimiento sin conocer las causas, es decir, producen el movimiento de un objeto
a partir de cierto número de parámetros y describen explı́citamente sus variaciones
en el tiempo. En este apartado se incluyen los modelos de animación por cuadros
clave, los métodos procedurales, la captura de movimiento y la cinemática.
Cuadros claves: Esta técnica, que toma su nombre de la animación tradicional
(key-framing), requiere que el usuario defina imágenes o posiciones clave para
el objeto a animar. El programa se encarga de realizar la interpolación (inbetweening) de las posiciones clave para generar automáticamente todas las
imágenes intermedias. La apariencia final del movimiento depende en gran
medida del algoritmo de interpolación utilizado. Como la interpolación lineal
suele producir efectos no deseados como discontinuidades en la velocidad o
distorsiones en la rotaciones [MTT90], se utilizan otros métodos de interpolación
como los basados en splines [KB84b] [KB84a] [SSW89] o en cuaterniones [Sho85]
[BCGH92], con los que se obtiene mayor suavidad en el movimiento.
Esta técnica ofrece un buen control sobre la animación, pero es difı́cil automatizar
las tareas como para asegurar naturalidad en los resultados.
Métodos procedurales: Estos métodos controlan el movimiento de objetos o
volúmenes en el tiempo mediante el uso de algoritmos o expresiones matemáticas.
Los métodos procedurales tienen dos ventajas importantes frente al método de
cuadros clave: es más fácil generar una familia de movimientos similares, y se
pueden usar en sistemas en los cuales es muy complejo animar “a mano”, como
los sistemas de partı́culas, la manipulación de superficies implı́citas [Phi97]. Entre
estos métodos, hay dos que destacan particularmente: aquellos sistemas que se
basan en las deformaciones geométricas (deformaciones de forma libre [Bar84]
[SP86] [CJ91], deformaciones locales dependientes de la articulación [MTLT88] o
NURBS [PH94]) y aquellos sistemas que se centran en el uso de guiones (scripts),
donde el animador escribe el guión por medio de un lenguaje de animación
[Rey82] [MTT85] [MMZ85].
Los métodos procedurales generan el movimiento de un modo bastante
automático pero ofrecen poco control sobre los pequeños detalles.
Cinemática: La cinemática consiste en la especificación de movimientos, sin tener
en cuenta la causa (fuerzas y momentos que causan dicho movimiento). Esta
técnica permite realizar animaciones complejas con poco esfuerzo por parte del
usuario. Ası́ se pueden mover estructuras formadas por cadenas, o por cualquier
otro mecanismo que tenga enlazados sus elementos. Mediante la jerarquización
de elementos se definen los enlaces que existen entre los diferentes elementos que
forman un objeto.
58
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
La cinemática directa consiste en encontrar las posiciones finales de los
diferentes segmentos que forman una figura articulada, con respecto a un sistema
de coordenadas de referencia como una función del tiempo. En el ejemplo del
robot mencionado anteriormente, aplicar cinemática directa consiste en mover
el nodo padre del brazo y todos los hijos se moverán con él. Si se utiliza sólo
cinemática directa, es muy complicado imponer restricciones al movimiento.
Dichas restricciones se deben resolver utilizando algoritmos de cinemática inversa
[BMB86].
La cinemática inversa consiste en especificar directamente la posición final
del último hijo. Las posiciones intermedias del resto de las articulaciones se
determinan automáticamente. Puesto que la herencia puede ser grande, el
problema es complejo. Dos grupos de métodos resuelven el problema de la
cinemática inversa: los métodos que utilizan el Jacobiano [GM85] [BTT90]
[BHTT94] [CBD+ 93] [BTC94] [MBT96] y las técnicas de programación no lineal
[ZB94].
Los métodos cinemáticos presentan dos ventajas importantes: permiten trabajar
con parámetros de alto nivel (como velocidad, longitudes, etc.) y no requieren
excesivo tiempo de cálculo. Por contra, para cada instante de tiempo es necesario
tener definidos al menos una docena de parámetros principales que serán los que
gobiernen al resto y habrá que contar con la habilidad del animador para superar
los momentos de discontinuidad de movimiento. Además, las secuencias que se
obtienen al aplicar estos métodos, no suelen ser muy realistas.
Captura de movimiento: Estas técnicas se basan en la captura los movimientos
realizados por sujetos vivos [MAB92] [BRRP97] o mediante técnicas de
rotoscopia (a partir una pelı́cula o vı́deo) [LPV92]. La edición, reutilización y
adaptación de los movimientos ya capturados permiten generar el movimiento.
Ambas metodologı́as hacen un uso intensivo de algoritmos de procesado de
imágenes, como son: filtros multiresolución para personalizar los movimientos,
técnicas de interpolación, suavizado y fundido de movimientos [BW95],
seguimiento de contornos en múltiples imágenes [HL96] o “motion warping”
[WP95]. Para una visión más amplia y detallada de las técnicas de captura de
movimiento, consultar [AC99], [Gav99] o [MG01].
Modelos Generativos. Estos métodos, que también reciben el nombre de métodos
basados en la dinámica, se utilizan las leyes fı́sicas que gobiernan el mundo
real para ofrecer una descripción de las causas del movimiento de los objetos.
El movimiento se obtiene por medio de las ecuaciones dinámicas de movimiento,
que utilizan las propiedades de masa, inercia, fuerzas y momentos de los objetos.
Además de trabajar con los objetos rı́gidos articulados, como el esqueleto del cuerpo
humano, el modelado basado en la fı́sica trabaja con otro tipo de objetos: los objetos
deformables, que se utilizan para animaciones de ropa, músculos, piel o cabello
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
59
(ver sección 5.1) o los modelos de partı́culas, que se utilizan principalmente para
fenómenos naturales [BRS03], como agua, fuego, gases, ...
Los modelos dinámicos permiten asignar propiedades fı́sicas a los objetos
que forman parte de la escena, sobre las que el computador simulará las leyes
fı́sicas que gobiernan el mundo real para producir movimientos realistas. Los
objetos pueden reaccionar automáticamente a restricciones internas o externas
del entorno (colisiones, fuerzas aplicadas, ...). La animación de estos modelos
se centra, principalmente, en controlar las fuerzas internas o los momentos de
fuerza generados por actuadores, como los motores o los músculos. El problema
fundamental de estos métodos es que requieren bastante tiempo de cálculo para
resolver las ecuaciones de movimiento de cuerpos articulados complejos y algunos
parámetros, como las fuerzas y los momentos, son difı́ciles de ajustar ya que no son
intuitivos. Dentro de la dinámica, existen dos aproximaciones:
La dinámica directa consiste en calcular un movimiento a partir de fuerzas y
momentos de fuerza dados y ciertas condiciones iniciales. El sistema evoluciona
de forma autónoma, con mı́nimo control. Funciona para sistemas pasivos que no
se modifiquen por la acción de fuerzas internas.
La dinámica inversa consiste en calcular las fuerzas y momentos de fuerza
del sistema a partir de movimientos ya conocidos. Se utiliza para caracterizar
los sistemas en los que las fuerzas internas constituyen el principal motor del
movimiento, como la acción de músculos y tendones. Sin embargo, en estos casos
es posible producir movimiento arbitrarios, sin validez fı́sica [KSK00].
Para la obtención de resultados mediante la dinámica se han aplicado varias
formulaciones de las ecuaciones del movimiento y diferentes métodos numéricos de
resolución, como Newton-Euler [GG94], Lagrange [AGL87] [BC89], Gibbs-Appell
[WB85] o D’Alembert [IC87] [ADH89].
Los modelos generativos se centran principalmente en la utilización de la dinámica
(directa e inversa) como algoritmo subyacente. Sin embargo, a más alto nivel
se requieren técnicas de control para la especificación del movimiento. Dichas
técnicas que se pueden clasificar del siguiente modo [NG95]:
Optimización local
Optimización global
Sistemas a medida
Los dos primeros métodos ofrecen estrategias generales que se pueden aplicar a
gran cantidad de movimientos. Los sistemas a medida, en cambio, se desarrollan
de forma restringida para un movimiento especı́fico como caminar, correr, bucear,
realizar artes marciales, ... En [NG95] se realiza una comparativa de la eficiencia de
cada uno de estos métodos con respecto a las diferentes áreas de investigación en
las que se utilizan. Los criterios que se tienen en cuenta para la comparación son:
participación del animador, grados de libertad considerados, robustez, reusabilidad
y calidad del movimiento.
60
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Optimización Local: El principal objetivo de la optimización local es encontrar
trayectorias de movimiento que sean óptimas respecto a una métrica determinada
(por ejemplo: mı́nima energı́a de control, suavidad de la trayectoria, mı́nima
distancia a posiciones predefinidas por cuadros clave). Estos métodos son
iterativos por naturaleza, parten de parámetros iniciales que se mejoran en cada
iteración hasta que se cumplen los criterios de optimización. Normalmente el
espacio de búsqueda se acota por medio de restricciones tales como valores lı́mites
en los ángulos de unión, etc.
Restricciones espacio-temporales: Estos métodos buscan una trayectoria en el
espacio de estados que maximice o minimice la métrica dada. El objetivo de
la métrica es proveer una medida cuantitativa para la calidad del movimiento
de todas las posibles trayectorias generadas. Los sistemas de animación de
[WK88] y [BN88] se basan en el uso de posiciones claves para restringir el
movimiento. Estas técnicas se utilizan mucho en problemas biomecánicos para
determinar conjuntos de activaciones musculares considerando métricas como
la mı́nima tensión muscular [Cro78] [PZSL90] [PAH92]. Como normalmente
presentan dificultades en la resolución numérica y son muy costosos
computacionalmente, se suele subdividir el espacio de estados en problemas
más pequeños que convergen más rápidamente [Coh92]. Otra estrategia trata
de optimizar las trayectorias sustituyendo los intervalos de tiempo de las
trayectorias por representaciones paramétricas construidas a partir de puntos
de control de interpolaciones lineales [PAH92], B-Splines [Coh92] o wavelets
[LGC94].
Figura 4.2. Técnicas de optimización local: Restricciones Espacio-Temporales vs. Sı́ntesis de Controladores
Sı́ntesis de controladores: Esta estrategia consiste en desarrollar programas de
control por medio de un conjunto de reglas que especifican como se generan
los movimiento a partir diferentes entradas para los actuadores presentes en
el problema. Normalmente, la figura del cuerpo humano tiene actuadores
en las articulaciones que permiten representar versiones simplificadas de los
músculos [HWBO95]. Un controlador calcula las acciones del actuador en
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
61
el tiempo. Los controladores se suelen generar a partir de búsqueda al azar
[LvdPF96], aunque también es posible resolver los parámetros óptimos para
una trayectoria utilizando programación dinámica para optimizar un conjunto
de parámetros para controlar el movimiento [vdPFV90]. De este modo, se
obtiene una familia de soluciones a partir de distintos valores iniciales. La
posibilidad de utilizar espacios basados en la sı́ntesis de controladores, que
incluyan acciones de sensores y realimentación del sistema suele ser más
robusta y tolerante a fallos.
Optimización Global: A diferencia de las técnicas locales, los métodos de
optimización global buscan la solución de control sin especificar una condición
inicial, extendiendo la búsqueda al dominio global del espacio de estados en
lugar de hacerse en regiones locales De este modo, es posible encontrar varias
soluciones, cada una de ellas con caracterı́sticas de movimiento potencialmente
diferentes. Las principales estrategias que se siguen en los métodos de
optimización global son: generación y prueba, y programación genética.
Programación Genética: Los programas de control resultantes de la aplicación
de estas técnicas [Koz92] requieren de los siguientes datos: variables y
funciones de partida, una métrica que mide la idoneidad del individuo, un
criterio de terminación, el número de individuos por generación y el número
máximo de generaciones. Se trata de una forma de evolución artificial, en el
que sobrevive el individuo que mejor cumple con los requisitos. Los trabajos
de [NM93] [Sim94] o [GH95] destacan en este campo.
Generación y prueba: Estas técnicas se basan principalmente en el uso de redes
de sensores-actuadores (SAN sensor-actuator networks), que constituyen
redes no lineales de conexiones ponderadas entre los sensores y los actuadores.
Estas redes conectan los sensores a los actuadores para establecer los valores
necesarios para que un actuador produzca un movimiento o una postura
determinada. Las arquitecturas de este tipo permiten crear movimientos que
“reaccionan” al contacto del suelo u otros estı́mulos externos [Bra84]. Tanto
en [Bra84] como en [WS90], [vdPF93] o [vdPKF04] se presentan trabajos
basados en esta técnica.
Sistemas a medida: Existen muchos tipos de movimiento en los que no es
evidente que se pueda formular correctamente una métrica para optimizarlos.
Por ejemplo en el caso de una coreografı́a de ballet o en la realización de artes
marciales, es difı́cil encontrar una función de energı́a o de tiempo a minimizar,
o por ejemplo en las tareas que impliquen la interacción con elementos externos
como por ejemplo en el caso del tenis, donde es necesario tener conocimiento de
otro objeto del entorno, como la pelota. Estos movimientos deben ser tratados de
forma particular, incorporando el conocimiento empı́rico adquirido en el proceso
de formulación del sistema de control del movimiento. Varias son las estrategias
que se han desarrollado en este campo:
Máquinas de estados finitos: Se divide el movimiento en fases y tareas
representados por medio de una máquina de estados finitos [TM66]. Ası́ se
62
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
pueden establecer distintos niveles jerárquicos, diferentes fases [Zel82] con sus
correspondientes modelos dinámicos y cinemáticos [BC89] o utilizar una ley
de control [WH96] para cada fase en la que se divide un movimiento complejo.
Su mayor desventaja es que su diseño es completamente manual.
Simplificación de modelos fı́sicos: [BC89] desarrolla modelos dinámicos
simplificados para cada fase de la locomoción humana. Esta misma estrategia
se utiliza para simplificar modelos con un alto número de grados de libertad
[vdPF93].
División del problema de control: Esta técnica divide el problema de control
en problemas aislados más sencillos [Bro86], trabajando por niveles de tarea,
desde el bajo nivel del movimiento de conjunto de segmentos hasta el
comportamiento más general de la figura articulada. [RH91] divide las tareas
de control del movimiento de sus robots saltadores en controlar, de manera
independiente, el salto, la velocidad y de la postura. Desafortunadamente, no
todos los movimientos pueden descomponerse fácilmente en tareas de menor
complejidad sin que se produzcan efectos de acoplamiento.
Modelos de comportamiento. Los modelos basados en el comportamiento no están
relacionados únicamente con el movimiento, sino que pretenden cubrir otros como
la percepción del medio, la reacción y la interacción con el medio y con otros objetos.
Normalmente, el objetivo final de aplicar estas técnicas es obtener actores sintéticos
en entornos virtuales no predecibles. Por ello, sólo se abordan de manera muy general
en este trabajo. En estos sistemas normalmente se distingue entre:
el control motor o de bajo nivel que da lugar a los movimientos básicos de la
figura, que pueden estar basados en leyes fı́sicas o ser simplemente heurı́sticos
(descritas en las secciones anteriores)
la planificación motora o de alto nivel, que es la conexión entre la percepción y
la acción
Uno de los primeros sistemas de animación que incorpora caracterı́sticas de
comportamiento y autonomı́a ha sido desarrollado por [Rey87] en base a la
subdivisión del problema. El sistema de animación obtiene un comportamiento
global a partir de la combinación de diferentes comportamientos individuales. En
lugar de utilizar un guión para cada actor, se define un comportamiento para cada
actor, y la interacción entre los diferentes actores produce la simulación. El trabajo
se centra en bandadas de pájaros, donde los comportamientos posibles son: evitar
obstáculos con pájaros cercanos, utilizar una velocidad similar a la de los pájaros
cercanos y no alejarse de los pájaros cercanos.
“Human Factory” constituye uno de los primeros trabajos en la creación de seres
humanos sintéticos [TMT87], diseñado para reproducir actores sintéticos de estrellas
famosas como Marilyn Monroe o Humphrey Bogart. En dicho trabajo se ofrecen
soluciones al modelado del esqueleto y el cuerpo de los actores y se centran en
comportamientos simples, como agarrar objetos con la mano o expresar emociones.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
63
A partir de estas primeras aproximaciones al modelado de comportamiento de
finales de los ’80, estas técnicas han evolucionado mucho en los últimos años. Los
cambios principales son los siguientes:
Se pasa de animaciones basadas en guiones a animaciones en las que no existe
un guión predefinido
Los sistemas actuales son modulares y distribuidos
Se emplean técnicas basadas en vida artificial (VA) en lugar de técnicas de
inteligencia artificial (IA)
Se implementan niveles de especialización: motor, comportamiento y de
transición entre ambos
Los actores sintéticos tienen a ser autónomos, adaptables y con capacidad de
aprendizaje
Se desarrollan comportamientos complejos a partir de la unión de
comportamientos más simples
En la actualidad, los sistemas de animación basados en el comportamiento se
pueden clasificar en Sistemas de percepción y acción en los cuales los organismos
responden a estı́mulos de su propio entorno local, entre los que destacan los
trabajos de [LW89], [HP88] o [WS90] y Sistemas basados en agentes y en
vida artificial [BBZ91] [EMTTT98] entre los que destacan los sistemas basados
en agentes inteligentes [BY95] [CKH96], los sistemas basados en redes neuronales
[Bee90] y los mecanismos de selección de acciones [Mae95] [TT94] [BPW93].
Atendiendo a esta clasificación, en [PCS00] se puede encontrar una descripción
más exhaustiva de estas técnicas.
4.1.2.
Antecedentes de la locomoción en Biomecánica y Robótica
Las razones del estudio de la locomoción humana han ido cambiando a lo largo
de los siglos. Desde las pinturas de la Era Paleolı́tica, que representaban a hombres
y animales en movimiento, motivadas básicamente por razones de supervivencia
hasta los estudios actuales, donde la investigación se centra en la recuperación
de accidentes, disfunciones motoras, creación y adaptación de prótesis, estudio del
rendimiento de los atletas...
La base cientı́fica que permitió la actual comprensión de la locomoción humana
surge a partir del siglo XVII con las aportaciones de numerosos investigadores entre
los que podemos citar a Giovani Borelli [Bor79], Luigi Galvani [Gal92], los hermanos
Weber [WW36] [Web51], Etienne-Jules Marey [Mar73] [Mar94] (ver figura 4.3),
Eadweard Muybridge [Muy87] (ver figura 4.4), ... . En los trabajos de [CGA] [AA00]
[Sut01] se ofrece una buena perspectiva de la evolución histórica en este campo.
Actualmente, la locomoción es uno de los problemas más estudiados de las técnicas
de animación del cuerpo humano. Existen dos causas que han producido este
hecho: la previa existencia de estudios relacionados provenientes de otras disciplinas
cientı́ficas y la evidente aplicación futura de los posibles resultados.
64
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.3. Experimentos de E. Marey
Figura 4.4. Secuencias fotográficas de E. Muybridge
La Biomecánica es el estudio de los elementos estructurales de los seres vivos
desde un punto de vista matemático y fı́sico. Los estudios biomecánicos se remontan
a las postrimerı́as del siglo XIX por lo que también fueron fuente de inspiración
para la Robótica: la otra disciplina cientı́fica que se utiliza como referencia en
la simulación del cuerpo humano. Muchas de las prótesis que se emplean en
la recuperación clı́nica de personas con articulaciones y extremidades dañadas
provienen directamente de laboratorios de Robótica.
Antecedentes de la locomoción en la biomecánica Las investigaciones en
Biomecánica están dirigidas principalmente al análisis de la locomoción humana.
Son de particular interés los estudios en la eficiencia del movimiento natural en
humanos y animales [McM84] [Ale84] y la identificación de varios “determinantes
del paso” y su papel en la locomoción [SSH82] [PB89]. Para ello se han propuesto
gran cantidad de modelos dinámicos [McM84] [Tow85] [PB89]. Estas aproximaciones
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
65
generalmente hacen suposiciones que limitan su uso en la animación, como por
ejemplo el uso de modelos bı́pedos simplificados y/o con movimiento sólo en un
plano [VJ69] [McM84] [Tow85] [PB89].
Sin embargo, la Biomecánica es un recurso útil para generar simulaciones realistas
ya que ofrece modelos para movimientos especı́ficos, generalmente basados en datos
experimentales obtenidos de laboratorios mediante herramientas especializadas o
simplemente mediante percepción visual [CPL96] [ANHA96] [Vol97]. Estos modelos
tienen por objetivo aplicaciones como diagnóstico médico, tratamiento de problemas
de control motor, análisis de disfunciones motoras, etc.
Las investigaciones realizadas en los laboratorios aportan datos cinemáticos y
dinámicos de la locomoción que permiten comparar con otros tabulados y detectar
anomalı́as [CEL] [KCR] [ITB] [RUS] [VDA96]. Aunque en la actualidad se están
mejorando constantemente los sistemas de capturas de datos, éstos no están libres de
errores inherentes a los protocolos o a las tecnologı́as aplicadas y hay investigaciones
dedicadas al estudio de los errores y desviaciones en las medidas tomadas por los
sistemas de rotoscopı́a [BADQ96].
Aunque es evidente la importancia de los sistemas rotoscópicos para captar datos
cinemáticos, estas medidas son externas y no informan sobre el comportamiento
intrı́nseco de músculos y articulaciones [JH96]. Para salvar este problema, en
la literatura se pueden encontrar numerosos de experimentos con cadáveres
reales, que al poder ser manipulados y diseccionados, han permitido estudiar
de forma individual conjuntos de articulaciones [BH96]. Existen otras técnicas
que permiten extraer parámetros relevantes del funcionamiento de músculos
individuales, como la electromiografı́a (EMG), que mide la actividad eléctrica del
músculo y está directamente relacionada con el gasto energético [Win87] [CKA97].
La medición de las reacciones del suelo al soportar la planta del pie se realiza
colocando sensores de presión en la superficie de contacto y sirve para determinar
la fuerza que soporta el pie. Esta técnica se emplea mucho ya que es sencilla y no
conlleva un equipamiento costoso. Son numerosos los estudios que se han realizado
a partir de estas mediciones pero hay que reseñar los desarrollados por [FG96]
[FF97] para comprender la rigidez del sistema músculo-esqueletal. Otros estudios
que utilizan la sensorización de la reacción del suelo para estudiar las deformaciones
del pie [Ful96], la distribución de las presiones al apoyar el pie [LJC96], o las fuerzas
a las que se someten los ligamentos de la rodilla al iniciar [HGdVK95] o al finalizar
un salto [ZBD96].
La Biomecánica se ocupa también del control del movimiento. Es necesario
averiguar que patrones de funcionamiento involuntario permiten que el ser humano
se mantenga de pie, camine a la velocidad adecuada, no se precipite al suelo cuando
sube escaleras o comienza a correr. Las técnicas empleadas tratan de modelar el
comportamiento y establecer protocolos experimentales para su comprobación. Ası́,
[CPL95] utiliza un péndulo invertido multiarticulado como modelo para probar
distintos tipos de control (PI, PD, PID) atendiendo a la rigidez activa (músculos)
66
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
y ala pasiva (mecánica de tendones y ligamentos). En [ZW96a] y [ZW96b] se
mide la capacidad de adaptación del sistema reflexivo del ser humano cuando se
perturba repetidas veces aplicando momentos de fuerza en el tobillo, basándose
en un modelo dinámico muy simple. [CC95] deriva una ecuación en diferencias
parciales partiendo de desarrollos estocásticos que provienen de los observados
experimentalmente midiendo el Centro de Presión (COP) cuando se está de pie.
[Van97] desarrolla un trabajo de simulación biomecánica muy interesante, basándose
en multiplicadores de Lagrange para optimizar el control. Utiliza modelos muy
complejos de las articulaciones y diferencia las contribuciones de elementos pasivos
y activos en el ciclo de locomoción humana. Su trabajo se aplica a la rehabilitación
de pacientes parapléjicos y al desarrollo de prótesis.
Antecedentes de la locomoción en la robótica A diferencia de las investigaciones
biomecánicas que tienen por objetivo el análisis de la locomoción, las investigaciones
en Robótica se centran en la sı́ntesis del movimiento, tanto para generar
simulaciones como para implementar robots reales.
Los robots industriales son los más conocidos y estudiados pero existen también
robots androides, con aplicabilidad en medicina e infografı́a. De hecho, la industria
del cine ha estado desarrollando modelos futuristas de robots que con el paso del
tiempo se van haciendo realidad [Bro91] [HON] [HHHT98] [Wei01] [Lem02].
Normalmente los robots se clasifican dependiendo de la técnica que utilicen para
mantener el equilibrio. Los robots que mantienen el equilibrio de manera “estática”
(o con balanceo estático) suelen tener 4 patas o más, con al menos 3 en el suelo
para ofrecer un buen soporte. Además es necesario que el robot realice movimientos
lentos para no perturbar el balanceo. Los robots bı́pedos o unı́pedos, en cambio,
sólo pueden mantener la estabilidad de forma “dinámica”, no sufren limitaciones en
cuanto a la velocidad, pero son más difı́ciles de controlar.
Dentro de los sistemas dinámicos, el control del equilibrio puede realizarse de
forma “activa” por medio de actuadores y servomecanismos o de forma “pasiva”
desarrollando sistemas autorregulados que caminen sin necesidad de introducir
energı́a (por ejemplo, sistemas de locomoción en pendientes, movidos por la
gravedad).
Inspirado en los modelos de [MM80], [McG90a] demuestra que algunos sistemas
de locomoción bı́peda sobre terrenos llanos pueden ser similares a la locomoción
humana y permanecer estables sin ningún tipo de control. Estos sistemas minimizan
el consumo energético, mientras que los activos inyectan energı́a al sistema, pero
se pueden controlar mejor. Esta lı́nea de investigaciones sobre sistemas dinámicos
pasivos se continua en numerosos trabajos [McG90b] [FK96] [GRCC96] [GCRC98]
[GCR00]. [CGC+ 97] estudia las posibilidades reales de migrar modelos de robots
bı́pedos 2D a 3D mientras que en [CWR01] se construye el primer robot bı́pedo
tridimensional con flexión en las rodillas.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
67
Los sistemas basados en dinámica activa se estudian en los años ’70 utilizando
simulaciones por ordenador [VFJ70] [GHM74]. Unos años más tarde comienzan
a implementarse robots bı́pedos que mantienen el equilibrio de manera dinámica
y activa. [MS84] construye la primera máquina que camina cuyo balanceo se
realiza realmente de forma activa, por medio de tres actuadores (uno en cada
pierna para abducción y aducción de la cadera y otro para separar las piernas
hacia adelante y hacia atrás). [RBC84] presenta un método que se descompone
en tres partes para controlar un robot saltador de una sola pierna. Este trabajo
se extiende posteriormente a robots bı́pedos y cuadrúpedos que corren (ver figura
4.5) [Rai86b] basándose en el concepto de pierna virtual [SU84]. También [GFLZ94]
basa sus robots bı́pedos en piernas virtuales que se alargan y acortan de forma
complementaria. Algunos autores centran su trabajo en producir movimientos suaves
entre los pasos [TIYK85] [FS90] mientras que otros se centran el el desarrollo de
algoritmos para pasos asimétricos [DH94] [DH96].
Figura 4.5. Robot bı́pedo [Rai86b]
Los sistemas hı́bridos probablemente se acercan mejor a la realidad de los seres
vivos, como [AB97] que mezcla en su simulación de un robot bı́pedo una fase de
dinámica pasiva y otra activa. El resultado final es un robot controlable, con un
consumo total de energı́a menor que en los sistemas anteriores.
4.1.3.
Reflexiones
Como se ha mencionado previamente, existen varios modelos para especificar el
control del movimiento en el campo de la animación por ordenador, en Informática
Gráfica. En el caso particular de la locomoción humana abordada en este trabajo,
no se tendrán en cuenta los modelos de comportamiento ya que éstos no se refieren
sólo al control del movimiento sino que también tienen abarcan otros aspectos. De
los dos modelos restantes de especificación de movimiento se opta por desarrollar un
sistema de control hı́brido en base a los métodos cinemáticos de los modelos
guiados y en sistemas a medida de los modelos basados en la dinámica.
68
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
La utilización de la cinemática es una labor muy tediosa para mover la estructura
jerárquica de un modelo ya que en cada instante de tiempo es necesario tener
definidos una serie de parámetros principales que serán los que gobiernen al
resto. Una posibilidad consiste en utilizar técnicas de captura, pero este tipo
de equipamientos suelen ser costosos. Otra opción serı́a determinar valores de
“cuadros claves” a partir de datos tabulados previamente y generar los cuadros
intermedios mediante técnicas de interpolación. Ambos métodos trabajan con valores
reales, de modo que permiten obtener un movimiento bastante realista... pero
presentan un inconveniente: su generalización. Por un lado, los valores obtenidos
por captura para una velocidad de marcha no son directamente extrapolables a
una velocidad diferente, es prácticamente imposible obtener un control exacto del
individuo para que regule con precisión velocidades o las longitudes y se debe
producir una nueva grabación si elige un individuo con antropometrı́a diferente.
En este sentido, la utilización de tablas es más flexible y permite generar un patrón
básico de locomoción interpolando de forma ponderada los parámetros de control de
curvas tabuladas y promediadas [BTT90]. Sin embargo, estos sistemas no producen
movimientos naturales cuando se interpolan valores no tabulados previamente y no
disponen de una caracterización individual del paso.
Los movimientos del sistema también se pueden regular por medio de la dinámica,
que controla las velocidades y aceleraciones de cada uno de los segmentos que
forman el modelo articulado. Para ello es necesario disponer de todos los valores
de momentos de inercia y restricciones presentes en el sistema, introducir los valores
de las acciones de las fuerzas motoras que normalmente son función del tiempo
y posteriormente deducir y resolver las ecuaciones del movimiento. El sistema de
ecuaciones resultantes suele ser muy difı́cil de resolver y es necesario simplificar
mucho el modelo para que la dinámica sea útil. En este caso, sólo la estética de
los movimientos contemplados en las ecuaciones serı́a la adecuada y la apariencia
global serı́a muy pobre. Además, este método resulta muy poco intuitivo, ya que
el animador debe introducir valores de fuerzas y momentos de fuerzas para definir
el movimiento. Sin embargo, aunque provengan de un modelo simple, los patrones
básicos de movimiento calculados a partir de una simulación dinámica se ajustan
mucho mejor al movimiento real.
El sistema propuesto parte del trabajo realizado por Bruderlin y Calvert [BC89] en
el que se utiliza un sistema dinámico-cinemático para lograr una implementación más
eficiente. El modelo se basa en la dinámica para gobernar los parámetros básicos de
la locomoción, utilizando un modelo fı́sico simplificado de la estructura jerárquica, y
posteriormente utiliza la cinemática para generar el movimiento de las articulaciones
y completar los grados de libertad simplificados en la dinámica, obteniendo ası́ una
buena apariencia visual del movimiento del cuerpo en su conjunto.
Asimismo, para una correcta implementación de un sistema de locomoción es
necesario utilizar conocimientos biomecánicos del análisis de la marcha humana.
Los trabajos analizados permiten comprender la importancia de la biomecánica para
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
69
obtener naturalidad en la simulación de la marcha humana. Los resultados obtenidos
por medio de estudios experimentales permiten hallar valores numéricos de las
fuerzas y de momentos que servirán para optimizar los resultados de la simulación.
Los antecedentes estudiados en Robótica, por otra parte, servirán para la
generación del movimiento humano. Sus técnicas de control de movimientos
complejos y trayectorias en equipos industriales han permitido la evolución de
esquemas de trabajo simples y rápidos. Los trabajos de Raibert [Rai86b] constituyen
la base que se tendrá en cuenta para la simplificación de las ecuaciones dinámicas
del movimiento.
4.2.
Conceptos de locomoción humana
La locomoción humana normal se ha descrito como una serie de movimientos
rı́tmicos y alternantes de las extremidades y el tronco, que determinan un
desplazamiento hacia delante del centro de gravedad [PMP97].
Básicamente una secuencia de locomoción puede dividirse en tres partes: un
pequeño perı́odo de aceleración para obtener velocidad, seguido por un perı́odo
rı́tmico dominante en el cual la velocidad se mantiene casi constante y un corto
perı́odo de desaceleración. Sin embargo, casi toda la investigación realizada en
locomoción se centra en el perı́odo rı́tmico de la marcha. Esta cadencia rı́tmica
permite definir como ciclo de locomoción a toda la actividad que ocurre entre dos
contactos consecutivos del talón de una misma pierna con el suelo. De este modo, un
ciclo está compuesto por dos pasos, si el primero se realiza por la pierna izquierda el
siguiente por la derecha. La alternancia de estos pasos, que son simétricos y tienen
cierto desfase, da como resultado la forma de desplazamiento del ser humano. Por
lo tanto el estudio del ciclo de locomoción humana empieza por estudiar el paso de
una sola pierna, que básicamente está divido en dos fases: fase de apoyo y fase
de giro, como se observa en la figura 4.6.
Figura 4.6. Fases del ciclo de locomoción considerando 1 sola pierna
70
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
La fase de apoyo es el perı́odo de tiempo durante el cual el pie está en contacto con
el suelo. La fase de giro es el perı́odo de tiempo en el que el pie no está en contacto
con el suelo y está girando hacia adelante. Sin embargo, también existe una fase
de doble apoyo que corresponde al perı́odo de tiempo en que ambas piernas están
en contacto con el suelo, aunque normalmente esta fase se contempla incluida en la
fase de apoyo (ver figura 4.7).
Figura 4.7. Fases del ciclo de locomoción
Cuando se camina, la fase de apoyo comprende aproximadamente un 60 % del
tiempo total de un paso y la fase de giro el 40 % restante. Esta proporción varı́a
según se incrementa la velocidad caminando. La proporción de la fase de apoyo
disminuye en la misma forma que la velocidad aumenta. Es importante destacar que
al caminar existe una velocidad lı́mite en la que es más cómodo correr que andar,
debido a la búsqueda de la eficiencia energética del sistema locomotor. Esto implica
que, para una velocidad de marcha dada, un hombre incrementa la longitud del paso
manteniendo en lo posible una frecuencia de pasos constante, hasta que se alcanza
la longitud natural máxima de paso. A partir de ese instante, para aumentar la
velocidad, la frecuencia de pasos debe ser incrementada [IRT81]. En el momento
que un aumento de velocidad implica abandonar el paso natural, el subconsciente
obliga a comenzar a correr, lo que energéticamente es más óptimo.
El ciclo locomotor humano está determinado por los siguientes procesos:
Secuenciación de fases, Simetrı́a en el paso y Minimización energética, que se
detallan a continuación.
4.2.1.
Secuenciación de fases
A continuación se describen con mayor detalle cada una de estas fases principales:
apoyo, giro y doble apoyo, aunque puede encontrarse una descripción mucho más
exhaustiva en [NTH85].
En la fase de apoyo se producen las fuerzas que permiten al cuerpo humano
avanzar mientras se mantiene el contacto con el suelo. Comienza cuando el talón de
la pierna de apoyo toca el suelo y finaliza cuando los dedos del pie dejan de contactar
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
71
con el mismo. Esta fase se puede dividir a su vez en otras tres subfases: contacto,
apoyo medio y propulsión (ver figura 4.8).
Figura 4.8. Fase de apoyo
Contacto: Esta fase comienza con el contacto del talón con el suelo y termina
cuando el pie se apoya en toda su longitud. Durante este perı́odo de tiempo el pie
funciona como un adaptador móvil a la superficie del suelo y gira, “abriéndose”,
alrededor de la articulación del tobillo mientras absorbe el golpe. Esta subfase
dura el 15 % del ciclo de locomoción.
Apoyo medio: Esta fase comienza con todo el pie en contacto con el suelo. El
centro de gravedad del cuerpo pasa por encima del pie cuando la tibia y el resto
del cuerpo se mueven hacia adelante. La articulación del tobillo “se cierra” y
el pie se transforma de un adaptador a una palanca rı́gida que se encarga de
propulsar el cuerpo hacia adelante durante la última parte de la fase de apoyo.
En el apoyo medio, la pierna sostiene todo el peso corporal durante un 15 % del
ciclo, de tal forma que el centro de gravedad se sitúa directamente por encima
de la articulación del tobillo.
Propulsión: Esta última fase comienza en el momento en que el talón comienza
a abandonar el contacto con el suelo y termina cuando la punta del dedo lo
abandona definitivamente, dando lugar a la fase de giro. El cuerpo se propulsa
hacia adelante y su peso se traspasa al pie de la pierna contraria en el momento
que apoya su talón. Este perı́odo es posible dividirlo a su vez en: despegue del
talón, que ocupa un 25 % del ciclo y despegue del empeine, que produce una fuerte
aceleración mediante la potente contracción de los músculos de la pantorrilla y
dura un 5 % del ciclo.
En la fase de giro (o fase de balanceo) se puede encontrar tres perı́odos que
discurren durante el 40 % restante del ciclo de locomoción humana. La fase de
giro comienza en el momento en que los dedos del pie dejan de tocar el suelo y
finaliza cuando el talón vuelve a contactar con el mismo. En la figura 4.9 se pueden
diferenciar los tres perı́odos en los que se divide la fase de giro y que son comunes a la
mayorı́a de la marcha de diferentes individuos: aceleración, giro medio, deceleración.
72
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.9. Fase de giro
Aceleración: Es el principio de la fase de giro y coincide con una aceleración del
movimiento de la pierna para poder dejar el suelo y colocarse por delante del
cuerpo en preparación del próximo apoyo del talón. Ocupa un 10 % de la fase de
giro.
Giro medio: Ocurre cuando la pierna pasa frente al cuerpo y debe retraerse lo
suficiente para evitar el choque con el suelo. Es el perı́odo de mayor duración,
un 80 % de la fase de giro.
Deceleración: Es el último perı́odo de movimiento de la pierna de giro y se
caracteriza por su pérdida progresiva de velocidad, de forma que se recupera
el control de la posición del pie justo antes de producirse el apoyo de talón. Su
duración es de un 10 % de la fase de giro.
La fase de doble apoyo es el perı́odo que se produce de forma simultánea a las
fases anteriormente descritas, cuando ambas piernas están al mismo tiempo en el
suelo (ver figura 4.7). Esto ocurre entre el despegue del empeine de una pierna
y los perı́odos de apoyo de talón y apoyo medio de la otra. Es un parámetro
importante en la caracterización de la locomoción humana porque su tiempo de
duración está directamente relacionado con la frecuencia de pasos: si la frecuencia
de pasos disminuye el tiempo de doble apoyo aumenta, y al revés, si se camina
más rápido, aumentando la cadencia de pasos, el tiempo de doble apoyo disminuye.
A velocidad de marcha normal su duración es de un 10 % del ciclo de locomoción
mientras que en el caso extremo, corriendo, esta fase desaparece.
4.2.2.
Simetrı́a en el paso
Es posible deducir, a simple vista, que existe cierta simetrı́a en el ciclo de
locomoción. Ya se ha descrito que la locomoción humana es un proceso cı́clico en el
que los movimientos de una pierna se repiten, con cierto desfase, con la otra. Aunque
esto no es totalmente cierto ya que el ser humano es capaz de modificar la forma
de caminar con la granularidad de un paso, es decir, que el siguiente paso se puede
dar un poco más corto, un poco más rápido, o simplemente decelerar su movimiento
hasta detenerse. De cualquier forma, la simetrı́a dentro del ciclo de locomoción se
cumple en el momento que se alcanza un ritmo constante de marcha, lo que se
produce en la mayorı́a de las ocasiones.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
73
En el ciclo de locomoción existe, además, otro tipo de simetrı́a que no es tan
evidente y que se produce en el mismo instante en que se apoya el talón y comienza
la fase de doble apoyo. En ese momento, la disposición espacial de ambas piernas
permite deducir que existe una relación constante entre el ángulo de la cadera de
la pierna anterior con el de la pierna posterior. Esta relación serı́a de igualdad
respecto a una imaginaria lı́nea vertical situada en el centro de gravedad (simetrı́a)
si ambos pies tuvieran un apoyo plantar completo. En ese instante se forma un
triángulo isósceles entre ambas piernas completamente extendidas y el suelo, siendo
la longitud del paso la base de ese triángulo [BC89], tal como se puede observar en
la figura 4.10.
Figura 4.10. Simetrı́a del paso (adaptado de [BC89]), donde PI y PD son la Pierna Izquierda y Derecha, respectivamente.
4.2.3.
Minimización del consumo energético
El ser humano utiliza diferentes estrategias para desplazarse que buscan minimizar
su gasto energético. Para una velocidad dada el ser humano incrementa la longitud
del paso manteniendo, en lo posible, una frecuencia de pasos constante. Cuando
alcanza la longitud natural máxima, entonces incrementa la frecuencia. Toda
variación de estos parámetros sobre el paso natural implica un mayor gasto
energético acompañado con una ineficiencia que llega a ser máxima cuando se fuerza
el proceso natural.
Las leyes de la mecánica dicen que el mı́nimo gasto de energı́a se consigue cuando
un cuerpo se mueve en lı́nea recta, sin que el centro de gravedad se desvı́e. Esta lı́nea
recta serı́a posible en la marcha normal si las extremidades inferiores terminaran en
ruedas. Como esto no ocurre, el centro de gravedad del cuerpo se desvı́a de una lı́nea
recta, pero para conservar la energı́a, la desviación o desplazamiento debe quedarse
a un nivel óptimo. Los factores principales que afectan a la eficiencia mecánica y al
gasto de energı́a durante la marcha reciben el nombre de determinantes del paso
[Ayy97] y son los siguientes:
1. Rotación de la pelvis: Durante la marcha, la pelvis rota hacia adelante en el
plano horizontal, aproximadamente 4 grados a cada lado de la lı́nea central (ver
74
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
figura 4.11(a)). Esta caracterı́stica permite un paso ligeramente más largo, sin
bajar el centro de gravedad y reduciendo, por tanto, el desplazamiento vertical
total. Este desplazamiento es máximo a mitad del paso y mı́nimo en el apoyo del
talón.
2. Basculación de la pelvis: En el plano frontal, la pelvis desciende
alternativamente, primero alrededor de una articulación de la cadera y luego
de la otra. El desplazamiento desde la horizontal es muy ligero y generalmente
no pasa de 5 grados (ver figura 4.11(b)). Esta caracterı́stica sirve para reducir la
elevación del centro de gravedad.
3. Desplazamiento lateral de la pelvis: Para mantener el equilibrio del cuerpo
es necesario desviar la pelvis y el tronco hacia la extremidad en la que se apoya
el peso del cuerpo (ver figura 4.11(c)). El centro de gravedad también oscila de
un lado a otro. El desplazamiento lateral es máximo (aproximadamente 5 cm)
cuando el peso del cuerpo se carga completamente sobre la pierna de apoyo y
mı́nimo en el perı́odo de doble apoyo.
(a) Rotación
(b) Basculación
(c) Desplaz. lateral
Figura 4.11. Movimientos de la pelvis
4. Flexión de la rodilla en la fase de apoyo: También la rodilla contribuye a
disminuir el desplazamiento vertical del centro de gravedad al estar en una flexión
de unos 15 grados en el momento en que el cuerpo pasa por encima de la pierna
de apoyo.
5-6. Movimiento de la rodilla, el pie y el talón: Los movimientos producidos
de manera conjunta por la rodilla, el pie y el talón, acortan o alargan la
extremidad para prevenir un cambio abrupto en la posición vertical del centro
de gravedad. De este modo, se logra la suavidad del movimiento del centro de
gravedad (ver figura 4.12).
Estos seis mecanismos fundamentales juegan un papel muy importante durante la
marcha ya que contribuyen a dar la forma definitiva de la curva sinusoidal producida
por el movimiento del centro de masas del cuerpo, en los planos horizontal y vertical,
y permiten transiciones suaves de un paso a otro (ver figura 4.13).
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
75
Figura 4.12. Los movimientos de la rodilla, el pie y el talón suavizan el recorrido del centro de masas
Por otra parte, los valores de los determinantes del paso varı́an de una persona a
otra, y constituyen información importante acerca de las caracterı́sticas individuales
de cada forma de caminar de cada persona.
Figura 4.13. Movimiento sinusoidal del centro de masas del cuerpo humano durante la locomoción
4.3.
Descripción del sistema de movimiento global del esqueleto
El sistema de locomoción propuesto se basa en un mecanismo de control hı́brido
dinámico-cinemático: la dinámica se utiliza para gobernar los parámetros básicos
de la locomoción, a partir de un modelo fı́sico simplificado de la estructura jerárquica,
y posteriormente la cinemática se utiliza para generar el movimiento de las
articulaciones y completar los grados de libertad simplificados en la dinámica,
obteniendo ası́ una apariencia visual muy realista del movimiento del cuerpo en su
conjunto. Por otra parte, los datos generados para el movimiento permiten obtener
valores de momentos de fuerza netos, necesarios para la fase músculo-esqueletal.
La utilización de este mecanismo de control de movimiento permite generar
simulaciones de locomoción de individuos de alturas y pesos diferentes que no siguen
los mismos patrones básicos de movimiento, en los que su diferenciación responde a
76
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
la fı́sica del problema. Asimismo es posible variar la rigidez del modelo dinámico de
partida, por medio de numerosas constantes fı́sicas, que permiten caracterizar cada
patrón básico de forma individual e introducir un primer nivel de distinción entre
individuos con los mismos valores corporales. Por otra parte, existe otro nivel de
diferenciación en la fase cinemática, ya que todos los segmentos y ángulos que no
son resultado directo de la simulación tienen lı́mites en su movimiento y éstos pueden
ser variados de forma interactiva, proporcionando una apariencia final mucho más
realista. Si este nivel de diferenciación se hubiese introducido en el modelo dinámico,
el sistema resultarı́a irresoluble por su complejidad analı́tica o numérica.
El esquema global de control utilizado en el sistema se presenta en la figura 4.14,
en la que se destacan las diferentes fases, dinámicas y cinemáticas, que son necesarias
para simular cada paso.
Figura 4.14. Descripción general del sistema de movimiento del esqueleto
El sistema calcula con la granularidad de un paso, es decir, se calcula en todo
momento del ciclo de locomoción. Este hecho lo diferencia de otros sistemas en los
que, para conseguir un ahorro en los cálculos, se asume la simetrı́a en los dos pasos
del ciclo de locomoción [BTT90], facilitando la visualización en tiempo real, pero
perdiendo la variación del movimiento de un paso a otro, especialmente necesaria
en los perı́odos de aceleración y deceleración.
La inicialización del sistema hı́brido dinámico-cinemático requiere la introducción
de parámetros de alto nivel como los datos antropométricos del individuo: altura y
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
77
peso, y los parámetros de locomoción: velocidad, frecuencia de paso o longitud del
paso. A partir de dichos parámetros y teniendo en cuenta conocimiento empı́rico de
la locomoción humana (secuenciación de fases, simetrı́a del paso y minimización del
consumo energético) es posible establecer las “condiciones de contorno” del sistema.
El control dinámico presenta la dificultad de tener que conocer a priori las
fuerzas que gobiernan el sistema, además de tener que resolver numéricamente las
ecuaciones que se obtienen. Para reducir la complejidad del sistema se ha opta por
utilizar un modelo extremadamente simplificado pero eficaz, dividiendo el sistema
en subsistemas independientes, uno para cada pierna.
En primer lugar, se calcula la dinámica de la pierna de apoyo, que es la fase
principal del sistema y se divide a su vez en tres subfases enlazadas, de forma
que se repite globalmente el proceso de búsqueda de soluciones de las ecuaciones
que cumplan con las restricciones establecidas por las condiciones de contorno.
Los cálculos de la dinámica de la pierna de apoyo permiten obtener la posición y
velocidad de la cadera, permitiendo deducir la cinemática de todo el tronco superior,
incluyendo vértebras, brazos y cabeza. La cinemática de la pierna de apoyo se divide
en 4 subfases, y permite complementar los cálculos de dicha pierna obtenidos por
medio de la dinámica.
Existe un perı́odo de tiempo en el movimiento de la pierna de apoyo que
corresponde a la fase de doble apoyo. Este perı́odo no es cubierto por la dinámica
del sistema porque se considera que en el momento en que se produce el apoyo del
talón, el peso del cuerpo situado en el centro de gravedad pasa instantáneamente de
una pierna de apoyo a la otra. Al igual que el resto de los segmentos del cuerpo, el
movimiento de la fase de doble apoyo se complementa con la cinemática (cinemática
de la propulsión pasiva).
Posteriormente se comienza con la fase dinámica de la pierna de giro, que también
consta de tres subfases y se complementa a su vez por su propia fase cinemática,
aunque en este caso los modelos de la dinámica y la cinemática coinciden de manera
que ambas se han resuelto a la par.
La continuidad entre pasos consecutivos se logra aplicando teoremas de
conservación de energı́a.
La última “fase” del sistema permite determinar los momentos y fuerzas
resultantes entre segmentos del modelo cinemático. Las fuerzas y momentos de
fuerza netos son fundamentales como entrada para la implementación de la fase
músculo-esqueletal de MOBiL.
El sistema de locomoción implementado está fuertemente inspirado en el sistema
KLAW, desarrollado por Bruderlin y Calvert [BC89], que es de donde se extraen las
ideas básicas que rigen el sistema a nivel general. Sin embargo, en cada apartado se
hará mención a la procedencia de las ideas y/o métodos utilizados. Por otra parte,
es necesario resaltar algunas diferencias importantes con dicho trabajo:
78
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
El sistema MOBiL es un sistema de animación coordinada de la forma y del
movimiento por lo que añade la complexión y el estado fı́sico como parámetros
de control de alto nivel.
En su trabajo no se obtienen valores de momentos de fuerza netos en las
articulaciones. Los “momentos” a los que se refiere dicho trabajo son, en realidad,
momentos externos ad-hoc aplicados al modelo para favorecer la convergencia.
Todos los métodos numéricos de resolución utilizados son diferentes. En nuestro
sistema no se utilizan librerı́as externas sino algoritmos adaptados expresamente,
simples y rápidos.
Se han vuelto a deducir todas las ecuaciones de todos los modelos del sistema
manteniendo un único sistema de referencia. En el sistema KLAW existen varias
referencias espaciales que dificultan la validación del sistema.
El inicio y el fin de la marcha son diferentes.
Los cálculos de los momentos de inercia de KLAW presentaban una desviación,
que se ha corregido. De igual forma las “constantes” fı́sicas que se utilizan en el
modelo (rigidez y amortiguamiento de los modelos de las piernas) se obtienen de
la biomecánica.
Posteriormente se describe, en detalle, la inicialización del sistema, por medio de
los parámetros de alto nivel, y el establecimiento de las condiciones de contorno, por
medio de los conceptos de: Secuenciación de fases, Simetrı́a del paso y Minimización
del consumo energético.
Debido a su importancia y extensión, tanto los modelos dinámico y cinemático,
como el cálculo de los momentos de fuerza netos, se tratan posteriormente en detalle
en las secciones 4.4, 4.5 y 4.6, respectivamente.
4.3.1.
Parámetros control de alto nivel
Los primeros parámetros necesarios para configurar el sistema son los datos
antropométricos del individuo: altura, peso y complexión. Las diferencias en altura,
en la masa corporal o en el estado fı́sico influyen notablemente en el tipo de
locomoción de una persona y como esta diferenciación se debe producir de forma
apreciable en el sistema sin intervención por parte del animador, se calculan todas
las distancias, masas y longitudes de la estructura jerárquica del modelo “humano”
de forma relativa a estos dos parámetros básicos, tal como se describe en el apartado
3.2.3.
Posteriormente se especifican los valores que posibilitan la variación de sus
prestaciones caminando. Para controlar los patrones básicos del movimiento
mediante la dinámica se especifican unos pocos parámetros de alto nivel, cuya
principal caracterı́stica es que son muy intuitivos: velocidad, frecuencia o longitud
del paso y están altamente relacionados entre sı́.
El ser humano presenta dos estrategias para acelerar su marcha en el mismo
perı́odo de tiempo: ejecuta pasos más largos o aumenta su cadencia con pasos
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
79
Figura 4.15. Inclusión de los parámetros de control de alto nivel en el sistema de movimiento global
más cortos. Por lo tanto, para caracterizar adecuadamente la locomoción es
necesario especificar las relaciones existentes entre los parámetros de alto nivel
que caracterizan la simulación. Para ello se incorporan algunas consideraciones
experimentales provenientes de estudios biomecánicos de la marcha [IRT81] que
se resumen en las siguientes expresiones:
v
(4.1)
lp =
fp
lp
= 0,004
fp h
donde lp es la longitud del paso, v es la velocidad del paso, fp es la frecuencia del
paso y h es la altura del individuo. La expresión 4.1 sólo es aplicable para el caso
de individuos de sexo masculino y mientras que los valores de la frecuencia de paso
se mantengan por debajo de un valor máximo lp max = 182 pasos/minuto.
En el sistema también se utiliza como referencia la frecuencia natural de paso
en la que el gasto energético es mı́nimo, con un valor fp norm = 132 pasos/minuto,
que corresponde a la longitud natural del paso con valor lp norm = 0,528 h metros.
Con una velocidad v por encima de la natural, el ser humano aumenta la frecuencia
de paso manteniendo constante la longitud del paso. Otro lı́mite extraı́do de la
experimentación es la longitud máxima de un paso, con valor lp max = 0,6 h metros.
En el caso de que se especifique sólo uno o dos de estos tres parámetros de
alto nivel, un algoritmo de decisión completa los parámetros restantes y verifica
la factibilidad del movimiento, basándose en las leyes experimentales anteriores.
4.3.2.
Condiciones de contorno
Como ya se ha comentado, el establecimiento de las condiciones de contorno surge
a partir de los parámetros de alto nivel, y teniendo en cuenta conocimiento empı́rico
80
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.16. Inclusión de las condiciones de contorno en el sistema de movimiento global
sobre el ciclo de locomoción humana. En particular, se consideran la secuenciación
entre las distintas fases del ciclo, la simetrı́a en el paso en el momento del doble
apoyo y la búsqueda de minimización del consumo energético.
Cálculo de la secuencia de fases. Para caracterizar adecuadamente la locomoción es
necesario especificar la temporización de las fases en las que se divide la simulación.
Para ello se parte de la conocida diferenciación en tres fases de la locomoción
humana: fase de apoyo, fase de giro y fase de doble apoyo (ver sección 4.2.1).
La figura 4.17 presenta un esquema de los perı́odos en los que se ha dividido la
simulación de la locomoción.
Figura 4.17. Diagrama de la temporización de las fases de la locomoción
Cuando se camina, la fase de apoyo comprende aproximadamente un 60 % del
tiempo total de un paso, y la fase de giro, el 40 % restante. Esta proporción varı́a
según se incrementa la velocidad caminando. La proporción de la fase de apoyo
disminuye en la misma forma en que la velocidad aumenta.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
81
Un ciclo de locomoción tciclo está compuesto por dos pasos, uno con la pierna
derecha y otro con la izquierda. Las relaciones entre el tiempo que dura un paso
tpaso y los tiempos que duran las fases de apoyo tapoyo , de giro tgiro y de doble apoyo
tdobleapoyo se describen a continuación:
tciclo = 2 tpaso
tpaso = tapoyo − tdobleapoyo
tpaso = tgiro + tdobleapoyo
Experimentalmente, se comprueba que una persona que camina con una frecuencia
de 120 pasos por minuto tiene aproximadamente una duración de paso de 1 segundo
(tpaso = 1 seg). En este paso natural la fase de apoyo ocupa 0.62 segundos
(tapoyo = 0,62 seg), mientras que si corre a unos 20 kilómetros por hora, el paso
dura 0.6 segundos pero la fase de apoyo solamente ocupa 0.2 segundos.
La frecuencia de paso, fp , es el parámetro que mayor influencia presenta en la
temporización de las fases de la locomoción. Existe una relación lineal entre este
parámetro y la duración del ciclo, que se expresa de la siguiente forma:
tdobleapoyo = (−0,16 fp + 29,08)
tciclo
100
Cálculo de la simetrı́a en el paso. En el ciclo de locomoción humana existe una cierta
simetrı́a en el paso en el mismo instante en que se produce el apoyo del talón y
comienza la fase de doble apoyo. En ese momento, la disposición espacial de las
piernas corresponde a la de la figura 4.18 en la que el ángulo de la cadera de la
pierna anterior con el de la pierna posterior es “igual” respecto a una lı́nea vertical
imaginaria situada en el centro de gravedad. De esa forma es posible encontrar un
triángulo isósceles formado por las piernas y el suelo, cuya la base corresponde a la
longitud del paso [BC89]. Este concepto permite deducir una serie de parámetros
geométricos necesarios para definir las condiciones de contorno de los problemas
dinámicos de control del sistema.
Tomando como referencia las variables que se muestran en la ilustración y teniendo
en cuenta sus relaciones trigonométricas es posible calcular el valor de los parámetros
de alto nivel que van a condicionar, y por lo tanto controlar, la dinámica y cinemática
del sistema [BC89]. Estos valores son: θ3 des que corresponde al ángulo destino de
la cadera en la fase de giro, ωdes que corresponde a la longitud destino de la pierna
telescópica en la fase de apoyo y θ1 des que representa el ángulo destino de la cadera
en la fase de apoyo.
Cálculo de la minimización del consumo energético. Como se ha comentado
anteriormente (ver sección 4.2.3), tanto la minimización del consumo energético
como la apariencia realista del movimiento se consiguen principalmente a través
de los esfuerzos combinados de los determinantes del paso. Por lo tanto, dichos
determinantes han sido considerados en el sistema.
82
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.18. Parámetros incluidos en la simetrı́a del paso
Los movimientos de la rodilla, el pie y el talón suavizan los cambios bruscos que
se producen en el desplazamiento vertical del centro de gravedad cuando el talón
impacta con el suelo. Asimismo, la flexión de la rodilla también ayuda a disminuir
el desplazamiento vertical. La inclusión de estos movimientos en el sistema se logra
incluyendo el concepto de pierna virtual, en el cálculo dinámico de la fase de apoyo
(sección 4.4.3). La pierna telescópica simula la flexión y la extensión de la rodilla e
influye notablemente en la suavidad del movimiento.
Los determinantes del paso relacionados con los movimientos de la cadera también
suavizan el movimiento y producen el movimiento sinusoidal caracterı́stico. Todos
estos movimientos: la rotación pélvica, que se produce en el plano transversal, la
basculación pélvica, que se produce en el plano coronal, y el desplazamiento lateral
de la pelvis, se han incluido en la resolución cinemática de la cadera (sección 4.5.2).
4.4.
MOBIL: Implementación del modelo dinámico
En la figura 4.19 se presenta la secuenciación de esta fase en la estructura general
de MOBiL.
La dinámica de control es la fase principal del sistema de locomoción planteado.
Para simular la dinámica de los movimientos de la locomoción es necesario obtener
un modelo reducido que represente al sistema general y que permita conservar los
diferentes aspectos del efecto de la gravedad, masa o altura y que, ante los mismos
impulsos externos, se comporte de la misma forma. Una vez encontrado el modelo,
se deducen las ecuaciones de movimiento que lo gobiernan.
El uso de modelos dinámicos simples para el control de la animación permite
introducir de forma directa la interacción con elementos del entorno que,
normalmente, producen la aparición de fuerzas y restricciones externas. En este caso,
la interacción con el suelo produce una transformación del movimiento rotacional
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
83
Figura 4.19. Integración del módulo de cálculo dinámico de la fase esqueletal en MOBiL
de las piernas en movimiento traslacional del cuerpo, debido a la presencia de las
fuerzas de rozamiento externas en el pie de apoyo. Es evidente que la aparición
de nuevas variables en los sistemas hacen que éstos se vuelvan más complejos y
que normalmente tengan soluciones indeterminadas por la presencia de restricciones
redundantes.
En el sistema planteado se restringe el movimiento de alguna de las articulaciones
del modelo utilizando conjuntos muelle-amortiguador [WB85]. De este modo se
conserva la generalidad del modelo dinámico, pero presenta el inconveniente de
introducir cálculo extra, con el agravante de que los sistemas dinámicos se convierten
en sistemas rı́gidos y se dificulta su convergencia. Asimismo, para la resolución
del problema de la aparición de restricciones externas, se adopta la estrategia de
su conversión en restricciones analı́ticas, reduciendo la dimensión del problema
mientras sea efectiva la restricción. Esta estrategia se usa en el sistema mientras
la pierna de apoyo mantiene contacto con el suelo, de forma que sólo son necesarias
tres coordenadas generalizadas para caracterizar todo el movimiento del sistema
(ya que las coordenadas x e y del pie se mantienen constantes). La utilización
de esta aproximación implica trabajo extra de caracterización y derivación de las
ecuaciones de movimiento en las fases cuyo número de coordenadas generalizadas
varı́a y requiere la inicialización de cada fase con los valores apropiados para evitar
discontinuidades. La restricción del suelo se activa en la fase de apoyo y se desactiva
en la fase de giro.
84
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Para no aumentar el coste computacional, se intenta que el modelo dinámico sea
muy sencillo, para lo cual se aplican las siguientes simplificaciones:
El modelo dinámico se restringe a dos dimensiones: las englobadas en el plano
sagital, que marca la dirección de marcha. La cadera es un único punto.
Todos los momentos de fuerza y las velocidades y aceleraciones angulares son
perpendiculares al plano del movimiento.
Las resoluciones de las fases de apoyo y de giro se separan, lo que simplifica el
control y el proceso numérico de integración. Las ecuaciones de movimiento de
las piernas de apoyo y giro se desacoplan al suponer despreciable la acción de la
masa de la pierna de giro frente al peso total del cuerpo.
Las simulaciones de cada pierna, se subdividen a su vez en fases de perı́odos de
tiempo más pequeños en donde actúan restricciones cinemáticas que simplifican
el número de ecuaciones de movimiento.
Para asegurar la continuidad del movimiento en los procesos de cambio de fase
se utilizan diferentes formas de conservación de energı́a.
La pierna de apoyo es un segmento telescópico amortiguado que simula las
flexiones de rodilla y tobillo, en la que sólo se controla la fuerza axial (ver figura
4.20). El centro de masas se supone que permanece fijo en la referencia relativa
a la pierna.
Figura 4.20. Modelo dinámico de las piernas de apoyo y de giro
Todos los segmentos del cuerpo se suponen simétricos y de masa constante, con
lo que los ejes de rotación son los ejes de inercia y los productos de inercia se
anulan.
La pierna de giro es un doble segmento articulado. El segmento inferior presenta
un momento de inercia que incluye el peso y posición del pie.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
85
Los elementos actuadores inyectan energı́a por separado a cada segmento.
Los valores antropométricos (masas y longitudes de las partes del esqueleto) son
relativos respecto de la masa y altura total del individuo.
La parte superior del cuerpo se determina por los cálculos de la parte inferior y
solamente se tienen en cuenta los momentos de inercia que influyen decisivamente
en el movimiento. El cuerpo superior se modela como un sólido rı́gido articulado
en la cadera.
La dinámica y la cinemática de la parte inferior del cuerpo se ejecutan
consecutivamente en cada paso. Los artificios de mejora visual como la
superposición de un esqueleto cinemático (calculado con simples procesos de
cinemática directa y/o inversa) y la influencia de los parámetros de diferenciación
del paso (Apéndice C) guı́an al modelo y refinan las ecuaciones para conseguir
un movimiento de apariencia natural.
Aunque serı́a posible realizar una simplificación más y reducir los cálculos a la
mitad restringiéndolos a un solo paso de los dos que supone un ciclo de locomoción,
el sistema calcula en todo momento del ciclo ya que el ser humano acelera y decelera
con la granularidad de un paso.
La validez de las simplificaciones anteriores se comprueba en la bondad de los
resultados finales del sistema.
4.4.1.
Ecuaciones de movimiento
El comportamiento dinámico del movimiento de las articulaciones inferiores
del ser humano se puede modelar con un sistema multivariable de ecuaciones
diferenciales ordinarias de segundo orden, no lineales, fuertemente acopladas y, en
ocasiones, con discontinuidades. El control de un sistema de estas caracterı́sticas es
extremadamente complejo por lo que es necesario considerar modelos simplificados
del comportamiento, de igual forma que se utilizan modelos simplificados del
comportamiento dinámico en la mayorı́a de los robots industriales. En Robótica,
el cálculo de las ecuaciones del movimiento de un robot se suele realizar mediante
alguno de los dos métodos más comunes de trabajo: Newton-Euler (N-E) o LagrangeEuler (L-E). La utilización de uno u otro método depende del número de operaciones
que son necesarias y de la facilidad que permiten para el diseño posterior de las leyes
de control.
El método N-E es más eficaz computacionalmente, pero una excesiva simplificación
del modelo (eliminar las fuerzas de Coriolis, no consideración de asimetrı́as en
el cálculo de los momentos de inercia, etc.) produce errores graves, sobretodo, al
trabajar con velocidades altas. El método N-E es un método de cálculo numérico.
El método L-E es un método analı́tico que deduce las ecuaciones de movimiento a
partir del cálculo del Lagrangiano del sistema utilizando coordenadas generalizadas.
Con este método es más sencillo identificar las fuerzas de interacción y acoplamiento
que se presentan en los robots, por lo que es preferible para diseñar las leyes de
86
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
control. Por esta razón, este método es el que ha sido adoptado en el sistema. Según
este método, partiendo de la energı́a potencial y cinética del sistema es posible
obtener una expresión de las fuerzas generalizadas que actúan, según cada una de
las coordenadas generalizadas:
−
→
∂Tq ∂Uq
d ∂Tq
)−
+
Fq = (
dt ∂ q̇
∂q
∂q
(4.2)
siendo Tq la energı́a cinética, Uq la energı́a potencial, q las coordenadas generalizadas
−
→
y Fq las fuerzas generalizadas.
Para la deducción de las ecuaciones se parte de las expresiones extraı́das del modelo
dinámico de las piernas de apoyo y giro. El modelo dinámico de la pierna de apoyo
se representa en la figura 4.21:
Figura 4.21. Modelo dinámico de la pierna de apoyo
x
−
→
ρto =
;
y
r1 cos θ1
−
→
;
r1 =
r1 sen θ1
r2 cos θ2
−
→
r2 =
;
r2 sen θ2
ω cos θ1
−
→
ω =
ω sen θ1
donde −
ρ→
to es el vector que apunta al centro de masas del tobillo, ω es la longitud
de la pierna telescópica, θ1 es el ángulo entre el suelo y la pierna, θ2 es el ángulo
del cuerpo superior con respecto a la vertical, y los valores r1 y r2 representan la
relación entre el centro de masas y la longitud del segmento, de la pierna telescópica
y del cuerpo superior, respectivamente (valores dados en la tabla 3.3 de la sección
3.2.3).
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
87
A partir de los datos anteriores se deduce que:
→
−
→
−
ρ→
ρ1 = −
to + r1
→
−
→ −
−
→
ρ2 = −
ρ→
to + ω + r2
→
−
ẋ − r1 θ˙1 sen θ1
ρ˙1 =
ẏ + r1 θ˙1 cos θ1
→
−
ẋ − ω θ˙1 sen θ1 + ω̇ cos θ1 − r2 θ˙2 sen θ2
ρ˙2 =
ẏ + ω θ˙1 cos θ1 + ω̇ cos θ1 + r2 θ˙2 sen θ2
→
→
donde −
ρ1 y −
ρ2 son los vectores que apuntan al centro de masas de los segmentos 1
y 2, respectivamente.
Si se supone que el punto de apoyo de la pierna es fijo, se pueden eliminar los
dos grados de libertad de traslación en X e Y (la ligadura al suelo se considera
cinemática y el sistema queda reducido a 3 grados de libertad) de manera que se
obtiene:
ẋ = ẏ = ẍ = ÿ = 0
ρ˙2 = r2 θ˙2
1
1 1
ρ˙22 = ω˙2 + r22 θ˙22 + ω 2 θ˙12 + 2r2 ω̇ θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) + 2r2 ω θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )
A partir de estos datos, es posible deducir las ecuaciones que corresponden
al modelo dinámico según el método de Lagrange-Euler y obtener las fuerzas
generalizadas que actúan según cada una de las coordenadas generalizadas (ecuación
4.2), partiendo de la energı́a potencial y cinética del sistema. Las expresiones de
energı́a cinética (Ta ) y energı́a potencial (Ua ) del modelo simplificado de la pierna
de apoyo son:
1
1
1
Ta = m2 ω˙2 + (I1 + m1 r12 + m2 ω2 )θ˙12 + (I2 + m2 r22 )θ˙22 +
2
2
2
2
˙
+m2 r2 θ2 [ω̇ sin(θ1 − θ2 ) + ω θ˙1 cos(θ1 − θ2 )]
(4.3)
Ua = m1 g(y + r1 sen θ1 ) + m2 g(y + ω sen θ1 + r2 θ˙2 sen θ2 )
siendo θ1 , θ2 y ω las coordenadas generalizadas del sistema, g la gravedad
(constante), mi las masas e Ii los momentos de inercia.
Desarrollando esta expresión general para cada una de las coordenadas
generalizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones:
(4.4)
Fω = m2 ω̈ + m2 r2 θ¨2 sen(θ1 − θ2 ) − m2 ω θ˙2 − m2 r2 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )+
1
+ m2 g sen θ1
Fθ1 = (I1 + m1 r12 + m2 ω 2 )θ¨1 + 2m2 ω ω̇ θ˙1 + m2 r2 θ¨2 ω cos(θ1 − θ2 )−
− m2 r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) + (m1 r1 + m2 ω)g cos θ1
(4.5)
Fθ2 = (I2 + m2 r22 )θ¨2 + m2 r2 ω sen(θ1 − θ2 ) + 2m2 r2 ω̇ θ˙1 cos(θ1 − θ2 )+
+ m2 r2 ω θ¨1 cos(θ1 − θ2 ) − m2 r2 θ2 ω sen(θ1 − θ2 ) + m2 gr2 cos θ2
(4.6)
2
1
88
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
La fuerza generalizada longitudinal Fω simula la flexión y extensión de la rodilla
y el talón, provocando el movimiento sinusoidal caracterı́stico del centro de masa.
El momento de fuerza Fθ2 mantiene erguido el cuerpo superior y genera el suave
movimiento caracterı́stico de la cadera de subir y bajar. Mientras que el momento
de fuerza Fθ1 representa las acciones musculares que producen la rotación de la
pierna de apoyo y el avance del cuerpo durante el 20 % del ciclo de locomoción.
En el caso de la pierna de giro se parte de las siguientes expresiones, extraı́das
del modelo dinámico representado en la figura 4.22:
Figura 4.22. Modelo dinámico de la pierna de giro
xca
−
→
;
ρca =
yca
r3 cos θ3
−
→
r3 =
;
r3 sen θ3
r4 cos θ4
−
→
r4 =
;
r4 sen θ3
−
→
l3 cos θ3
l3 =
l3 sen θ3
donde −
ρ→
ca es el vector que apunta al centro de masas de la cadera, θ3 es el ángulo
entre el muslo y la vertical, θ4 es el ángulo formado en la rodilla por el muslo y la
pantorrilla, los valores r3 y r4 representan la relación entre el centro de masas y la
longitud de los segmentos del muslo y la pantorrilla, respectivamente (valores dados
en la tabla 3.3 de la sección 3.2.3) y l3 corresponde a la longitud del muslo.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
89
A partir de los valores anteriores se deduce que:
xca + r3 cos θ3
xca + l3 cos θ3 + r4 cos(θ3 − θ4 )
→
−
→
−
; ρ4 =
ρ3 =
yca + r3 sen θ3
yca + l3 sen θ3 + r4 sen(θ3 − θ4 )
→
−
→
−
x˙ca − r3 θ˙3 sen θ3
x˙ca − l3 θ˙3 sen θ3 − r4 (θ˙3 − θ˙4 ) sen(θ3 − θ4 )
; ρ˙4 =
ρ˙3 =
y˙ca + r3 θ˙3 cos θ3
y˙ca + l3 θ˙3 cos θ3 + r4 (θ˙3 − θ˙4 ) cos(θ3 − θ4 )
ρ˙2 =r2 θ˙2 + x˙2 + y˙2 + 2r3 θ˙3 (y˙ca ) cos θ3 − x˙ca sen θ3 )
3
3 3
ca
ca
2 + r 2 θ˙2 − 2r θ˙ θ˙ (r + l cos θ )+
ρ˙24 =(l32 + r42 + 2l3 r4 cos θ4 )θ˙32 + x˙2ca + y˙ca
4 3 4 4
3
4
4 4
2l3 θ˙3 (y˙ca cos θ3 − x˙ca sen θ3 ) + 2r4 (θ˙3 − θ˙4 )(y˙ca cos(θ3 − θ4 ) − x˙ca sen(θ3 − θ4 )
→
→
ρ4 son los vectores que apuntan al centro de masas de los segmentos 3
donde −
ρ3 y −
(muslo) y 4 (pantorrilla), respectivamente.
De acuerdo a las ecuaciones anteriores, se obtienen las siguientes expresiones de
energı́a cinética (Tg )y de energı́a potencial (Ug ) para la pierna de giro:
1
Tg = (m4 l32 + I4 + m4 r42 + 2m4 l3 r4 cos θ4 + I3 m3 r32 )θ˙32 +
2
+m4 r4 (θ˙3 − θ˙4 )(y˙ca cos(θ3 − θ4 ) − x˙ca sin(θ3 − θ4 )) −
1
−(I4 + m4 r4 + m4 l3 r4 cos θ4 )θ˙3 θ˙4 + (I4 + m24 )θ˙42 +
2
˙
˙
+(m3 r3 + m4 l3 )θ3 (y˙ca cos θ3 − xca sin θ3 )
Ug = m3 g(yca + r3 sen θ3 ) + m4 g(yca + l3 sen θ3 + r4 sen(θ3 − θ4 ))
(4.7)
siendo θ3 y θ4 las coordenadas generalizadas del sistema, g la gravedad (constante),
mi las masas e Ii los momentos de inercia.
Desarrollando esta expresión general para cada una de las coordenadas
generalizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones:
Fθ3 = (m3 r3 + m4 l3 )(y¨ca cos θ3 − x¨ca sen θ3 ) + m4 g(l3 cos θ3 + r4 cos(θ3 − θ4))+
+ (m4 l2 + I4 + m4 r2 + 2m4 l3 r4 cos θ4 + I3 + m3 r2 )θ¨3 + m3 gr3 cos θ3 − (4.8)
3
4
3
− (I4 +
+ m4 l3 r4 cos θ4 )θ¨4 − m4 r4 (y¨ca cos(θ3 − θ4 ) − x¨ca sen(θ3 − θ4 ))
(4.9)
Fθ4 = −(I4 + m4 r42 + m4 l3 r4 cos θ4 )θ¨3 + (I4 + m4 r42 )θ¨4 + m4 l3 r4 θ˙32 sen θ4 −
− m4 r4 (y¨ca cos(θ3 − θ4 ) − x¨ca sen(θ3 − θ4 )) − m4 gr4 cos(θ3 − θ4 )
m4 r42
Durante la fase dinámica de giro, los valores de las fuerzas generalizadas Fθ3 y Fθ4
dependen de la subfase de cálculo.
El momento de fuerza Fθ3 corresponde a la interacción entre los músculos del muslo
y la cadera, mientras que Fθ4 representan las acciones producidas en la rodilla por
los músculos de la pantorrilla y el muslo.
Como se ha podido observar, se plantean dos sistemas de ecuaciones, dependiendo
si se trabaja con el modelo dinámico de la pierna de apoyo o la de giro. Sin
90
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
embargo, es posible expresar el sistema de ecuaciones de forma matricial, de modo
→
−
→
−
→
→
genérico, como: [A] q̈ = B(−
q , q̇ ) donde el vector de coordenadas generalizadas −
q
→
−
T
es: q = [ω, θ1 , θ2 ] cuando se está trabajando con la pierna de apoyo mientras que
→
−
q = [θ3 , θ4 ]T cuando se trabaja con el modelo dinámico de la pierna de giro. El
sistema resultante se observa de manera gráfica en la figura 4.23.
Figura 4.23. Modelo dinámico de ambas piernas
4.4.2.
Método de resolución de ecuaciones
Debido a que es casi imposible encontrar soluciones a los sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias de 2o orden, máxime cuando son rı́gidos y no lineales, se elige
para su resolución un método numérico recursivo, especificando un valor inicial de
la solución, generalmente conocido, e integrando en el tiempo.
Frente a la posibilidad de utilizar paquetes de software comerciales para resolver el
problema de forma numérica, se opta por desarrollar el código del método numérico
de resolución para tener el control completo del sistema.
En primer lugar se implementó un método de Euler mixto: implı́cito + explı́cito
[BF85], método sencillo y rápido, pero cuya solución era inestable. Por lo tanto,
para asegurar la convergencia se adopta un método de resolución A-estable. Estos
métodos se caracterizan por tener como área de estabilidad a la mitad del plano
complejo [BF85] por lo que son los más indicados para buscar la convergencia en los
sistemas rı́gidos.
El método desarrollado es un algoritmo multipaso predictor-corrector, con control
adaptativo de paso y preparado para resolver un sistema de n ecuaciones, que
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
91
en particular, utiliza un algoritmo Adams-Bamsford como predictor y MoultonAdams como corrector. Como todos los métodos multipaso, es necesario introducir
un número determinado de pasos con la solución. De hecho, esta operación se repite
cada vez que se adapta el paso de integración.
El algoritmo que calcula estos primeros valores es un sistema Runge Kutta de
o
4 orden. El control adaptativo del paso de integración es una opción que agiliza
la capacidad de avance temporal de la solución, pero en todo caso tiene un lı́mite
máximo de paso de integración.
Para validar los algoritmos desarrollados para la resolución del sistema dinámico
se ha utilizado un test propuesto por Green [Gre91] consistente en un conjunto de
dos sistemas de ecuaciones diferenciales de 2o orden.
4.4.3.
Dinámica de la pierna de apoyo
Figura 4.24. Resolución de la dinámica de la pierna de apoyo en el sistema de movimiento global
La resolución de las complejas ecuaciones de movimiento que surgen del modelo
dinámico propuesto, se simplifican dividiendo el funcionamiento del modelo en las
fases y subfases desarrolladas. De este modo se obtiene un diagrama de estados finitos
con modelos dinámicos más sencillos y de menor número de grados de libertad. Los
dos estados dinámicos principales son los de la fase de apoyo de una pierna y la fase
de giro de la otra. Estos estados, a su vez, se dividen en subfases.
El sistema dinámico de la pierna de apoyo es el motor principal en la simulación de
la locomoción. La fase de apoyo comienza cuando el talón del pie, que se encuentra
girando libre en el aire, impacta con el suelo y termina en el momento que la punta
del dedo se separa del suelo y comienza la fase de giro. Durante este perı́odo en
que la pierna se encuentra apoyada en el suelo, soporta y hace avanzar el centro de
gravedad del cuerpo.
92
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
En esta fase el modelo se basa en la acción de una pierna telescópica y presenta
tres ecuaciones de movimiento correspondientes a tres coordenadas generalizadas: el
ángulo del cuerpo superior, el ángulo de inclinación de la pierna con respecto a la
vertical y la elongación que experimenta la pierna.
La técnica de resolución propuesta consiste en la búsqueda recursiva de una
única incógnita a lo largo de las ecuaciones que gobiernan cada una de las subfases
consecutivas en las que se divide el problema de simulación de la pierna de apoyo.
Las fases contempladas coinciden plenamente con las que reflejan los estudios
biomecánicos de la locomoción humana: subfase de contacto con el suelo, de apoyo
medio y de propulsión (ver figura 4.25). Esta última se divide a su vez en perı́odo
de propulsión activa y propulsión pasiva o pregiro.
Figura 4.25. Diagrama de la temporización de las subfases del modelo dinámico de la pierna de apoyo
En la figura 4.26 se puede observar las posiciones relativas de los segmentos de la
pierna de apoyo al inicio y final de cada una de las subfases.
Mediante la articulación de la cadera la simulación de la dinámica de la pierna de
apoyo condiciona el movimiento posterior de la pierna de giro. Una vez obtenidos los
patrones dinámicos básicos que conforman el movimiento de la cadera, es necesario
desarrollar los cálculos cinemáticos de la “pierna completa”, la cadera y el cuerpo
superior.
El modelo de la pierna de apoyo del sistema, concebido como una pierna
telescópica, se controla a partir de los mismos principios que plantea el trabajo
de Raibert [Rai86a], aunque de forma parcial, en alguna de las tres subfases en las
que se divide la simulación: contacto, apoyo medio y propulsión.
En general, la fase de apoyo se ha modelado como un sistema con tres coordenadas
generalizadas, de las cuales, dos se extraen de la pierna telescópica: ω longitud
relativa y θ1 ángulo absoluto de inclinación con respecto a la vertical. Mientras que
la tercera, θ2 , es el ángulo absoluto de inclinación del cuerpo superior.
El método de resolución propuesto parte de la idea de que el movimiento
está gobernado de forma directa por estas fuerzas generalizadas y que sus expresiones
dependientes del tiempo, por una parte, se completan con modelos biomecánicos
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
93
Figura 4.26. Estados en los que se subdivide la fase de apoyo de la simulación dinámica
basados en los principios de dinámica pasiva [CWR01] y, por otra, se calculan de
forma recursiva hasta cumplir ciertas condiciones impuestas por los parámetros de
alto nivel.
La expresión de la fuerza generalizada longitudinal Fω debe simular la flexión y
extensión de la rodilla e influencia de forma notoria el movimiento de la cadera.
Su objetivo es proporcionar un movimiento sinusoidal caracterı́stico al centro de
gravedad del individuo. Su expresión es similar a la sugerida por Raibert y responde
a la acción de un sistema muelle-amortiguador:
Fω = kω (l1 + pa − ω) − υω ω̇
pa (t = tini apoyo ) = 0
(4.10)
donde kω es la constante de rigidez, l1 es la longitud de la pierna, υω es la constante
de amortiguamiento y pa es el actuador de posición y es un elemento activo de
control del valor de la fuerza axial. El valor de pa es igual a 0 en el inicio de la fase
de apoyo, y debe ser introducido de forma que si la altura de la cadera yca disminuye
pa aumenta y si yca aumenta pa debe ser reducido. El control de la posición vertical
de la cadera se hace en cada paso de integración.
El momento de fuerza Fθ1 representa las acciones conjuntas de los paquetes
musculares que producen la rotación de la pierna de apoyo para hacer avanzar el
cuerpo hacia adelante. Experimentalmente, la acción muscular se extiende desde
el mismo instante del apoyo del tobillo hasta que transcurre un 20 % del ciclo de
locomoción. Fθ1 se simplifica mediante una expresión de valor constante que debe ser
encontrada de forma recursiva. El valor inicial de Fθ1 se introduce en las ecuaciones
de movimiento y se refina en aproximaciones sucesivas según se cumpla o no el valor
94
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
de la condición final. En este caso es necesario que el valor de θ1 alcance el valor
determinado por los parámetros de alto nivel.
Por último, Fθ2 es el momento de fuerza respecto a la articulación de la cadera
que mantiene al cuerpo superior erguido y le proporciona un suave balanceo
caracterı́stico hacia atrás y hacia adelante. Bordoli [Bor98] propone la teorı́a de
que el cuerpo aprovecha la energı́a almacenada en las fibras del anillo fibroso de la
columna vertebral cuando se estiran o relajan alternativamente siguiendo la torsión
del cuerpo. La torsión de la columna vertebral está gobernada por la necesidad de
rotar la pelvis para disminuir el gasto de energı́a y mantiene erguido al cuerpo. No
es de extrañar que también una expresión de un sistema muelle-amortiguador sea la
elegida para el momento Fθ2 :
Fθ2 = −k2 (θ2 − θ2 des ) − υ2 θ˙2
θ2 des ≈ 0
(4.11)
donde k2 es la constante de rigidez, υ2 es la constante de amortiguamiento y θ2 des
es el ángulo, respecto a la vertical, que presenta la columna vertebral “en reposo” y
que normalmente se toma con valor cero. Sin embargo, este es uno de los parámetros
de diferenciación del paso que se puede modificar si se desea variar la apariencia de
la locomoción. Los datos de las constantes fı́sicas se especifican en el Apéndice D
mientras que los datos de diferenciación del paso se detallan en el Apéndice C.
A continuación se describen, en detalle, las tres subfases en que se divide el modelo
dinámico de la pierna de apoyo: contacto, apoyo medio y propulsión.
Subfase dinámica de contacto. La subfase de contacto comienza en el mismo instante
en que se produce el apoyo del talón y termina un perı́odo de tiempo tapoyo1 después,
justo en el mismo instante en que se alcanza el final de la subfase 1 de giro. La
duración de tapoyo1 es aproximadamente el 15 % del ciclo de locomoción.
a11 = 1
b1 = a13 = a31 = 0
ω̇ = 0
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
ω̈
a11 a12 a13
b1
ω
→
−
→
−
→
−
−
→
¨
⎦
⎣
⎦
⎦
⎣
⎣
⎣
θ1 = b2 siendo q = θ1 ⎦
[A] q̈ = B( q , q̇ ) ⇒ a21 a22 a23
a31 a32 a33
b3
θ2
θ¨2
⎡
(4.12)
El sistema de ecuaciones del movimiento previamente calculado se integra hasta
que se alcanza el final conocido.
Subfase dinámica de apoyo medio. La duración de esta subfase se desconoce a priori.
Comienza a continuación de la subfase anterior y termina si la longitud de la pierna
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
95
telescópica es mayor o igual que una longitud determinada, ωdes , calculada a partir
del concepto de simetrı́a en el paso.
En este caso se debe aumentar el valor de Fω en cada paso de integración, de
forma que se introduce un nuevo actuador de posición pa3 :
Fω = kω (ωdes + pa3 − ω) − υω ω̇
pa3 (t = tini ap medio ) = l1 + pa − ωdes
pa3 = pa3 + pa3 inc
Por medio de una longitud de pierna telescópica mayor que la longitud normal
de la pierna l1 se simula la acción de extensión del tobillo cuando se va separando
progresivamente el talón del pie del suelo.
Normalmente la condición de finalización de esta subfase se alcanza antes del final
de la fase de apoyo. Pero si esto no sucede y, por lo tanto, no “tiene cabida” la subfase
de propulsión, se debe reiniciar la subfase de contacto (comenzando nuevamente la
fase de apoyo) incrementando el valor de pa3 inc , que es una constante fı́sica que
permite diferenciar el paso.
Subfase dinámica de propulsión. Esta es la última subfase del movimiento de la pierna
de apoyo y es en la que se valora el grado de cumplimiento de la condición final de
control: el valor de la coordenada generalizada θ1 , marcado por los parámetros de alto
nivel. Aunque es posible dividir esta fase en dos perı́odos caracterı́sticos, propulsión
activa y pre-giro, sólo el primero se calcula directamente en la fase dinámica.
Subfase dinámica de propulsión activa: Este último perı́odo simulado en la
dinámica se comporta de nuevo como un péndulo inverso simple, con la
elongación de la pierna telescópica bloqueada. Las ecuaciones del movimiento
se simplifican de forma similar a la subfase de contacto. Es una fase en la que
el gasto energético debe reducirse a la mı́nima expresión y su comportamiento
corresponde al principio de dinámica pasiva.
Subfase de propulsión pasiva o pre-giro: El perı́odo de pre-giro coincide con
la fase de doble apoyo, es decir, es posterior al instante del apoyo del tobillo de
la otra pierna. Como se ha optado por mantener el control dinámico en una única
fase se simplifica el comportamiento fı́sico real “transfiriendo instantáneamente”
el peso y control del cuerpo de la pierna en estado de pre-giro a la nueva pierna
de apoyo. En este perı́odo se calculan las trayectorias de los puntos de control
con posterioridad, a partir de la cinemática.
4.4.4.
Dinámica de la pierna de giro
Una vez desarrollado el modelo dinámico de la pierna de apoyo es necesario
formular y resolver el sistema dinámico de la pierna de giro. La fase de giro es
la que se produce mientras la pierna contraria a la que se encuentra apoyada en
96
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.27. Resolución de la dinámica de la pierna de giro en el sistema de movimiento global
el suelo, avanza, girando y manteniendo el pie en el aire. La fase de giro comienza
cuando la punta de los dedos del pie se despega del suelo y acaba instantes después
cuando, el talón del mismo pie, contacta en el suelo.
A diferencia de la fase de apoyo, en la que la técnica de resolución consiste en una
búsqueda recursiva de una única incógnita a lo largo de las ecuaciones dinámicas
de cada una de las subfases en las que se simplifica el problema, en la fase de giro
existen varias búsquedas de ceros, una por cada subfase, y cada una de ellas se
encuentra gobernada por sus propias condiciones de contorno.
En esta fase los modelos articulados de la dinámica y de la cinemática coinciden,
por lo que los resultados de la simulación dinámica se incorporan directamente
al movimiento del esqueleto cinemático sin necesidad de cálculos posteriores. Sin
embargo, sı́ son necesarios los cálculos cinemáticos de los segmentos que conforman
el pie.
Dentro de la propia fase de giro se producen tres “estados” reconocibles
por contener movimientos caracterı́sticos de las articulaciones y, sobretodo, una
temporización proporcional a la duración total. Dichas subfases se observan en la
figura 4.28.
La temporización de estas subfases no es la que normalmente se utiliza en
biomecánica, sino que atiende a consideraciones geométricas que se ajustan mejor
al sistema de resolución que se propone. En la figura 4.29 se puede observar las
posiciones relativas de los segmentos de la pierna de giro al inicio y final de cada
una de las subfases elegidas.
Los métodos propuestos para la resolución de las ecuaciones de movimiento de la
fase de la pierna de giro provienen del trabajo de Beckett y Chang [BC68]. En dicho
trabajo se presenta un interesante estudio analı́tico de los aspectos dinámicos que
intervienen en la fase de giro de la locomoción humana.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
97
Figura 4.28. Diagrama de la temporización de las subfases del modelo dinámico de la pierna de giro
Figura 4.29. Estados en los que se subdivide la fase de giro de la simulación dinámica
El modelo permite determinar la posición de los diferentes segmentos de la pierna
de giro, definiendo una serie de restricciones geométricas:
El pie gira alrededor de la punta del dedo hasta el despegue. A partir de ese
instante el ángulo del tobillo permanece constante.
En el aire, el pie está obligado a seguir una curva polinomial definida a partir de
parámetros experimentales, como la altura del individuo.
Los momentos de fuerza de la cadera que causan la aceleración y deceleración
del movimiento son constantes y sólo actúan en perı́odos determinados.
En el sistema desarrollado, la duración de un paso, tpaso , se obtiene como
resultado directo de la inicialización de los parámetros de alto nivel que gobiernan
la simulación: velocidad, longitud o frecuencia de paso. A partir de la relación
experimental que existe entre la duración de la fase de doble apoyo tdobleapoyo y
la duración de un paso completo, es posible deducir la duración total de la fase de
giro, tgiro .
98
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
El modelo dinámico de la fase de giro lo constituyen dos segmentos articulados
que corresponden al fémur y al conjunto tibia-peroné-pie. Este modelo se supone
unido al cuerpo por la articulación de la cadera, y como el movimiento de ésta
se obtiene de la simulación de la pierna de apoyo, se considera la posición de la
cabeza del fémur como origen del sistema. Este nexo numérico entre las ecuaciones
del movimiento de ambas piernas permiten desacoplar y simplificar los modelos
dinámicos que gobiernan la simulación. Para el caso general ya se ha calculado que
→
−
→
−
→
→
[A] q̈ = B(−
q , q̇ ) siendo −
q = [θ3 , θ4 ]T de forma que esta expresión matricial es
la que gobierna la simulación. Sin embargo, en vez de resolver la ecuación anterior
una única vez para toda la fase de giro se resuelve por separado en cada una de
las subfases, asegurando que los valores de cada iniciación sean los alcanzados en el
último paso de la subfase anterior para mantener la continuidad del sistema.
Subfase 1 de giro. La duración de la subfase 1 de giro es de exactamente el 50 % del
total empleado por la fase de giro y comienza cuando la punta del pie abandona
el suelo. Para resolver las ecuaciones de movimiento planteadas serı́a necesario
conocer los valores de los momentos de fuerza generalizados, que corresponden a
las coordenadas definidas por el ángulo del fémur, θ3 y el ángulo de la rodilla, θ4 .
Introduciendo las coordenadas generalizadas Fθ3 y Fθ4 en el modelo serı́a posible
encontrar de forma directa las trayectorias y velocidades de cualquier coordenada
del modelo. Por desgracia, este es, de nuevo, el mayor inconveniente que produce la
utilización de modelos dinámicos directos: la necesidad de controlar los movimientos
a partir de parámetros muy poco intuitivos, como son las fuerzas y momentos.
Además, controlar la marcha de esta forma serı́a sumamente complejo ya que ambos
momentos de fuerza no estarı́an desacoplados. Por lo tanto, es necesario introducir
una nueva simplificación.
El método de resolución de las ecuaciones es similar al utilizado en la fase de apoyo:
como el estado inicial y final de las variables que conforman la solución son conocidos
(deducidos a partir de los parámetros de alto nivel), se inicializan numéricamente
los momentos de las fuerzas generalizadas y se integran las ecuaciones paso a paso
hasta el final de la subfase. Si no se alcanzan los valores deseados se aumentan o
disminuyen los valores de inicio.
Para facilitar este proceso, sólo se considera como incógnita el valor del momento
generalizado correspondiente a la interacción entre los músculos del fémur y la cadera
(Fθ3 ), y se utiliza la parametrización del movimiento del tobillo propuesta en [BC68]
para actualizar cinemáticamente, paso a paso, la coordenada generalizada θ4 , por lo
que no es necesario considerar su momento de fuerza correspondiente.
La acción del conjunto muscular hace girar la parte superior de la pierna para
avanzar hacia adelante hasta que el ángulo de consigna alcance al final de esta
fase el valor de θ3 (tgiro1 ) = θ3 des . Este valor está definido como un parámetro de
diferenciación del paso (ver Apéndice C), ya que es el mismo valor máximo que se
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
99
necesita al final de toda la fase de giro para obtener un correcto apoyo de talón y
comenzar un nuevo paso.
La acción muscular Fθ3 está definida mediante la expresión exponencial Fθ3 =
2
max
, lp max la longitud máxima del paso, lp la longitud
Be−At siendo A = √2 l lp 0,5
tgiro1
p
del paso actual y tg el tiempo del periodo de giro que se está considerando. La
constante B es la incógnita del problema iterativo y su valor se disminuye o aumenta
dependiendo de la variación de la consigna al final de cada proceso de integración.
Si se analiza la variación temporal de la expresión anterior se puede comprobar
1
B
√
,
.
que es una función cuyo punto de inflexión se encuentra en el punto I A√
e
2
La presencia de A condiciona la pendiente de la curva de forma que si A es muy
grande y el valor de la abscisa tiende a cero, Fθ3 es una función exponencial de
rápido decrecimiento.
Del mismo modo, es posible comprobar que:
para longitudes de paso más pequeñas la acción de Fθ3 decrece más rápido: “Si
lp1 ≤ lp2 entonces A 1√2 ≤ A 1√2 ”.
1
2
1
Experimentalmente el paso más natural se consigue cuando A√
≤ 0,5 tgiro1 . El
2
punto de inflexión nunca debe ocurrir demasiado tarde.
Por otra parte, se ha mencionado que en esta subfase del problema se ha optado por
simplificar el modelo dinámico mediante la utilización de una restricción cinemática
para el movimiento del tobillo. Esto permite que en la expresión general del modelo
dinámico de la fase de giro se pueda particularizar algunos de sus componentes:
b1 (θ3 , θ˙3 , θ4 , θ˙4 , Fθ3 )
a11 (θ4 ) a12 (θ4 ) θ¨3
(4.13)
=
a21 (θ4 ) a22
θ¨4
b2 (θ3 , θ˙3 , θ4 , Fθ4 )
a22 = 1;
a21 = a12 = 0;
b2 = 0
(4.14)
pero hace necesario que en cada paso se calcule el “nuevo” valor de la coordenada
generalizada θ4 . De Beckett y Chang se extrae la asunción experimental de que
la trayectoria del tobillo es una curva polinomial que debe cumplir las siguientes
condiciones (véase la figura 4.30):
Condición de paso por tres puntos: (xo , yo ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) con x1 = dist D · x1 ,
yo = yto (t = x1 ), y1 = (l5 + l6 ) · ωmin /l1 y y2 = yto (t = x2 ), siendo
dist D uno de los parámetros de diferenciación del paso que marca la distancia
horizontal en la que la altura del tobillo es máxima, yto la altura del tobillo
en distintos instantes, l1 la longitud de la pierna y wmin la longitud menor
que alcanza el segmento telescópico en la simulación dinámica de la pierna
de apoyo (normalmente coincide con la máxima flexión de rodilla, ya que
experimentalmente se comprueba que cuanto más rápido anda una persona,
mayor es la flexión de la rodilla de la pierna de apoyo y más baja la trayectoria
que sigue el tobillo de la pierna de giro).
100
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.30. Descripción de la trayectoria polinomial del tobillo
Condición de continuidad: f (x1 ) = f (x2 ) = 0, es decir, es necesario que el
polinomio presente un máximo y un mı́nimo en los puntos de control x1 y x2 .
De todos los parámetros anteriores el único que se desconoce a priori es x2 . Para
su cálculo se asume que el final de la subfase 1 de giro coincide aproximadamente
con la alineación vertical de la punta del dedo del pie y la rodilla (tal y como se
observa en la figura 4.30).
Los valores de los ángulos θ3 , θ5 y θ6 en x2 (las referencias geométricas para los
ángulos mencionados están representadas en la figura 4.31) están predefinidos por
ser parámetros de diferenciación del paso (ver Apéndice C), por lo tanto, es posible
deducir la longitud del parámetro x2 .
Figura 4.31. Referencias geométricas de la pierna de giro
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
101
x2 = xca + l3 sen θ3 − l4 sen α
y2 = yca − l3 cos θ3 − l4 cos α
dy pie = y2 − l12 cos β − l13 cos γ
12 sen θ5 +l13 sen(θ5 −θ6 )
, θ3 = θ3 des , θ5 = giro1 tobillo, θ6 =
siendo α = arctan l4l+l
12 cos θ5 +l13 cos(θ5 −θ6 )
giro1 meta y siendo dy pie > 0 el valor de la altura de la punta del dedo del pie
en x2 , que siempre debe ser positivo, ya que el pie no debe penetrar en el suelo.
Los valores de θ3 des , giro1 tobillo y giro1 meta son parámetros de diferenciación
del paso (ver Apéndice C).
Una vez hallados todos los valores que definen los puntos de la curva polinomial se
debe deducir su expresión. Como se deben cumplir cinco condiciones, se desarrollan
los cálculos para obtener la expresión de un polinomio de Hermite de 4o grado (se
disminuye en uno el orden del polinomio por no tener condicionado el inicio de la
curva por su derivada [BF85]): H4 (x) = A0 x4 + A1 x3 + A2 x2 + A3 x1 + A4 .
Las condiciones que se deben cumplir son:
H4 (xo ) = yo
H4 (x1 ) = y1 y Ḣ4 (x1 ) = 0
H4 (x2 ) = y2 y Ḣ4 (x2 ) = 0
por lo que se obtienen 5 ecuaciones con 5 incógnitas que, en forma matricial, se
representa del siguiente modo:
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ 4 3 2
A0
y1
c c c c1
⎢ d4 d3 d2 d 1 ⎥ ⎢ A1 ⎥ ⎢ y2 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 3 2
⎢ 4c 3c 2c 1 0 ⎥ ⎢ A2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 3 2
⎣ 4d 3d 2d 1 0 ⎦ ⎣ A3 ⎦ ⎣ 0 ⎦
A4
0 0 0 01
yo
De donde se obtienen los siguientes valores para los coeficientes del polinomio:
A0
A1
A2
A3
2 (c b2 − c b1 + b1 (d − c) − c b3 (d − c)2 )
=
2 (d3 + 2c3 − 3d c2 ) − 3 (d − c)2 (c + d)
3
1
b
=
− 3 (c + d) A0
2 d−c
b1
= − − 3 c2 A0 − 2 c A1
c
= b1 − c (c2 A0 + c A1 + A2 )
siendo b1 = (y1 − yo )/c, b2 = (y2 − yo )/d y b3 = (d b1 − c b2 )/d c.
Una vez calculada la expresión de la función polinómica que fija la trayectoria
del tobillo es necesario calcular en cada paso de integración su intersección con
102
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
la circunferencia de valores posibles del la posición del tobillo. Esta función se
presenta con el centro en la posición de la rodilla y un radio de l4 (longitud de
tibia - peroné). La posición del tobillo obtenida como resultado de la búsqueda debe
cumplir ambas condiciones: pertenecer al polinomio y pertenecer al cı́rculo de radio
l4 , y determinará el valor actualizado de la coordenada generalizada θ4 . Por lo tanto,
al sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas obtenido por el cı́rculo, para el cual se
utiliza el método numérico de Newton-Raphson, se suma el sistema de 5 ecuaciones
con 5 incógnitas del polinomio. Para optimizar el número de cálculos involucrados
en el sistema global (en cada paso es necesario evaluar la función polinómica de
7o orden y de su derivada de 6o orden) se ha implementado a su vez el método de
Horner para eficiencia numérica.
La ecuación del cı́rculo se puede deducir del siguiente modo:
x = xca + l3 sen θ3 − l4 sen α ⇒ (a1 − x)2 = l42 sen2 α
⇒ (a1 − x)2 + (a2 − y)2 = l42
y = yca + l3 cos θ3 − l4 cos α ⇒ (a2 − y)2 = l42 cos2 α
siendo a1 = xca + l3 sen θ3 y a2 = yca − l3 cos θ3 .
Por lo tanto, el sistema resultante se puede expresar como:
(a1 − x)2 + (a2 − y)2 = l42
y = A4 + x (A3 + x (A2 + x (A1 + x A0 )))
Determinando ası́ el polinomio
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
8
i=0
Pi x8−i = 0 tal que:
= A20
= 2 A1 A0
= A21 + 2 A2 A0
= 2 (A3 A0 + A2 A1 )
= A22 + 2 (A4 A0 + A3 A1 )
= 2 (A3 A2 + A4 A1 − a2 A1 )
= A23 + 2 (A4 A2 − a2 A2 ) + 1
= 2 (A4 A3 − a2 A3 − a1 )
= A24 + a22 + a21 − 2 a2 A4 − l4
De esta forma es posible ir integrando, paso a paso, la ecuación de movimiento,
incluyendo en cada instante de cálculo la actualización cinemática de la coordenada
θ4 . Como se puede dar el caso de encontrar dos posibles soluciones en cada búsqueda
de la solución, se deben restringir las posibilidades tomando como válido el cero cuya
posición esté determinada por una abscisa menor. Tomando la solución encontrada
en el paso anterior como valor de inicio para el método de Newton-Raphson, se
asegura una rápida convergencia al “cero válido”.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
103
Mediante el desarrollo analı́tico previo, despejando las expresiones “a mano”, se ha
pretendido simplificar al máximo la carga del procesador para resolver la dinámica
de la subfase 1 de giro.
Finalmente, en esta subfase de giro 1, hay un par de consideraciones a tener en
cuenta.
Por un lado, para evitar un comienzo brusco de la fase de giro se parte de los valores
de las coordenadas generalizadas de la fase de apoyo anterior, transformándolos
para asegurar una transición suave. En particular las velocidades se calculan de la
siguiente forma:
tf inalf asedeapoyo = tiniciof asedegiro = t0
θ3 (t0 ) − θ3 (t0 − Δt)
θ˙3 =
Δt
(t
)
−
θ
θ
4 0
4 (t0 − Δt)
θ˙4 =
Δt
Por otra parte, también es posible que la constante B se inicialice con un valor
muy grande de modo que θ3 resulte exagerado y no se encuentre nunca un cero en
la ecuación polinómica anterior (es decir, que no exista una posición del tobillo que
se ajuste a la curva que restringe su movimiento). En este caso es necesario reiniciar
completamente la fase de giro, disminuyendo considerablemente el primer valor de
B. En la fase posterior de cálculos cinemáticos se completa el movimiento del pie,
aunque en la práctica se hace al mismo tiempo que avanza la simulación dinámica,
sobre todo porque se comprueba en cada paso que la punta del pie no intersecte con
el suelo (lev dedo es un parámetro de diferenciación del paso que determina la altura
mı́nima que debe existir entre el dedo del pie y el suelo). Si esto ocurre es necesario
reiniciar los cálculos y corregir el valor de la consigna del ángulo de la cadera θ3 des .
Subfase 2 de giro. La duración de la subfase 2 de giro corresponde al 35 % del total
empleado en la fase de giro. Comienza en el último instante de la subfase 1 de giro,
es decir, en el momento en que la punta del pie se encuentra en la misma vertical
que la rodilla. En esta fase, la pantorrilla gira rápidamente hacia adelante.
La incógnita de esta subfase es el valor del momento generalizado correspondiente
a la interacción entre los músculos del fémur y la tibia-peroné (Fθ4 ). La acción del
conjunto muscular hace girar a la parte superior de la pierna para avanzar hacia
adelante hasta que alcance el ángulo de consigna al final de esta fase cuyo valor es
de θ4 (tgiro2 ) = θ4 des , siendo θ4 des un parámetro de diferenciación del paso.
La acción muscular Fθ4 está definida mediante la expresión exponencial Fθ4 =
2
max
.
B2 e−(A2 t) siendo A2 = √2 lplp 0,5
tgiro2
De forma similar a la subfase anterior, el valor de la constante B2 se disminuye o
aumenta según se comprueba la variación de la consigna al final de cada proceso de
integración.
104
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
La otra ecuación del movimiento incluye el momento generalizado de fuerza Fθ3
cuya acción se asimila a la de un conjunto muelle-amortiguador que mantiene a la
cadera en una posición adecuada y cuya expresión es:
Fθ3 = k3 (θ3 giro2 − θ3 ) − υ4 θ̇3
siendo el valor por defecto de θ3 giro2 = θ3 des .
Del mismo modo, si en algún instante la punta del pie penetra en el suelo, el
valor de θ3 giro2 debe aumentarse de manera que la cadera se extienda más, pero
comenzando de nuevo los cálculos. Este problema surge con valores muy pequeños
de las constantes k3 y υ3 (ver Apéndice D), por un balanceo de la cadera muy
acentuado (f bal pelvis es un parámetro de diferenciación del paso) o por longitudes
de paso lp demasiado cortas. Este método de inducir una extensión más acentuada
de la cadera para aumentar la altura de la punta del pie podrı́a ser transformado
para introducir un mecanismo para sobrepasar obstáculos pequeños o apoyar el pie
en un escalón.
En la fase posterior de cálculos cinemáticos se completa el movimiento del pie
mediante interpolación de θ5 y θ6 entre valores predefinidos como parámetros de
diferenciación del paso, giro1 tobillo, giro1 meta, θ5 des , θ6 des , teniendo en cuenta
que los dos últimos parámetros son los valores que alcanzan las articulaciones del
tobillo y del empeine al final de la fase de giro.
Subfase 3 de giro. La duración de la subfase 2 de giro es el 15 % final del total empleado
por la fase de giro. En esta fase, la rodilla está “bloqueada” por lo que se asimila a
un movimiento de péndulo simple, cuya expresión y método de resolución coinciden
con los de la subfase 1 de giro.
El valor inicial de la única coordenada generalizada, θ3 (en realidad podrı́amos
llamarla θ34 ya que θ4 tiene un valor fijo por estar bloqueada) que determina el
movimiento angular de la pierna “pendular” se obtiene a partir de la fase anterior,
para asegurar la continuidad en las trayectorias. Como los modelos dinámicos son
diferentes el valor se calcula gracias a que, en la transición, se conserva la energı́a
cinética del sistema.
En el apartado siguiente se analiza este y otros problemas de continuidad del
movimiento entre los subsistemas dinámicos.
4.4.5.
Continuidad entre los sistemas dinámicos
Para que el proceso de cálculo pueda desarrollarse en tiempo real, los modelos
dinámicos se construyen segmentando el problema en diferentes fases cuyo número
de ecuaciones del movimiento es menor. Por lo tanto, es necesario asegurar la
continuidad del movimiento entre fases, en particular entre aquellas cuyos modelos
dinámicos son netamente diferentes. En particular, son dos las transiciones que deben
ser tratadas de forma especial: el choque inelástico del talón del pie de la pierna de
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
105
giro cuando comienza la fase de doble apoyo (apoyo del talón) y el final de recorrido
de la articulación de la rodilla cuando la pierna de giro se extiende totalmente
para facilitar la orientación y longitud del paso siguiente (conservación del momento
angular de la cadera en la extensión de la rodilla).
Apoyo del talón. La separación del modelo dinámico en dos fases: pierna de apoyo y
pierna de giro, es la simplificación más evidente entre las aplicadas para mantener
el nivel básico de control lo más sencillo posible. Para que el modelo se comporte de
forma correcta se debe encontrar un método de cálculo que asegure la continuidad en
el punto de unión de los sistemas de ecuaciones de ambas fases, máxime considerando
que el número de coordenadas generalizadas, sus referencias y condiciones externas
son diferentes.
La transición de la fase de apoyo a la de giro es suave ya que es un movimiento
coordinado y progresivo. Los valores de velocidades de la pierna cinemática
superpuesta se introducen, con un cambio simple de referencia, como valor inicial en
la fase de giro. Sin embargo, la transición entre el movimiento de la pierna de giro a
la posición de apoyo es “traumática” ya que se produce con el choque del talón con
el suelo y debe ser estudiada con detenimiento. En la realidad, todas las colisiones
entre cuerpos son no conservativas, pero se confı́a a la estructura elástica de los
músculos y tendones la posibilidad de almacenar y devolver más tarde la energı́a
cinética de la pierna en el choque. De este modo, es posible aplicar varios teoremas
de conservación de la energı́a en el instante del apoyo del talón en el suelo, logrando
la transición entre la dinámica de la fase de giro y la de la fase de apoyo.
El momento angular del cuerpo superior respecto a la cadera toma los siguientes
valores (ver la figura 4.20 correspondiente al modelo dinámico de ambas piernas):
→
−
→
−
→
−
(4.15)
L 2 cad = I2 θ˙2 + r2 × m2 ρ˙2
Los momentos angulares son perpendiculares al plano sagital y su sentido depende
de las referencias angulares tomadas. En particular, si se desarrolla la expresión
general anterior:
→
−
L 2 cad =(I2 θ˙2 + m2 r2 (ẏ cos θ2 − ẋ sen θ2 ) + m2 r2 ω θ˙1 cos(θ1 − θ2 ) + m2 r22 θ˙2 +
→
−
+ m2 r2 ω̇ sen(θ1 − θ2 )) i z
En el instante del choque del talón con el suelo se conserva el momento angular
del cuerpo superior respecto a la cadera. Si denominamos L−
2 cad al momento antes
+
del choque y L2 cad al momento de después del choque se verifica:
+
L−
2 cad = L2 cad
(I2 + m2 r22 )θ˙2− + m2 r2 (ẏ − cos θ2 − ẋ− sen θ2 ) + m2 r2ω θ˙1− cos(θ1 − θ2 ) =
= (I + m r )θ˙+ + m r ω θ˙+ cos(θ − θ ) + m r ω˙+ sen(θ − θ )
2
2 2
2
2 2
1
1
2
2 2
1
2
106
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
ya que ẏ + = ẋ+ = ω̇ − = 0.
Por otra parte, también se conserva el momento angular de todo el sistema respecto
al tobillo:
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
L sis to = I1,to θ̇ 1 + r1 × m1 ρ̇ 1 + I2,to θ̇ 2 + ρ̇ × m2 ρ̇ 2
→
−
−−−→
→
−
→
−
→
= L2 cad + I1,to θ̇ 1 + r1 × m1 ρ̇ 1 + −
ω × m2 ρ̇ 2
→
→
→
con −
ρ =−
ω +−
r .
2
Desarrollando las multiplicaciones vectoriales por separado:
→
−
→
−
r1 × m1 ρ̇ 1 = (m1 r1 (ẏ cos θ1 − ẋ sen θ1 ) + m1 r12 θ˙1 ) iz
→
−
→
−
ω × m2 ρ̇ 2 = (m2 ω(ẏ cos θ1 − ẋ sen θ1 ) + m2 ω 2 θ˙1 + m2 r2 ωθ2 cos(θ1 − θ2)) iz
Por lo que la expresión general queda como:
−
→
L sis to = L2 cad +(I1,to +m1 r12 +m2 ω 2 )θ˙1 +m2 r2 ω cos(θ1 −θ2)+(m1 r1 +m2 ω)(ẏ cos θ1 −ẋ sen θ1 )
+
Si denominamos L−
sis to al momento antes del choque y Lsis to al de después del
choque se verifica:
+
L−
sis to = Lsis to
(Isis to + m1 r12 + m2 ω)θ˙1− + m2 r2 ω θ̇2− cos(θ1 − θ2) + (m1 r1 + m2 ω)(ẏ − cos θ1 − ẋ− sen θ1 ) =
= (I
+ m r2 + m ω)θ˙+ + m r ω θ̇+ cos(θ − θ2)
sis to
1 1
2
1
2 2
2
1
+
ya que ẏ + = ẋ+ = ω̇ − = 0 y L−
2 cad = L2 cad .
La tercera y última ecuación de conservación de energı́a provienen del teorema
de conservación de la cantidad de movimiento del cuerpo superior en la dirección
paralela al eje de la pierna de apoyo:
+
−
= ρ̇−
Freaccion Δt = m2 (ρ̇+
2 − ρ̇2 ) ⇒ ρ̇2
2
si suponemos Δt ≈ 0
y desarrollando la expresión:
ρ̇2 = ρ̇2y sen θ1 + ρ̇2x cos θ1 = (ẋ sen θ1 + ẏ cos θ1 ) + ω̇ + r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 )
−
+
ρ̇+ = ρ̇− ⇒ (ẋ− sen θ1 + ẏ − cos θ1 ) + r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) = ω̇ + + r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 )
2
2
Antes del instante del apoyo del talón la velocidad lineal del tobillo “dinámico”
es:
˙
ẋ− = ẋ−
ca + ω θ1 cos θ1
ẏ − = ẏ − + ω θ˙1 sen θ1
ca
−
−
y θ˙1 , θ˙2 se conocen de la fase anterior obteniendo tres ecuaciones y tres incógnitas
+
+
θ˙1 , θ˙2 , ω̇ + por lo que es sencillo extraer los valores iniciales de las coordenadas
generalizadas de la fase de apoyo.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
107
Extensión de la rodilla. Los modelos dinámicos, entre los dos últimos perı́odos de
tiempo en que se ha dividido la fase de giro, son diferentes, por lo que es necesario
inicializar adecuadamente el valor de la coordenada generalizada θ3 para asegurar
la continuidad de los movimientos. Tal y como se ha visto en el apartado anterior
es correcto acudir a la elasticidad de músculos y tendones para afirmar que en el
cambio brusco de movimiento de la rodilla (que se produce para asegurar que la
pierna alcanza la orientación y longitud adecuada en el apoyo de talón) se conserva
+
el momento angular respecto a la articulación de la cadera, es decir L−
3 cad = L3 cad
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
L−
3 cad = I3 θ̇ 3 + r3 × m3 ρ̇3 + I4 ( θ̇ 3 − θ̇ 4 ) + r 34 × m4 ρ̇4
→
−
m3 r3 + m4 (r4 + l3 )
−
→
θ̇ 34 + −
L+
=
I
r→
34
34 × m1 ρ̇34 con I34 ≈ I1 y r34 =
3 cad
m3 + m4
Por lo que se deduce que:
→
−
→
−
(I3 + I4 + m4 (r4 + l3 )2 + m3 r32 ) θ˙3 − − (I4 + m4 r42 + m4 l3 ) θ˙4 − + m3 r3 +
−
+ m4 (r4 + l3 )(ẋ−
ca cos θ3 + ẏca sen θ3 ) =
→
−
2
+
+
) θ̇ +
= (I1 + m1 r34
34 + m1 r34 (ẋca cos θ3 + ẏca sen θ3 )
→
−
de donde se puede extraer el valor de θ̇ +
34 que inicializa la subfase 3 de giro.
4.5.
MOBIL: Implementación del modelo cinemático
En la figura 4.32 se presenta la secuenciación de esta fase en la estructura general
de MOBiL.
Una vez obtenidos los patrones básicos del movimiento de marcha a partir de
la simulación de la dinámica del modelo propuesto del aparato locomotor humano
es necesario mejorar la apariencia final de la animación incorporando el “esqueleto
cinemático”, formado por 48 segmentos articulados. Para ello, se ha optado por
ajustar las fases y subfases del modelo básico y desarrollar una nueva temporización
de los movimientos, especı́fica para el modelo cinemático, mucho más cercana a los
principios experimentales biomecánicos.
El modelo cinemático propuesto, válido para ambas fases del ciclo de locomoción,
se puede observar en la figura 4.33.
La forma de calcular los movimientos del modelo cinemático superpuesto varı́a
dependiendo de la fase del movimiento en que se encuentre la estructura jerárquica
que representan. Cuando se dispone de suficientes valores de referencia calculados
en la dinámica, se utiliza la cinemática directa debido al bajo coste computacional.
Sin embargo, en ocasiones, se utiliza la cinemática inversa para cumplir restricciones
que no han sido tenidas en cuenta en el modelo dinámico, como por ejemplo para
evitar la intersección de los dedos del pie con el suelo.
108
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.32. Integración del módulo de cálculo cinemático de la fase esqueletal en MOBiL
Figura 4.33. Modelo cinemático válido para la pierna de apoyo y de giro
4.5.1.
Cinemática de la pierna de apoyo
Como resultado del sistema dinámico se han obtenido las variaciones temporales,
a lo largo de un paso, de la longitud de la pierna telescópica y de las orientaciones
del cuerpo superior y de la pierna de apoyo. Sin embargo, a la hora de reconstruir
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
109
Figura 4.34. Resolución de la cinemática de la pierna de apoyo en el sistema de movimiento global
todo el movimiento de la pierna, estos valores no son suficientes, especialmente
para obtener las orientaciones de los segmentos que forman las articulaciones de la
rodilla, el tobillo y el empeine. Por lo tanto, resulta imprescindible superponer a
estas trayectorias básicas nuevos cálculos de velocidades, orientaciones y posiciones,
de naturaleza más simple por estar basados en la cinemática. Por otra parte, la
utilización de un modelo cinemático superpuesto ayuda a reflejar los objetivos
funcionales que poseen las articulaciones de la rodilla y el tobillo en la locomoción
del ser humano:
Absorber el choque dinámico del apoyo de talón de forma que no repercuta en
la cadera y tronco
Suavizar la transición entre los estados de giro y de apoyo
Conservar la mayor altura posible del centro de masas corporal en el apoyo del
talón, como mejora energética frente a la locomoción bı́peda con extremidades
rı́gidas
La cinemática de la pierna de apoyo se divide en tres subfases (figura 4.35):
contacto o normal (que a su vez se subdivide en: rotación del pie y apoyo plano),
despegue del talón y despegue del empeine.
Los cálculos cinemáticos destinados a encontrar la trayectoria de la articulación
cadera - pierna (xca , yca ) son comunes a todas las subfases. Por construcción del
modelo, se conoce la posición fija del “tobillo dinámico”, que es origen del segmento
de la pierna telescópica. De la fase dinámica es posible extraer el valor de la
110
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.35. Diagrama de la temporización de las subfases del modelo cinemático de la pierna de apoyo
orientación y elongación en cada instante (ω, θ1 ), por lo que se deduce que:
x −
ω cos θ1
−
→
→
ρto =
;x = y = 0
;ω =
ω sen θ1
y
x
ω cos θ1
−
→
−
→
→
−
ρca = ρto + ω ⇒
+
ω sen θ1
y
Estos cálculos son necesarios en muchas de las consideraciones cinemáticas que se
presentan a continuación.
La figura 4.36 representa las diferentes subfases cinemáticas de la pierna de apoyo.
Figura 4.36. Subfases del modelo cinemático de la pierna de apoyo
Subfase de contacto o normal. La subfase de contacto empieza con el apoyo del talón
y termina de forma condicional. En ella se pueden diferenciar dos perı́odos: el giro
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
111
del pie sobre el talón hasta que alcanza una posición horizontal y el apoyo plano
sobre el suelo.
El primer perı́odo (t0 ⇒ t1 ) acaba en el momento en que la pierna telescópica (en
la fase dinámica) pasa por la vertical, o lo que es lo mismo en el instante en que
θ1 = 0. En t0 y t1 se conoce la posición del tobillo cinemático es (en t1 coincide con
el tobillo dinámico) por lo que el método de resolución empleado es la interpolación
simple entre ambos valores siguiendo el arco de centro en el punto de apoyo del talón
y radio la distancia l11 . De esta forma se calcula la posición del tobillo cinemático.
Una vez conocidas las posiciones de dos puntos de la cadena cinemática, la cadera y
el tobillo, y de las longitudes de todos los segmentos se calculan, de forma inmediata
y por cinemática inversa, los valores de los ángulos θ3 y θ4 (ver figura 4.33). El ángulo
θ6 es cero durante todo el perı́odo y θ5 se interpola entre sus valores conocidos (en
t0 proviene de los cálculos de simetrı́a en el paso y en t1 es el valor normal).
El segundo perı́odo, que corresponde al tiempo en que el pie plano está apoyado en
el suelo (t1 ⇒ t2 ) comienza a continuación del anterior y termina cuando se cumple
cualquiera de las siguientes condiciones:
ω0 ≤ π2 siendo ω0 = π − θ5 ⇒ θ5 ≤
ω ≥ l1
π
2
Normalmente, el final de esta subfase está determinado por la primera condición,
sin embargo, es posible que para longitudes de paso pequeñas prevalezca la segunda
(en este caso su objetivo serı́a evitar la no posibilidad de superponer los segmentos
del fémur y la tibia con el pie plano en el suelo).
De la misma forma que antes, para calcular los valores de θ3 , θ4 , θ5 , θ6 se
deben resolver dos cadenas cinemáticas inversas cuyos extremos en ambos casos
son conocidos (las posiciones de la cadera y el tobillo y la cadera y la punta del pie).
Subfase de despegue del talón. El final del apoyo medio se produce cuando se comienza
la fase de doble apoyo. Esta subfase (t2 ⇒ t3 ) se caracteriza por la progresiva
elevación del talón mientras se mantiene el empeine pegado al suelo.
El algoritmo de cálculo cinemático normal busca la posición del tobillo como
intersección entre un arco de circunferencia (con el centro en la articulación del
empeine y radio l12 ) y el segmento de la pierna dinámica, de modo que el tobillo
recorre la pierna.
Si no existe solución al sistema de ecuaciones anteriores o el segmento calculado
cadera - tobillo es mayor que (l3 +l4 ), lo cual puede deberse a una excesiva elongación
de la pierna telescópica, se debe utilizar un segundo método de cálculo: buscar la
posición del tobillo como intersección entre dos arcos de circunferencia: uno con el
centro en la articulación del empeine y radio l12 y otro con centro en la articulación
de la cadera (también conocida) y radio (l3 + l4 ). De esta forma el tobillo ya no se
encuentra sobre la pierna dinámica.
En este caso incluso podrı́a suceder un fuerte decremento del ángulo θ6 (que se
deberı́a incrementar constantemente), por lo que, como nuevo elemento corrector,
112
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
se activa θ6min lapso , que es un parámetro de diferenciación de paso que garantiza el
mı́nimo incremento de θ6 .
Subfase de despegue del empeine. El final de la fase de apoyo dinámica marca el final
del movimiento del despegue del empeine. Esta subfase (t3 ⇒ t4 ) se caracteriza por
la progresiva elevación del empeine mientras se mantiene la punta del pie en el suelo.
Estudios biomecánicos indican que existe una correlación entre este perı́odo y
la fase de doble apoyo, lo cual refuerza la idea de que es este momento cuando se
cambia el soporte del peso corporal al cambiar de pierna. La duración de este perı́odo
coincide por lo tanto con parte del perı́odo de doble apoyo.
El algoritmo de cálculo cinemático se reduce a una interpolación lineal del ángulo
de la rodilla y del tobillo. Según los mismos estudios biomecánicos anteriores, existe
una flexión constante de la rodilla desde el inicio de la fase de doble apoyo hasta
10 % (durf lex rodilla) de la duración del ciclo después de iniciada la fase de giro.
Esta flexión es casi independiente de la velocidad de marcha y llega hasta los 63o
(amax rodilla) [IRT81]. El valor final del ángulo del tobillo está determinado por el
parámetro de diferenciación del paso denominado apoyof in tobillo. Otro parámetro
de diferenciación del paso que se tiene en cuenta en esta fase es θ6min lapso , que
determina el incremento mı́nimo del ángulo del empeine en perı́odo de interpolación.
Una vez conocidos dos puntos de la cadena cinemática (articulación de la cadera
y punta del pie) y dos de sus ángulos (θ4 y θ5 ) el resto se encuentran perfectamente
determinados y se calculan por cinemática inversa.
En el movimiento cinemático de esta subfase hay que tener en cuenta el origen de
los datos que la gobiernan: en los perı́odos anteriores el dato de la posición de la
cadera se podı́a calcular rápidamente a partir de las coordenadas generalizadas de
la dinámica, pero en este caso, la dinámica de control ya gobierna la otra pierna,
es decir, la que acaba de comenzar la subfase normal y la posición de la cadera
sólo puede ser calculada a partir de ella (incluyendo el complejo movimiento del
segmento de la cadera).
4.5.2.
Cinemática de la cadera
En el modelo dinámico la acción del cuerpo superior sólo se recoge mediante el
cálculo del ángulo θ2 . Todo el cuerpo se representa como un segmento balanceado
para mantener el equilibrio y no caer. Sin embargo, la acción de elementos tan
importantes como la cadera condiciona la dinámica de la pierna de giro e incluso
hace variar algunos de los parámetros de alto nivel.
El movimiento de la cadera es el movimiento de la pelvis, hueso de geometrı́a
compleja que entre otras misiones sirve de engarce de la columna vertebral con
las piernas. Igual de compleja que su morfologı́a son las trayectorias (normalmente
curvas sinusoidales, que minimizan el consumo energético) de los extremos de la
pelvis. Por lo tanto, para poder mostrar cada movimiento de forma aislada se
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
113
Figura 4.37. Resolución de la cinemática de la cadera en el sistema de movimiento global
considera el plano en el que se produce: coronal, sagital y transversal, según el
sistema de referencias anatómico de la figura 4.38.
Figura 4.38. Planos de referencia del cuerpo humano
En todos los casos, la cinemática está gobernada por la simple interpolación hasta
alcanzar valores predeterminados como parámetros de diferenciación del paso (ver
Apéndice C). La variación de estos parámetros puede producir efectos apreciables
en la simulación.
En la figura 4.39 se presentan los tres movimientos que se han incluido en la
cinemática de la cadera y que se corresponden con los que aparecen en la locomoción
real.
El movimiento más importante de la cadera es la rotación pélvica que discurre
en el plano transversal y que entre otras cosas hace que la longitud del paso se
114
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.39. Movimientos de la cadera durante la locomoción
incremente lp . La rotación pélvica máxima se produce en cada apoyo de talón y
no existe rotación en la subfase de apoyo medio. La expresión que rige la rotación
pélvica es:
angulorot pelvis = rmax pelvis
lp
lp max
donde lp es la longitud del paso, lp max la longitud máxima y rmax pelvis el valor
angular máximo de rotación pélvica. De este modo, la longitud del paso actual queda
determinada por:
lp act = lp − l0 sen(angulorot pelvis )
donde l0 es la anchura de la pelvis.
En el plano sagital la cadera produce un movimiento leve, casi imperceptible
visualmente. Por lo tanto, se ha optado por no incluirlo en este trabajo. De cualquier
forma, en este plano es donde se observa el efecto de la coordenada generalizada θ2
de la fase dinámica de la pierna de apoyo, por lo que la aportación de un nuevo
movimiento de la cadera prácticamente no producirı́a cambios en el movimiento
final de la locomoción.
En el plano coronal o frontal se produce el llamado balanceo pélvico que consiste
en una rotación en torno al eje X que produce que una cadera esté más levantada
que otra. Normalmente la cadera de la pierna de giro está a una altura menor que
la cadera de la pierna de apoyo. La diferencia máxima de alturas se produce en el
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
115
comienzo de la fase de giro, es decir, en ese instante la cadera de la pierna de giro
está en el punto más bajo de su trayectoria. En el apoyo de talón ambas caderas se
igualan en altura, lo cual es imprescindible para que el concepto de simetrı́a en el
paso siga siendo válido. El algoritmo utilizado para producir el balanceo pélvico es:
Se extrae el valor mı́nimo de la altura de la cadera de la fase dinámica de apoyo
(justo después del apoyo del talón).
Se calcula la diferencia del valor anterior con la altura de la cadera de la pierna
de apoyo en el instante que marca el final de la fase de doble apoyo. Ese es el
valor que marca el ángulo máximo de balanceo pélvico.
Un parámetro de diferenciación del paso (f bal pelvis) multiplica el valor anterior
para exagerar o reducir el balanceo.
Se interpola linealmente entre los valores anteriores para extraer la trayectoria
coronal de las caderas.
Por otra parte, existe un último movimiento caracterı́stico de la pelvis: el
desplazamiento lateral. Se produce en el plano coronal y su objetivo es transferir
parte del peso del cuerpo hacia la pierna que se encuentra en cada momento en
estado de apoyo. Asimismo, acercando el peso a la pierna de apoyo, es más fácil
contrarrestar el movimiento del cuerpo superior. De igual forma que en la rotación
pélvica, los puntos de inflexión del desplazamiento lateral se encuentran en la subfase
de apoyo medio, en donde es máximo, y en el apoyo del talón donde toma el
valor cero (necesario para que la simetrı́a de paso siga siendo válida). El valor del
desplazamiento lateral máximo se deduce a partir de la siguiente expresión:
dlat max = −0,00017241 · fp +
1
dlat pies + 0,001344
6
donde fp es la frecuencia del paso y dlat pies es la distancia entre pies que pondera el
desplazamiento lateral (este valor se determina según un parámetro de diferenciación
del paso f anch paso, que es un factor proporcional a la anchura de la cadera l0 ).
La dependencia del parámetro de alto nivel f p asegura la concordancia con los
estudios experimentales que indican que con un mayor número de pasos por minuto
el desplazamiento lateral se disminuye y, por lo tanto, el gasto energético es mayor.
4.5.3.
Cinemática de la propulsión pasiva
El perı́odo de propulsión pasiva corresponde a la última fase de la dinámica de la
pierna de apoyo. Sin embargo, como se ha optado por mantener el control dinámico
en una única fase se simplifica el comportamiento fı́sico real y el peso y el control
del cuerpo se transfieren instantáneamente de la pierna en estado de propulsión a
la nueva pierna de apoyo. Este perı́odo coincide con la fase de doble apoyo, es decir,
es posterior al instante del apoyo del tobillo de la otra pierna y en él se calculan las
trayectorias de los puntos de control a partir de la cinemática de la cadera.
116
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.40. Resolución de la cinemática de la propulsión pasiva en el sistema de movimiento global
Figura 4.41. Resolución de la cinemática de la pierna de giro en el sistema de movimiento global
4.5.4.
Cinemática de la pierna de giro
El modelo cinemático de la pierna de giro, a diferencia del de apoyo, coincide con
parte de las referencias y coordenadas del modelo dinámico, por lo que se utilizan
directamente sus expresiones. En particular las curvas temporales de los valores de
los ángulos θ3 y θ4 provienen de la dinámica de giro y sólo es necesario un cambio
de origen de la referencia angular.
Además, tal y como se resuelven las ecuaciones del movimiento a lo largo de las
diferentes subfases de la dinámica de la pierna de giro, se introducen restricciones
cinemáticas en los restantes ángulos del modelo, por lo que cinemática y dinámica
se han resuelto a la par (figura 4.42).
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
117
Figura 4.42. Diagrama de la temporización de las subfases del modelo cinemático de la pierna de giro
La cinemática de la pierna de giro se reduce a completar el movimiento del pie
en las diferentes subfases mediante la interpolación lineal de θ5 y θ6 entre valores
predefinidos como parámetros de diferenciación del paso.
4.5.5.
Cinemática del cuerpo superior
Figura 4.43. Resolución de la cinemática del cuerpo en el sistema de movimiento global
La aportación dinámica del cuerpo superior se restringe a un sólido rı́gido que
se mueve hacia adelante y hacia atrás para “balancear” las cargas y mantener un
equilibrio “dinámico”.
El movimiento compensatorio de la columna vertebral y de los brazos, no se
considera significativo para la dinámica del sistema, por lo que no se considera en el
modelo simplificado de θ2 de la pierna de apoyo. Sin embargo, la apariencia visual
de una animación del cuerpo humano es altamente dependiente del movimiento del
tronco, brazos y cabeza (ver figura 4.44). En este sistema dichas tareas se confı́an a
la cinemática.
118
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.44. Visualización de la cinemática del cuerpo completo
El modelo cinemático del cuerpo superior recoge los principales conjuntos
esqueleto-musculares del ser humano mediante una estructura jerárquica de 39
segmentos que corresponden a todos los elementos que se encuentran por encima de
la cadera. Como el cuerpo superior forma una sola estructura jerárquica, cualquier
movimiento en una vértebra lumbar, por muy pequeño que sea, afecta a todos los
elementos que se encuentran por debajo en la cadena cinemática, como la cabeza o
los brazos. Para su perfecta caracterización cinemática los elementos pueden ser a
su vez agrupados en tronco, extremidades superiores y cabeza.
Tronco y cabeza. La columna vertebral es el elemento cinemático con un número mayor
de articulaciones y segmentos. Su morfologı́a y funcionalidad se ha representado en
la dinámica por la coordenada generalizada θ2 y el momento generalizado de fuerza
Fθ2 . La articulación de la columna con la pelvis mantiene al cuerpo superior erguido
y le proporciona un suave balanceo caracterı́stico hacia atrás y hacia adelante. La
torsión de la columna vertebral se ha simulado de manera que la pelvis rote para
disminuir el gasto de energı́a.
Como ya se ha señalado, el modelo del cuerpo superior consta de: conjunto
de vértebras lumbares, conjunto de vértebras torácicas del que “cuelgan” ambos
hombros y el conjunto de vértebras cervicales, en el que se articula la cabeza.
Las vértebras lumbares son siete segmentos (lv lumb1 . . . lv lumb7 ), las torácicas doce
(lv tor1 . . . lv tor12 ) y presentan diferentes longitudes, y finalmente, las vértebras
cervicales también están formadas por siete segmentos (lv cerv1 . . . lv cerv7 ).
Si la pelvis realiza un movimiento de giro, el cuerpo entero se moverı́a sino fuera
por la acción compensatoria de todas las vértebras. En general, cada vértebra sólo
puede realizar movimientos de rotación relativos a su segmento anterior.
En el plano sagital, las vértebras lumbares compensan de forma proporcional el
movimiento angular de θ2 para que no se transmita al resto del cuerpo.
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
119
En el plano transversal, las vértebras lumbares y las 7 primeras torácicas
compensan proporcionalmente la rotación pélvica (la última vértebra es el “punto
de inflexión” y permanece casi en reposo). A partir de la vértebra torácica número
8 hasta la 12, estas vértebras giran en sentido contrario para compensar la rotación
de los hombros, que es menor y proporcional a la rotación pélvica. Por último,
las vértebras cervicales compensan totalmente este último movimiento para que la
cabeza no experimente ningún giro y se mantenga siempre orientada según el sentido
de la marcha.
En el plano coronal, de nuevo son las vértebras lumbares las que compensan de
forma proporcional el movimiento en este plano de la pelvis.
Extremidades superiores. El movimiento del tronco y los brazos está relacionados
con el movimiento de la cadera y las extremidades inferiores. En la formulación
de las ecuaciones del movimiento se desprecia la acción dinámica de los brazos,
pero su inclusión en la fase cinemática es vital para completar una animación
de apariencia realista. Nuevamente, se interpolan de forma directa los valores de
aquellos parámetros de diferenciación del paso que hacen referencia al movimiento
de los segmentos que constituyen las extremidades superiores: dos hombros que
cuelgan de la última vértebra torácica, cada uno formado por un omóplato (l15 ) y
una clavı́cula (l20 ) y de cada uno, se articula un brazo formado por los segmentos
de brazo (l21 ), antebrazo (l22 ), palma de la mano (l23 ) y dedos de la mano (l24 ).
En el plano transversal los hombros (las clavı́culas) giran en sentido contrario
y de forma proporcional a la pelvis (un 60 % según el valor de f rot hombro, que es
uno de los parámetros de diferenciación del paso).
En el plano sagital, los brazos giran de forma proporcional al ángulo que presenta
la articulación de la cadera de la pierna opuesta. El factor que gobierna la proporción
es un parámetro de diferenciación del paso, f rot brazo, que normalmente toma el
valor del 80 %. Como parámetro de referencia se toma la coordenada generalizada θ1 ,
cuyo movimiento, extraı́do de la dinámica, es más adecuado que el que experimenta
después de “pasar” por la cinemática. Al movimiento anterior del brazo hay que
sumarle un nuevo giro, el del antebrazo, ya que es posible observar que se produce
una flexión del codo durante los instantes finales del giro del brazo. Existen dos
parámetros de diferenciación del paso que marcan el máximo y el mı́nimo de la
flexión del codo: rmax codo, cuyo valor normal es de 35o , y rmin codo, cuyo valor
es 0. La flexión del codo comienza al final de la subfase 1 de giro (después del máximo
ángulo de la pierna opuesta y, por lo tanto, del brazo) y termina en el apoyo del
talón.
En todos los casos los valores intermedios se interpolan de forma lineal desde los
valores conocidos de los extremos.
120
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
4.5.6.
Proceso de inicio y fin de la locomoción
El sistema desarrollado, en su funcionamiento normal, es capaz de calcular las
posiciones de cada paso, incluso asumiendo cambios de aceleración en la marcha, es
decir, incrementando o decrementando los parámetros de un paso. Sin embargo, no
contempla los casos extremos de variación de aceleración que corresponden al inicio
y al fin de la locomoción.
Para contemplar estos dos casos, se han incorporado modificaciones realizadas a
medida, provenientes de observaciones experimentales. Asimismo se ha mantenido
un compromiso entre la salvaguarda de las caracterı́sticas dinámicas del sistema y la
verosimilitud de la apariencia de ambas acciones, aunque ambas simulaciones tienen
cierto carácter de arbitrariedad que deberá ser refinado en trabajos posteriores.
Simulación del inicio de la locomoción. El inicio de la locomoción corresponde al
movimiento de pasar del reposo (equiestación) a dar el primer paso y se caracteriza
por levantar, suavemente y desde el suelo, la pierna de giro, mientras la pierna de
apoyo impulsa el cuerpo hacia delante. Para poder aprovechar la caracterización
dinámica de la subfase 1 de la pierna de giro es necesario modificar algunos de los
parámetros que la gobiernan. El movimiento de la pierna de giro es el que sirve como
elemento de control de la puesta en marcha de la locomoción, y la acción principal de
la dinámica de esta nueva subfase es “elevar y sustentar” al pie, en contraposición a
su funcionamiento normal, en la que se “arrastra” el pie para llevarlo por delante del
centro de masas del cuerpo, y lo proyecta hacia adelante para que en fases posteriores
finalice en la posición adecuada al volver al suelo. Sin embargo, a pesar de que se
modifican las condiciones de contorno, se sigue el mismo principio de trabajo que se
utiliza en la formulación general: bloquear cinemáticamente el ángulo de la rodilla
en cada instante del calculo dinámico hasta que la cadera alcance la orientación
deseada.
La diferencia en el modelado funcional consiste en no utilizar una curva polinomial
para restringir la trayectoria del tobillo, limitándose a mantener el movimiento
ascendente de la punta del pie en una recta vertical. Sin embargo, puede ocurrir una
excepción si el ángulo de la cadera no ha conseguido alcanzar la orientación debida
en el momento en que la rodilla y la punta del pie están alineadas verticalmente. En
ese caso es necesario que la punta del pie mantenga la posición inferior respecto de
la rodilla hasta el final de esta subfase “especial”, lo que se consigue incrementando
de forma automática el ángulo de la cadera, θ3 y haciendo que la punta del pie se
mantenga en todo momento en la misma vertical que la rodilla. De esta manera, se
permite la inicialización normal de la subfase 2 de la pierna de giro.
Simulación del final de la locomoción. El final de la locomoción corresponde al proceso
de detenerse por completo disminuyendo el tiempo y recorrido del último paso. Este
perı́odo se caracteriza por la bajada de la pierna de giro hasta que el pie está paralelo
al de la otra pierna y en contacto con el suelo. Para la simulación del último paso
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
121
de la marcha también es necesario ajustar la temporización de las fases dinámicas
de la pierna de giro. Como en este caso la distancia que recorre el pie de giro hasta
reposar paralelamente al lado del otro pie es sensiblemente inferior, las subfases de
propulsión de la pierna de apoyo se reducen exactamente a la mitad de su tiempo
caracterı́stico y la subfase 1 de la pierna de giro se extiende hasta el final del perı́odo
de tiempo de giro.
La subfase 1 de giro se debe modificar para ser dividida en dos:
En un primer momento la orientación final del ángulo de la cadera es la necesaria
para que la rodilla se encuentre en la vertical con la punta del pie y a la misma
altura que el pie de apoyo.
Una vez alcanzado el final del perı́odo de tiempo de giro de la subfase 1, el
pie se hace descender en lı́nea recta hasta el suelo al final del perı́odo de giro,
bloqueando cinemáticamente el ángulo de la rodilla y teniendo cero como valor
final del ángulo de la cadera.
4.6.
Cálculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones
Figura 4.45. Cálculo de momentos netos en el sistema de movimiento global
En las articulaciones de un sistema músculo-esqueletal están activas tres tipos de
fuerzas: las fuerzas en tendones y músculos, las fuerzas de contacto y las fuerzas
de los ligamentos. Por conveniencia, las fuerzas de los ligamentos y las de contacto
frecuentemente se combinan en las fases de modelado y cálculo para formar las fuerza
y momentos de fuerza netos o resultantes.
Las fuerzas y los momentos de fuerza netos en las articulaciones son
expresiones “simplificadoras” que reflejan el comportamiento global de las complejas
interacciones entre huesos, ligamentos y músculos. Estos valores se obtienen
122
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
normalmente mediante dinámica inversa a partir de los datos provenientes de la
rotoscopı́a (desplazamiento, orientación, velocidad y aceleración) de cada una de las
partes del cuerpo analizadas en los laboratorios de estudio del paso. En cambio, en
el sistema MOBiL estos mismos datos se obtienen directamente a partir del modelo
cinemático anteriormente presentado.
Las fuerzas y momentos de fuerza netos son una vı́a de entrada para la
implementación del modelo músculo-esqueletal del sistema MOBiL. Estos patrones
son necesarios para calcular los valores de fuerza de los músculos que “atraviesan”
una articulación.
En este apartado se presenta, como la última “fase” del sistema de locomoción,
en primer lugar, el fundamento teórico de la determinación de momentos y
fuerzas resultantes entre segmentos y, posteriormente, el método propuesto para
su obtención.
4.6.1.
Determinación de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos
En general, las fuerzas que actúan sobre un modelo de segmentos rı́gidos
interconectados (como es el propuesto en la fase dinámica previa) son las siguientes
[Win90]:
Fuerzas de gravedad: actúa empujando hacia abajo el centro de masas de cada
segmento y es igual a la magnitud de la masa por la aceleración debido a la
gravedad (normalmente 9.8 m/s2 ).
Fuerzas externas o de reacción del suelo: se miden por medio de transductores y
se representan como vectores que actúan en un punto, normalmente en el “centro
de presión”.
Fuerzas de músculos y ligamentos: El efecto neto de la actividad muscular en
una articulación se calcula en términos de los momentos netos de los músculos,
los cuales incluyen las fuerzas ejercidas por los músculos antagonistas, los efectos
de fricción en las articulaciones o la fricción dentro del músculo. Los momentos
generados por las estructuras pasivas, como los ligamentos, se tienen que sumar o
restar de los momentos generados por los músculos. Sin embargo, la contribución
de los tejidos pasivos es imposible de determinar cuando el músculo está activo.
Debido a la complejidad que presenta la resolución de estos modelos
interconectados si se consideran a la vez todos los segmentos que componen el cuerpo
humano, se suelen utilizar los denominados “Diagramas de Cuerpo Libre” (FreeBody Diagrams) para sistematizar los cálculos [BF50]. El modelo articulado original
se divide en partes, según los segmentos que lo componen (ver figura 4.46).
Normalmente la separación en segmentos se hace en las articulaciones de forma
que en el diagrama de cuerpo libre resultante se puedan ver las fuerzas que actúan en
cada articulación. Este procedimiento permite trabajar con cada segmento y calcular
todas las fuerzas de reacción en las articulaciones, desconocidas, ya que, de acuerdo
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
123
Figura 4.46. Relación entre el modelo de segmentos interconectados y el diagrama de cuerpo libre
a la 3a ley de Newton, existe una fuerza igual y opuesta en cada articulación del
modelo.
La determinación de las fuerzas y los momentos entre los segmentos basándose en
datos cinemáticos requieren las solución del problema dinámico inverso [CB81], tal
como se observa en la figura 4.47. La derivación de las ecuaciones de movimiento
pueden basarse en formulas Newtonianas o Lagrangianas [And95].
Figura 4.47. Relación entre la cinemática, la cinética y los datos antropométricos y las fuerzas, momentos, energı́as y
potencias usadas como solución inversa de un modelo de segmentos interconectados
La solución más simplificada es aquella que asume que los efectos cinemáticos
son despreciables, permitiendo análisis “casi-estático”. El equilibrio estático es la
condición en la cual un cuerpo está en reposo y las fuerzas y momentos internos y
124
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
externos se encuentran balanceados. Es necesario mantener equilibrio de rotación y
traslación para cada segmento del cuerpo. Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio
estático para cada segmento del cuerpo son:
F =0
M =0
Sin embargo, para situaciones dinámicas, el cuerpo puede modelarse por un
número de segmentos rı́gidos, en movimiento, interconectados en las articulaciones.
Si se conocen las historias de desplazamientos, las propiedades de masa de los
segmentos, y las fuerzas externas aplicadas, entonces es posible determinar los
momentos y las fuerzas entre segmentos que actúan en la extremidad, aplicando
las ecuaciones de movimiento del sistema según la 2a ley de Newton. Este es el caso
del presente trabajo.
4.6.2.
Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL
Por las propias caracterı́sticas del sistema de simulación propuesto, hasta este
momento, no habı́a existido la necesidad de calcular los valores de fuerza y momentos
de fuerza netos que se producen en las articulaciones, ni los valores de fuerzas y
momentos de reacción que se producen en el contacto del pie con el suelo. Sin
embargo, estos valores son importantes para validar el comportamiento fı́sico del
sistema.
Conceptualmente el método utilizado es equivalente a la utilización de dinámica
inversa en los laboratorios del paso, salvo que en este caso los datos cinemáticos
provienen de la simulación en vez de hacerlo desde un sistema de rotoscopı́a.
Las resultantes intersegmentales de fuerzas y momentos se determinan mediante
dinámica inversa basándose en estos valores, en los valores de masa e inercia de los
segmentos del cuerpo y en las fuerzas externas. Además se incorporan directamente
algunos valores de fuerzas extraı́dos de la fase dinámica de MOBiL (como el modelo
dinámico es extremadamente simple no contempla, por ejemplo, las articulaciones
de la rodilla y el tobillo en la pierna de apoyo).
Para ilustrar el método se aplica en primer lugar al modelo dinámico de la pierna
de apoyo. En la figura 4.48 se puede observar los FBD (Free Body Diagram) del
cuerpo superior y de la pierna telescópica.
A partir de cada uno de los diagramas FBD de los diferentes segmentos se plantean
las ecuaciones de la 2a ley de Newton de la dinámica de sólidos rı́gidos, en este caso
en un único plano, el de avance de la locomoción (ver ecuación 4.16).
−
→
→
αi
(4.16)
Mi =Ii −
−
→
→
ai
Fi =mi −
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
125
Figura 4.48. Free Body Diagram del cuerpo superior y de la pierna telescópica
−
→
→
donde Mi es el momento de fuerza, Ii el momento de inercia, −
αi la aceleración
→
−
→
−
angular, Fi es la fuerza, mi la masa y ai es la aceleración, para cada segmento i.
Si se desarrolla el sistema de ecuaciones anterior (ecuación 4.16) para el cuerpo
superior (i = 2), con las mismas variables espaciales que las utilizadas en el modelo
dinámico (ver figura 4.20), se plantean las tres siguientes ecuaciones:
Mca + Fcay r2 sen θ2 + Fcax r2 cos θ2 = I2 θ¨2
Fcay − m2 g = a2y m2
Fcax = m2 a2x
(4.17)
donde Mca es el momento neto de la cadera y Fca es la fuerza neta sobre la
articulación.
En este caso se tienen como incógnitas Fcax , Fcay y Mcay con lo que, al disponer
de un número igual de ecuaciones, éstas se pueden resolver de forma directa.
Para el segmento i = 1 que corresponde a la pierna de apoyo telescópica, se tiene:
Msuelo − Mca + Fsueloy r1 sen θ1 + Fsuelox r1 cos θ1 +
+ Fcax (ω − r1 ) cos θ1 + Fcay (ω − r1 ) sen θ1 = I1 θ¨1
Fsueloy − m1 g − Fcay = a1y m1
Fsuelox − Fcax = m1 a1x
(4.18)
donde Msuelo es el momento neto que produce el suelo, como reacción al momento
neto que produce el pie, de la misma forma que Fsuelo es la fuerza neta de reacción.
Introduciendo el valor de las variables de la cadera cuya solución ya se conoce,
quedan tres incógnitas: Msuelo , Fsuelox y Fsueloy para el mismo número de ecuaciones,
de forma que su resolución es directa.
126
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Es importante resaltar que, aunque en el modelo dinámico se obtienen
directamente los valores de Fθ1 , Fθ2 , Fω a lo largo del tiempo, en este caso no
se deben incluir ya que corresponden a Fuerzas y Momentos de Fuerza “externos y
aislados” aplicados a cada segmento. De hecho, su acción se encuentra presente en
los valores de aceleración, lineal y angular, que experimentan ambos segmentos y,
desde ese punto de vista, están incluidos en la expresión de los momentos de fuerza
y fuerza netos que se pretenden obtener. Como resumen, se puede afirmar que se
han sustituido las expresiones “ad hoc” (pero muy funcionales) correspondientes
a Fuerzas y Momentos de Fuerza externos aplicadas a cada segmento por separado
(Fθ1 , Fθ2 , Fω ) por expresiones comúnmente aceptadas en Biomecánica que responden
a la interacción neta entre segmentos y con el suelo (Fca , Fsuelo , Mca y Msuelo ).
El mismo método, pero con mayor complejidad se plantea para calcular todas
las fuerzas y momentos de los segmentos y articulaciones del modelo esqueletal
susceptibles de ser utilizados en el cálculo posterior de los valores de fuerza muscular.
En la figura 4.49 se puede observar los FBD del cuerpo superior y de los segmentos
correspondientes al fémur, al conjunto tibia-peroné y al pie.
Figura 4.49. Free Body Diagram de la pierna de apoyo
El modelo de segmentos articulados que se utiliza es equivalente al de la fase
cinemática y los momentos netos de las articulaciones se trabajan por separado,
según las diferentes fases del ciclo de locomoción planteadas en el sistema de
simulación anteriormente expuesto.
El momento y fuerza resultante entre segmentos se puede considerar que actúa en
el extremo proximal y distal de cada segmento del cuerpo. Estos momentos y fuerzas
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
127
son los efectos cinéticos netos que los segmentos consecutivos tienen entre ellos.
Es necesario señalar que estas resultantes entre segmentos son cantidades cinéticas
conceptuales que no necesariamente están fı́sicamente presentes en una estructura
anatómica simple. En cambio, las fuerzas y momentos resultantes representan el
vector suma de todas las fuerzas en la estructura anatómica y el vector suma de
todos los momentos producidos por esas fuerzas. En este caso, el valor resultante de
los momentos y fuerzas netos de la cadera son exactamente iguales al modelo más
simple de la pierna telescópica, previamente calculado. Las fuerzas y los momentos
de fuerzas netos en las articulaciones de la rodilla y el tobillo se calculan de forma
similar.
Por último, el problema de calcular las fuerzas que actúan realmente dentro de las
articulaciones se puede pensar como un problema de distribución. Dicho problema
es el punto de arranque de la fase músculo-esqueletal que se detalla en el siguiente
capı́tulo (sección 5).
4.7.
Validación de la fase esqueletal
La validación de la fase esquletal del sistema MOBiL se establece verificando sus
resultados por comparación con datos experimentales. Para verificar el conjunto
de resultados se han realizado comparativas de los principales indicadores durante
un ciclo de locomoción. Los indicadores corresponden a funciones temporales que
representan el comportamiento de las principales articulaciones según valores de
geometrı́a, fuerza o momento de fuerza. Todas estas funciones elegidas como
referencia se corresponden a patrones de funcionamiento comúnmente utilizados
(y aceptados) en la Biomecánica
En todos los casos de los próximos apartados, las gráficas se corresponden a los
resultados de MOBiL simulando a una persona de 80 kg de masa y 1.80 m de altura
y de complexión normal, caminando con una velocidad, longitud y cadencia de paso
natural, en este caso, a 5 km/h, 0,77 m de paso y 107,6 pasos/minuto.
4.7.1.
Comparación de variaciones angulares
En primer lugar se presentan comparativas de los patrones de variación angulares
de las principales articulaciones que intervienen durante un ciclo de locomoción.
Las figuras 4.50, 4.51 y 4.52 presentan comparativas con datos experimentales
[Win87] de los patrones temporales de los ángulos de las articulaciones de la cadera,
rodilla y tobillo, respectivamente. Se puede observar una clara similitud entre los
lı́mites superior e inferior, los intervalos de crecimiento y las pendientes, por lo que se
considera que la geometrı́a y el movimiento del sistema simulado están muy cercanos
a la realidad.
128
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.50. Comparación entre los valores angulares de la cadera obtenidos de la simulación y de datos experimentales
Figura 4.51. Comparación entre los valores angulares de la rodilla obtenidos de la simulación y de datos experimentales
Figura 4.52. Comparación entre los valores angulares del tobillo obtenidos de la simulación y de datos experimentales
4.7.2.
Comparación de valores de fuerzas
Con la vista puesta en la fase siguiente, es importante validar los resultados de
fuerza neta de las articulaciones según datos experimentales. Una de las magnitudes
importantes en Biomecánica es la fuerza de soporte, que es producida por el suelo
sobre el pie durante la fase de apoyo. La fuerza de reacción vertical del suelo se mide
rutinariamente en los laboratorios del paso y su forma para un paso normal es muy
conocida. Se puede observar en la figura 4.53 que este patrón de fuerza presenta
dos máximos cuya magnitud es cercana al valor del peso del cuerpo (en este caso
el valor es de 80 kg x 9, 8 m/s2 = 800 Newtons). La gráfica experimental [Whi03]
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
129
está normalizada respecto al peso del cuerpo y aunque corresponde a una mujer de
55 kg caminando a una velocidad de 1,7 m/s y a 136 pasos/minuto, es un patrón
común en la locomoción humana.
Figura 4.53. Comparación entre los valores de fuerza de reacción del suelo obtenidos de la simulación frente a datos
experimentales
4.7.3.
Comparación de valores de momentos
Por último, es necesario verificar los momentos de fuerza netos de las articulaciones
según datos experimentales. En este caso se presenta el momento de fuerza neto de
la cadera durante la fase de apoyo. A pesar del amplio rango de valores que presenta
de este patrón (depende del sexo, parámetros de locomoción y antropometrı́a del
individuo) se puede observar en la figura 4.53 que ambas gráficas presentan el
mismo orden de magnitud y una clara similitud entre los intervalos de crecimiento
y las pendientes, por lo que se considera que la dinámica subyacente del sistema
simulado se comporta de forma adecuada, muy cercana a los datos reales. La gráfica
experimental [Whi03] está normalizada respecto a la masa del cuerpo y corresponde
a la misma locomoción de la gráfica anterior.
4.8.
Conclusiones
En este capı́tulo se ha presentado la implementación del primer módulo del
sistema MOBiL. Dicho módulo no sólo permite animar los diferentes segmentos y
articulaciones de un modelo de cuerpo humano caminando, sino también calcular sus
valores cinemáticos y dinámicos sin necesidad de utilizar los complejos dispositivos
de los laboratorios especializados en el análisis del movimiento [BRS03].
La comparativa entre los datos obtenidos en los laboratorios por medio del
equipamiento médico y los datos obtenidos por el sistema de software se puede
observar en la Tabla 4.1.
130
Capı́tulo 4: Simulación de la fase esqueletal
Figura 4.54. Comparación entre los valores de Momento de fuerza neto en la articulación de la cadera, obtenidos de la
simulación frente a datos experimentales
Datos Experimentales
Datos en MOBiL
Fuerzas de Reacción del Suelo
SI
SI
Actividad Muscular (EMG)
SI
Patrones de Fuerzas
SI
Tabla de medidas paramétricas
Medidas Antropométricas
Tablas Estadı́sticas
Captura de datos cinemáticos
SI
NO
Modelado del esqueleto
SI
SI, tres niveles:
Cálculos en 3D
SI
pierna de apoyo y cuerpo dinámico
Dinámica en 2D
Visualización Cinemática 3D
Método de Resolución
Ecuaciones Dinámica Inversa
Ecuaciones Dinámica Directa Root Finding
Fuerzas de Reacción de las Articulaciones
SI
Articulación de la cadera
Todas las articulaciones
Articulación del tobillo
(ambas en la fase de apoyo)
Momentos de fuerza en las articulaciones
SI
Cadera (ambas fases)
en todas las articulaciones
Rodilla (fase de giro)
HAT (Cabeza, Brazos, Tronco) en fase de apoyo
Diferencias fı́sicas entre los individuos
NO
SI
Tabla 4.1. Comparación entre la obtención experimental de datos y la obtención de datos en MOBiL
Dichos datos cinemáticos y dinámicos se han validado en las figuras 4.50, 4.51, 4.52,
4.53 y 4.54, y se observa un alto grado de correspondencia con los datos obtenidos
de manera experimental.
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Simulación de la deformación local del
5 músculo: Fase músculo-esqueletal
5.Simulación de la deformación local del músculo: Fase músculoesqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.1.Modelos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.2.Modelos basados en la fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1.3.Modelos hı́bridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.4.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.1.Métodos experimentales de obtención de fuerzas musculares . . . . . . 149
5.2.2.Análisis funcional de las acciones musculares durante la locomoción 150
5.3. Descripción del sistema de deformación local del músculo . . . . . . . . . . . . 153
5.4. Modelo basado en lı́neas de acción: Introducción de músculos en el
modelo esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4.1.Distribución de fuerzas musculares en las articulaciones . . . . . . . . . . 154
5.4.2.MOBiL: Implementación del modelo de lı́neas de acción muscular . 157
5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los músculos164
5.5.1.Formulación matemática del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5.2.Formulación por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.5.3.MOBiL: Implementación del sistema de deformaciones . . . . . . . . . . 171
5.6. Validación de la fase músculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
137
Simulación de la deformación local del
músculo: Fase músculo-esqueletal
En el capı́tulo anterior se han estudiado y simulado los movimientos
diferentes partes del cuerpo durante cada una de las fases del ciclo
locomoción humana. En el marco de este movimiento global del cuerpo
circunscribe el trabajo que se desarrolla en este capı́tulo: la simulación
las deformaciones locales de los músculos (ver figura 5.1).
de
de
se
de
Figura 5.1. Fase músculo-esqueletal del Sistema MOBiL
Para abordar este tema, en primer lugar se presenta un estado del arte
de las técnicas que permiten simular objetos deformables, centrado en los
trabajos relacionados con los órganos y los músculos. De entre todos ellos,
el sistema MOBiL utiliza el método de elementos finitos (FEM) por ser la
técnica de modelado que mejor responde a los objetivos generales de este
trabajo: verosimilitud en el movimiento y en la forma. Este método basado
en la fı́sica requiere del cálculo previo del patrón de fuerza muscular. Esta
139
140
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
necesidad es la que gobierna los siguientes apartados de este capı́tulo: el
estudio de la actividad funcional de los músculos durante la locomoción y
la formulación un modelo, denominado de lı́neas de acción muscular, que
es el modelo de bajo nivel necesario para condicionar adecuadamente el
modelo FEM final. La última parte del capı́tulo se reserva a la formulación
matemática del modelo FEM, utilizado para representar el músculo y sus
deformaciones, el método de resolución seleccionado para este problema y la
descripción del modelo desarrollado. Este capı́tulo finaliza con la conclusión
de que el encadenamiento de los dos modelos músculo-esqueletales permite
que el sistema MOBiL simule deformación local muscular en coordinación
con el movimiento global del cuerpo durante la locomoción.
5.1.
Deformaciones musculares: Estado del arte
En el mundo de la Informática Gráfica, los objetos “no rı́gidos” han sido estudiados
por más de dos décadas [GM97] [BGS02] en gran variedad de aplicaciones. Estas
aplicaciones abarcan áreas muy diversas, desde el diseño asistido por ordenador
[GP89] [Far90], donde los objetos “deformables” se utilizan para crear y editar
curvas, superficies y sólidos, hasta el diseño de ropa [Wei86] [NG96], donde se utilizan
para simular pliegues y arrugas en los tejidos, o el análisis de imágenes [MT96], donde
se utilizan para segmentar imágenes y hallar aquellas curvas (o superficies curvas)
que se adecúan a un determinado contorno.
En el área de la animación por ordenador, los modelos deformables se han
considerado especialmente en la simulación del movimiento de la ropa [KG90]
[MTY91] [Rob98] [TWZC99], las expresiones faciales [Wat87] [MTPT88] [Rob98]
[WKMMT99] y en la representación y movimiento tanto de animales [Wil95] [Wil97]
[Ng 01] como de seres humanos [CHP89] [Tur95]. Finalmente, los sistemas de
entrenamiento y simulación en cirugı́a virtual utilizan estos modelos para representar
el comportamiento fı́sico de los diferentes tejidos, músculos y órganos [BNC96]
[CDA99] [CDA00] [KÇM00].
Las técnicas que se utilizan para el modelado de las deformaciones de los objetos
varı́an desde los métodos puramente geométricos, donde se ajustan manualmente
puntos de control o parámetros para editar y manipular la forma, a métodos basados
en la mecánica de medios continuos, en la que se consideran los efectos de las
propiedades de los materiales, las fuerzas externas y las restricciones de entorno
sobre la deformación de los objetos.
Debido a la gran profusión de investigaciones en las diferentes aplicaciones,
la clasificación de las técnicas utilizadas en los modelos deformables se realiza
considerando sólo el área que es objeto de estudio en este trabajo: el modelado de las
deformaciones producidas en los órganos y, más especı́ficamente, en los músculos.
Desde este punto de vista, las técnicas matemáticas y computacionales utilizadas
para modelar los objetos deformables se suelen agrupar de acuerdo a la siguiente
clasificación:
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
141
Modelos geométricos
Modelos basados en la fı́sica
Modelos hı́bridos
5.1.1.
Modelos geométricos
Los modelos geométricos se centran en la apariencia de la deformación y se basan
en representar la forma del objeto por medio de ecuaciones geométricas. Al no
basarse en ningún principio fı́sico, el resultado final suele depender de la habilidad del
diseñador. Sin embargo, una de las ventajas que presentan los modelos geométricos
es su eficiencia computacional.
Deformaciones de Forma Libre. Las Deformaciones de Forma Libre (Free Form
Deformations - FFD) son un método general que permite deformar objetos
modificando la forma del espacio en el que se encuentra embebido dicho objeto
[SP86], en lugar de ajustar puntos de control individuales. Esta técnica se puede
aplicar a diferentes representaciones gráficas incluyendo planos, cuádricas o parches
paramétricos, tanto de manera local como global [Bar84]. El uso de las FFD permite
conseguir un buen resultado cuando se realizan deformaciones de objetos en 3
dimensiones y se animan utilizando técnicas de interpolación de las posiciones de
los puntos de control. Sin embargo, no es posible realizar determinadas acciones
como mezclas (blending) o particiones (filleting). Asimismo, la creación de contornos
curvos arbitrarios suele ser una tarea difı́cil. Para superar las limitaciones de las FFD
básicas se proponen varias ampliaciones [Coq90] [CJ91] [HHK92].
En el trabajo de Kalra et al. [KMTT92] se desarrolla un método de Deformaciones
de Forma Libre “Racionales” (RFFD) para simular la acción de los músculos de la
cara en las expresiones faciales. La ventaja de las FFD Racionales es que proveen
un mayor grado de libertad a la hora de manipular las deformaciones utilizando
y modificando pesos en los puntos de control. Cuando dichos pesos son iguales a
la unidad, las deformaciones son equivalentes a las obtenidas por medio de FFD
básicas.
En un trabajo más reciente se presenta un método multi-capa para el modelado de
deformaciones, en el que utilizan Deformaciones de Forma Libre de Dirichlet (DFFD)
para representar la capa intermedia entre el esqueleto y la piel en la simulación del
movimiento de las manos [MMT97]. Esta técnica combina las FFD tradicionales
con las técnicas de interpolación de datos dispersos basadas en la triangulación de
Delaunay y los diagramas de Dirichlet/Voronoi.
Superficies Implı́citas. En muchos casos, los modelos geométricos suelen utilizar
superficies implı́citas como “primitivas de construcción” que permiten modelar
y animar formas complejas. Las formas finales se construyen por composición
de primitivas y las superficies resultantes cambian de forma a medida que las
142
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
primitivas se mueven y deforman. La principal ventaja de este método es que se
basa en algoritmos simples y los resultados visuales que se obtienen suelen ser
buenos. Algunas superficies implı́citas como los “blobs” [Bli82], las “superficies de
convolución” [BS91] o los “objetos blandos” [WMW86] han recibido gran atención
en el campo de la Informática Gráfica.
En el caso del modelado de la musculatura humana es común utilizar superficies
implı́citas definidas por elipsoides, ya que éstos aproximan relativamente bien la
apariencia de los músculos fusiformes [SPCM97] [Wil97]. En [Wil95] se modelan
y animan animales utilizando huesos y músculos individuales, tejidos blandos y
piel. En ese caso, los músculos están representados como una combinación de tres
elipsoides (dos tendones y un músculo entre ellos). A pesar de su simplicidad,
los elipsoides no permiten representar muchas de las formas de los músculos. Por
ello, posteriormente, los mismos autores [WV97] extienden su trabajo a un modelo
basado en la anatomı́a donde los músculos se representan por medio de cilindros
deformables discretizados que yacen entre puntos fijos de orı́genes e inserciones en
huesos especı́ficos (ver figura 5.2). Considerando también un modelo basado en la
anatomı́a, en [SPCM97] los músculos se representan por medio de un conjunto de
elipsoides posicionados a lo largo de dos curvas Spline. En este trabajo la flexión y
el aumento de la musculatura se simula relacionando los grados de libertad de cada
elipsoide con los grados de libertad de las articulaciones del esqueleto subyacente.
Figura 5.2. Representación muscular por medio de un cilindro generalizado [WV97]
[Tur95] desarrolla un sistema para construir y animar caracteres tridimensionales
basándose en un modelo de capas de superficies elásticas. Los músculos se modelan
por medio de superficies implı́citas deformables (cuyas primitivas son esferas,
cilindros y superelipses) en las cuales no puede penetrar la piel. La deformación de
los músculos se simula considerando parámetros de deformación global relacionados
con los valores que toman los ángulos de las articulaciones involucradas.
También Shen [She96] implementa un modelo multi-capa similar para la
representación de huesos, músculos y tejidos blandos. En este caso utiliza esferoides
y metaballs elipsoidales [ST95] para el diseño interactivo de cuerpos humanos y la
simulación de su movimiento.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
5.1.2.
143
Modelos basados en la fı́sica
Los modelos basados en la fı́sica se basan en principios fı́sicos para obtener
apariencia realista en fenómenos fı́sicos complejos que son imposibles de modelar
mediate técnicas puramente geométricas. La simulación por medio de estos modelos
incluye la discretización geométrica y temporal de las relaciones que describen el
fenómeno fı́sico (ver figura 5.3).
Figura 5.3. Pasos de los modelos basados en la fı́sica
Modelos masa-muelle. Los modelos masa-muelle se caracterizan por representar los
objetos como una malla o colección de puntos de masa interconectados mediante
muelles y amortiguadores. En la mayor parte de las aplicaciones los muelles suelen
estar sujetos a fuerzas lineales, aunque también es posible trabajar con muelles no
lineales para representar tejidos cuyo comportamiento es inelástico. El movimiento
de cada punto de masa de la malla está gobernado por la 2a Ley de Newton y
la animación se logra integrando, en el tiempo, las ecuaciones diferenciales del
movimiento asociado a cada partı́cula elemental del sistema.
Los modelos masa-muelle se han utilizado en numerosos trabajos relacionados
con la animación facial. Platt y Badler [PB81] desarrollan uno de los primeros
trabajos en este área utilizando una versión estática de los sistemas masa-muelle.
Las acciones musculares se representan aplicando una fuerza a una región particular
de nodos, provocando ası́ un desplazamiento en los nodos adyacentes. Este trabajo
se extiende en [Wat87], donde el desplazamiento de los nodos en respuesta a las
fuerzas musculares se realiza dentro de “zonas de influencia” parametrizadas. En
[TW90] se aplican sistemas masa-muelle dinámicos para la animación facial. Para
ello se trabaja sobre una cara genérica representada por una malla de 3 capas en
la que se consideran la dermis, una capa de tejido blando subcutáneo y la capa
muscular. En trabajos posteriores estos autores generan los modelos faciales a partir
de datos provenientes imágenes médicas [WT91] [Wat92] [TW93].
Holton y Alexander simulan deformaciones viscoelásticas por medio de una
“estructura celular blanda” compuesta por un conjunto de puntos de masa y
144
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
conectores [HA95]. El sistema se utiliza para aplicaciones de cirugı́a virtual en tiempo
real y en él se prioriza la minimización del tiempo de cálculo.
También en el área de la medicina, pero en este caso para su aplicación en la
enseñanza, se utiliza un modelo masa-muelle para simular los movimientos de la
respiración humana [PBP96] [PBP97]. La superficie del objeto se define por una
malla triangular y la evolución de un objeto depende de las fuerzas (internas y
externas) que inducen el movimiento actuando sobre los puntos de masa. El método
presentado permite controlar el volumen de los objetos durante su evolución.
El sistema de simulación para entrenamiento quirúrgico KISMET, desarrollado
en [KKKN96] permite simular las deformaciones que sufren órganos y músculos
utilizando un modelo masa-muelle. A pesar de que, en principio, usan modelos
de superficies, introducen comportamiento volumétrico agregando nodos vecinos
interiores que conectan con los nodos del lado opuesto del objeto.
Más recientemente, [BMG99] desarrolla un sistema que permite, de forma
interactiva, realizar cortes en un tejido blando para la simulación quirúrgica. El
modelo masa-muelle que simula la fı́sica del sistema incluye la detección de colisiones
entre el escalpelo virtual y el tejido.
Medios continuos. Método de Elementos Finitos. El método de los elementos finitos
(FEM) trata a los objetos deformables como un medio continuo, dividiendo al objeto
en un conjunto de elementos y aproximando la ecuación de equilibrio o movimiento
sobre cada elemento. Los objetos se deforman en función de las fuerzas que actúan
sobre él y de las propiedades de los materiales que lo forman. Además, para los
problemas de animación es necesario considerar el movimiento del objeto, por lo
cual hay que incluir en el modelo los efectos de las fuerzas inerciales del cuerpo y
la disipación de la energı́a a través de las fuerzas de amortiguamiento, dependientes
de la velocidad. De este modo, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden
para el desplazamiento de los nodos y el sistema dinámico se resuelve por medio de
integración numérica.
M Ü + C U̇ + KU = F
donde M , C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del
objeto, respectivamente, F es el vector de fuerzas aplicadas y U es el vector de
desplazamientos.
La principal desventaja de este método es su alto requerimiento computacional.
Por ello, generalmente se asume que el objeto está sujeto a pequeñas deformaciones,
evitando la reevaluación de los vectores de fuerza y las matrices de rigidez, masa y
amortiguamiento a medida que el objeto se deforma.
[GTT89] aplica el FEM para modelar la interacción entre un objeto deformable
y el tejido blando que la mano de un ser humano. Dicha interacción se anima por
medio de una formulación dinámica, con elementos en 3D.
En [PRZ92] se utiliza este método para modelar la piel en un sistema de cirugı́a
plástica facial. Las superficies del cráneo y la piel se extraen de imágenes CT, y sólo
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
145
se visualizan dichas superficies, reduciendo considerablemente el número de nodos a
tratar. El sistema resuelve las ecuaciones de equilibrio del problema elástico lineal
utilizando un método estático basado en desplazamientos. En [KGPG96] también se
desarrolla un método de elementos finitos para modelar el tejido facial considerando
sólo caso estático. A pesar de que el artı́culo explica la teorı́a para el desarrollo del
caso no lineal, sólo se presentan resultados de la implementación lineal.
En los trabajos presentados por Bro-Nielsen y Cotin [BNC96] se aplican
elementos finitos para modelar las deformaciones del tejido humano durante
simulaciones quirúrgicas. Para obtener resultados en tiempo real utiliza la técnica de
“condensación”, que comprime las matrices del sistema volumétrico reduciéndolo a
un sistema de superficies. Sin embargo es difı́cil obtener una alta calidad de imagen
a la resolución que trabajan. Los métodos utilizados por estos autores en diversos
trabajos [BN96] [CDA99] mejoran la velocidad pero a costa de un pre-procesamiento
considerable y reduciendo la flexibilidad de aquellos objetos cuya forma o topologı́a
cambian significativamente.
Para simular las deformaciones musculares en [ZCK98] se presenta un modelo
basado en voxels que permite, por medio de elementos finitos, la resolución estática
y dinámica del sistema. La malla de voxels se construye de manera jerárquica,
permitiendo aproximaciones volumétricas del músculo a diferentes resoluciones.
Sin embargo, cuando es necesario obtener formas suaves el número de voxels se
incrementa y los requerimientos computacionales se convierten en prohibitivos. Los
datos de los músculos se obtienen del Visible Human Project [Vis].
Kühnapfel et al. extienden el trabajo realizado en el simulador quirúrgico
KISMET, para que permita realizar simulaciones de cortes, suturas, aplicación de
clips, irrigación del área de operación, etc. Las deformaciones en este caso se modelan
por medio de un sistema de elementos finitos optimizado, usando condensación
[KÇM00]. La visualización en tiempo real de los volúmenes se logra en base a
texturas.
Modelos continuos aproximados. A pesar de que los modelos aproximados
también son continuos, no se basan estrictamente en las leyes fı́sicas como los
métodos de elementos finitos descritos anteriormente. Estos modelos se denominan
aproximados porque ciertas cantidades fı́sicas, particularmente la energı́a de
deformación, se formulan para conseguir algoritmos eficientes o para lograr efectos
determinados.
Uno de los métodos basado en la fı́sica más conocidos en animación por
computador para la simulación de deformaciones fue propuesto en 1987 por
Terzopoulos et al. [TPBF87]. En su trabajo, plantea el uso de un modelo continuo
para la energı́a potencial debida a la deformación del objeto. Este modelo se
basa en el cálculo de formas fundamentales que representan la deformación de un
objeto y que se calculan en cada punto aproximando por diferencias finitas, técnica
ampliamente utilizada en la discretización de modelos continuos. A diferencia del
146
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
modelo masa-muelle, este método se utiliza para calcular las fuerzas internas. En
trabajos posteriores, se generaliza la técnica anterior para simular el comportamiento
de modelos inelásticos como la viscoelasticidad, la plasticidad y la fractura [TF88b]
[TF88a]. Esto se logra utilizando modelos más elaborados para las fuerzas internas
que resultan de la deformación, dependiendo del comportamiento del material que se
esté tratando. El modelo es fundamentalmente dinámico y contempla la aplicación
de fuerzas, restricciones y detección de obstáculos. Las simulaciones se realizan
por resolución numérica de las ecuaciones diferenciales subyacentes, pero sólo se
obtiene tiempo real para objetos muy simples. En [DDCB01] se aplica el modelo
de aproximación de medios continuos de [TPBF87], pero utilizando resolución
adaptativa de espacio y tiempo [DDBC99] para conseguir tiempo real. Este modelo
permite la animación de objetos deformables viscoelásticos en aplicaciones de
simulación quirúrgica, como la laparoscopia del hı́gado.
Otro método desarrollado en el área de los modelos continuos aproximados son
los “snakes”, introducidos para resolver problemas de visión por ordenador y
análisis de imagen [KWT88]. Los snakes son curvas deformables que responden a
las fuerzas internas del sistema y minimizan una función de energı́a interna. Para
su resolución numérica se discretizan en un conjunto de puntos a lo largo de la
curva parametrizada. La deformación se simula utilizando técnicas de integración
que minimizan la energı́a total. Las derivadas en la ecuación de la energı́a se
calculan utilizando diferencias finitas. En [CC93] se extiende el trabajo de [KWT88]
a 3 dimensiones, utilizando una superficie deformable cilı́ndrica para segmentar
imágenes médicas del corazón obtenidas por resonancia magnética. En el artı́culo, se
presentan dos modos de resolver el problema de minimización de la superficie en 3D,
definiéndola como series de curvas planares en 2D. Sin embargo, finalmente se elige
el modelo de resolución de elementos finitos sobre el de diferencias finitas debido a
su estabilidad y velocidad de convergencia.
Basándose en los mismos conceptos, [Whi94] introduce los modelos deformables
volumétricos, denominados active blobs en el trabajo, para su utilización en
segmentación y visualización de una cabeza humana con un tumor, a partir de
datos provenientes de MRI y ultrasonido.
También en los trabajos de [BN94] [BN95] se generalizan los snakes 2D a modelos
volumétricos, pero en este caso el objetivo no es sólo segmentar y modelar, sino
también simular las deformaciones en operaciones virtuales. En [BN95] se propone
un método para modelar tejido humano por medio de cubos activos o modelos
sólidos activos en 3D. Mediante estos cubos activos se modela la estructura y forma
del objeto mientras que para cuantificar la forma de referencia con su deformación
se utiliza un tensor métrico. Este método se utiliza para la simulación quirúrgica
craneofacial.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
5.1.3.
147
Modelos hı́bridos
Sin embargo, algunos autores apuestan por modelos hı́bridos que permitan
incorporar ventajas de diferentes técnicas. A continuación se exponen algunos
trabajos basados en técnicas hı́bridas.
En [CZ92] se propone un método para simular la geometrı́a y las propiedades
del tejido muscular por medio de elementos finitos, modelando los músculos como
materiales homogéneos, lineales e isótropos. Para simplificar el análisis de elementos
finitos, el método se aplica sobre una caja prismática que incluye al objeto y la
deformación resultante se proyecta en el músculo siguiendo el principio de las FFD.
Para mostrar el resultado de la simulación utiliza un modelo anatómico del biceps
humano, donde se observa que la activación del músculo produce un acortamiento
del biceps (ver figura 5.4). Lamentablemente, en el modelo sólo es posible trabajar
con un solo músculo, de manera aislada. Y debido a las limitaciones computacionales
en esos momentos, se utilizan muy pocos elementos para la simulación.
Figura 5.4. Deformación de los biceps [CZ92]
[CDA00] presentan tres métodos para modelar tejidos blandos basándose en
elasticidad lineal. El primer método se basa en FEM cuasi-estático con deformaciones
precalculadas pero no permite realizar cambios de topologı́a en las mallas. El segundo
modelo, denominado “tensor-masa”, se basa en la teorı́a de medios continuos pero
permite simular la dinámica de los tejidos blandos de manera similar a los modelos
masa-muelle, considerando la fuerza elástica aplicada a un nodo y permitiendo
representar cortes y cambios en la topologı́a de las mallas. Finalmente se propone
un modelo hı́brido que combina las dos técnicas anteriores para su utilización en la
simulación quirúrgica. En el modelo se definen dos tipos de estructuras anatómicas
diferentes. Aquellas estructuras sujetas al procedimiento quirúrgico y, por lo tanto,
sujetas a cambios en su topologı́a se modelan por medio del “tensor-masa”, mientras
que aquellas que sólo se visualizan o deforman se modelan por medio del primer
método.
Más recientemente, en [TBNF03] se presenta un método denominado “Método
de Volúmenes Finitos” (FVM) que utiliza la técnica de elementos finitos, pero
basándose en un entorno geométrico en lugar de variacional. El FVM permite
148
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
integrar las ecuaciones de movimiento de forma geométrica, compitiendo en
simplicidad con los modelos masa-muelle. Pero a diferencia de éstos, permite
incorporar un modelo constitutivo arbitrario. De hecho, para simular los tejidos
contráctiles de los músculos se utiliza un modelo constitutivo hiperelástico,
transversalmente isótropo y casi incompresible.
5.1.4.
Reflexiones
En base al estudio presentado sobre los distintos métodos de representar las
deformaciones de los músculos, se infiere que para realizar simulaciones que permitan
obtener calidad, hay que utilizar métodos basados en la fı́sica. De éstos, se ha optado
por el método de Elementos Finitos ya que permiten modelar perfectamente las
deformaciones locales, la distribución de fuerzas internas a las que está sometido un
músculo, y su movimiento, además, de permitir representar el interior de los objetos
mediante el mallado volumétrico de los músculos.
A pesar de que este método presenta algunas desventajas como su elevado coste
computacional cuando se trabajan sistemas no lineales y grandes deformaciones,
o que es necesario mallar los músculos cuyas geometrı́as no son sencillas, es
posible realizar ciertas “simplificaciones” que permitan evitar la re-evaluación de las
matrices y que reduzcan los tiempos de cálculo. Por lo tanto, el método de elementos
finitos es la técnica de modelado que mejor responde a los objetivos generales de esta
tesis: realismo en el movimiento y en la forma, y es la que se opta por implementar
como modelo básico de cálculo de deformaciones musculares del sistema MOBiL.
5.2.
Fuerzas y acciones musculares en la locomoción
En las dos ultimas décadas, se han desarrollados numerosas técnicas
experimentales y analı́ticas para medir y estimar las fuerzas a las que están sometidas
las estructuras biológicas. Estas fuerzas pueden ser internas, como las fuerzas
resultantes de la actividad muscular o la fuerza generada por el estiramiento de
tejidos blandos, o pueden ser externas, como las fuerzas de reacción del suelo, fuerzas
generadas por otras personas o cuerpos, etc.
El conocimiento de la magnitud y el tipo de cargas o fuerzas a las que están
sometidas las articulaciones y los músculos es de gran importancia para prevención
de daños durante las diferentes actividades y, particularmente, en los deportes.
Asimismo, el cálculo de las fuerzas de las articulaciones y de los músculos internos
ofrece información importante a la hora de diseñar implantes, en cirugı́a o en
programas de rehabilitación.
Algunas de las fuerzas se pueden medir por medio de técnicas experimentales,
pero como hay determinados datos imposibles de hallar por medio de estas técnicas,
es necesario estimar el resto de las fuerzas, como las que se producen en los músculos
y las articulaciones.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
149
A continuación, en primer lugar, se describen los valores de fuerzas que es posible
obtener sobre la locomoción humana con determinados métodos experimentales, y
posteriormente, se presenta el estudio de la actividad funcional de los músculos
durante la locomoción.
5.2.1.
Métodos experimentales de obtención de fuerzas musculares
Existen varios métodos que permiten medir las fuerzas experimentadas por las
estructuras biológicas. Estos métodos se pueden clasificar según se midan: (1)
las fuerzas externas directamente, (2) las fuerzas internas a partir de señales de
electromiografı́a, o (3) las fuerzas internas directamente.
Medición de fuerzas externas. La forma más simple de obtener las fuerzas que ejerce un
cuerpo es por medio de mediciones externas, registrando las fuerzas que se producen
en puntos de contacto entre el cuerpo y el entorno.
Entre los dispositivos más comunes se encuentran las plataformas de fuerza, que
permiten medir las fuerzas de reacción del suelo (Ground Reaction Forces - GRF )
cuando una persona permanece de pie, camina o corre sobre la plataforma [Whi03].
Estos dispositivos proveen medidas cuantificadas de la fuerza resultante de reacción
del suelo y del momento resultante en una articulación dada. Lamentablemente,
se ha demostrado que estas medidas no se puede utilizar directamente para el
análisis de los momentos de fuerzas en las articulaciones [Win90]. Sin embargo,
como la trayectoria del centro de masas está determinado por la historia de la fuerza
resultante de reacción del suelo, éste es un indicador importante en los estudios de
patologı́as de la locomoción [AP03].
Otras medidas cuantitativas como el centro de presión o la distribución de la
presión que ejerce la planta de pie en contacto con el suelo, se pueden obtener
mediante plataformas de presión [AB76] [Arc90] o zapatos de presión [HM95].
La ventaja de estos dispositivos es que permiten trabajar con la totalidad del área
de contacto del pie.
Las plataformas de vidrio (glass plates) permiten obtener información sobre las
fuerzas ejercidas por el cuerpo, con la ayuda de espejos o con una cámara de vı́deo
que permite grabar el reflejo de un haz de luz cuando el pie se apoya en el vidrio
[Whi03].
Lamentablemente, los datos obtenidos por cualquiera de los dispositivos citados
previamente proveen muy poca información acerca de los mecanismos internos
del cuerpo. En cambio, los dinamómetros isocinéticos [TE01] permiten medir
momentos musculares, trabajo, potencia y la velocidad y la resistencia en un
movimiento, detectando contracciones concéntricas y excéntricas del músculo. Pero,
desafortunadamente estos dispositivos son muy grandes, y tienen una desventaja
importante: para tomar medidas es necesario que la persona esté ubicada de una
manera especı́fica dentro de la máquina, en una posición estática. Por lo tanto, es
150
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
imposible registrar información acerca de determinados movimientos como caminar,
correr, saltar, etc.
Predicción de fuerzas a partir de electromiografı́a. La electromiografı́a (EMG)
es una técnica que permite medir y grabar las señales eléctricas asociadas a una
contracción muscular [Hof84], insertando electrodos directamente en el músculo o
ubicando dichos electrodos en la superficie de la piel, sobre el músculo. Los electrodos
recogen las diferencias de potencial eléctrico del músculo y después pasan por un
amplificador para poder visualizarlas en la pantalla de un osciloscopio. El tamaño,
la forma de la onda y el número de fases otorgan información sobre la capacidad
del músculo de responder al estı́mulo nervioso. De este modo, es posible saber si un
músculo está activo y la duración de dicha actividad [Kom73]. Sin embargo, existen
muchas variables que pueden influir en la señal en un momento dado: la velocidad de
acortamiento o estiramiento del músculo, la fatiga, la actividad refleja, etc. [Win90].
Asimismo, se ha comprobado que, desafortunadamente, la relación entre las señales
EMG y la fuerza muscular es extremadamente compleja [KBHZ98].
La simplicidad y el bajo coste del EMG motivan el uso de este tipo de métodos.
Sin embargo, el método no es tan simple cuando se trata de obtener valores de
músculos internos. Y, por otra parte, se ha comprobado que la relación entre las
señales EMG y la fuerza muscular es extremadamente compleja [KBHZ98] ya que
puede estar altamente influenciada por el entorno donde se ha puesto la aguja.
Todos los métodos se suelen combinar con los métodos de captura de datos
cinemáticos, como goniómetros, acelerómetros, cámaras sincronizadas de vı́deo,
fluoroscopı́a [KKM+ 03], . . . para lograr un análisis completo de la actividad muscular
durante determinados movimientos del cuerpo humano.
Medición directa de las fuerzas internas. La mejor manera de obtener las fuerzas
producidas por los músculos o ejercidas en los huesos, es incorporando un transductor
directamente a la estructura anatómica. Esta técnica permite obtener las fuerzas
implantando el transductor quirúrgicamente, ya sea en los huesos, para identificar
movimientos del sistema esqueletal, como en los tendones, para comprobar la fuerza
que ejerce un músculo determinado. Sin embargo, esta técnica sólo tiene aplicación
en experimentos con animales, y aún ası́, sólo en casos limitados [Win90]. De hecho,
no hay sensores comerciales con estas caracterı́sticas, tanto por los impedimentos
“éticos” como debido a la dificultad técnica de desarrollar sistemas fiables y exactos.
En el futuro, la microtecnologı́a probablemente superará estos obstáculos, pero por
el momento obtener información por este método es prácticamente inviable [TE01].
5.2.2.
Análisis funcional de las acciones musculares durante la locomoción
Durante la locomoción humana intervienen gran parte de los músculos
esqueléticos, los cuales constituyen aproximadamente el 40 % del peso total del
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
151
cuerpo de una persona. Pero no sólo los músculos de las piernas están activos...
La columna vertebral está especialmente desarrollada para servir como soporte a la
parte superior del cuerpo, permitir la movilidad y proteger a la espina dorsal. Para
mantener la postura erecta de la columna, los músculos posturales están contraı́dos
permanentemente durante la locomoción. El centro de gravedad de la parte superior
del cuerpo humano se encuentra delante de la columna vertebral, por lo que también
los músculos de la espalda están activos, para evitar la inclinación de cabeza y
hombros. El peso del tronco y de las extremidades superiores se concentra en un
punto un poco por delante de la articulación de la cadera, por lo que los músculos
de las nalgas suelen estar activos, dependiendo del momento del ciclo de locomoción.
Los músculos que más participación tienen en este proceso pertenecen a la pelvis y
a las extremidades inferiores, y se pueden observar en la figura 5.5.
(a) Vista Anterior
(b) Vista Posterior
Figura 5.5. Músculos de la pierna
El análisis completo de la actuación de los músculos durante las diferentes fases
de la locomoción humana se detalla en el Apéndice B. Las fases se corresponden con
las fases cinemáticas previamente descritas en el capı́tulo 4.
A modo de resumen, se presenta de manera gráfica la actividad de los principales
grupos musculares que intervienen en la locomoción, atendiendo a las diferentes
zonas en las que actúan.
En la figura 5.6 se presentan los grupos que actúan en la parte inferior de la
pierna: grupo pretibial y grupo trı́ceps sural. El grupo pretibial está formado por:
músculo tibial anterior, extensor largo del dedo gordo, extensor largo de los dedos
y tercer peróneo. El grupo trı́ceps sural está formado por el gastrocnemio, el sóleo
y el delgado plantar.
152
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Figura 5.6. Actividad muscular en la parte inferior de la pierna
En la figura 5.7 se presentan los grupos que actúan en la parte superior de la
pierna, y corresponden al muslo: grupo de los isquiotibiales y grupo cuádriceps. El
grupo isquiotibial está formado por el biceps femoral corto, el biceps femoral largo, el
semimembranoso y el semitendinoso. Mientras que el grupo cuádriceps está formado
por el recto anterior, el vasto medio, el vasto lateral y el vasto intermedio.
Figura 5.7. Actividad muscular en la parte superior de la pierna (muslo)
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
5.3.
153
Descripción del sistema de deformación local del músculo
Es objetivo de este trabajo conseguir coordinación del movimiento general del
cuerpo con el cambio local de forma de los músculos, de forma que se obtenga
una animación global, donde la forma y el movimiento se asemeje a la forma y
movimiento del cuerpo humano durante la locomoción.
La actividad muscular en la locomoción es un fenómeno bastante estudiado, y
aunque existen modelos adecuados para describir tanto la magnitud como la lı́nea
de acción de cada uno de los músculos, casi no es posible encontrar sistemas que
aúnen movimiento global con deformación local. Para conseguirlo, en MOBiL se ha
introducido actividad muscular en el modelo esqueletal desarrollado previamente,
constituyendo ası́ la fase músculo-esqueletal del sistema.
Las condiciones de partida de esta fase son los momentos de fuerza netos de las
articulaciones principales (cadera, rodilla y tobillo) calculados al final del capı́tulo
anterior. A partir de dichos datos, se encadenan dos modelos de trabajo: un primer
modelo, denominado de lı́neas de acción muscular que se engarza con el modelo
de Elementos Finitos final. El primero es un modelo de bajo nivel necesario para
condicionar adecuadamente al segundo.
A nivel global la secuencia de trabajo que se sigue en la fase músculo-esqueletal
del sistema MOBiL es la siguiente:
Definición de la geometrı́a del modelo músculo-esqueletal.
Cálculo de las fuerzas musculares utilizando de forma analı́tica un modelo basado
en lı́neas de acción musculares, como paso previo a la distribución de fuerzas
entre los músculos de una misma articulación. Estos valores de fuerza son los que
se utilizan como valores de entrada en un modelo de elementos finitos (FEM)
muscular.
Simulación individual de la deformación volumétrica mediante FEM de los
principales músculos de las extremidades. inferiores que se encuentran activos
durante la locomoción humana.
Integración del modelo FEM en el movimiento esqueletal mediante las lı́neas de
acción muscular previamente definidas. De esta forma la deformación muscular
tiene una apariencia realista y está coordinada con el movimiento de las piernas.
En estos dos modelos músculo-esqueletales del sistema MOBiL se utilizan de
grupos musculares para aunar la acción similar de varios músculos individuales.
Es una simplificación ampliamente aceptada en la literatura que beneficia a la
representación final del movimiento ya que permite modelar a un conjunto de
músculos como un único objeto, aunque presente una forma compleja. La agrupación
de varios músculos no aumenta la complejidad del modelo, ya que sólo aumenta la
cantidad de puntos de inserción de los músculos en los huesos, pero incluso algunos
músculos individuales presentan varios orı́genes o varias inserciones.
154
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
5.4.
Modelo basado en lı́neas de acción: Introducción de músculos
en el modelo esqueletal
Muchos investigadores asumen que para cuantificar mecánicamente la fuerza
producida sobre un hueso, es posible representar los músculos por medio de lı́neas
que unan el origen con la inserción [SA73] [CJA78] [BCW+ 82]. Esta opción, aunque
en algunos casos es una simplificación excesiva, facilita la descripción analı́tica del
modelo. Un ejemplo de esta inexactitud, se produce en los casos en que un músculo
se une a un hueso por medio de una superficie. Aunque la superficie sea reducida,
no es lo mismo trabajar con un área de superficie que unir el músculo al hueso por
medio de puntos.
Los cambios en la dirección de la acción muscular se representan o bien por medio
de segmentos lineales a trozos, con restricciones intermedias en los ángulos de las
articulaciones [DLH+ 90], o utilizando secciones rectas y curvilı́neas para modelar
los músculos [FP78] [PM83].
Otra aproximación se basa en el uso de curvas centroides, que se construyen
interpolando una curva a través de los centroides estimados en varias secciones
transversales del músculo [JD75]. [Pie95] representa cada músculo con una lı́nea
o curva 3D que conecta el centroide de su área de origen con el centroide de su
área de inserción. A pesar que la curva centroide visualmente parece seguir mejor la
forma del músculo, la aproximación por segmentos lineales suele ser aceptable para
el modelado fı́sico [Ng 01].
Los modelos de lı́neas de acción muscular se suelen utilizar para facilitar
la resolución de uno de los problemas más complicados de la Biomecánica, la
distribución de las fuerzas musculares en las articulaciones.
5.4.1.
Distribución de fuerzas musculares en las articulaciones
Como se ha comentado en el capı́tulo anterior, las técnicas experimentales
presentan dificultades para obtener datos acerca de las fuerzas de músculos y
articulaciones, por lo que es necesario trabajar con métodos matemáticos que
permitan calcular las fuerzas indirectamente a partir de los datos cinemáticos, las
fuerzas externas y los datos antropométricos disponibles.
Siguiendo el esquema que se exhibe en 5.8 [AKC95] se observa que es posible
calcular la fuerza muscular a partir de los datos calculados de las fuerzas y momentos
resultantes entre los segmentos.
El cálculo se basa en el concepto de equilibrio, planteando las siguientes ecuaciones:
Fm + Fj
Fl =
Ml =
Mm + Mj
donde Fl y Ml corresponden, respectivamente, a la fuerza y al momento resultantes
calculados entre segmentos, Fm es la fuerza muscular, Fj la fuerza restringida en la
articulación y Mj el momento restringido en la articulación.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
155
Figura 5.8. Determinación analı́tica de las fuerzas musculares y articulares, adaptado de [AKC95]
La división de estas fuerzas y momentos resultantes generalmente recibe el nombre
del problema de distribución de las fuerzas [ACK91]. Desafortunadamente,
el número de variables desconocidas de las fuerzas musculares y las fuerzas y
momentos articulares, usualmente excede el número de ecuaciones disponibles. Esto
sucede, en primer lugar, debido a la naturaleza redundante de las estructuras
anatómicas: existen múltiples músculos que pueden ejecutar funciones sinérgicas.
Matemáticamente, esto produce un problema indeterminado que no tiene una
solución única ya que el número de músculos, ligamentos y regiones de contacto
articular que transmiten las fuerzas generalmente excede el número mı́nimo de
ecuaciones. La diferencia entre el número de variables desconocidas y el número de
ecuaciones representa el grado de redundancia, el cual puede reducirse introduciendo
ecuaciones restringidas o bien reduciendo el número de variables desconocidas.
Método de reducción: El objetivo del método de reducción es disminuir el grado
de redundancia hasta que el número de fuerzas desconocidas (incógnitas) sea
igual al número de ecuaciones. Para ello, es posible: 1) reducir el número
de ecuaciones agrupando músculos con funciones similares o utilizando datos
electromiográficos para eliminar músculos inactivos, o 2) incrementar el número
de ecuaciones, asumiendo una fuerza de distribución entre músculos en base a
consideraciones anatómicas, como el área de sección transversal (ASTF) o en
base a medidas cuantitativas de EMG.
El método de reducción se ha utilizado para resolver el problema de la
distribución de fuerzas desde los años ’60. [Pau67] describe la predicción de
156
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
las fuerzas de los músculos con respecto a la cadera, combinando los músculos
en grupos funcionales, y considerando únicamente músculos agonistas. [Mor70]
aplica este método para el estudio de la articulación de la rodilla y obtiene
como resultado que la fuerza máxima que se ejerce en la articulación durante la
locomoción se encuentra entre 2 y 4 veces el peso del cuerpo. A partir de estos
trabajos, esta técnica ha sido ampliamente utilizada debido a su simplicidad
y a su capacidad de ofrecer datos cuantitativos [AKC95]. Sin embargo, las
simplificaciones anatómicas que conlleva este método pueden inducir a errores
en el comportamiento mecánico global.
Métodos de optimización: Un método alternativo para resolver el problema de
distribución consiste en hallar una solución óptima, formulando una función
objetivo con respecto al sistema de ecuaciones y utilizando una técnica de
optimización matemática. La función objetivo provee la base para la comparación
de soluciones candidatas, mientras que la “mejor” solución se obtiene mediante
un algoritmo de optimización.
La aproximación por optimización se basa en calcular las fuerzas musculares
de acuerdo a propiedades mecánicas, energéticas y fisiológicas durante las
actividades motoras, mientras que el control neurológico de la acción de los
músculos se gobierna por ciertos criterios fisiológicos que garantizan acciones
“eficientes”. La función objetivo corresponde a esos criterios fisiológicos.
La formulación de este método se puede describir del siguiente modo:
Minimizar
(5.1)
J = f (x1 , x2 , ..., xn )
sujeto a
gj (x1 , ..., xn ) = 0
(j = 1, ..., m)
(5.2)
y
0 ≤ x i ≤ Ui
(i = 1, ..., n)
(5.3)
donde J es el criterio de optimización, g representa las ecuaciones de movimiento
y restricciones de igualdad, mientras que xi corresponde a las variables
independientes, que son las incógnitas de las fuerzas de músculos y articulaciones.
Estas últimas variables también pueden estar sujetas a restricciones de
desigualdad.
La optimización estática es uno de los métodos que más se han utilizado en
biomecánica para la estimación de fuerzas musculares durante la locomoción
debido, principalmente a su rapidez [SA75] [Cro78] [PBD97]. En la optimización
dinámica la función objetivo es dependiente del tiempo, y el problema se
puede formular independientemente de los datos experimentales, pero el método
demanda un alto coste computacional [YMS95] [AZPW95] [AP01].
Las propiedades mecánicas del músculo se pueden caracterizar por medio de
modelos dinámicos del funcionamiento muscular. Entre los trabajos en esta lı́nea
destacan, por ser los más conocidos, los de Hill y Zajac [Fun93] [CZ92]. Hill
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
157
postula que la fuerza ejercida por el músculo se decrementa en la medida en que
la velocidad de acortamiento crece. Su modelo se basa en un sistema de muelles
y amortiguadores, cuyas constantes dependen de parámetros morfológicos y por
un patrón básico de descripción de fuerza frente al tiempo que incluye la diferencia
entre comportamientos experimentales del músculo en estado pasivo y bajo estı́mulo.
Zajac refina el modelo anterior, proponiendo un modelo complejo de la actuación
conjunta de un elemento compuesto de músculo y tendón, en el que se tiene en
cuenta el efecto del ángulo de pennation. Estos modelos se pueden aplicar a todos
los músculos aunque están especialmente concebidos para los músculos esqueléticos.
5.4.2.
MOBiL: Implementación del modelo de lı́neas de acción muscular
En la figura 5.9 se presenta la secuenciación de esta fase en la estructura general
de MOBiL.
Figura 5.9. Integración del módulo de lı́neas de acción de la fase músculo-esqueletal en MOBiL
En MOBiL el modelo músculo-esqueletal basado en lı́neas de acción musculares es
extremadamente simple y se utiliza en dos instantes de la secuencia de trabajo: antes
del cálculo por FEM para obtener de forma analı́tica las ecuaciones del problema
dinámico y calcular los valores de fuerza que inicializan este método; y después del
cálculo por FEM, para integrar de los resultados de deformación en el movimiento
global de locomoción. Algunas de las simplificaciones que caracterizan al modelo de
lı́neas de acción muscular son:
158
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Ser bidimensional, ya que la locomoción y los movimientos musculares de
contracción están restringidos al plano sagital.
Estar formado únicamente por cuatro segmentos (cadera, fémur, tibia y pie) y
tres articulaciones (cadera, rodilla y tobillo).
Utilizar el método de reducción por agrupamiento de músculos que desarrollan
la misma acción como método de distribución de fuerzas en las articulaciones.
Configurar cada agrupamiento muscular como un único músculo con varias lı́neas
de acción e inserciones. Si alguna de las lı́neas de acción es biarticular, en el
modelo se conserva.
Presentar lı́neas de acción rectas cuya dirección se marca en cada instante por
los puntos origen y de inserción, aunque en el caso del cuádriceps se incluye
una lı́nea de acción “especial” para simular el tendón rotuliano y el conjunto
rótula-ligamentos de la rodilla [Pie95].
Mantener invariables los puntos de inserción y origen respecto a los segmentos
del cuerpo al que se fijan.
Para obtener el modelo de lı́neas de acción muscular se sigue la siguiente secuencia
de acciones:
Definición de la geometrı́a del modelo músculo-esqueletal a partir de valores
antropométricos de músculos y segmentos. Unión de los músculos con la misma
actividad y efecto en “grupos musculares”. Aproximación de cada grupo muscular
por una única recta que represente la lı́nea de acción muscular y cuyos extremos
se calculan en los centroides de los puntos origen e inserción de cada uno de los
músculos.
Distribución de fuerzas entre los grupos musculares de una misma articulación,
introduciendo los periodos de activación muscular y compensando las fuerzas de
los grupos musculares antagonistas.
Cálculo de la fuerza de cada músculo mediante el cálculo de su par y la
contribución al momento de fuerza neto de la articulación.
Definición de la geometrı́a del modelo músculo-esqueletal. Aunque, ya se ha descrito
previamente las caracterı́sticas de la capa muscular del modelo del cuerpo humano
propuesto en MOBiL, es conveniente recordar que se ha hecho extrapolando los
valores tabulados de las dimensiones y las coordenadas relativas de segmentos,
puntos de origen y puntos de inserción muscular a la altura y masa corporal de
nuestro sistema.
Una vez redimensionados todos los músculos, se han escogido sólo aquellos que
tiene especial importancia en el movimiento de la locomoción en el plano de marcha
(ver gráfica 5.10). Todos ellos se han unido en diferentes grupos según su periodo de
actividad y los efectos que producen en la locomoción. El estudio desarrollado en la
sección 5.2.2 permite formar grupos musculares, tal como se hace en numerosos
trabajos de la literatura [Pau67] [Mor70] [FN80] [Whi03] [ZNK02] [ZNK03].
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
159
Figura 5.10. Modelo de lı́neas de acción muscular de una pierna
Los grupos considerados son los correspondientes a la parte anterior y posterior
del muslo y a la parte posterior de la pantorrilla. La descripción de estos grupos se
detalla a continuación:
Grupo Cuádriceps (parte anterior del muslo): recto anterior, vasto medio, vasto
lateral y vasto intermedio.
Grupo Isquiotibiales (parte posterior del muslo): biceps femoral corto, biceps
femoral largo, semimembranoso y semitendinoso.
Grupo Trı́ceps Sural (parte posterior de la pantorrilla): gastrocnemio, sóleo y
delgado plantar.
El volumen y dimensión final de cada grupo muscular se obtiene mediante la unión
de todos los músculos que lo componen. Su funcionamiento conjunto se aproxima
mediante una única lı́nea recta de acción muscular, cuyos extremos se calculan de
la siguiente forma: el punto de origen es el centroide de todos los puntos origen
de los músculos que forman el grupo, ponderando el cálculo de sus coordenadas
según la sección fisiológica de cada grupo de fibras. Es decir el sistema supone que
la fuerza resultante de todas las fibras unidas está repartida de forma proporcional
a su “capacidad de contracción”. El punto de inserción común se calcula de igual
forma.
En la figura 5.11 se presenta el modelo de lı́neas de acción de la cadera en el que
se pueden observar los puntos origen de dos grupos musculares antagonistas: los
isquiotibiales y los cuádriceps.
160
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Figura 5.11. Diagrama de fuerzas musculares en la articulación de la cadera
Para ilustrar el funcionamiento del sistema MOBiL se han escogido los
isquiotibiales en primer lugar por ser uno de los grupos musculares que producen
cambios visibles en la anatomı́a durante la marcha.
Distribución de Fuerzas. Una vez elegido un grupo muscular, se debe resolver el
problema de la distribución de fuerzas en la articulación que atraviesa. El propio
hecho de agrupar los músculos ya es una primera simplificación por reducción, ya que
la distribución según fuerzas de músculos individuales es una tarea muy complicada
debido a la redundancia.
En este caso el grupo muscular de referencia elegido para obtener la fuerza (los
isquiotibiales) es un grupo biarticular. Por lo tanto, de las dos posibles articulaciones
que atraviesa, se ha elegido para trabajar la cadera frente a la rodilla.
En primer lugar es necesario analizar el resto de fuerzas que actúan en esa
articulación. Durante la misma fase de la locomoción hay al menos un grupo
muscular, los glúteos, que ayudan a evitar la flexión de la cadera, tal y como
hacen los isquiotibiales. Y existe al menos otro grupo muscular antagonista, los
cuádriceps, que desarrollan la actividad contraria. Por lo tanto, suponiendo que no
hay ni fuerzas en los ligamentos ni fuerzas de contacto entre la pelvis y el fémur,
según la ecuación 5.1 se tienen dos ecuaciones pero tres incógnitas, por lo que se
debe seguir avanzando en la resolución del problema de distribución de fuerzas. Para
resolver la indeterminación que se produce se recurre de nuevo al conocimiento sobre
la biomecánica de la locomoción y se introducen periodos de activación muscular
provenientes de EMG. En la gráfica 5.12 se observa que, durante la fase de apoyo,
la acción de los glúteos y los cuádriceps se produce casi en el mismo periodo de
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
161
tiempo y presenta un máximo en el momento en que desaparece la actividad de los
isquiotibiales (denominados hamstrings en la figura). La actividad en el comienzo de
la fase es por contra, máxima para los isquiotibiales y mucho menor para los otros
grupos. Se delimitan entonces tres periodos de tiempo en los que se diferencian
distintas distribuciones de fuerza:
Un primer periodo, que va desde el apoyo de talon (IC) hasta el comienzo del
apoyo medio (OT) en el que actúan los tres grupos musculares, aunque dos en
crecimiento y otro en disminución.
Un segundo periodo, que transcurre aproximadamente durante todo el apoyo
medio (Midstance), en el que sólo dos grupos musculares están activos, por lo
que es factible resolver las ecuaciones directamente.
Y un último periodo, desde el final del apoyo medio (HR) hasta el final de la fase
de apoyo en el que son otras las fuerzas (no sólo musculares) las que dan soporte
al movimiento.
Figura 5.12. Diagrama de actividad de los principales grupos musculares en la marcha
162
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Es en el primer periodo de tiempo en el que es necesario resolver la
indeterminación, para lo que se ha planteado el siguiente método, basado otra vez
en datos experimentales:
En el instante inicial de tiempo se calcula la fuerza muscular del isquiotibial a
partir del par y del momento de fuerza neto de la cadera como si fuera el único
grupo activo -fuerza resultante global- (los otros dos grupos se compensarı́an
entre sı́). No se utiliza la ecuación de la fuerza neta porque la aportación de las
fuerzas “hueso a hueso” en esta fase es importante y desconocida.
Como los isquiotibiales son el grupo muscular que acorta mas rápidamente su
actividad se ha optado por construir una curva decreciente cuyo máximo es el
valor inicial obtenido en el punto anterior y el mı́nimo es el cero que se produce
en el instante inicial del apoyo medio, transcurridos un diez por ciento del ciclo
aproximadamente.
Una vez conocida esta fuerza el resto se calculan directamente a partir de las
ecuaciones de equilibrio 5.1.
Estimación de las fuerzas a partir de los momentos. La forma más simple de la
ecuación de equilibrio que domina el cálculo de la fuerza muscular es la que se
muestra a continuación 5.4 y corresponde a una única acción muscular en el plano
de marcha.
Fmusc = M/d sin(α)
(5.4)
donde M es el módulo del momento resultante de la articulación (dirección
perpendicular al plano de marcha), Fmusc es el módulo de la fuerza muscular, d
el brazo del par, que se mide desde el punto de giro de la articulación hasta el punto
en el que se produce la fuerza y α es el ángulo formado entre la dirección del brazo
y la dirección de la fuerza.
Como ejemplo, en la gráfica 5.13 se puede observar la fuerza resultante global en la
articulación de la cadera a partir de los isquiotibiales y el patrón de fuerza muscular
final obtenido con una variación más simplificada del método anterior en la que se
elimina completamente la acción de los cuádriceps.
Al observar la magnitud y la forma de las fuerza musculares que intervienen
en cada articulación, es posible corroborar que la magnitud es considerablemente
grande (entre 500 y 2000 Newtons), lo que es natural por las pequeñas distancias
del brazo del par (10 cm como máximo). Si estas fuerzas se introdujeran directamente
en el modelo FEM, serı́a necesario encontrar un material de “tejido muscular”
que se comporte elásticamente de manera tal que produzca, con esas fuerzas,
deformaciones longitudinales de, como mucho, un 15 % de la longitud de reposo
[DASM96]. Atendiendo a este requisito estos materiales deberı́an poseer un valor
de módulo de Young muy elevados, en los que las ondas elásticas se comportan
de forma inadecuada, para el tamaño del músculo. Sin embargo, se dispone del
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
163
Figura 5.13. Estimación de las fuerzas musculares a partir del momento de fuerza neto de la cadera
comportamiento macroscópico final de cada músculo, que debe estar perfectamente
acompasado a las diferentes frecuencias de paso de locomoción. De este modo, es
posible definir un tipo de material muscular con un comportamiento lineal “similar”
a la no linealidad del tejido muscular y que presenta velocidades de propagación
adecuadas. Una vez fijado el tipo de material (y por tanto, una menor magnitud
en las fuerzas musculares que se alejan de los valores hallados) se vuelve al modelo
de lı́neas de acción muscular y se establece una aproximación elástica del músculo.
La fuerza se plantea simulando un muelle de tejido muscular, de sección similar a
la superficie de aplicación del esfuerzo tensor en la malla de cálculo por FEM que
representa al músculo.
Por la expresión de la fuerza de un muelle:
Fm = −K(Lm − Lo )
(5.5)
siendo Lm la longitud del muelle muscular en cualquier instante, Lo la longitud del
muelle en reposo, K la constante de rigidez y Fm la fuerza en el músculo.
Por la ley de Hooke:
σ = E
(5.6)
siendo σ el esfuerzo, E el módulo de Young del material y la elongación.
Sustituyendo la expresión 5.5 en la ecuación 5.6, y considerando que se cumple
que σ = Fm /s y = (Lm − Lo )/Lo siendo s la sección del muelle muscular, es posible
deducir:
(5.7)
K = E s/Lo
La constante de rigidez K, por tanto, se calcula a partir del módulo de Young
que se va a utilizar para definir el material del músculo en el modelo FEM, lo que
asegura una continuidad de la fı́sica del problema. Una vez obtenida la constante K
(que es especı́fica para cada grupo muscular) sólo es necesario introducir los valores
de Lm obtenidos a partir del modelo de lı́neas de acción muscular para obtener el
patrón de fuerza según 5.5. El sentido de aplicación de las fuerzas se ajusta para
condicionar adecuadamente el problema FEM.
164
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Es importante reseñar que esta aproximación da respuesta a la necesidad de
introducir en el método FEM no sólo las fuerzas musculares propiamente dichas si no
las fuerzas que “actúan” sobre el músculo y que no provienen de su actividad motora,
pero que sı́ intervienen en el movimiento y elongación del músculo. Utilizando las
lı́neas de acción como referencia es posible aproximar la fuerza en cada músculo a
partir del resultado final que produce durante todo el ciclo. En este punto, aunque
la magnitud de las fuerzas es mucho menor, la fenomenologı́a del problema se
mantiene.
5.5.
Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales
de los músculos
El modelo músculo-esqueletal para la subfase de Elementos Finitos sustituye
las lı́neas de acción por modelos volumétricos de los grupos musculares escogidos
anteriormente, y calcula sus deformaciones locales introduciendo los valores de fuerza
obtenidos en la subfase anterior como parámetros de entrada del problema dinámico
directo.
La subfase de Elementos Finitos (FEM) presenta las siguientes simplificaciones:
La longitud total de cada grupo muscular se reparte entre la longitud del
músculo y la longitud de los tendones que, en cada extremo, los insertan en los
segmentos esqueletales. Para cada grupo muscular la proporción de la longitud
de tendón que se reparte a cada uno de los lados del músculo es un parámetro
de diferenciación. Las longitudes de los músculos se consideran de acuerdo a la
posición anatómica.
El volumen de cada grupo muscular proviene de calcular de forma proporcional
la sección a partir de un nuevo parámetro de alto nivel, la complexión y de la
relación peso/altura. Las complexiones incorporadas son tres: atlética, normal y
débil, tal y como se detalla en el apartado 3.2.3.
Los FEM se utilizan para calcular las deformaciones del músculo, sin incluir
la parte de los tendones. Los tendones se simulan como sistemas “muelleamortiguador” sin masa.
Existen superficies de transición entre tendón y músculo, aunque la inserción del
tendón en el segmento sea puntual. Se distribuye la fuerza transmitida por el
tendón entre los nodos de la superficie.
Las fibras musculares se consideran homogéneas y con un ángulo de pennation
de 0o .
Las deformaciones provenientes del cálculo FEM se producen en una referencia
geométrica local que se orienta y traslada adecuadamente en el momento de la
visualización.
La fuerza realizada sobre el músculo se simula considerando la secuenciación de
las fases de la locomoción.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
165
Las fuerzas musculares se consideran externas al material, aunque en la realidad
las fuerzas de contracción son fuerzas internas que comprimen o estiran el
material muscular.
5.5.1.
Formulación matemática del modelo
Para la representación de los músculos del cuerpo humano no es suficiente con el
planteamiento de los sólidos rı́gidos, ya que los músculos están claramente sometidos
a deformaciones. Es necesario, entonces, plantear un modelo matemático que permita
representar esta caracterı́stica “deformable” de los mismos.
Al igual que otros tejidos vivos, los músculos presentan una estructura no lineal,
anisótropa y viscoelástica [MWMTT98]. Los modelos que se requieren para simular
estos comportamientos demandan un coste computacional muy elevado y riesgo de
inestabilidad numérica. Por ello, se ha optado por considerar el músculo como un
medio continuo elástico, heterogéneo, isótropo y lineal.
A continuación, se efectuará una breve introducción a la Teorı́a de la Elasticidad
para pasar luego a describir el planteamiento general del problema elástico y,
finalmente, su formulación variacional.
Teorı́a de la Elasticidad. La Teorı́a de la Elasticidad se basa en un modelo matemático
de un medio elástico, dotado de las propiedades de continuidad e isotropı́a. Cuando
una fuerza externa actúa sobre un sólido elástico, varı́an las posiciones relativas de
las partı́culas que lo componen. Este efecto recibe el nombre de deformación.
Sea Ω ⊂ n , (n=2,3) y r = (x1 , . . . , xn ) un vector posición que define un
punto del objeto Ω. Al efectuar una deformación sobre Ω, cada punto r sufre una
transformación a una nueva posición r = (x1 , . . . , xn ). El vector resultante de dicha
deformación se denota por u = r − r (ver figura 5.14) y la distorsión sufrida en el
medio se representa utilizando el tensor de deformaciones.
Figura 5.14. Relación vectorial de una deformación
La teorı́a de la mecánica de los medios continuos establece que las derivadas de los
desplazamientos son pequeñas comparadas con la unidad, por lo que los tensores de
166
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
deformaciones finitas se reducen a tensores de deformaciones infinitesimales [Mas77],
cuyas componentes son:
1
1 ∂ui ∂uj
= (ui,j + uj,i )
+
i, j = 1, 2, 3
(5.8)
εij (u) =
2 ∂xj
∂xi
2
Como se puede deducir de la ecuación anterior, el tensor de deformaciones es
simétrico en cada punto, es decir que: εij = εji .
Por otra parte hay que tener en cuenta que en el objeto Ω actúan ciertas fuerzas.
La fuerza por unidad de área que actúa a través de una superficie recibe el nombre
de tensión. La magnitud y la dirección del vector tensión dependen de la orientación
del elemento de superficie a través del cual actúan las fuerzas de contacto T (n),
donde T es el vector tensión en un punto interior del continuo y n denota el vector
unitario normal al elemento de superficie que contiene a dicho punto.
Para evaluar la tensión sobre un plano arbitrario que pasa por un punto del
cuerpo deformado, es suficiente con conocer la tensión sobre tres planos mutuamente
perpendiculares que pasen por dicho punto. Este resultado permite expresar:
Ti = σji nj
i, j = 1, 2, 3
(5.9)
El estado de tensión de cualquier punto del medio está completamente
caracterizado por la especificación de las nueve componentes σji que definen el
tensor de tensiones.
Si se da el equilibrio entre fuerzas de volumen y fuerzas de superficie, el teorema
de la divergencia de Gauss permite demostrar la simetrı́a del tensor de tensiones
σji = σij [Mas77] de modo que 5.9 puede expresarse como:
Ti = σij nj
i, j = 1, 2, 3
(5.10)
Bajo las condiciones dadas de pequeños desplazamientos y pequeñas
deformaciones, las componentes de tensión y deformación en un sólido elástico ideal
están relacionadas a través de la Ley de Hooke generalizada, cuya expresión es:
σij = Cijkm εkm
(5.11)
donde Cijkm es un tensor de cuarto orden conocido como tensor de las constantes
elásticas [Mas77]. En el caso de los medios isótropos (tienen las mismas propiedades
elásticas en cualquier punto en todas las direcciones) el tensor de las constantes
elásticas se simplifica de manera tal que sus componentes cumplen con la siguiente
expresión [Sok56]:
(5.12)
Cijkm = λδij δkm + μ(δik δjm + δim δjk )
donde δij es la δ de Kronecker y λ y μ son dos constantes, conocidas como
“coeficientes de Lamé” y necesarias para especificar el comportamiento elástico de
un medio isótropo lineal.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
167
Dependiendo del campo de aplicación de la teorı́a de la elasticidad se suelen usar
diferentes parámetros para especificar el comportamiento elástico de los medios. Por
ejemplo, en biomecánica, es común utilizar el módulo de Young, E, y el coeficiente de
Poisson, ν, mientras que en geofı́sicas se suelen usar las velocidades de propagación
de las ondas (Vp y Vs ). Sabiendo cualquier par de parámetros, es posible obtener el
resto por medio de las siguientes relaciones:
μ(3λ + 2μ)
λ+μ
νE
λ=
(1 + ν)(1 − 2ν)
E=
λ
2(λ + μ)
E
μ=
2(1 + ν)
ν=
Vp =
λ + 2μ
ρ
λ = ρ(Vp2 − 2Vs2 )
Vs =
μ
ρ
(5.13)
(5.14)
μ = ρVs2
donde ρ es la densidad del material.
De acuerdo con 5.12, la relación dada por la Ley de Hooke generalizada 5.11 adopta
la forma:
n
εkk + 2μεij , i, j = 1, . . . , n
(5.15)
σ = λδij
k=1
Planteamiento general del problema elástico. El problema elástico general puede
formularse como un sistema de ecuaciones diferenciales que se debe cumplir en el
interior de un cierto dominio, unido a una serie de condiciones sobre el contorno
de dicho dominio. Matemáticamente, esto se puede expresar del siguiente modo:
“Sea un medio continuo, lineal, elástico, no homogéneo e isótropo con dominio Ω
y contorno Γ , donde Ω es una región conexa y acotada en n (n = 2, 3), y Γ es
C 1 continua a trozos. Consideramos la partición de la frontera Γ = Γ0 ∪ Γ1 de tal
modo que Γ0 representa la parte de la superficie donde no se aplican fuerzas y Γ1
representa la parte de la superficie donde se aplican fuerzas, y además se cumple
que dichas particiones son disjuntas, es decir, Γ0 ∩ Γ1 = ”.
El problema consiste en hallar una función desplazamiento que satisfaga las
ecuaciones clásicas de la mecánica de sólidos deformables, que son las siguientes:
1. Ecuaciones de variación de cantidad de movimiento (ecuaciones de equilibrio en
el caso estático).
2. Ecuaciones cinemáticas, correspondientes a las relaciones entre desplazamientos
y deformaciones.
3. Ecuaciones constitutivas o de comportamiento, que relacionan las tensiones con
las deformaciones en el interior del domino.
168
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
4. Condiciones de contorno: especificar los desplazamientos en el contorno
(condición de Dirichlet) y las tensiones en el contorno (condición de Neumann).
El planteamiento general del “problema elástico estático” consiste en hallar
una función desplazamiento u = (u1 , . . . , un ) que satisfaga el siguiente sistema de
ecuaciones en derivadas parciales:
1.
2.
3.
4.
en Ω
σij,j + fi = 0
1
εij = (ui,j + uj,i )
2
σij = λδij εkk + 2μεij
en Γ0
ui = gi
σij nj = hi
en Γ1
(5.16)
donde fi son las fuerzas interiores del cuerpo, gi son los desplazamientos en el
contorno Γ0 , nj son las componentes del vector normal en un punto de la superficie
del dominio y hi son las fuerzas exteriores aplicadas a la frontera Γ1 .
En el caso del “problema elástico dinámico” se sustituyen las ecuaciones de
equilibrio por las ecuaciones de movimiento, teniendo en cuenta la variable tiempo
t ∈ (0, T ):
1.
2.
3.
4.
en Ω × (0, T )
σij,j + fi = ρü
1
εij = (ui,j + uj,i )
2
σij = λδij εkk + 2μεij
en Γ0 × (0, T )
ui = gi
en Γ1 × (0, T )
σij nj = hi
(5.17)
donde fi son las fuerzas interiores del cuerpo, ρ es la densidad del medio, ü =
∂ 2 ui /∂t2 , gi son los desplazamientos en el contorno Γ0 , nj son las componentes del
vector normal en un punto de la superficie del dominio y hi son las fuerzas exteriores
aplicadas a la frontera Γ1 .
Además, es necesario especificar las condiciones iniciales, para t = 0, de posición
y de velocidad:
ui (·, 0) = u0i
ui,t (·, 0) = u̇0i
i = 1, . . . , n
i = 1, . . . , n
en Ω
en Ω
(5.18)
Formulación Variacional del problema. Las ecuaciones 5.17 y 5.18 modelan la evolución
en el tiempo de los desplazamientos en un medio lineal, elástico, no homogéneo e
isótropo, sujeto a un campo de fuerzas y con condiciones de contorno de Neumann y
Dirichlet. Asumiendo que la solución u es suficientemente regular, es posible derivar
una formulación variacional de las ecuaciones anteriormente citadas utilizando los
métodos clásicos, tal como se desarrolla en [SB86].
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
169
La formulación variacional del problema consiste en hallar, dados f , g, h, u0 , u̇0 ,
una función de desplazamientos u ∈ S tal que ∀w ∈ W se satisfacen las siguientes
ecuaciones:
d2
(w, ρu)0,Ω + a(w, u) = (w, h)0,Γ + (w, f )0,Ω
dt2
u(0) = u0
u̇(0) = u̇0
(5.19)
donde
(w, ρu)0,Ω =
3 ρui wi dΩ
(5.20)
σij (u)εij (w)dΩ
(5.21)
i=1
a(w, u) =
3 i=1
j=1
(w, h)0,Γ =
3 hi wi dΓh
(5.22)
fi wi dΩ
(5.23)
i=1
(w, f )0,Ω =
3 i=1
5.5.2.
Formulación por Elementos Finitos
El Método de los Elementos Finitos (MEF) es una técnica general de discretización
de problemas de medios continuos que permite construir soluciones aproximadas
de problemas de valores iniciales y/o de contorno, planteados a través de una
formulación de tipo integral. Debido a la generalidad del método, se ha utilizado
con éxito para resolver gran cantidad de problemas fı́sicos en áreas tan variadas
como quı́mica, mecánica de sólidos, mecánica de fluidos, aerodinámica, etc.
Como el objetivo de este trabajo es aplicar esta técnica de discretización a la
formulación variacional del sólido elástico lineal isótropo, sólo se describirá el método
de forma sucinta. Sin embargo, se puede hallar una descripción rigurosa de los
aspectos matemáticos en [BW76], [DT81] o [ZT89], entre otros.
Dado un medio continuo linealmente elástico e isótropo, que ocupa una región
del espacio 3 , se divide en un conjunto de subdominios Ωi cuya reunión es
Ω
igual al dominio inicial. En principio, el número de puntos de contacto entre un
subdominio Ωi y cualquiera de sus vecinos es infinito. Sin embargo, el MEF discretiza
cada subdominio suponiendo que la conexión entre ellos viene dada por un número
discreto de puntos que reciben el nombre de “nodos de contorno”. Los subdominios
discretizados Ωi se denotan como Ki y reciben el nombre de “elementos finitos”.
Para obtener una discretización correcta con elementos finitos se deben satisfacer
las siguientes condiciones:
170
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
= n Ki donde n es el número total de elementos.
Ω
i=1
Ki es cerrado y no vacı́o (Ki0 ).
Ki0 ∩ Kj0 = .
∂Ki es el contorno de Ki , continuo y Lipschitz.
El método aproxima la dependencia espacial del espacio funcional S de dimensión
infinita, con un subespacio S h de dimensión finita η, igual al número de nodos. La
base del espacio S h está compuesta por funciones
→
Ni : Ω
i = 1, 2, . . . , η
η = número total de nodos
que se caracterizan por tener una función base Ni (r) compuesta sólo por los
elementos a los que pertenece el nodo i. Las funciones Ni (r) verifican, además,
Ni (r j ) = δij .
Si u(r, t) ∈ S es la solución buscada, el método MEF provee una solución
aproximada uh (r, t) ∈ S h dada por:
uhi (r, t)
=
η
Nj (r)aij (t) i = 1, 2, 3
j=1
lo que significa que la función uhi (r, t) es una combinación lineal “adecuada” para
los desplazamientos en los nodos aij en el tiempo t.
El método de elementos finitos, por tanto, permite pasar de un dominio continuo y
un espacio de dimensión infinita S, a un dominio discreto (η nodos) y un espacio de
dimensión finita S h . El parámetro h se refiere a la longitud caracterı́stica asociada
al tamaño de la discretización del dominio Ω.
La técnica de discretización por elementos finitos, normalmente denotada por
medio de la formulación de Garlekin, reduce el problema elastodinámico determinado
por las ecuaciones dadas en 5.19, a lo siguiente [Hug87]:
Dados f , g, h, u0 , u̇0 , hay que hallar una función v h (r, t) = uh (r, t) − g h (r, t) con
v h , uh , g h ∈ S h tal que ∀wh ∈ V h se satisfacen las siguientes ecuaciones:
d2
d2
h
h
h
h
h
h
(w
,
ρv
)
+
a(w
,
v
)
=
(w
,
f
)
+
(w
,
h)
−
(wh , ρg h ) − a(wh , g h )
Γ
dt2
dt2
(5.24)
v h (0) = u0 − g h (0)
v̇ h (0) = u̇0 − ġ h (0)
donde
vih (r, t) =
Nj (r)dij (t)
(5.25)
j∈η−ηgi
wih (r) =
Nj (r)cij
(5.26)
Nj (r)gij (t)
(5.27)
j∈η−ηgi
gih (r, t) =
j∈ηgi
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
171
siendo ηgi el número de nodos con condición de Dirichlet.
De las ecuaciones dadas en 5.19 se puede derivar el siguiente sistema de
ecuaciones ordinarias de segundo orden y lineal, en el que se ha añadido el término
correspondiente a la amortiguación del movimiento:
M d̈(t) + C ḋ(t) + Kd(t) = f (t) ∀t ∈ (0, T )
(5.28)
d(0) = d0
ḋ(0) = d˙0
(5.29)
donde la matriz M está determinada por la distribución de la densidad en
el dominio, la matriz C está determinada por la atenuación, la matriz K
está determinada por las propiedades elásticas del medio, las componentes del vector
f están determinadas por las fuerzas aplicadas al objeto y por las condiciones de
contorno y d es el vector de desplazamientos.
Tanto M , como C y K son matrices espúreas, simétricas y definidas positivas. En
[SSK89] se demuestra cómo se obtienen estas matrices en la práctica.
Es posible demostrar que el problema semidiscreto 5.24 admite una solución única
v h y, por lo tanto, un único uh = v h + g h [RT83].
5.5.3.
MOBiL: Implementación del sistema de deformaciones
En la figura 5.15 se presenta la secuenciación de esta fase en la estructura general
de MOBiL.
De acuerdo a la formulación matemática desarrollada en la secciones previas, se
ha implementado un sistema basado en elementos finitos que permite simular la
deformación de un objeto, al hallar los desplazamientos producidos en sus nodos.
La aplicación ha sido desarrollada sobre sistema operativo Unix y sobre una
estructura de programación imperativa implementada en C. La especificación de
los parámetros de control y los datos de entrada para el desarrollo del programa se
realiza mediante lı́nea de comandos.
La descripción general de la aplicación basada en el método de elementos finitos
se presenta en la figura 5.16.
Como se puede observar, la aplicación se divide básicamente en dos bloques
principales. En el primer bloque se realiza el procesamiento de los datos de entrada
para obtener las matrices y vectores que forman el sistema de ecuaciones. El
segundo bloque recibe el sistema de ecuaciones resultante de los cálculos previos
y lo resuelve. De este modo, la aplicación genera como salida los ficheros con los
datos correspondientes a los desplazamientos en los nodos.
En la bibliografı́a [BW76] [DT81] [Kar87] [ZT89] es posible hallar una descripción
detallada de la implementación clásica de un sistema MEF, por lo tanto, en esta
memoria sólo se desarrollan aquellos aspectos que involucran algún tipo de decisión
en la implementación.
172
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Figura 5.15. Integración del módulo de elementos finitos de la fase músculo-esqueletal en MOBiL
Figura 5.16. Esquema de la aplicación basada en el método de Elementos Finitos
Sin embargo, antes de poder utilizar el método de elementos finitos es necesario
en primer lugar discretizar el dominio, es decir, que hay que particionar el objeto
utilizando un conjunto de elementos adecuados de manera que se obtenga una malla.
Mallado del objeto. Cuando se discretiza el dominio es necesario definir el tipo de
elementos que formarán la “malla”, como ası́ también su número y tamaño.
Existe gran diversidad de elementos posibles [DT81] [Coo87], y la determinación
del elemento a utilizar en un caso concreto no es una tarea simple. A pesar de
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
173
ello es posible hallar algunas ideas generales respecto a la discretización a utilizar
[DV98]. En general, los elementos de tipo paralelepı́pedo son menos flexibles cuando
se pretende reproducir contornos complicados, sin embargo en este trabajo se ha
optado por implementar dichos elementos ya que presentan varias ventajas con
respecto a los elementos tetraédricos: por un lado se mejora la convergencia para el
mismo número de grados de libertad [DV98] y, por otro, se obtienen resultados más
realistas al conservar major la propagación de las tensiones [MMP99].
En las figuras 5.17 y 5.18 se pueden observar los elementos implementados para 2
y 3 dimensiones, respectivamente.
Figura 5.17. Elementos de 2 dimensiones
Figura 5.18. Elementos de 3 dimensiones
Es interesante notar que mediante el tipo de elementos finitos elegido se pueden
definir mallados uniformes (mallados que poseen todos los elementos finitos idénticos
en longitud) y mallados que difieran en longitud en los elementos finitos que se
sitúan en la frontera del objeto (uniformes en el interior y con elementos finitos de
diferente dimensión en sus fronteras). Asimismo, es posible representar agujeros y
objetos huecos en el mallado.
Aunque no existe un método general para determinar la malla más adecuada al
problema que se pretende resolver, es necesario tener en cuenta el tamaño máximo
de cada elemento finito para que el sistema propague correctamente las tensiones
provocadas por la acción de las fuerzas externas [Por03].
Para ello es necesario expresar la fuerza exterior f en términos de la componente
espacial y temporal: f (x, y, t) = fe(x, y) · ft(t) donde fe es la componente espacial
y ft es la componente temporal. A continuación se halla la transformada de Fourier
174
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
de ft : F (ω) y se define el intervalo de frecuencias [ωm , ωM ] donde la función F (ω) es
mayor que un cierto umbral. Las frecuencias menor ωm y mayor ωM están asociadas
respectivamente a los periodos mayor y menor, definidos como TM = ω2πm y Tm = ω2πM .
El valor de la longitud de onda fundamental λf transmitida por la fuerza ft
está directamente relacionada con el periodo menor Tm y con la menor velocidad
de propagación de la onda vm = mı́n{Vp , Vs }, donde Vp y Vs son las velocidades de
transmisión transversal y longitudinal
de una
onda en un material con coeficientes
de Lamé λ y μ tal que Vp = μ/ρ y Vs = (λ + 2μ)/ρ, donde ρ es la densidad del
material. De este modo, el valor de la longitud de onda fundamental λf está dado
por:
λf = vm · Tm
El tamaño de los elementos finitos que forman la malla, x, se deben escoger de
manera que se verifique:
x ≤
vm · Tm
2π vm
λf
=
=
·
10
10
ωM 10
Aunque la generación de las mallas puede hacerse con numerosos paquetes de
software [Gar03], en esta tesis se ha utilizado el programa GiD [Gid] para la
generación de mallas uniformes y de dominios simples, y el programa CUBIT [Cub]
para mallados y dominos más complejos (ver figura 5.19).
(a) Malla de 48 elementos
(b) Malla de 2560 elementos
Figura 5.19. Mallas con diferentes formas y número de elementos
En todos los casos, la estructura final del fichero que contiene la malla del objeto
sigue las especificaciones del formato GiD [Gid].
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
175
Consideraciones sobre los datos de entrada. En primer lugar, el programa debe leer
los datos que representan el objeto, teniendo en cuenta los nodos que forman los
elementos, las conectividades entre dichos nodos y el tipo de elementos elegido. Todos
estos datos están dados en el fichero que constituye la malla del objeto. Sin embargo,
también es necesario determinar el método de integración espacial de las funciones
de aproximación sobre los nodos de los elementos. Entre las numerosas técnicas que
existen para realizar la integración numérica se ha optado por implementar el método
de Newton-Cotes (integración en los nodos) y el método de cuadratura de GaussLegendre [Kar87]. Para los casos de más de una dimensión se utiliza el método del
“producto” [DT81], en el que sólo se tiene en cuenta el grado de los polinomios en
una dimensión.
Los objetos pueden estar formados por diferentes materiales, por lo tanto, es
necesario especificar las propiedades de los materiales incluyendo la información
correspondiente a los coeficientes de elasticidad y la densidad de cada uno de
ellos. Para mayor versatilidad, el programa permite que las propiedades elásticas
se especifiquen por medio de los coeficientes de Lamé, por medio de las velocidades
de propagación de las ondas (ver ecuación 5.14) o por medio del módulo de Young
y el coeficiente de Poisson (ver ecuación 5.13).
Ciertos nodos de los objetos pueden estar fijos o sujetos a restricciones en alguno
de sus grados de libertad. Este hecho se especifica por medio de un fichero con
información sobre las condiciones del contorno.
Asimismo, es posible especificar si el objeto está sometido a fuerzas internas o
externas, ya sean volumétricas, superficiales o nodales.
Módulo de Procesamiento. Como se ha comentado previamente, el módulo de
procesamiento parte de los datos de entrada del problema para generar el sistema
de ecuaciones dado en 5.28. La implementación de este módulo implica realizar las
siguientes acciones básicas:
1. Calcular las matrices elementales: A partir de las ecuaciones constitutivas y las
propiedades especificadas por medio de los parámetros de entrada, es posible
obtener los valores de las matrices para cada elemento Ke , Me , Ce y el vector
de fuerzas Fe . Estas matrices elementales se constituyen teniendo en cuenta la
configuración topológica de los elementos.
2. Obtener las matrices globales a partir de las elementales: El ensamblaje de las
matrices elementales en las globales determina a aportación de cada nodo en las
matrices generales K, M , C y F .
3. Incluir las restricciones de contorno en el sistema: En el sistema de ecuaciones
formado por las matrices globales es necesario considerar las restricciones en
el contorno. Para ello, se eliminan las ecuaciones correspondientes a grados de
libertad conocidos y se introducen nuevas ecuaciones que incorporen estos valores
conocidos.
176
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Módulo de resolución. Las técnicas que permiten resolver sistemas de ecuaciones
lineales son numerosas, y varı́an considerablemente según se desee obtener la solución
del sistema de ecuaciones de equilibrio (caso estático) o la solución del sistema de
ecuaciones de movimiento (caso dinámico).
Solución del sistema estático En el caso estático los métodos buscan la solución del
sistema de ecuaciones dado por:
Kd = f
(5.30)
donde K es la matriz de rigidez, d es el vector desplazamiento y f es el vector de
fuerzas del sistema.
Estos métodos se clasifican básicamente en dos grupos: de solución directa y de
solución iterativa.
Las técnicas de solución directa consisten en un conjunto de pasos sistemáticos,
de manera que el número pasos y operaciones está predeterminado. Estos métodos
han sido ampliamente usados con resultados satisfactorios, sin embargo sólo son
adecuados para sistemas con pocas ecuaciones. La exactitud de los resultados
depende en gran medida del número de ecuaciones y del condicionamiento de
las ecuaciones (well-conditioned o ill-conditioned ) [GHR87]. Las técnicas directas
más conocidas se basan en eliminación de Gauss: Factorización de Cholesky (o
descomposición LU ), Condensación Estática, Subestructuras y Solución Frontal.
Los métodos iterativos, por otra parte, son eficientes para grandes sistemas de
ecuaciones y la exactitud del método depende del número de iteraciones. Cuando
este número no es excesivamente alto, el tiempo para obtener la solución es
considerablemente menor que el que se requiere en las técnicas directas [Coo87].
Entre los métodos iterativos más usados se encuentran: Gauss-Seidel [BW76], sobrerelajación o los métodos de Jacobi (semi-iterativo, gradiente conjugado) [SSK89].
En la implementación desarrollada se opta por el método de Gradiente Conjugado
debido a su simplicidad [Ueb97]. Asimismo este método permite implementar la
técnica de precondicionamiento de las matrices, lo que acelera considerablemente la
convergencia del gradiente conjugado.
Solución del sistema dinámico En el caso dinámico el objetivo es obtener los
desplazamientos que se producen en los nodos para cada instante de tiempo,
resolviendo el sistema de ecuaciones dado por:
M d̈(t) + C ḋ(t) + Kd(t) = f (t)
d(0) = d0
ḋ(0) = d˙0
(5.31)
donde M , C y K son las matrices globales, f representa el vector de fuerzas y d es
el vector de desplazamientos.
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
177
Los métodos clásicos de resolución para sistemas dinámicos lineales se pueden
dividir, básicamente, en dos grupos: métodos de superposición [BW76] y métodos
de integración directa [GHR87].
Los métodos basados en el principio de superposición sólo se pueden
utilizar para obtener la respuesta de sistemas lineales o linealizados, mientras que
las técnicas de integración directa tienen la ventaja de su absoluta generalidad.
Aunque de momento en esta tesis se trabaja con sistemas lineales, no se descarta la
posible inclusión de sistemas no lineales en el futuro, por lo tanto se ha considerado
conveniente implementar los algoritmos de integración directa.
Los métodos de integración directa se basan en una discretización temporal
del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden obtenido
en 5.31. Para ello se establece una partición del intervalo temporal (0, T ) en n
intervalos iguales, de modo que tn = nt con 0 ≤ n ≤ N y t = T /N . Este esquema
establece una solución aproximada en los tiempos 0, t, 2t, ..., T . Sin embargo, hay
que tener en cuenta que el paso de tiempo elegido y usado en el proceso es de gran
importancia. Su tamaño está relacionado no sólo con el contenido de frecuencia de la
excitación, sino también con la discretización espacial de modo que sea consistente
con la velocidad de propagación de la onda en la malla de elementos finitos [GHR87].
Clásicamente, entre las técnicas de integración directa es posible distinguir dos
grandes grupos: los algoritmos de extrapolación o explı́citos y los de iteración o
implı́citos. La diferencia entre ellos radica en que, en los algoritmos del primer
grupo, los valores de desplazamiento, velocidad y aceleración en el instante ti +t se
aproximan únicamente en función de los valores conocidos en ti , mientras que en los
del segundo grupo, estos valores dependen también del desplazamiento desconocido
en ti + t, por lo que se hace necesario un proceso iterativo para encontrar la
solución.
Con esta base existen varios métodos de integración directa: los métodos de tipo
Newmark, método de Houboult y el método de Wilson-θ. De los mismos, sólo se
describen aquellos que han sido implementados en esta tesis: los métodos de tipo
Newmark, que incluyen el método de las Diferencias Centrales (perteneciente a los
métodos de extrapolación o explı́citos) y el método general (perteneciente a los
métodos de integración o implı́citos).
En ambos casos se plantea la aproximación del sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias 5.28 por medio del siguiente esquema de diferencias finitas [SSKB90], en el
que las aceleraciones y velocidades se aproximan en términos de los desplazamientos:
M d̈n+1 + C ḋn+1 + Kdn+1 = f n+1
t2 (1 − 2β)d̈n + 2β d̈n+1
dn+1 = dn + tḋn +
2
ḋn+1 = ḋn + t (1 − γ)d̈ + γ d̈n+1
donde los parámetros β y γ definen la familia de algoritmos.
(5.32)
(5.33)
(5.34)
178
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
A continuación se describe brevemente la implementación de ambos métodos, que
aunque se basan en los mismos principios son considerablemente diferentes entre sı́.
El esquema de las Diferencias Centrales se obtiene asignando los coeficientes β = 0
y γ = 12 . Sustituyendo los valores de β y γ en las ecuaciones 5.33 y 5.34, se obtiene la
siguiente expresión, que representa la aproximación tı́pica de las diferencias centrales:
1
(dn+1 − dn−1 )
2t
1
(dn−1 − 2dn + dn+1 )
d̈n =
t2
ḋn =
(5.35)
(5.36)
Para obtener una solución aproximada al desplazamiento dn+1 en el tiempo t+t,
hay que sustituir los valores de ḋn y d̈n de las ecuaciones anteriores (5.35 y 5.36) en
la ecuación 5.28, especificada en un valor de t.
M d̈n + C ḋn + Kdn = f n
(5.37)
De este modo, se obtiene:
1
1
2
1
1
M+
M dn −
M−
C dn+1 = f n − K −
C dn−1
t2
2t
t2
t2
2t
(5.38)
En este método, el cálculo de dn+1 involucra dn y dn−1 , por lo que se requiere un
procedimiento especial para comenzar. Es necesario calcular el valor de d−1 a partir
de las ecuaciones 5.35 y 5.36 particularizadas en el instante inicial, de forma que:
d−1 = d0 − tḋ0 +
t2
d̈0
2
(5.39)
lo que exige conocer d¨0 . Este valor se puede calcular de la ecuación 5.37 en el tiempo
t = 0, aunque también es posible que esté predeterminado.
La solución aproximada del desplazamiento dn+1 involucra resolver un sistema
de ecuaciones algebraicas simétrico y espúreo que recibe el nombre de Método de
las Diferencias Centrales Implı́cito (DCI). Sin embargo, cuando las matrices de
masa y de atenuación son diagonales, dn+1 se puede obtener “explı́citamente” por
una división simple y se lo denomina Método de las Diferencias Centrales Explı́cito
(DCE).
El método de las Diferencias Centrales es condicionalmente estable. La estabilidad
se garantiza exigiendo que el paso de tiempo t sea menor que un valor crı́tico tcr .
Para obtener una solución válida es necesario que se cumpla:
x
t ≤ tcr = 3(Vp2 + Vs2 )
t ≤ tcr =
x
Vp
para DCI
(5.40)
para DCE
(5.41)
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
179
donde x es el tamaño de los elementos finitos, y Vp y Vs son las velocidades de
transmisión transversal y longitudinal de la onda.
El método de Newmark generalizado es un método implı́cito que consiste en
evaluar la ecuación de movimiento 5.32 con las aproximaciones de desplazamiento y
velocidad dadas en 5.33 y 5.34, respectivamente, o dejando a dn+1 como incógnita
básica:
γ
γ−β
γ − 2β
(dn+1 − dn ) −
ḋn −
td̈n
βt
β
2β
1
1
1 − 2β
ḋn −
d̈n
=
(dn+1 − dn ) −
2
βt
βt
2β
ḋn+1 =
(5.42)
d̈n+1
(5.43)
siendo β y γ los parámetros que determinan la exactitud y la estabilidad del esquema.
La elección de diferentes valores para β y γ permiten obtener diferentes tipos de
esquemas de Newmark.
Para γ = 12 el método es de primer orden mientras que para γ = 12 el método es
de segundo orden. Si se cumple que 2β ≥ γ ≥ 12 el método es incondicionalmente
estable, en cambio cuando γ ≥ 12 y β < γ2 el método es condicionalmente estable.
Los métodos más conocidos y utilizados de esta familia son:
5.6.
Método
Parámetros
Tipo
Estabilidad
Diferencias centrales
β=0
Explı́cito
Condicional
Aceleración media
β = 1/4
γ = 1/2
Implı́cito
Incondicional
Aceleración lineal
β = 1/6
γ = 1/2
Implı́cito
Condicional
γ = 1/2
Validación de la fase músculo-esqueletal
Observar la evolución de las deformaciones a lo largo de toda la simulación
ayuda a comprobar la existencia de suavidad en los movimientos y que no haya
discontinuidades, sin embargo es muy complicado realizar una verificación exacta de
los desplazamientos obtenidos por el método de elementos finitos si sólo se efectúa
una comprobación visual. Por lo tanto, para comprobar la exactitud numérica del
sistema de deformaciones implementado, se han comparado los resultados obtenidos
con el resultado de aplicar los mismos problemas en diferentes sistemas de elementos
finitos. En el caso de la verificación de los problemas estáticos se ha comparado con
los resultados obtenidos en el software MYDAS [Cal94] desarrollado por el grupo
GEMM (Grupo de Estructuras y Modelado de Materiales) de la Universidad de
Zaragoza. En el caso de los problemas dinámicos se ha optado por utilizar Abaqus
[ABA] debido a su reconocida especialización en estas áreas de trabajo. En todos
los casos el mallado se ha realizado con I-DEAS [Law01].
180
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Como normalmente las mallas están formadas por gran cantidad de nodos, y para
cada uno de ellos existe una deformación por cada iteración, se produce una gran
cantidad de datos a comprobar. De cara a una mejor y más rápida interpretación de
los datos, se ha optado por visualizar la evolución de la deformación en el tiempo
de alguno de los nodos más significativos.
Comparaciones de objetos de 2 dimensiones En esta sección se comprobará la validez
del modelo para efectuar simulaciones de deformaciones en 2D. Para ello se utilizarán
objetos compuestos por materiales con diferentes parámetros de elasticidad y
densidad, a los cuales se les aplican distintas fuerzas.
Para comprobar los resultados de las deformaciones obtenidas en el sistema se
realizan diferentes simulaciones con el mismo objeto y las mismas condiciones de
contorno. En todos los casos los nodos correspondientes al lado inferior se establecen
como fijos en ambas direcciones (x, y) con el fin de simular el apoyo en una superficie.
Para la verificación del caso dinámico en 2D se ha elegido una placa cuadrada
de dimensiones: 500 x 500 mts, representado por una malla formada por elementos
cuadráticos cuadrangulares de 50 x 50 mts de lado. La resolución del sistema se
realiza con método de Newmark de Aceleración media (Newmark con β = 14 y
γ = 12 ).
En el primer experimento las caracterı́sticas del material a deformar son las
correspondientes al acero:
Densidad: 7820 kg/m3
Módulo de Young: 2.068e11 Pa
Coeficiente de Poisson: 0.29
En la primera simulación se aplica en el lado superior una fuerza externa F de 100
N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y) = (0, 100). Dicha fuerza se aplica en los
10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 1 segundo (con
dt = 0,001)
La evolución de los desplazamientos a lo largo del tiempo producidos en el nodo
central superior por la aplicación de dicha fuerza en el objeto se puede observar en la
figura 5.20. La figura de la izquierda muestra obtenidos por el sistema desarrollado
mientras que en el lado derecho se observan los desplazamientos obtenidos con
Abaqus para el mismo nodo.
En el segundo experimento las caracterı́sticas del material a deformar son las
correspondientes a una goma dura:
Densidad: 11000 kg/m3
Módulo de Young: 2.3e9 Pa
Coeficiente de Poisson: 0.40
Al igual que en el caso anterior, se aplica en el lado superior una fuerza externa F
de 100 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y) = (0, 100). Dicha fuerza se aplica
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
181
Figura 5.20. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulación obtenidos con el sistema
desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)
en los 10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 1 segundo
(con dt = 0,001)
Sin embargo, el comportamiento de este material difiere considerablemente del
caso del acero, tal como se puede observar en la figura 5.21, que refleja los resultados
obtenidos por el sistema desarrollado y los resultados obtenidos utilizando Abaqus.
Figura 5.21. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulación obtenidos con el sistema
desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)
Para comprobar el comportamiento del sistema con otras condiciones de carga, se
realiza una segunda simulación con este material. En este caso se aplica, también en
el lado superior, una fuerza externa de 10000 N, hacia arriba y en sentido vertical
F (x, y) = (0, 10000). Dicha fuerza se aplica en los 10 elementos que forman dicha
cara de manera constante durante 0.5 segundos y a partir de ese instante la fuerza
decae de manera lineal hasta hacerse 0 en t = 1 segundo (dt = 0,001).
En este caso, la comparación de los resultados obtenidos mediante el sistema
desarrollado y los obtenidos por Abaqus se pueden observar en la figura 5.22.
182
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Figura 5.22. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulación obtenidos con el sistema
desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)
Comparaciones de objetos de 3 dimensiones En esta sección se comprobará la
validez del modelo para efectuar simulaciones de deformaciones en 3D. Al igual que
para el caso en 2D, se utilizarán objetos compuestos por materiales con diferentes
parámetros de elasticidad y densidad, a los cuales se les aplican distintas fuerzas.
Para la verificación del caso dinámico en 3D se ha elegido una placa de dimensiones:
500 x 500 x 50 mts, representado por una malla formada por elementos trilineales
hexaédricos de 50x50x50 mts de lado. Al igual que en el caso de 2D, en los objetos
3D los nodos correspondientes a la superficie inferior permanecen fijos en todas las
direcciones (x, y, z) con el fin de simular el apoyo en una superficie.
Para la primera simulación en 3D el objeto se modela considerando las propiedades
del acero, descritas anteriormente y aplicando una fuerza externa F sobre la cara
superior es de 10000 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y, z) = (0, 10000, 0), de
forma constante durante 1 segundo (con dt = 0,001).
La evolución de los desplazamientos a lo largo del tiempo producidos en un nodo
central superior se puede observar en la figura 5.23. La figura de la izquierda muestra
obtenidos por el sistema desarrollado mientras que en el lado derecho se observan
los desplazamientos obtenidos con Abaqus para el mismo nodo.
Para comprobar el comportamiento del sistema con otras condiciones de carga, se
realiza una segunda simulación con este material. En este caso se aplica una fuerza
externa de 10000 N, hacia arriba y en sentido vertical F (x, y, z) = (0, 10000, 0) en la
superficie superior pero de manera constante sólo durante los primeros 0.5 segundos
y a partir de ese instante la fuerza decae de manera lineal hasta hacerse 0 en t = 1
segundo (dt = 0,001).
En este caso, la comparación de los resultados obtenidos mediante el sistema
desarrollado y los obtenidos por Abaqus se pueden observar en la figura 5.24.
5.7.
Conclusiones
En este capı́tulo se han presentado y clasificado las diferentes técnicas que existen
hoy en dı́a para simular las deformaciones de los tejidos blandos, en especial de
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
183
Figura 5.23. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulación obtenidos con el sistema
desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)
Figura 5.24. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulación obtenidos con el sistema
desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)
órganos y músculos, señalando las ventajas y los problemas más importantes de los
diferentes modelos.
El método de los elementos finitos (FEM) permite realizar simulaciones con una
mayor precisión por estar basado en la fı́sica. Es por ello que es el método que
se ha implementado en MOBiL a pesar de que presenta un alto requerimiento
computacional para sistemas no lineales y grandes deformaciones, como serı́a el
caso de la simulación de los músculos. Dado que lo que se pretende es plantear un
método heurı́stico, razonablemente basado en la Fı́sica y que simule la mayor parte
de los fenómenos tı́picos de los medios continuos, se ha supuesto que se linealiza
el músculo y se evita la re-evaluación de los vectores de fuerza y las matrices de
rigidez, masa y amortiguamiento a medida que el objeto se deforma. De este modo,
se pierde exactitud pero no fenomenologı́a. Serı́a algo análogo a lo que representa la
utilización de técnicas basadas en la Radiosidad frente a la utilización de las técnicas
basadas en la Radiancia en el entorno de la problemática de la solución del problema
de la iluminación global.
184
Capı́tulo 5: Simulación de la fase músculo-esqueletal
Por otra parte, hay que recalcar que la utilización de un modelo de acción muscular
para “condicionar” el problema e “integrar” los resultados de las deformaciones
musculares del modelo calculado por FEM en el movimiento global de locomoción
es un método que asegura una adecuada transición entre fases y mantiene la validez
fı́sica en la simulación global del fenómeno.
Referencias
[AB76]
[ABA]
[ACK91]
[AKC95]
[AP01]
[AP03]
[Arc90]
[AZPW95]
[Bar84]
[BCW+ 82]
[BGS02]
[Bli82]
[BMG99]
[BN94]
[BN95]
[BN96]
[BNC96]
[BS91]
[BW76]
[Cal94]
[CC93]
[CDA99]
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6 Integración final y visualización: Resultados
6.Integración final y visualización: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Sistema de Visualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1.Detalles de implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.Simulación del movimiento esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.Simulación de las deformaciones musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.Integración de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.Tiempos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
193
194
196
197
197
198
206
208
211
Integración final y visualización: Resultados
En este capı́tulo se describe, en primer lugar, el sistema de visualización
desarrollado para integrar los módulos implementados en los capı́tulos
anteriores: el sistema de animación del esqueleto y el sistema de simulación
de las deformaciones musculares (ver figura 6.1).
Figura 6.1. Sistema de Visualización. Integración de los resultados de los módulos previos.
A continuación, se presentan los resultados experimentales obtenidos por
ambos módulos, utilizándolos tanto de manera individual como de forma
coordinada, y por último, se detallan los tiempos de cálculo empleados en
ambos métodos. A través de los resultados se verifica la validez de los
modelos implementados, ya sea de forma visual o contrastando los resultados
obtenidos con resultados de la literatura.
193
194
Capı́tulo 6: Resultados
6.1.
Sistema de Visualización
La herramienta de visualización desarrollada permite presentar, de manera visual,
los resultados de los módulos del sistema MOBiL expuestos en los capı́tulos
anteriores (ver figura 6.1).
El sistema permite visualizar y trabajar con los datos que provienen del sistema
de locomoción del ser humano y con los datos que proceden de la simulación de
la deformación de un objeto, tanto de manera individual como de forma conjunta
e integrada. Para ello, la aplicación requiere información acerca del movimiento
del esqueleto como de los desplazamientos de los nodos que componen la malla del
músculo, para cada instante de tiempo. Por lo tanto, el sistema recibe como entradas:
Procedente del sistema de locomoción: un fichero con información acerca de los
segmentos del esqueleto, su centro de masas y la variación de los ángulos, para
cada instante de tiempo.
Procedente del sistema de deformaciones musculares: un fichero con información
de la deformación muscular, que a su vez contiene referencias a los ficheros de:
malla del músculo, desplazamientos de la malla para cada instante de tiempo,
especificación de los materiales y fuerzas de entrada.
El interfaz de la aplicación se presenta en la figura 6.2.
Figura 6.2. Interfaz del sistema de visualización
A partir de los datos de entrada, el sistema de visualización permite obtener las
siguientes salidas:
Visualización integrada del sistema músculo-esqueletal, presentando de manera
conjunta la locomoción de un ser humano virtual junto con la deformación del
músculo a medida que camina.
Capı́tulo 6: Resultados
195
De forma especı́fica para la locomoción, las salidas son: las siguientes salidas:
• Visualización en tiempo real del ser virtual caminando, representado el
cuerpo como esqueleto, como modelo en jaula de alambre o como modelo
de superficies (ver figura 6.3).
• Representación de los ángulos formados por cada articulación.
• Fichero con la información de la geometrı́a [Bei] y de los movimientos del
cuerpo, en formato H-Anim de VRML [H-A].
• Ficheros con las coordenadas GL (uno para cada instante de tiempo).
De forma especı́fica para los objetos deformables, las salidas son:
• Visualización en tiempo real de las deformaciones que se producen en el
objeto, representado al objeto como una malla en jaula de alambre o un
modelo de superficies o por medio de superficies NURBS (Non-Uniform
Rational B-Spline) (ver figura 6.3).
• Visualización de un objeto deformable, ya sea 2D o 3D, en modo estático,
superponiendo el objeto en su estado inicial y el objeto después de haber sido
deformado.
• Representación gráfica de la evolución de los desplazamientos de los diferentes
nodos de la malla.
• Representación gráfica de las fuerzas de entrada para cada nodo de la malla.
• Fichero con el objeto en formato VTK [SMAL00].
Para ambos casos, es posible generar:
• Imágenes estáticas en formato .TGA
• Secuencias de vı́deo de las animaciones, en formato .AVI, con o sin
compresión.
Figura 6.3. Visualización en jaula de alambre y por supeficies
196
Capı́tulo 6: Resultados
6.1.1.
Detalles de implementación
La herramienta de visualización está implementada en C++ con estándares y
librerı́as externas conocidas, como OpenGL [NDW93], optimizadas para el uso
de aceleradores gráficos, y la especificación H-Anim de VRML [H-A]. El interfaz,
en cambio, se ha generado con GTK/GTK++ [GTK], de manera que fuera
independiente de la plataforma y pudiera correr tanto sobre Windows y como sobre
Unix.
El modelo humano requerido para la visualización final, debe permitir el
movimiento de los segmentos que forman el cuerpo en tiempo real, pero además
debe poseer una cierta apariencia realista. Por ello, se ha optado por implementar el
modelo de acuerdo a un estándar que permita optar por la representación del cuerpo
como un conjunto de segmentos articulados como un modelo en jaula de alambre
o como un modelo de superficies y, que, por otra parte, permita la animación en
tiempo real del modelo.
Para obtener estas posibilidades de representación se ha seleccionado el estándar
H-Anim de VRML [H-A] para especificar el cuerpo humano, cuya estructura general
se puede observar en la figura 6.4 (a).
(a) Especificación H-Anim 1.1
(b) Implementación en MOBiL
Figura 6.4. Representación de las articulaciones y segmentos del cuerpo
El modelo humano construido en este trabajo se basa en la geometrı́a del modelo
de cuerpo implementado por Beitler [Bei] y en el modelo esqueletal jerárquico de 48
Capı́tulo 6: Resultados
197
segmentos desarrollado para el sistema de locomoción (ver sección 3.2, figura 3.2).
La estructura final de almacenamiento del cuerpo humano se puede observar en la
figura 6.4 (b).
Como se puede observar comparando ambas figuras, los únicos datos que no se han
implementado corresponden al detalle de la cabeza (ojos, cejas,...) y a los segmentos
y articulaciones de las manos, es decir, que son aquellos que no están involucrados
ni se modifican en el proceso de locomoción.
6.2.
Resultados
En este apartado se presentan los resultados experimentales obtenidos por
los diferentes módulos del sistema MOBiL. En primer lugar se presentan las
salidas gráficas correspondientes al módulo de simulación del movimiento global
y a continuación se describen los resultados obtenidos mediante el sistema de
deformaciones. Posteriormente se presentan imágenes obtenidas por el módulo de
visualización correspondientes a la animación conjunta e integrada del sistema
MOBiL. En último lugar se detalla la información referente a los tiempos de cálculo
empleados para las simulaciones.
6.2.1.
Simulación del movimiento esqueletal
El sistema de movimiento global se basa en un modelo esqueletal y permite
obtener simulaciones de locomociones de individuos con diferentes caracterı́sticas
antropométricas y diferentes “maneras” de caminar. En este apartado se presentan
secuencias de locomociones generadas realizando modificaciones sobre los distintos
parámetros.
En la parte superior de la figura 6.5 se observa la simulación de una locomoción
compuesta por 4 pasos consecutivos, para una persona de 80 kg, 1.80 m de altura y
andando a una velocidad de 5 km/h. En la parte inferior de la figura se presentan
los cambios en los valores angulares de la cadera, rodilla y talón durante esta
locomoción. El primer paso constituye el comienzo a partir de la posición de reposo,
produciendo una aceleración, y el último paso finaliza la locomoción por medio de
una deceleración, como puede observarse claramente en los extremos de la curva de
las trayectorias de los ángulos descritos por las articulaciones. La cadencia rı́tmica
de la locomoción también es clara.
La variación de los datos antropométricos como el peso, la altura o la
complexión, producen modificaciones en la manera de caminar. En la figura 6.6
se presenta la diferencia en las locomociones correspondientes a 3 individuos con
diferentes pesos: 65 kg, 80 kg y 120 kg, caminando a la misma velocidad (5
km/h). Aunque las locomociones son similares, es interesante resaltar las diferentes
aproximaciones que se producen en los apoyos del talón. La influencia de la fuerza
de gravedad, y por lo tanto del peso, es un factor determinante en la apariencia en
los instantes de cambio de fase.
198
Capı́tulo 6: Resultados
Figura 6.5. Cambios angulares en los valores de la cadera, rodilla y tobillo durante 3 ciclos de locomoción
La variación de los parámetros de diferenciación del paso permiten obtener
locomociones con diferentes caracterı́sticas. En la figura 6.7 se presenta el resultado
de acentuar el parámetro de balanceo pélvico, que se produce en el plano coronal.
De la misma forma es posible introducir otros cambios en la apariencia de la
locomoción, modificando alguno de los parámetros detallados en el Apéndice C.
6.2.2.
Simulación de las deformaciones musculares
El sistema de simulación de las deformaciones de MOBiL permite trabajar con un
modelo músculo-esqueletal, a partir de las fuerzas generadas en la fase esqueletal.
De este modo, es posible producir la deformación local de los músculos durante
la locomoción. Sin embargo, para poder aplicar este módulo previamente hay que
definir:
Caracterı́sticas del material a utilizar.
Tamaño de mallado.
Condiciones de contorno.
Método de Resolución.
Paso de integración para el método de resolución.
El material considerado para el modelado del músculo tienen las siguientes
propiedades:
Capı́tulo 6: Resultados
199
Figura 6.6. Paso Natural a 5 km/h con: 65 kg (arriba), 80 kg (centro) y 120 kg (abajo)
Figura 6.7. Balanceo Pélvico
Densidad: 1000 kg/m3
Módulo de Young: 1.06667e+4 Pa
Coeficiente de Poisson: 0.3333
200
Capı́tulo 6: Resultados
En la literatura, los datos de las caracterı́sticas de los materiales que se emplean para
definir los músculos varı́a en un rango de varios órdenes de magnitud para los valores
del Módulo de Young, y comprenden 1.0e+2 Pa [CZ92] hasta 3.02e+8 Pa [WZZ99].
En este trabajo se trabaja con valores que se encuentran en un punto intermedio, de
1.0e4 Pa, y se asemejan a los utilizados por [ZM99] en un trabajo especı́fico sobre
las propiedades elásticas de los tejidos de las extremidades inferiores.
El tamaño de la malla del músculo está determinado por el algoritmo de
parametrización dado, considerando en este caso a un un hombre de 1.80 m de
altura y 80 kg de peso. De este modo, resulta un tamaño de músculo de 30 cm
de alto, cuyo ancho varı́a y en la parte más angosta corresponde a 3 cm mientras
que en la parte más ancha corresponde a 6 cm. La definición del tamaño de los
elementos de la malla (x) se ha realizado según el procedimiento definido en el
apartado de Mallado del objeto de la sección 5.5.3. Sin embargo, en este experimento
se ha tomado un valor de x conservativo, x = 0,015. De este modo, la malla
está formada por 320 elementos trilineales hexaédricos (525 nodos).
La malla está fija en su superficie superior, simulando ası́ su unión al hueso por
medio de los tendones. La restricción de movimiento en x, y y z para los nodos de
dicha superficie constituyen las condiciones de contorno del problema.
El paso de integración utilizado para la resolución se determina a partir de los
datos del material y el tamaño de la malla, según se ha detallado en el apartado
Solución del sistema dinámico en la sección 5.5.3, resultando t = 0,01. Y el método
de resolución utilizado para realizar las deformaciones es el Método de Newmark de
Aceleración Media.
Teniendo en cuenta las definiciones realizadas previamente, a continuación se
presentan los resultados de las deformaciones producidas en 3 grupos musculares
distintos: isquiotibiales, cuádriceps y trı́ceps sural. En todos los casos el tiempo de
simulación es de 1.12 segundos correspondiente a un ciclo de locomoción.
Las fuerzas de entrada para el sistema de deformaciones provienen del sistema de
locomoción, y son las que figuran bajo el nombre de Entrada, en el lado izquierdo de
las figuras. En el lado derecho de las figuras, bajo el rótulo de Salida se presenta el
desplazamiento producido en la malla después del cálculo por FEM. Ambos gráficos
reflejan la información correspondiente a un nodo de la malla. En la parte central
de las figuras se presenta la malla deformada para un instante de tiempo (marcado
en las gráficas de entrada y de salida).
Resultados para el grupo muscular: Isquiotibiales A continuación se presentan las
deformaciones producidas en el grupo muscular Isquiotibiales. Los desplazamientos
obtenidos corresponden a tres instantes de tiempo, particularmente significativos y
se muestran en las figuras 6.8, 6.9 y 6.10.
Resultados para el grupo muscular: Cuádriceps Las figuras 6.11, 6.12 y 6.13 presentan
las deformaciones producidas sobre el grupo muscular Cuádriceps.
Capı́tulo 6: Resultados
201
Figura 6.8. Deformación del grupo muscular isquiotibiales en el instante A
Figura 6.9. Deformación del grupo muscular isquiotibiales en el instante B
Figura 6.10. Deformación del grupo muscular isquiotibiales en el instante C
202
Capı́tulo 6: Resultados
Figura 6.11. Deformación del grupo muscular cuádriceps en el instante A
Figura 6.12. Deformación del grupo muscular cuádriceps en el instante B
Figura 6.13. Deformación del grupo muscular cuádriceps en el instante C
Resultados para el grupo muscular: Trı́ceps Sural Las figuras 6.14, 6.15 y 6.16
presentan las deformaciones producidas sobre el grupo muscular Trı́ceps Sural.
Capı́tulo 6: Resultados
203
Figura 6.14. Deformación del grupo muscular trı́ceps sural en el instante A
Figura 6.15. Deformación del grupo muscular trı́ceps sural en el instante B
Validación de los resultados Los resultados hallados en la literatura biomecánica
comprueban que los valores de desplazamientos obtenidos por la aplicación del
método elementos finitos durante la locomoción se corresponden con los obtenidos
por métodos experimentales [JJVH90] [DASM96] [ABD01]. En la figura 6.17 se
presenta la comparación entre las variaciones en longitud producidas en el grupo
muscular isquiotibiales obtenidas por el sistema desarrollado y las publicadas por
Delp at al. [DASM96], donde la zona en gris se corresponde con los datos para la
locomoción normal. Para que dicha comparación fuese posible, se han convertido los
datos del sistema a la métrica utilizada por Delp at al.
Varios ciclos de locomoción A pesar de que los datos anteriores se han dado para un
solo ciclo de locomoción, en la figura 6.18 es posible observar la cadencia cı́clica de
la locomoción, y por lo tanto, de las deformaciones, durante 3 ciclos de locomoción
para el grupo muscular de los isquiotibiales.
204
Capı́tulo 6: Resultados
Figura 6.16. Deformación del grupo muscular trı́ceps sural en el instante C
Figura 6.17. Comparación correspondiente a la longitud del grupo muscular isquiotibiales. A la izquierda, los resultados
obtenidos por el sistema desarrollado. A la derecha, los resultados obtenidos por [DASM96], donde la zona en gris se
corresponde con los datos correspondientes a la locomoción normal.
Figura 6.18. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales durante varios ciclos de locomoción
Capı́tulo 6: Resultados
205
Diferencias en la frecuencia de paso La variación en la frecuencia de paso para varios
ciclos de locomoción se puede observar en las siguientes figuras. En ambos casos
se presentan las gráficas correspondientes al grupo muscular de los isquiotibiales,
para una persona de 80 kg de peso y de 1.80 m de altura. En la figura 6.19 la
frecuencia de paso es fp = 107,6 pasos/minuto, mientras que en la figura 6.20 se
observa el incremento de dicha frecuencia, que en este caso corresponde a fp = 144,3
pasos/minuto.
Figura 6.19. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales para una persona caminando a fp = 107,6 pasos/minuto
Figura 6.20. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales para una persona caminando a fp = 144,3 pasos/minuto
Utilización de NURBS Para mejorar el aspecto visual de los músculos sin incrementar
los tiempos de cálculo, es posible utilizar los nodos de la malla del músculo como
puntos de control de una superficie NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline), que
se puede visualizar por medio de la librerı́a OpenGL [NDW93].
La diferencia de utilizar la visualización directa de la malla o visualización por
medio de superficies NURBS se puede observar en la figura 6.21 con la malla en
estado de reposo, y en la figura 6.22 con la malla deformada.
206
Capı́tulo 6: Resultados
(a) En jaula de alambre
(b) Con superficies NURBS
Figura 6.21. Visualización del músculo en reposo
(a) En jaula de alambre
(b) Con superficies NURBS
Figura 6.22. Visualización del músculo contraı́do
6.2.3.
Integración de las simulaciones
El módulo de visualización permite obtener una animación conjunta e integrada de
los resultados obtenidos previamente. De este modo, es posible observar los cambios
que se producen en la forma de los músculos de las extremidades inferiores mientras
la persona camina.
La visualización conjunta de ambas simulaciones se puede observar en la figura
6.23 (a), en la que el cuerpo se representa por medio de un esqueleto y en la figura
6.23 (b), en la que el cuerpo se representa en jaula de alambre. En ambos casos el
músculo se representa por medio de una superficie NURBS.
En la figura 6.24 se presenta una secuencia de locomoción en la que es posible
apreciar la diferencia de visualización entre el cuerpo representado por un esqueleto
o en jaula de alambre. El músculo está representado por medio de una malla de 525
nodos.
Capı́tulo 6: Resultados
207
(a) Esqueleto humano con músculo
(b) Cuerpo humano con músculo
Figura 6.23. Visualización integrada
Figura 6.24. Secuencia de locomoción
Los datos utilizados para estas simulaciones corresponden a un hombre de 80 kg
de peso y 1.80 kg, de complexión normal, caminando a una velocidad de 5 km/h.
208
Capı́tulo 6: Resultados
6.2.4.
Tiempos de cálculo
A continuación se presentan la información relacionada con los tiempos de cálculo
empleados en la simulaciones del movimiento global y en las simulaciones de las
deformaciones.
Tiempos de cálculo para la simulación del movimiento. El módulo de simulación
del movimiento de locomoción del sistema MOBiL es capaz de efectuar los cálculos
en tiempo real sobre un computador Athlon con XP a 1800 MHz, con 384 MB de
memoria RAM. En la tabla 6.1 se presentan los tiempos de CPU extraı́dos del cálculo
de una serie de secuencias de locomoción, variando el número de pasos. En todos
los casos las locomociones se generan para una persona caminando a paso natural
(5 km/h).
Número de Pasos Tiempo Simulado Número de Cuadros Tiempo de CPU
3 pasos
1.27 segundos
30
130 mseg
4 pasos
1.84 segundos
44
240 mseg
5 pasos
2.4 segundos
58
290 mseg
10 pasos
5.2 segundos
128
520 mseg
20 pasos
10.76 segundos
267
1020 mseg
Tabla 6.1. Tiempos de cálculo en un Athlon XP a 1800 MHz
La posibilidad del sistema de variar la cantidad de cuadros por segundo que se
generar, modifica los tiempos de cálculo tal y como se refleja en en la tabla 6.2.
Número de Cuadros Tiempo de CPU
25 fps
58
290 mseg
50 fps
117
300 mseg
100 fps
229
320 mseg
Tabla 6.2. Tiempos de cálculo variando el número de cuadros por segundo (fps) para una simulación de 5 pasos a 5 km/h
Si se atiende a la distribución del tiempo de cálculo entre las diferentes fases del
sistema, es posible observar que es la fase de giro es la que presenta un tiempo de
cálculo superior, a pesar de tener un menor tiempo real de simulación (ver tabla
6.3). En caso de necesitar optimizar alguna de las fases desarrolladas, ésta deberı́a
ser la primera en la que centrar la atención.
Tiempos de cálculo para la simulación de las deformaciones Para determinar la
posibilidad de simular las deformaciones musculares en tiempo real, se han
Capı́tulo 6: Resultados
209
Tiempo de CPU
Dinámica de la pierna de apoyo
20 mseg
Cinemática de la pierna de apoyo y el cuerpo superior
0.1 mseg
Dinámica/Cinemática de la pierna de giro
25 mseg
Tabla 6.3. Tiempos de cálculo de las fases del sistema de locomoción durante 1 paso
realizado diferentes pruebas para obtener los tiempos de cálculos que surgen de la
utilización de diferentes parámetros.
En las mallas utilizadas en las simulaciones de las deformaciones presentadas
previamente se han utilizado valores conservativos de x y t. Sin embargo, tras
realizar un análisis de dichos valores para el problema planteado, es posible llegar
a un lı́mite para el cual la precisión de los resultados es comparable, considerando
x = 0,037 y t = 0,01.
Los datos de entrada y salida para x = 0,015 y para x = 0,037 pueden
observarse en las figuras 6.25 y 6.26, respectivamente. La comparación de las gráficas
refleja que no hay una diferencia apreciable en los resultados.
Figura 6.25. Gráficas de fuerzas y desplazamientos con una malla con x = 0,015 (525 nodos)
Los valores de referencia usados como patrón de comparación de los tiempos de
cálculo son los que se observan en la tabla 6.4.
La variación del número de nodos de las mallas influye considerablemente en
los tiempo de cálculos que se emplean para la simulación de las deformaciones
musculares. En la figura 6.27 se observan las mallas del grupo muscular “isquiotibial”
con 45, 117, 525 y 3321 nodos, respectivamente.
La comparativa de tiempos que surge de variar los números de nodos de las mallas
se muestra en la figura 6.28. Los cálculos se han realizado considerando un paso de
integración de t = 0,01, en el ordenador mencionado previamente.
210
Capı́tulo 6: Resultados
Figura 6.26. Gráficas de fuerzas y desplazamientos con una malla con x = 0,037 (81 nodos)
Tiempo Simulado
1 segundo
Paso de Integración t
0.01 segundos
Número de nodos
81
CPU
UltraSPRACII 480 MHz
Tiempo de Cálculo
3.4 segundos
Tabla 6.4. Valores de referencia utilizados para las pruebas
Figura 6.27. Mallas con diferentes números de nodos
Para el mismo número de nodos, en este caso 81 nodos, el tiempo de cálculo varı́a
considerablemente dependiendo de los pasos de integración elegidos. La figura 6.29
refleja el resultado, en segundos de trabajar con t = 0,05, t = 0,01, t = 0,004
y t = 0,001.
La figura 6.30 muestra la comparativa entre los tiempos de cálculo obtenidos con
diferentes procesadores para procesar una malla de 81 nodos, con t = 0,01. Los
procesadores considerados son: UltraSPRACII a 480 MHz, Pentium III a 800 MHz
y Pentium IV a 2800 MHz.
Capı́tulo 6: Resultados
211
Figura 6.28. Comparativa de los cálculos con mallas con diferentes números de nodos
Figura 6.29. Comparativa entre diferentes pasos de integración
6.3.
Conclusiones
Es este capı́tulo se ha realizado una descripción del sistema de visualización
desarrollado, detallando sus caracterı́sticas principales. La elección del estándar HAnim como modelo de alto nivel para la visualización permite una gran flexibilidad
y la posibilidad de integración en otros sistemas, incluyendo entornos virtuales.
Asimismo, en este capı́tulo se han puesto de manifiesto los resultados que se han
ido obteniendo de aplicar los métodos de presentados en los capı́tulos 4 y 5. Se han
mostrado algunos ejemplos de resultados de los módulos, de manera individual y de
forma conjunta.
Los resultados del sistema de locomoción, validados previamente en el capı́tulo
4, permiten observar el efecto de la variación de algunas de las caracterı́sticas
antropométricas y de los parámetros de diferenciación del paso.
212
Capı́tulo 6: Resultados
Figura 6.30. Comparativa con diferentes CPUs
A continuación se han presentado los resultados de las deformaciones producidas
durante el ciclo de locomoción, atendiendo a los diferentes grupos musculares. Se han
mostrado las diferencias en las distintas partes del ciclo para cada grupo muscular,
y se ha demostrado el comportamiento cı́clico de las deformaciones, resultantes de
la cadencia cı́clica de la locomoción.
Posteriormente se ha presentado la integración de ambos trabajos, incorporando
los resultados del movimiento de los segmentos del esqueleto y el músculo, junto con
sus deformaciones, en un ser virtual.
Finalmente se ha presentado una comparativa sobre los tiempos de cálculo que
se obtienen con el sistema MOBiL. El módulo de locomoción claramente obtiene
salidas en tiempo real, mientras que para las deformaciones, el tiempo de cálculo
varı́a considerablemente dependiendo del número de nodos de la malla, en el paso de
integración y en la CPU utilizada. De dicha comparativa, se deduce que utilizando
una CPU más potente, es posible obtener las deformaciones en tiempo real.
Referencias
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A. Arnold, S. Blemker, and S. Delp. Evaluation of a deformable musculoskeletal model: application to
planning muscle-tendon surgeries for crouch gait. Annals of Biomedical Engineering, 29:263–274, 2001.
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Beitler. http://www.cis.upenn.edu/ beitler/children/.
[CZ92]
David T. Chen and David Zeltzer. Pump it up: Computer animation of a biomechanically based model of
muscle using the finite element method. Computer Graphics (SIGGRAPH ’92 Proceedings), 26(2):89–98,
July 1992.
[DASM96] S. L. Delp, A. S. Arnold, R. A. Speers, and C. A. Moore. Hamstrings and psoas lengths during normal
and crouch gait: Implications for muscle-tendon surgery. Journal of Oorthopaedic Research, 14(1):144–
151, 1996.
[GTK]
GTK. http://www.gtk.org/.
[H-A]
H-Anim: Specification for a Standard Humanoid. http://h-anim.org/specifications/h-anim1.1/.
[JJVH90] M. F. Bobbert J. J. Visser, J. E. Hoogkamer and P. A. Huijing. Length and moment arm of human leg
muscles as a function of knee and hip-joint angles. European Journal of Applied Physiology, 61:453–460,
1990.
[NDW93] J.Ñeider, T. Davis, and M. Woo. OpenGL Programming Guide. Addison-Wesley Publishing Company,
Massachusetts, 1993.
[SMAL00] William Schroeder, Kenneth Martin, Lisa Avila, and Charles Law. The VTK User’s Guide. Kitware,
Inc., 2000.
[WZZ99] Tad Wilson, Michael Zafuta, and Mark Zobitz. A biomechanical analysis of matched bone-patellar
tendon-bone and double-looped semitendinosus and gracilis tendon grafts. The American Journal of
Sports Medicine, 27(2):202–207, 1999.
[ZM99]
Yongping Zheng and Arthur Mak. Effective elastic properties for lower limb soft tissues from manual
indentation experiment. IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering, 7(3):257–267, 1999.
213
7 Conclusiones y Trabajos Futuros
7.Conclusiones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Objetivos Planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Objetivos Alcanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Trabajo en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1.Apariencia visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2.Movimiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3.Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.4.Optimizaciones para Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
217
217
217
218
219
221
222
222
222
223
Conclusiones y Trabajos Futuros
7.1.
Objetivos Planteados
Los objetivos planteados en este trabajo de tesis han sido:
1. Estudio de la problemática relacionada con las deformaciones musculares y con el
control del movimiento del cuerpo humano, en particular durante la locomoción.
2. Desarrollo de un sistema integrado de simulación capaz de generar las
deformaciones que se producen en los músculos durante la locomoción humana.
a) Desarrollo e implementación de un método para animar la locomoción
humana que permita:
Controlar el movimiento de una forma sencilla e intuitiva,
Generar animaciones en tiempo real de locomociones de individuos de
caracterı́sticas antropomórficas diferentes,
Generar valores de momentos y fuerzas.
b) Desarrollo e implementación de un sistema de simulación para la deformación
de objetos en 3 dimensiones que permita:
Utilizar los datos de fuerzas obtenidos de la locomoción,
Realizar deformaciones con apariencia realista,
Trabajar con tiempos de cálculo aceptables.
3. Desarrollo de una plataforma que permita visualizar y generar animaciones de
los resultados de las simulaciones.
7.2.
Objetivos Alcanzados
En esta memoria se ha realizado, en el capı́tulo 1, un análisis de todos aquellos
trabajos que tratan las deformaciones musculares producidas durante la locomoción
(objetivo 1). Sin embargo, para abordar esta problemática ha sido necesario
profundizar de forma detallada en las investigaciones realizadas en las áreas de
modelado del cuerpo humano, movimiento del cuerpo y simulación de deformaciones
musculares. El estudio de cada uno de estos temas se ha presentado en las secciones
2.2, 4.1, y 5.1, respectivamente.
Se ha desarrollado un sistema que permite simular las deformaciones musculares
durante la locomoción humana (objetivo 2). En el capı́tulo 3 se ha presentado una
descripción global del sistema, que consta de dos módulos que funcionan de manera
coordinada.
217
218
Capı́tulo 7: Conclusiones y trabajos futuros
El primer módulo, presentado en el capı́tulo 4, consiste en un sistema de
locomoción (objetivo 2.a) que permite obtener animaciones en tiempo real de
personas con diferentes caracterı́sticas antropométricas y diferentes modos de
locomoción. Dicho sistema se ha utilizado para obtener los datos de las fuerzas
que actúan sobre los músculos, permitiendo ası́ la integración con las deformaciones
musculares.
En el capı́tulo 5 se ha presentado el segundo módulo, encargado de realizar las
deformaciones musculares (objetivo 2.b) considerando las lı́neas de acción de los
músculos y calculando la evolución de los desplazamientos en el tiempo utilizando
el método de elementos finitos. Los tiempos de cálculo obtenidos con las CPU’s
utilizadas son “cercanos al tiempo real”, y si se migra el sistema a computadores
con CPU’s más potentes, se obtendrı́a tiempo real, al menos para mallas con el
mı́nimo nivel de complejidad (capı́tulo 7).
En el capı́tulo 6 se ha descrito la implementación del sistema de visualización que
permite integrar ambos módulos, y que ofrece la posibilidad de generar imágenes y
animaciones (objetivo 3).
7.3.
Conclusiones Generales
La aportación principal de este trabajo de investigación consiste en el desarrollo de
un sistema que permite la simulación coordinada del movimiento de un modelo
esqueletal complejo y de la deformación muscular que se produce, con tiempos de
cálculo aceptables para la interacción con el animador.
La utilización de este sistema, denominado MOBiL (Muscle defOrmation in Biped
Locomotion), permite simular locomociones y deformaciones musculares en base a
parámetros de control de alto nivel en lugar de depender de datos capturados o de la
interacción con el usuario. De este modo, es posible definir animaciones de diferentes
personas caminando, con sólo modificar su velocidad, frecuencia o longitud de paso,
y el peso, altura o complexión del individuo.
Para ello, el sistema se ha basado en un encadenamiento de modelos de pierna con
complejidad creciente, de forma que los resultados obtenidos utilizando uno sirvan
como entrada al siguiente, progresando desde lo global a lo local, y desde el esqueleto
hasta los músculos.
La animación global del movimiento de locomoción se realiza en base a 48
segmentos articulados que se mueven de forma coordinada durante varios ciclos
de locomoción, incluidos los movimientos de inicio y fin de la marcha.
La animación local de la forma se realiza utilizando elementos finitos para simular
las deformaciones de los músculos de las piernas cuando éstas se mueven. La
utilización de FEM permite trabajar con mallas volumétricas en las que es posible
incluir información de la composición interna de los objetos.
En cuanto a los tiempos de cálculo, hay que reseñar que la resolución de sistemas
de ecuaciones diferenciales de segundo orden y la utilización de elementos finitos
Capı́tulo 7: Conclusiones y trabajos futuros
219
presentan un elevado coste computacional. Aunque para MOBiL se ha optado
por la implementación directa de algoritmos de cálculo numérico frente a la
utilización de librerı́as externas (posiblemente mejor optimizadas y mas rápidas)
las simplificaciones escogidas y el mı́nimo nivel de complejidad de las mallas
implementadas permiten mantener el tiempo de cálculo en el mismo orden de
magnitud que el tiempo de simulación (1 segundo real de simulación necesita de
3 segundos de cálculos). Sin embargo, también hay que decir que si se migra el
sistema a computadores con CPU’s más potentes, es evidente que permitirı́a obtener
resultados en tiempo real, al menos para mallas pequeñas, pero suficientes.
A lo largo del desarrollo de la memoria se han ido presentando tanto reflexiones
como conclusiones referentes a cada tema en concreto.
7.4.
Trabajo en desarrollo
En este apartado se presentan los resultados obtenidos de integrar los seres
humanos virtuales generados con MOBiL en un entorno inmersivo.
En primer lugar se describe la inclusión en un software comercial, PERFORMER,
que podrı́a dar lugar a la utilización en juegos. Posteriormente se describen los casos
de incluir los humanos virtuales en software desarrollado dentro del Laboratorio de
Simulación de la Luz del grupo GIGA, en un entorno Cave-Like System (CLS).
En el entorno CLS las imágenes que se proyectan en las pantallas se generan con
PCs diferentes, los cuales están sincronizados por otro ordenador. En la figura 7.4
se puede ver un esquema general del sistema.
Left projec
Right projec
Right projec
Left projec
Client
Client
Client
Right projec
Client
Left projec
Client
Screen
PC
Right projec
Projector
Client
Server
Figura 7.1. Esquema del CLS
La inclusión de caracteres humanos en movimiento es fundamental en simulación
de la conducción para aumentar la sensación de inmersión dentro del entorno.
220
Capı́tulo 7: Conclusiones y trabajos futuros
Para este tipo de aplicaciones la iluminación de la escena es no-realista y se generan
imágenes con apariencia de videojuego. En este sentido, se ha elegido trabajar con la
librerı́a comercial PERFORMER debido a su versatibilidad y a su disposición para
varias plataformas. Para lograr la simulación se han incluido en PERFORMER
los ficheros que contienen las coordenadas del humano para cada paso de tiempo.
Esta técnica se aplica actualmente en el desarrollo de un simulador de conducción
denominado SIMPRAC, que se utiliza para analizar la reacción de un conductor
inexperto en situaciones inesperadas, de manera que se puedan prevenir accidentes
de tráfico. Los resultados obtenidos se observan en la figura 7.2.
Figura 7.2. Vista de una calle con seres virtuales
Para los estudios de seguridad en la conducción, es necesario que la escena
se “vea” tal como la verı́a un observador en una situación real, por lo tanto
es necesario un sistema de simulación precisa, con un mecanismo que permita
realizar la reproducción de tono que se produce en el ojo. Asimismo, es necesario
incluir personajes en movimiento dentro de las escenas, ya que pueden afectar a
la percepción del conductor. Para simular este tipo de escenas se trabaja con un
sistema de simulación de la iluminación, ALEPH [MS00], en el que se incluyen los
seres virtuales, exportados de MOBiL en formato VRML, que incluye la geometrı́a
y las especificaciones de movimiento del modelo del cuerpo.
En la figura 7.3 se observa un ejemplo de diferentes niveles de visibilidad de un
peatón, en condiciones extremas de iluminación, a la entrada y salida de un túnel.
Por ejemplo la claridad exterior puede hacer que un peatón se torne invisible para el
conductor debido al deslumbramiento. Esta simulación requiere un paso de mapeo
de tono, que se realiza con SEKER [GAS04] una vez que se obtienen los resultados
de ALEPH.
Capı́tulo 7: Conclusiones y trabajos futuros
221
Figura 7.3. Dos ejemplos de imágenes con diferentes niveles de visibilidad
Por último, los humanos virtuales se han incluido en una representación virtual
del Teatro/Auditorium Telde, construido recientemente en Gran Canaria (Islas
Canarias). La inclusión de los seres humanos permite realizar estudios de usabilidad
y ergonomı́a del espacio, y observar el efecto de aumentar la cantidad de gente
caminando en la recepción del teatro. Para ello se ha trabajado con el software
SICARA3D [MSSG04].
La figura 7.4 (a) se muestra, una visualización del interior del auditorium con seres
virtuales, mientras en la figura 7.4 (b) se puede ver la interacción con el modelo en
tiempo real dentro del sistema CLS.
(a) Seres Virtuales en el Auditorio Telde
(b) Vista Inmersiva
Figura 7.4. El auditorio Telde
7.5.
Trabajos futuros
A continuación se proponen algunas lı́neas de posible trabajo futuro. La primera
sección se centra en la lı́nea de la Apariencia visual, la segunda se focaliza en el
222
Capı́tulo 7: Conclusiones y trabajos futuros
Movimiento global, la tercera está relacionada con las Deformaciones y, por último,
la cuarta sección está orientada al Tiempo real.
7.5.1.
Apariencia visual
La mejora de la apariencia visual de los músculos se puede lograr incorporarndo
texturas directamente sobre las mallas o sobre las superficies NURBS. Dichas
texturas se pueden obtener a partir de imágenes médicas [DCKY02], ya sea por
medio de técnicas de visión o simplemente mediante captura de la imagen, teniendo
en cuenta la dirección de las fibras [Ng 01]. Asimismo, serı́a conveniente estudiar
la técnica presentada en [JP02] permite visualizar texturas para la simulación de
deformaciones empleando tarjetas gráficas de bajo coste.
Por otra parte, para obtener mayor precisión a la hora de representar los músculos
gran parte de los trabajos incoporan reconstrucciones en 3D extraı́das de imágenes
médicas. Los datos de Tomografı́as Computadas y Resonancias Magnéticas se
pueden obtener del Visible Human [Ack98], y la reconstrucción del los músculos
puede realizarse trabajando con técnicas de modelado geométrico [GSB99] o bien
utilizando las herramientas desarrolladas en el grupo GIGA permitirı́an realizar
tanto la segmentación de las imágenes [PS03] como la generación de la malla [PSS03]
que forma el músculo.
7.5.2.
Movimiento global
Los movimientos planteados en este trabajo se podrı́an extender para incluir
otro tipo de locomociones. Desde menor a mayor complejidad, podrı́an incluirse
los siguientes movimientos: subir y bajar escaleras [CH99], caminar en terrenos que
no sean planos [CH99] [LL00], correr [BC96] o saltar [FG96].
Concretamente, dentro del sistema de locomoción actualmente desarrollado, serı́a
interesante poder representar la locomoción de personas de diferentes edades,
desde niños hasta ancianos. La manera de caminar cambia mucho dependiendo
de la edad, ya no sólo por la velocidad del paso, sino también por la pérdida
de masa muscular [NMRC03], que es especialmente mayor en los músculos de las
extremidades inferiores (de los 20 a los 70 años la masa muscular decrece en un 25 %
[JHWR00]). El artı́culo de [LBT03] serı́a un buen punto de comienzo para trabajar
con locomociones de personas de edad avanzada.
En el sistema desarrollado se ha trabajado con datos antropométricos
correspondientes a hombres de raza blanca, pero dado el modelo paramétrico
utilizado, es fácilmente extensible a otros segmentos de la población y permite
la simulación de la locomoción en mujeres e individuos de otras razas, edades o
complexiones.
7.5.3.
Deformaciones
El sistema de deformaciones podrı́a extenderse para la inclusión de otro tipo de
comportamiento de los materiales, como la viscoleasticidad o no linealidad. Sin
Capı́tulo 7: Conclusiones y trabajos futuros
223
embargo, esto implicarı́a cambios considerables en el método de elementos finitos.
Por ello, el comportamiento muscular podrı́a simularse utilizando el modelo de
Zajac-Hill [Zaj89], tal como se plantea en los artı́culos de [CZ92] o en [KS97].
Actualmente se han implementado las lı́neas de acción como la unión entre el
origen y la inserción del músculo, excepto en el caso del cuadrı́ceps, donde se ha
considerado la inclusión de la rótula. Sin embargo, la acción de las fuerzas no suele
ir en lı́nea recta, por lo tanto serı́a posible utilizar polilineas [NT00] para simular la
acción muscular.
7.5.4.
Optimizaciones para Tiempo Real
Actualmente es posible visualizar en tiempo real, la deformación de los músculos
de una persona durante la locomoción gracias a un modelo músculo-esqueletal. Con
mallas formadas por 32 elementos finitos, con CPUs de última generación y con un
paso de integración temporal de 0.01 segundos, es posible simular las deformaciones
producidas en los músculos durante el movimiento de locomoción.
Uno de los objetivos que serı́a deseable alcanzar se centra en la simulación
en tiempo real de un modelo músculo-esqueletal “completo” de las extremidades
inferiores durante la locomoción. La opción más simple consiste en calcular los
diferentes músculos en paralelo en diferentes procesadores de modo que se pueda
conseguir la visualización del comportamiento de varios músculos en simultáneo. Sin
embargo, si se pretende trabajar con mayor nivel de detalle es necesario trabajar
con técnicas de paralelismo. Para ello, se prevé trabajar con un cluster Beowulf
desarrollado en el grupo GIGA [SGMB03]. El sistema tiene 5 nodos idénticos, a los
cuales no es posible acceder directamente, y un nodo especial que actúa como frontend del sistema. Los nodos son PIII dual a 1 GHz con 1 GB de memoria DIMM. El
sistema se basa en Linux como sistema operativo, y en el software Bproc [Hen02].
Para ejecutar el código de elementos finitos desarrollado en un sistema con las
caracterı́sticas mencionadas, habrı́a que realizar algunas modificaciones:
Usar la librerı́a estándar MPI [WSG+ 98] para la comunicación entre los diferentes
procesos.
Cambiar el método de almacenar los datos en las matrices, pasando de un
almacenamiento por filas a un almacenamiento diagonal [SSB00] [SS00].
Otra posibilidad para resolver los conflictos entre calidad y velocidad consistirı́a
en utilizar técnicas multiresolución similares a las planteadas en los trabajos
desarrollados en [CPD+ 96] y en [ZCK98].
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Biomechanics, Atlanta, Georgia, October 1996. Georgia Institute of Technology.
[Win90]
A.
Apéndice: Datos y constantes antropométricas
Los datos utilizados en este trabajo para las medidas de los segmentos y los
músculos de las extremidades inferiores del esqueleto provienen de una recopilación
realizada por Pierrynowski [Pie95] a partir de una colección de artı́culos. Estos
datos corresponden a un individuo de referencia de 1.70 m y 70 kg, masculino y
caucasiano, y siguen el sistemas de coordenadas estándar propuesto por el grupo
CAMARC, levemente modificado [Pie95]. Dicho sistema es ortogonal, siguiendo la
regla de la mano derecha, y se considera que con un individuo en posición anatómica,
F = Forward va de posterior a anterior, O=Outward va de derecha a izquierda y
U=Upward va de inferior a superior. La figura 7.5 ilustra el sistema de referencia
FOU para el húmero derecho.
Figura 7.5. Sistema de referencias FOU: Forward, Outward, Upward
A.1.
Datos correspondientes al esqueleto
Las medidas correspondientes a los segmentos de las extremidades inferiores se
pueden observar en la figura 7.6 [Pie95].
Los datos correspondientes a los segmentos del resto del cuerpo se basan
principalmente en los datos paramétricos, proporcionales a la altura del individuo,
provenientes de trabajos de varios autores [Win79] [BC89] [Win90].
A.2.
Datos correspondientes a los músculos
Los datos requeridos para los músculos son los siguientes: longitudes de músculo
(Lm ), tendón (Lt ) y fibras (Lf ), ángulo de pennation (α), masa (mass) y ASTF
(pCSA). Los valores utilizados se expresan en la figura 7.7.
A.3.
Uniones entre huesos y músculos
La información relativa a los puntos de origen e inserción de los diferentes músculos
en los huesos se extraen también de la misma fuente y se reflejan en la tabla de la
figura 7.8.
242
Apéndice A: Datos y constantes antropométricas
Figura 7.6. Referencias de los segmentos del esqueleto siguiendo el sistema FOU
Apéndice A: Datos y constantes antropométricas
Figura 7.7. Datos de los músculos de las extremidades inferiores
Figura 7.8. Referencias de los orı́genes e inserción de los músculos de las extremidades inferiores
243
Referencias
Armin Bruderlin and Thomas W. Calvert. Goal-directed, dynamic animation of human walking. Computer
Graphics, 23(3):233–242, July 1989.
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York, 1979.
[Win90] David A. Winter. Biomechanics and Motor Control of Human Movement. Wiley-Interscience. John Wiley
& Sons, Inc., 2nd edition, 1990.
[BC89]
244
B.
Apéndice: Actividad Muscular durante la Locomoción
A continuación se explica detalladamente la actuación de los músculos en las
diferentes fases del ciclo de locomoción. Las fases se corresponden con las fases
cinemáticas previamente descritas en el capı́tulo 4 (ver figura 7.9).
Figura 7.9. Diagrama de la temporización de las subfases del ciclo de locomoción
La Fase de Apoyo estaba formada por las subfases de Contacto, Despegue del
talón y Despegue del Empeine. Sin embargo, de cara al análisis de la actividad
muscular es conveniente subdividir en dos partes la fase de Contacto: Contacto del
talón y Apoyo medio. La Fase de Giro está formada por las Subfases 1, 2 y 3 de
Giro.
Los datos para la descripción de la actividad muscular durante las distintas fases
y subfases de la locomoción humana se han extraı́do de diferentes trabajos, entre
los que hay que mencionar los siguientes: [Kap70] [PVB84] [FN93] [PMP97] [Ayy97]
[Hum02] [Whi03].
Fase de Apoyo: Contacto - Contacto del talón con el suelo. Durante esta acción
el miembro inferior se alarga al máximo y la pelvis está en el lado del contacto en
aducción horizontal, con respecto al miembro en carga. La rodilla está en extensión
completa o casi completa. El tobillo se halla en posición neutra. Estas posiciones
articulares tienen como objetivo dar al miembro inferior la máxima longitud.
Músculos que actúan sobre el tobillo: Los tres dorsiflexores primarios del
tobillo, extensor común de los dedos, extensor propio del primer dedo y
tibial anterior, están activos. Estos músculos, que componen el grupo pretibial,
producen una contracción excéntrica para amortiguar el choque contra el suelo
cuando las fuerzas externas (gravedad e inercia), llevan el pie a la flexión plantar.
Músculos que actúan sobre la rodilla: Para compensar la inestabilidad que se
produce en la rodilla al impactar el talón contra el suelo, el cuádriceps produce
una contracción excéntrica. La articulación de la rodilla se mueve de una
extensión completa a una posición de 15 o 20o de flexión.
246
Apéndice B: Actividad Muscular
Figura 7.10. Contacto: Contacto del talón con el suelo
Músculos que actúan sobre la cadera: La acción del glúteo mayor y de los
isquiotibiales resisten el movimiento de las fuerzas que tienden a flexionar la
cadera después del contacto del talón. Los erectores de la columna también
están activos para resistir la tendencia del tronco de realizar una flexión hacia
adelante. El glúteo menor y mediano también participan en esta acción, aunque
son músculos abductores y su función principal es la estabilización lateral de la
cadera.
Fase de Apoyo: Contacto - Apoyo medio. Una vez que toda la suela plantar toma
contacto con el suelo el sujeto se halla en equilibrio monopodal. La longitud máxima
del miembro inferior, alcanzada durante la fase precedente, es ahora una desventaja
ya que somete al centro de gravedad a una aceleración vertical importante; por esta
razón la rodilla se flexiona ligeramente, de 15 a 25o según el sujeto y la rapidez del
desplazamiento.
Figura 7.11. Contacto: Apoyo medio
Músculos que actúan sobre el tobillo: La tibia empieza a rotar hacia adelante
sobre el pie fijo, los dorsiflexores están esencialmente inactivos, pero los músculos
Apéndice B: Actividad Muscular
247
de la pantorrilla (gastronemios, sóleo, tibial posterior, flexor largo de los dedos y
peroneo lateral largo) demuestran un aumento gradual de su actividad. El sóleo
actúa como estabilizador de la rodilla en extensión, junto con los dos flexores que
actúan sobre los dedos, y ayudados de manera inconstante por los gastronemios.
La actividad de estos músculos sirve para controlar la velocidad con que la tibia
rota sobre el pie fijo. El músculo peroneo contribuye a mantener la estabilidad
lateral de la pelvis.
Músculos que actúan sobre la rodilla: Cuando la planta del pie está apoyada
en el suelo, sólo está activa la parte anterior del muslo. La naturaleza de la
actividad del cuádriceps cambia de una contracción excéntrica (alargamiento) a
una contracción concéntrica (acortamiento). Como resultado de esta contracción
y de una aceleración hacia adelante del centro de gravedad, producido por el
despegue del miembro opuesto, se extiende el muslo en la pierna y la rodilla
flexionada se mueve en la dirección de la extensión. Los cuádriceps resisten la
flexión de la rodilla hasta que el centro de gravedad pasan sobre la base del pie
de apoyo. Posteriormente la actividad de los cuádriceps es prácticamente nula.
Músculos que actúan sobre la cadera: En esta fase el glúteo mayor continúa
su acción de contracción y los músculos abductores continúan estabilizando la
caı́da de la pelvis en el plano frontal.
Fase de Apoyo: Despegue del talón. Esta etapa se caracteriza por una intensa
actividad de los músculos llamados “flexores plantares” que actúan sobre el tobillo.
Durante el despegue del talón los dedos permanecen en contacto con el suelo y el
tobillo se halla colocado en posición alta. Este hecho somete al centro de gravedad
a una aceleración vertical importante, lo que provoca que la rodilla se doble en ese
mismo instante.
Figura 7.12. Despegue del talón
Músculos que actúan sobre el tobillo: La actividad muscular más importante
es en la parte posterior de la pierna, en la cual todos los músculos están activos,
248
Apéndice B: Actividad Muscular
tanto los flexores de los dedos de los pies como el trı́ceps sural (gastronemios, sóleo
y delgado plantar). El trı́ceps sural, en contracción excéntrica, es el responsable
de “elevar” la parte posterior del pie, mientras que otros músculos son accesorios
de esta acción tractora. El tibial posterior y los peroneos están en contracción y
continúan con su acción estabilizadora.
Músculos que actúan sobre la rodilla: Cuando la reacción del suelo pasa por
delante de la rodilla se genera un momento de fuerza en extensión y no se
necesita ninguna reacción de los músculos extensores de la rodilla para controlar
su estabilidad. Los gastronemios, además de su acción en el tobillo, ayudan a
evitar la hiperextensión de la rodilla.
Músculos que actúan sobre la cadera: El tensor de la fascia lata está activo
para prevenir la caı́da de la pelvis. El iliopsoas y los aductores, inactivos hasta
el momento, resisten la tendencia del movimiento hacia adelante del cuerpo para
hiperextender la cadera y produce flexión de la misma. El movimiento hacia
adelante del fémur inicia la flexión de la rodilla, mientras que la rodilla es llevada
hacia adelante y el pie está todavı́a en contacto con el suelo.
Fase de Apoyo: Despegue del empeine. Durante este fase, el tobillo se mueve de su
posición de dorsiflexión a 20o de flexión plantar. A medida que la flexión plantar
aumenta, el peso sobre la pierna va disminuyendo. La flexión de la rodilla pas
rápidamente para lograr los 35o de flexión al final de este perı́odo.
Figura 7.13. Despegue Empeine
Músculos que actúan sobre el tobillo: Al final de esta fase la fuerza vertical
disminuye y los plantaflexores están inactivos.
Músculos que actúan sobre la rodilla: La tensión pasiva en los flexores
plantares facilitan la flexión de la pierna, que decrece hasta cero preparándose
para el despegue de los dedos del pie. La contracción excéntrica del cuádriceps
ayuda a prevenir una elevación excesiva del talón y contribuye a la aceleración
hacia adelante de la pierna El recto anterior y el vasto medio actúan
conjuntamente para frenar la amplitud de la flexión de la rodilla.
Apéndice B: Actividad Muscular
249
Músculos que actúan sobre la cadera: La cadera se flexiona a una posición
neutral iniciada por el recto anterior, el sartorio y el aductor largo. El aductor
largo es el encargado de llevar la pierna hacia la lı́nea media.
Fase de Giro: Subfase 1 de giro. El perı́odo de elevación de los dedos del pie es muy
breve y se caracteriza porque el peso del cuerpo se carga en la pierna contraria para
poder despegar los dedos del pie. Para ello se realiza una flexión rápida e importante
de la rodilla, que puede alcanzar unos 50o , pero sin actividad de los flexores de rodilla.
Por otra parte, los aductores están muy activos debido a su acción como flexores de
la cadera.
Figura 7.14. Subfase 1 de Giro. Despegue de los dedos del pie
Músculos que actúan sobre el tobillo: Los
músculos del compartimiento posterior (trı́ceps sural) continúan brevemente su
acción de mantenimiento del ángulo del tobillo, y luego cesa su actividad. Los
peroneos ejercen una acción de estabilización lateral, mientras que los músculos
tibiales anteriores, junto con el extensor común de los dedos y el extensor propio
del primer dedo del pie, permiten que el pie se desprenda del suelo para dar el
paso.
Músculos que actúan sobre la rodilla: El momento de flexión de la cadera,
asistido por el biceps femoris corto, el sartorio y el gracilis crea una rápida flexión
de la rodilla, que permite que el pie se despegue. El sartorio, junto con el gracilis
y el iliaco contribuyen tanto a la flexión de la rodilla como a la de la cadera.
Músculos que actúan sobre la cadera: En este estadio sólo están activos los
músculos aductores, que actúan como flexores de la cadera. Los glúteos están
inactivos, debido a que se acaba de transferir el peso del cuerpo a la pierna
contraria.
Fase de Giro: Subfase 2 de giro o Giro medio. En este estadio, el miembro inferior
alcanza su longitud mı́nima. Las articulaciones de la cadera y la rodilla están en
250
Apéndice B: Actividad Muscular
flexión y la articulación del tobillo se moviliza para llevar al pie a dorsiflexión. El
peso total del cuerpo lo soporta la pierna contraria.
Figura 7.15. Subfase 2 de Giro o Giro Medio
Músculos que actúan sobre el tobillo: Los músculos tibial anterior, extensor
común de los dedos y extensor del dedo gordo del pie (grupo pretibial) se contraen
y actúan como elevadores del antepié.
Músculos que actúan sobre la rodilla: Durante este periodo el recto anterior
y el crural continúan la acción iniciada anteriormente: frenar la amplitud de la
flexión de la rodilla. A éstos se añade el músculo sartorio que tiene una doble
acción de flexor de cadera y rodilla. Al final de la etapa se incorpora a la acción
el recto interno, que también sirve como flexor de la rodilla. El bı́ceps crural
interviene para controlar la posición del pie, conforme se acerca al suelo.
Músculos que actúan sobre la cadera: Durante la última parte de este
intervalo, los músculos extensores de la cadera, principalmente los isquiotibiales
están activados para controlar el movimiento de la extremidad hacia adelante.
En el compartimiento interno están activos el recto interno, mencionado por
su actuación en la rodilla, y el aductor mayor. Para controlar la actividad del
aductor mayor, y evitar ası́ una aducción demasiado pronunciada, en este perı́odo
también está activo el tensor de la fascia lata.
Fase de Giro: Subfase 3 de giro. El miembro inferior oscilante pasa a gran velocidad,
mientras que el miembro opuesto están en carga, y el esqueleto se coloca en posición
de mayor longitud posible para alcanzar el suelo antes que el cuerpo.
Músculos que actúan sobre el tobillo: El tibial anterior, el extensor común y
el extensor del dedo gordo del pie continúan en contracción para mantener el pie
en dorsiflexión y para preparar la amortiguación del choque durante el contacto
del talón con el suelo.
Músculos que actúan sobre la rodilla: El bı́ceps crural continúa la actividad
iniciada en la fase precedente, y se le incorporan los músculos semimembranoso
Apéndice B: Actividad Muscular
251
Figura 7.16. Subfase 3 de Giro. Final de la fase de giro.
y semitendinoso. Estos tres músculos (isquiotibiales) frenan la oscilación anterior
de la pierna. La actividad más intensa se produce justamente antes de la toma
de contacto del talón. El segundo pico corresponde a una estabilización de la
rodilla. El músculo sartorio ejerce una tracción simultánea sobre la pierna y el
muslo, asumiendo su papel de ligamento activo y protector de la integridad de la
rodilla. Los cuádriceps se contraen para extender la rodilla en preparación para
el contacto inicial.
Músculos que actúan sobre la cadera: El músculo iliaco actúa como flexor de
cadera, equilibrando su contracción con la frenadora de los isquiotibiales que,
hacia el final de la trayectoria, después de desacelerar enérgicamente la pierna,
se oponen a una flexión de cadera demasiado pronunciada. El recto interno
se manifiesta de nuevo, y el aductor mayor entra en acción hacia el final del
movimiento de oscilación y su actividad sólo cesa en el momento del contacto
talón-suelo.
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[Whi03] Michael W. Whittle. Gait Analysis: an introduction. Butterworth-Heinemann, Edinburgh, 3rd edition,
2003.
252
C.
Apéndice: Parámetros de diferenciación del paso
A lo largo del trabajo se han introducido una serie de parámetros que controlan
el movimiento de alguno de los segmentos del cuerpos y una serie de variables
que, de forma paramétrica, configuran el movimiento de las articulaciones. Estas
variables pueden estar restringidas en sus lı́mites inferior y/o superior. La restricción
puede corresponder a valores extraı́dos de medidas antropométricas, experimentales
o estéticas. En todos los casos, los valores de estas restricciones pueden ser cambiados
para obtener modos de locomoción individualizados.
En la tabla 7.1 se pude encontrar el nombre, la definición y el valor por defecto de
los parámetros de diferenciación del paso implementados en el sistema, mientras que
en la tabla 7.2 se especifican los datos correspondientes a las restricciones articulares
del modelo.
Nombre
Valor Definición
frot brazo
80 % En el plano sagital, proporción entre el ángulo girado por cada brazo y el ángulo de la
articulación de la cadera opuesta
frot hombro
60 % En el plano transversal, proporción entre el ángulo girado por cada hombro y el ángulo de la
pelvis, en sentido contrario
fbal pelvis
100 % En el plano coronal, factor de proporción del ángulo máximo de balanceo pélvico
fanch paso
90 % Proporción respecto a la longitud de la pelvis l0 de la anchura del paso. El 100 % significa que
las caderas y pies se encuentran alineaos. Interviene en el cálculo del desplazamiento lateral
máximo dlat max junto con la frecuencia de paso
θ2
0o
des
En el plano sagital, valor angular respecto a la columna vertebral. Permite modificar la
apariencia de la locomoción inclinando la columna hacia atrás o adelante
durflex rodilla
10 % En la subfase de despegue del empeine, es la proporción respecto del tiempo de duración de
un ciclo de locomoción, en la que la articulación de la rodilla alcanza el valor de amax rodilla
dist D
30 % Proporción, sobre la distancia horizontal recorrida por el tobillo de la pierna de giro en la
subfase 1 en que la altura del tobillo es máxima
lev tobillo inicio
Altura máxima del tobillo en el paso inicial, partiendo del reposo
Tabla 7.1. Descripción de los parámetros de diferenciación del paso y sus valores por defecto
254
Apéndice C: Parámetros de diferenciación del paso
Nombre
Valor
rmax codo
35o
Máxima flexión del codo
rmin codo
0o
Mı́nima flexión del codo
rmax pelvis
13o
En el plano transversal, valor angular máximo de la rotación pélvica
tranmax fp
fp
fp
40 p/m Lı́mite superior del incremento de la frecuencia de paso que puede producirse entre dos pasos
consecutivos para que su apariencia sea normal
max
180 p/m Lı́mite superior del incremento de la frecuencia de paso que puede producirse en un paso
para que su apariencia sea normal
norm
132 p/m Valor de la frecuencia de paso natural. Lı́mite superior de la frecuencia del paso para poder
utilizar la fórmula de normalización del paso. Proporción sobre la altura total del individuo
lp
lp
Definición
max
norm
60 %
Lı́mite superior de la longitud de paso que puede producirse en un paso para que su apariencia
sea normal. Proporción sobre la altura total del individuo
58.2 % Longitud de paso natural. Lı́mite superior de la longitud del paso para poder utilizar la
fórmula de normalización del paso. Proporción sobre la altura total del individuo
tranmax v
2km/h Lı́mite superior del incremento de la velocidad caminando que puede producirse entre dos
pasos consecutivos para que su apariencia sea normal
decmax v
4km/h Lı́mite inferior del incremento de la velocidad caminando que puede producirse entre dos
pasos consecutivos para que su apariencia sea normal
lev dedo
0.009m Altura mı́nima que debe existir entre el dedo del pie y el suelo en la fase de giro. Con esta
distancia se previene en la cinemática el choque del pie con el suelo
giro1 metac
0o
Valor angular de la articulación del empeine al final de la subfase 1 de giro
giro1 tobillo
80o
Valor angular de la articulación del tobillo al final de la subfase 1 de giro
4o
Valor angular que debe ser alcanzado por la articulación de la rodilla al final de la subfase 2
de giro
65o
Valor angular de la articulación de la rodilla al final de un tiempo determinado posterior al
inicio de la subfase cinemática de despegue del tobillo. Proviene de medidas experimentales
des
90o
Valor angular de la articulación del tobillo al final de la fase de giro
des
0o
Valor angular de la articulación del empeine al final de la fase de giro
θ4 min apoyo
0o
Valor angular mı́nimo de la articulación de la rodilla en la fase de apoyo
apoyofin tobillo
50o
Valor angular de la articulación del tobillo al final de la fase de apoyo
θ6 min lapso
2o
Incremento mı́nimo del ángulo del empeine durante la subfase de despegue del empeine
θ4
des
amax rodilla
θ5
θ6
Tabla 7.2. Descripción de las restricciones cinemáticas de las articulaciones y sus valores por defecto
D.
Apéndice: Constantes fı́sicas
Los datos que se presentan son valores medios extraı́dos de medidas experimentales
de la rigidez de ciertas articulaciones de nuestro modelo. Es necesario recordar que
se utilizan expresiones propias de comportamientos de elementos pasivos (muelles
y amortiguadores) como expresión temporal de la acción de los elementos motores
que impulsan al sistema.
Variar la rigidez de los muelles y elementos de fricción permite modificar la
dinámica básica del sistema y obtener diferentes caracterizaciones en los mecanismos
de locomoción.
Nombre Valor Definición
kw
11500 Rigidez del muelle longitudinal de la pierna de apoyo
υw
600 Constante amortiguadora lineal de la pierna de apoyo
k2
1800 Rigidez del muelle de torsión del cuerpo superior
υ2
200 Constante amortiguadora de torsión del cuerpo superior
k3
5000 Rigidez del muelle de torsión de la pierna de giro
υ3
400 Constante amortiguadora de torsión de la pierna de giro
pa1 inc 0.05 Incremento del valor del elemento activo de control de la fuerza axial de la pierna de apoyo
en la subfase dinámica de contacto
pa3 inc 0.05 Incremento del valor del elemento activo de control de la fuerza axial de la pierna de apoyo
en la subfase dinámica de apoyo medio
Tabla 7.3. Descripción y valores por defecto de las constantes fı́sicas del sistema