5. ANÁLISIS DE RIESGO E INCERTIDUMBRE El estudio de los

Evaluación de Proyectos de Inversión
5.
ANÁLISIS DE RIESGO E INCERTIDUMBRE
El estudio de los proyectos bajo condiciones de riesgo e incertidumbre, implica reconocer
explícitamente que al interior de un proyecto existen innumerables situaciones que no son
factibles de controlar con certeza. Hoy por hoy, variables macroeconómicas tales como;
nivel del gasto público, nivel de inversión, nivel de empleo, tasa de interés, entre otras
variables, están sujetas a factores externos que dificultan fuertemente la predicción de sus
verdaderos valores. A su vez, el nivel de ventas y producción, así como los precios de los
productos y factores de producción, depende en gran medida del comportamiento de dichas
variables, con lo cual al ser usadas, se debe tener clara conciencia que sólo son
estimaciones y como tales factibles de sufrir cambios. Una situación análoga ocurre con
variables demográficas, en la cual las tasas de crecimiento de población, son estimaciones.
Los flujos de caja de un proyecto (ingresos y costos), están ciertamente influenciados por
variables macroeconómicas y demográficas, ya que un grado importante del
comportamiento de los flujos se ve explicado por este tipo de variables, por ejemplo:
197
Miguel Angel Mellado Espinoza
El nivel de ingresos de un proyecto depende básicamente de la cantidad de bienes
producidos y vendidos y el precio al cual son comercializados. A su vez, el nivel de
venta depende de la demanda, la cual esta asociada a la población y el nivel de ingresos
de los consumidores.
Consecuentemente, los flujos netos de caja que son usados en la determinación de los
indicadores de rentabilidad de un proyecto, son sólo estimadores de los verdaderos valores.
El grado de conocimiento que se tenga acerca del comportamiento de las variables, así
como también, de la distribución de probabilidades que sea posible asociar al
comportamiento de la variable, hace que sea necesario emplear métodos diferentes que se
basen en dicho conocimiento, de tal forma que se tiene:
Riesgo
:
Son conocidas las distribuciones de probabilidades de las
variables y por ende la de los flujos de caja.
Incertidumbre
:
Sólo son conocidos diferentes valores que puede adoptar la
variable, pero no cual probabilidad de ocurrencia de estos
valores.
Frente a estas dos grandes posibles situaciones, existen cuatro grandes instrumentos de
análisis, dos de ellos orientados a estudio del riesgo y dos más asociados a la incertidumbre,
correspondiendo a:
Estimadores de Riesgo: Tratamiento analítico de la variabilidad de los flujos y las
probabilidades de ocurrencia de los mismos, calculando estimadores de los
indicadores de rentabilidad.
Simulación: Modelación de los Flujos de Caja a través de combinación de variables
determinísticas y estocásticas. El comportamiento de las variables se simula
empleando números aleatorios que describen la distribución de probabilidades.
Teoría de Juegos: Tratamiento de la incertidumbre, mediante la técnica de teoría de
juegos, que presupone la existencia de diferentes escenarios y decisiones que toma
el evaluador. Se trata de llegar a establecer cual es la mejor decisión que puede
llegar a adoptar el inversionista
Análisis de Sensibilidad: Establecer la variabilidad o sensibilidad de los indicadores
de rentabilidad de un proyecto, frente a cambios en los valores de las variables que
pueden estar sujetas a variabilidad. Este análisis es efectuado para un amplio rango
de variabilidad y bajo el supuesto de efectuar un cambio a la vez.
198
Evaluación de Proyectos de Inversión
5.1
Estimadores de Riesgo
El estudio de proyecto bajo condiciones riesgosas (flujos sujetos a variaciones), implica
incorporar al análisis indicadores que midan el riego o variabilidad de los flujos y por ende
de la rentabilidad, los cuales junto a indicadores de rentabilidad permitirán tomar una
decisión adecuada. En este proceso, el primer paso es explicitar el comportamiento de los
flujos, o de las variables que definen su comportamiento.
Valor del flujo
Período
N
t
1
0
Posibilidad de flujo
Para incorporar indicadores de riesgo, se hace uso del estadigrafo varianza de una
distribución de probabilidades o su segundo momento. Lo anterior, requiere de explicitar en
primer lugar los potenciales valores (en caso de distribución discreta) o los parámetros de la
distribución (para distribuciones continuas). Una muy buena herramienta para explicitar;
sucesos, posibles valores, decisiones y cursos de acción, son los arboles de decisión
199
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.1.1 Árbol de Decisión
Los árboles de decisión son estructuras que a través de teoría de grafos, permiten explicitar
los sucesos, valores posibles, cursos de acción y decisiones, empleando para estos efectos
“ramas” que muestran cursos de acción u opciones y “nodos” que señalan decisiones o
eventos probabilísticos.
El procedimiento para generar un árbol de decisión es relativamente sencillo, simplemente,
se inicia desde un nodo de decisión (normalmente del tipo todo o nada, es decir se hace o
no el proyecto), a partir del cual se da origen a los cursos de acción (por ejemplo efectuar el
proyecto o no hacerlo) y se avanza por cada una de las ramas. En cada una de ellas pueden
existir nuevas decisiones (por ejemplo el tamaño del proyecto) o eventos de carácter
probabilísticos (tamaño de la demanda por ejemplo) del cual surgen los posibles valores,
hasta llegar al último valor posible.
Los elementos constituyentes de un árbol de decisiones corresponden a:
•
Nodo de decisión:
•
Nodo Probabilístico
•
Cursos de acción: desde un nodo de decisión siempre surgen las acciones que es
posible llevar a cabo
•
Relación curso de acción – nodos: de los cursos de acción pueden surgir nodos
de probabilidad o nodos de decisión
•
Rama de opción: desde un nodo de probabilidad siempre surgen los valores
posibles que puede tomar la variable en análisis
200
Evaluación de Proyectos de Inversión
Si bien un árbol de decisión se plantea desde el primer nodo de decisión, hasta cubrir todas
las alternativas y cursos de acción, incorporando los diferentes valores de las variables, su
resolución, se lleva a cabo desde la(s) últimas ramas hacia el primer nodo, es decir
recorriendo el árbol en forma inversa.
Al ir resolviendo el árbol y llegar a un nodo de probabilidad, el valor que toma la rama
desde la cual surge el nodo, corresponde al valor esperado de las ramas que salen del nodo.
Al llegar a un nodo de decisión, se opta por aquel curso de acción que mejor contribuya al
cumplimiento de los objetivos (mayor rentabilidad, menor costo, etc.), es decir por la rama
que llega al nodo de decisión con un mayor valor del respectivo indicador.
Para efectos del árbol de decisión, la resolución de él siempre emplea el estadígrafo valor
esperado, considerando una distribución discreta, con lo cual el valor de la rama de la cual
surge el nodo de probabilidad será:
N
E(rama) = ∑ ValorK ∗ Probabilidad K
K =1
1200
0,35
1
1510
1600
0,40
1800
0,25
2
En la figura se puede apreciar, que desde un nodo de decisión surgen tres posibles valores
para una variable, a saber: 1200, 1600 y 1800 con probabilidades de ocurrencia 0,35; 0,40 y
0,25 respectivamente, lo cuan conduce a un valor esperado de 1510, el cual será el valor
representativo de la rama desde la cual surge el nodo de probabilidad
Al emplear el árbol de decisión como herramienta de análisis del riesgo, se debe tener muy
en claro que ella sólo trabaja con una dimensión de las variables estocásticas, ya sólo
emplea el estadígrafo valor esperado. En virtud de ello, el árbol de decisión debe ser usado
en el sentido de explicitar los valores posibles y no como instrumento de análisis para la
toma de decisiones.
201
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.1.2 Indicador de Riesgo Proyecto con Variabilidad de los Flujos
El análisis de riesgo es efectuado en proyectos en los cuales es posible llegar a establecer
alguna distribución de probabilidad de los flujos netos de caja (FNC). Esta situación que se
compadece en mejor medida con la realidad, ya que en muy pocas ocasiones las
proyecciones de los flujos netos de caja se llegan a cumplir con certeza, es más, lo más
probable es que exista un no despreciable grado de desviación de los flujos entorno a los
valores proyectados.
El estudio de proyectos bajo condiciones de riesgo, puede emplear para la toma de
decisiones variados indicadores, entre los que se cuentan: Maximizar Rentabilidad
(seleccionar el proyecto de mayor rentabilidad esperada), Mínimo Riesgo (selecciona el
proyecto de menor variabilidad en la rentabilidad) y la mezcla de los dos indicadores. No
obstante, cualquiera que sea el indicador a emplear, se requiere transformar la distribución
de valores de los FNC en cada período a los respectivos estadígrafos valor esperado y
varianza de los flujos.
En el siguinete grafico tridimencional, se muestran los valores posibles que pueden tomar
los flujos netos de caja “FNCtk“ en los diferentes períodos “t” de tiempo.
Proyección de flujos tridimencional
H
FNCt1
FNCt2
FNCt3
FNCt4
t
FNCt5
FNCt6
FNCt7
FNCt8
1
0
0
1
t
202
H
período
Evaluación de Proyectos de Inversión
En el caso que la distribución de probabilidades sea una función discreta, los estadígrafos
se calculan como:
E(FNC)t =
N
∑ FNCt ∗ ProbabilidadK
K=1
2
N
σ (FNC)t = ∑ [FNCt − E(FNC)t ] ∗ ProbabilidadK
2
K=1
Si la distribución de probabilidades fuese una función continua, los estadígrafos se calculan
haciendo uso de la función densidad de probabilidad, como el primer y segundo momento
respectivamente.
Al aplicar las expresiones de valor esperado del flujo y desvición estnadar, se generan dos
series de valores, una correspondiente a cada estadígrafo.
Proyección de Estadígrafos E(FNC) y σ(FNC)
σ(FNC)1
σ(FNC)0
0
E(FNC)0
…………….
σ(FNC)t
1
……….
E(FNC)1
•
H período
E(FNC)t
E(FNC)H
..................
0
σ(FNC)H
t
..............
1
t
H período
Maximizar la Rentabilidad:
Al emplear un indicador para maximizar la rentabilidad, se ha supuesto implícitamente
que la variable varianza de los flujos netos de caja es idéntica en los proyectos que se
encuentren en análisis, es decir asume implícitamente que todos los proyectos tienen el
mismo riesgo. Consecuentemente, en este caso el indicador de decisión corresponde al
estadígrafo Valor Esperado del Van.
203
Miguel Angel Mellado Espinoza
 H FNC t
E(VAN) = E ∑
 (1 + r )t
 t =0

 =


H
E(FNC)
∑ (1 + r )t t
t =0
En la anterior expresión como producto de las propiedades del operador valor esperado,
se puede apreciar el valor esperado del indicador VAN viene a calcularse como el
VAN de los valores esperados. Luego, el criterio es similar al usado por el indicador
VAN, es decir seleccionar aquel proyecto de mayor VAN, que cumpla con:
E(VAN) > 0
Si los proyectos son repetitivos, se deberá emplear el indicador valor esperado del VAN
de las repeticiones con horizonte mínimo común o con horizonte infinito, según mejor
acomode al analista.
E(VAN) oo = E(VAN) * (1 +
1
) Valor esperado del proyecto con infinitas repeticiones
rH
 (1 + rH ) K -1 - 1 
E(VAN)REP = E(VAN) * 

K −1
 (1 + rH ) * rH 
Valor esperado del proyecto a horizonte
mínimo común o con repeticiones
•
Minimizar el Riesgo:
Al tomar decisiones que estén basadas sólo en seleccionar proyectos sobre la base de
minimizar el riesgo, es decir sobre la variabilidad de los flujos, se asume que todos los
proyectos en comparación ofrecen idéntica rentabilidad o lo menos similar.
Una vez determinada la variabilidad de los flujos en cada uno de los periodos
(desviación estándar), resta por calcular el efecto del proyecto completo, para ellos se
procede a actualizar las variabilidades.
En esta última fase del proceso surgen dos pequeños inconvenientes, el primero de ellos
guarda relación con la correlación de los flujos en el tiempo, si los flujos presentan
dependencia entre ellos en el tiempo (por ejemplo: los flujos de un período dependen de
lo acontecido en el período anterior), se deberá incorporar explícitamente la correlación
al actualizar los flujos.
204
Evaluación de Proyectos de Inversión
Sin embargo, en la mayor parte de los casos los flujos netos de caja no presentan
correlación temporal, es decir, que los flujos netos de caja son temporalmente
independientes unos de otros (por ejemplo las ventas de este año no depende de las
ventas de los años anteriores).
El segundo inconveniente es de origen estadístico ya que las desviaciones estándar son
variables que no se pueden no sumar, este segundo problema se soluciona actualizando
las desviaciones para tenerlas referidas a una misma fecha y luego de actualizadas se
obtienen las varianzas (cuadrados de las desviaciones), las cuales si pueden ser
sumadas.
Bajo los anteriores supuestos, se seleccionara el proyecto que presente una menor
σ(VAN), la cual se determina como:
 σ(FNC)t
σ(VAN ) = ∑ 
t
t =1  (1 + r )
H




2
Desarrollando un poco la expresión interior, se llega a:
 σ 2 (FNC)t

∑
t

t =1  (1 + r2 )
H
σ(VAN ) =




Donde (1+r2) corresponde a (1+r)2
Al igual que en caso anterior, si los proyectos son repetitivos se debe emplear la desviación
estándar del van considerando horizonte infinito o en su defecto horizonte mínimo común.
σ(VAN )oo

1
= σ(VAN ) * (1 +
r2 H

σ(VAN )REP

)

1/ 2
Desviación estándar a horizonte infinito
 (1 + r2H ) K -1 - 1 
= σ(VAN ) * 

K −1
 (1 + r2H ) * r2H 
1/ 2
Desviación estándar a horizonte mínimo
común o con repeticiones
En ambos casos r2H corresponde a (1+r)2H
205
Miguel Angel Mellado Espinoza
•
Rentabilidad por Unidad de Riesgo:
En la practica, lo más común es encontrar que los proyectos presentan diferentes
rentabilidades esperadas y a la vez valores muy distintos de nivel de riesgo. Es más
proyectos de una alta rentabilidad tienen asociados grandes niveles de riesgo, con lo
cual al aplicar los anteriores criterios se llegará a decisiones diametralmente opuestas.
Este inconveniente, hace que sea necesario complementar los indicadores, generando un
nuevo indicador, que permita tomar una decisión en base la mayor rentabilidad y a
disminuir el riesgo, dicho indicador proviene del estadígrafo coeficiente de variación, el
cual combina la desviación estándar con el valor esperado, la única diferencia es que
para una mejor interpretación económica se trabajo con el inverso, dando origen al
indicador de rentabilidad por unidad de riesgo:
1
E(VAN)
=
Cv σ(VAN)
Se selecciona aquel proyecto que entregue el mayor indicador de rentabilidad por
unidad de riesgo. Siendo condición necesaria que dicho indicador sea no negativo.
Si los proyectos son repetitivos, se debe emplear un indicador que registre dicho hecho,
para lo cual, se puede usar el mismo indicador de rentabilidad por unidad de riesgo,
pero con infinitas repeticiones:
 1 


 Cv  ∞
=
E(VAN) ∞
σ (VAN) ∞
en donde:

1
E(VAN)∞ = E(VAN) ∗ 1 + 
 rH 
σ(VAN )∞

1
= σ(VAN) ∗ 1 +
 r2H



1/ 2
206
Evaluación de Proyectos de Inversión
además:
H
E(FNC) t
∑ (1 + r )
E(VAN) =
t =0
t
 σ 2 (FNC)t
σ(VAN ) = ∑ 
t
t =1  (1 + r2 )
H




N
E(FNC)t = ∑ FNCKt ∗ Probabilidad Kt
K =1
2
N
σ (FNC)t = ∑[FNCKt − E(FNC)t ] ∗ ProbabilidadK
2
K =1
rH = (1 + r ) − 1
H
r2H = (1 + r ) − 1
2H
r2 = (1 + r ) − 1
2
5.1.3 Indicador de Riesgo Proyecto con Variabilidad del Horizonte
Existe una cierta cantidad de proyectos, en los cuales la variabilidad se encuentra asociada
a la vida útil del proyecto, más que en los flujos de él. Esta situación se produce
especialmente en proyectos en los cuales la innovación es uno de sus principales
componentes, la permanencia en el mercado de este tipo de negocios, depende en gran
medida del tiempo que demore la competencia en adoptar el cambio en la tecnología o que
sean capaces de generar una tecnología más novedosa.
El procedimiento de análisis, en este caso es bastante sencillo y se inicia con establecer los
diferentes valores posibles de la vida del proyecto y las correspondientes probabilidades de
ocurrencia. Luego, se toma cada vida útil como cierta y para cada una de ellas se procede a
calcular el indicador correspondiente (normalmente el VAN), este indicador tendrá una
probabilidad de ocurrencia igual a la de la vida útil a la cual está asociado.
207
Miguel Angel Mellado Espinoza
VANH1
H1
VANH2
H2
.
.
.
.
VANHN
HN
Una vez completado el análisis para cada una de las opciones de vida útil, se dispone de
una distribución de probabilidades para el indicador VAN. Finalmente, se procede a
determinar el valor esperado del Van del proyecto y su respectiva desviación estándar.
N
E(FNC) = ∑ VANHK ∗ Probabilidad HK
K =1
N
2
σ (FNC) = ∑[VANHK − E(FNC)] ∗ ProbabilidadHK
2
K =1
Luego, se procede a calcular el indicador 1/cv:
1
E(VAN)
=
Cv σ(VAN)
208
Evaluación de Proyectos de Inversión
5.1.4 Indicador de Riesgo Proyecto con Variabilidad de la Tasa de Descuento
La tasa de descuento es una de las variables más significativas en el calculo de los
indicadores de rentabilidad, si bien ella representa el costo alternativo de capital, el cual es
propio de cada empresa, no menos cierto que éste refleja la rentabilidad de las alternativas
que tiene el inversionista, la cual puede estar sujeta a cambio en tiempo. En el caso de
conocer la probabilidad de ocurrencia de los diferentes valores, se procede a un análisis de
riesgo similar al del horizonte del proyecto.
El procedimiento consiste en establecer en primer lugar los valores de las posibles tasa de
descuento y sus respectivas probabilidades de ocurrencia. Luego se procede a calcular el
indicador de rentabilidad VAN, tomando como cierta cada una de las tasas de descuento.
Esto nos lleva a tener tantos indicadores como tasas existen, la probabilidad de cada uno de
los indicadores corresponderá a la de ocurrencia de la tasa con la cual fue calculado.
H
FNCt
t
t =0 (1 + rK )
VANK = ∑
rK
Una vez completado el análisis para cada una de las posibles tasas de descuento, se cuenta
con una distribución de probabilidades para el indicador VAN. Finalmente, se procede a
determinar los respectivos estadígrafos: valor esperado del Van del proyecto, desviación
estándar e inverso del coeficiente de variación.
N
E(FNC) = ∑ VANHK ∗ Probabilidad HK
K =1
N
2
σ (FNC) = ∑[VANHK − E(FNC)] ∗ ProbabilidadHK
2
K =1
1
E(VAN)
=
Cv σ(VAN)
209
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.1.5 Aplicación
Analice la rentabilidad por unidad de riesgo de un proyecto, cuyo horizonte de análisis o
duración puede tomar valores entre tres y seis años. La inversión inicial es de M$100 y
los flujos netos de caja que se obtendrían en cada uno de los años de vida del proyecto se
acompañan en tabla adjunta. Si la tasa de descuento es de un 5% anual, se solicita
determinar tres indicadores de análisis que permitan tomar una decisión.
Año
FNC [M$]
1
30
2
20
3
30
4
40
5
40
6
50
La vida útil de proyecto y su probabilidad de ocurrencia se muestra en la siguiente tabla:
Horizonte [años]
Probabilidad [%]
3
10
4
30
5
40
6
20
Solución:
a.
Árbol de decisión:
Para el proyecto en cuestión se dispone inicialmente de la decisión de efectuar o no el
proyecto, en el caso que la decisión sea realizar el proyecto, se tiene que el horizonte del
proyecto es una variable aleatoria. Para cada uno de los posible horizontes el número de
flujos de caja involucrados es H+1, ya que se debe contar el año cero de inversión. Con
estos antecedentes de construye el respectivo árbol de decisión:
No efectuar Proyecto
H=3
10%
1
Efectuar Proyecto
H=4
30%
H=5
40%
H=6
20%
210
Flujos año:
0, 1, 2 y 3
Flujos año:
0, 1, 2, 3 y 4
Flujos año:
0, 1, 2, 3,4 y 5
Flujos año:
0, 1, 2, 3,4, 5 y 6
Evaluación de Proyectos de Inversión
b.
Indicadores de Riesgo
Se procede en primera instancia a determinar el valor del indicador VAN dando como
cierta la ocurrencia de cada una de las vidas útiles del proyecto:
VAN3 = −100 +
30
20
30
+
+
= −27,37
2
1,05 1,05 1,053
VAN 4 = −100 +
30
20
30
40
+
+
+
= 5,53
2
3
1,05 1,05 1,05 1,05 4
VAN 5 = −100 +
30
20
30
40
40
+
+
+
+
= 36,87
2
3
4
1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 5
VAN 6 = −100 +
30
20
30
40
40
50
+
+
+
+
+
= 74,19
2
3
4
5
1,05 1,05
1,05 1,05 1,05 1,05 6
Una vez concluido el cálculo de los VAN, se procede a determinar los estadigrafos valor
esperado del VAN y desviación estándar del VAN, lo cual permite generar los indicadores
rentabilidad esperada, riesgo y rentabilidad por unidad de riesgo.
E(VAN) = −27,37 ∗ 0,1 + 5,53 ∗ 0,3 + 36,87 ∗ 0,4 + 74,19 ∗ 0,2 = 28,50
E(VAN) = 28,50
σ (VAN) = (28,50+ 27,37)2 *0,1+ (28,50− 5,53)2 *0,3 + (28,50− 36,87)2 *0,4 + (28,50− 74,19)2 ∗ 0,2
σ (VAN) = 30,26
1
28,5
=
= 0,94
Cv 30,26
Por cada unidad de riesgo se obtiene 0,94 unidades de ganancia.
211
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.2
Simulación de Variables
La simulación es una herramienta que permite resolver problemas complejos, a partir de la
creación de un modelo que representa un sistema en análisis, las relaciones que se producen
entre los diferentes eventos y la generación de observaciones aleatorias. El procedimiento
consta de cinco pasos básicos: Identificar las variables aleatorias, Modelación del
problema, análisis de relaciones, generación de observaciones y análisis de resultados.
Sistema Real
Se extraen los elementos claves:
Variables de decisión, Variables
exógenas, variables intermedias o
instrumentales, relaciones entre variables
y medidas de rendimientos
Modelo
Por ejemplo: Ventas Variable aleatoria, con
distribución uniforme entre 100 y 500
Var. de
Decisión
Medida de
rendimiento
Var.
intermedia
s
Indicador de Rentabilidad, calculado por
la interacción de las variables en los flujos
de caja y la actualización de ellos.
Variables deterministicas: Precios, Tasa
de impuesto, horizonte, etc.
Var. de
exogenas
212
Evaluación de Proyectos de Inversión
En el caso de la rentabilidad, el modelo y las relaciones entre las variables, provienen de las
expresiones analíticas, las que se sustentan en la expresión del indicador VAN y en los
flujos de caja. Luego la segunda fase será la generación de observaciones aleatorias de las
variables, para estos efectos se emplean las distribuciones de probabilidades de las
variables y la generación de números aleatorios decimales entre 0 y 1. Estos últimos van a
representar la probabilidad de ocurrencia, los que junto a la inversa de la función
probabilidad permitirá generar una observación de la variable.
Ejemplo:
considere que las ventas de un proyecto son una variable aleatoria que
fluctúa entre 400, 500 y 700 con probabilidad de 30%, 50% y 20 %
respectivamente.
Las probabilidades representan el número de casos favorables del total de
casos, con lo cual al generar números aleatorios decimales entre 0 y 1,0 se
tendrá:
0 ≤ r < 0,3 ⇒ Demanda = 400
0,3 ≤ r < 0,8 ⇒ Demanda = 500
0,8 ≤ r < 1,0 ⇒ Demanda = 700
En este marco los rangos para el número aleatorio fueron construidos de forma
que ellos representen las probabilidades. Para ello al rango inferior se toma entre
cero y la probabilidad, para los rangos siguientes se toma como límite inferior el
rango superior del tramo inmediatamente anterior y como límite superior el
inferior del tramo más la probabilidad de ocurrencia.
En el caso que la función de probabilidad sea continua, para la generación de las
observaciones aleatorias, se debe tener en consideración que los números aleatorios
distribuyen uniformemente entre 0 y 1 y por tanto para generar observaciones de variables
que tengan una distribución distinta a la uniforme se debe tener en consideración este
hecho, de forma tal que:
Distribución Exponencial:
Para este tipo de variables, la probabilidad acumulada corresponde a :
P(t ≤ x) = 1 − e − βx
Es posible encontrar una observación de la variable x, al igualar la función
probabilidad acumulada a un número aleatorio entre 0 y 1 (la probabilidad varia entre
0 y 1), luego se aplica la transformada
213
Miguel Angel Mellado Espinoza
P (t ≤ x) = 1 − e − βx
r = 1 − e−β x
ln(1 − r ) = Ln(e − β x ) ⇒ − β x = ln(1 − r )
x=−
ln(1 − r )
t
β
x
Distribución Normal:
Para la generación de una observación de una variable (x) que obedece a una
distribución normal, se parte desde observaciones de observaciones de una variable
que distribuye uniforme, los números aleatorios contribuyen en este sentido, siendo
variables que distribuyen uniforme con media ½ y desviación estándar 1 .
12
Por otra parte, la suma de números aleatorio distribuye normal con media
desviación estándar
N
12
N
2
y
, pero también esta suma cuando el numero de elementos es
grande tiende a distribuir normal, luego es posible normalizar(0, 1) la suma de
números aleatorios (con N > 30) queda
z=
x − E ( x)
≈ N (0,1)
σ ( x)
Luego al sustituir y corregir por la media y desviación estándar de la suma de
números aleatorios, es posible generar una observación de la variable (x) que
distribuye normal.
x=
σ ( x)
N
12
N σ ( x)
)
N
12
∑ ri + ( µ ( x) − 2 *
Donde:
σ ( x), µ ( x) son la media y desviación verdaderas de x
214
Evaluación de Proyectos de Inversión
Una vez generadas las observaciones, se procede a calcular los flujos e indicador de
rentabilidad (variables intermedias y medidas de rendimientos), generando con ello una
serie de observaciones aleatorias del indicador. Los resultados de estas corridas (número
aleatorio, observación de la variable y cálculo del indicador), son analizados para obtener
los estimadores de las variables, en todo caso se recomienda tener más de 30 observaciones
del indicador, con el objetivo de aplicar inferencia estadística y que sea aplicable a los
resultados la distribución normal. (en el caso de disponer de 30 o más observaciones
aleatorias, la suma de estas observaciones tiende a distribuir normal).
Para mejorar la calidad de los estimadores, se pueden aplicar diferentes técnicas de
Montecarlo, de las cuales la más fácil de implementar es la de los números aleatorios
complementarios. Esta técnica consiste en:
i.
Generar números aleatorios, para obtener observaciones de las variables,
dejando registrados los números aleatorios.
ii.
Generar variables intermedias (flujos de caja).
iii.
Calcular las medidas de rendimiento (indicador de rentabilidad)
iv.
Reiniciar pasos i a iii hasta completar el número de observaciones requerido.
v.
Determinar el Valor esperado como la media de las diferentes observaciones de
las medidas de rendimientos
vi.
Generar los números aleatorios complementarios, r´ = 1 – r
vii.
Generar observaciones de las variables con esta nueva serie de números
aleatorios.
viii.
Repetir los pasos ii a v
ix.
Calcular el estimador del valor esperado como la media entre los valores
esperados de amabas series de observaciones.
Este procedimiento permite tener observaciones mucho más homogéneas, evitando la
posible concentración de valores y rellenar los sectores en los cuales no existan
observaciones. La calidad de los estimadores obtenidos con este procedimiento mejora
sustantivamente con respecto a los que se obtiene si se emplea una sola serie de números.
215
Miguel Angel Mellado Espinoza
Por ejemplo, suponga que ud quiere determinar mediante simulación el valor
esperado de una avariable aletoria que distribuye exponencial con media 1. Para
estos efectos ha generado una serie de 10 números aleatorios:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
0,495
0,335
0,791
0,469
0,279
0,698
0,013
0,761
0,290
0,693
No existen observaciones
entre 0,013 y 0.327
No incluye observaciones
mayores a 1,565
X = -ln(1-r)
0,683
0,408
1,565
0,633
0,327
1,197
0,013
1,431
0,342
1,181
Valor esperado:
7,780/10 = 0,778
Con los mismos numeros aleatorios, se generar una segunda serie de observaciones, pero
empleando los números aletorios complementarios:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
0,505
0,665
0,209
0,531
0,721
0,302
0,987
0,239
0,710
0,307
X = -ln(1-r)
0,703
1,094
0,234
0,757
1,277
0,360
4,343
0,273
1,238
0,367
Valor esperado:
10,646/10 = 1,065
Estimador del valor esperado:
(0,778 + 1,065)/2 = 0.921
Notablemente mejor que 0,778 y más cercano
al valor verdadero que es: 1,000
216
Evaluación de Proyectos de Inversión
5.3
Análisis de Incertidumbre
Se usa el análisis de incertidumbre en aquellos casos en los cuales la rentabilidad de un
determinado proyecto depende de variables externas (ver diagrama), que están fuera del
control del analista o del evaluador, cuyo comportamiento no es susceptible de predecir a
través una distribución de probabilidades, pero que no obstante presenta variadas
posibilidades de ocurrencia, que al darse en el futuro cambian el valor de los indicadores de
rentabilidad.
Diagrama de Variables Internas y Externas de un proyecto
Variables Externas:
Al estar fuera de control del
evaluador, se convierten en eventos
factibles, denominados Escenarios o
Estados de la Naturaleza:
Variables Internas
Control sobre variables del proyecto:
•
•
•
•
•
Tamaño
Momento de Inicio
Momento de Término
Localización
Etc.
•
•
•
•
Nivel de actividad económica
Nivel de demanda
Condición climática
etc.
Flujos Netos de Caja del
Proyecto
Indicador de
Rentabilidad del
Proyecto
Resulta ser bastante dificultoso tomar una decisión a cerca del riesgo de los proyectos bajo
circunstancias de información incompleta, como es la presente, para poder salvar este
inconveniente, se procede a recurrir a los conceptos de teoría de juegos, ya que de una u
otra forma se estará enfrentando lo desconocido (Escenario que realmente se presentará)
con el analista que busca la mejor alternativa.
217
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.3.1 Teoría de Juegos
Básicamente la teoría e juegos es un instrumento analítico que permite tomar decisiones en
base a la ocurrencia o no de ciertos potenciales sucesos, planeando de antemano los cursos
de acción a seguir en dichas circunstancias. Se plantea entonces la existencia de dos
jugadores, quienes plantean sus argumentos generándose un resultado para cada posible
combinación.
•
•
Jugadores:
Resultado el juego:
1.- Evaluador:
plantea estrategias.
2.- Naturaleza:
estados de la naturaleza o escenarios (año
seco, lluvioso, normal, etc.)
cruce de una estrategia planteada por el evaluador con un
escenario o estado de la naturaleza, el cual se expresa a través del
indicador VAN.
Escenarios o Estados de la Naturaleza
Escenario 1
Escenario 2
Escenario 3
Estrategia 1
VAN1,1
VAN1,2
VAN1,3
Estrategia 2
VAN2,1
VAN2,2
VAN2,3
Estrategia 3
VAN3,1
VAN3,2
VAN3,3
La problemática se reduce entonces a establecer cual es la mejor estrategia, la que entre
otras puede ser el tamaño del proyecto, la localización, el tipo de maquinaria, etc.. Para
determinar la mejor estrategia, teoría de juegos dispone de varios métodos, entre los cuales
se cuenta:
•
Maximin: el máximo entre los mínimos
•
Maximax: el máximo entre los máximos
•
Minimax: el mínimo entre los máximo
218
Evaluación de Proyectos de Inversión
No obstante cada uno de estos métodos tiene implícitamente un comportamiento frente al
riesgo, el cual en el caso de las personas, cambia entre personas frente a una misma
situación y en diferentes circunstancias una misma persona puede actuar de diferente
forma. Ser extremadamente precavido al determinar en que tipo de acciones invertir en la
bolsa, pero ser extremadamente aventurero al jugar en el casino.
E(VAN)
Comportamiento
neutro frente
al riesgo
Comportamiento
propenso al riesgo
Comportamiento
adverso
σ(VAN)
•
MAXIMIN
Método adverso al riesgo, se coloca siempre en la peor situación que pueda ocurrir,
determinado la mejor estrategia en dos pasos, una vez que previamente haya sido
determinada la matriz de indicadores VAN
•
i)
Determinar el peor escenario.
ii)
En el peor escenario seleccionar como mejor estrategia aquella que conduce a los
resultados más favorables.
MAXIMAX
Método propenso al riesgo, se coloca siempre en la situación más favorable entre las
que puedan ocurrir, determinado la mejor estrategia en dos pasos, una vez que
previamente haya sido determinada la matriz de indicadores VAN
i)
Determinar el escenario más favorable.
ii)
En el mejor escenario seleccionar la estrategia que tiene el más alto resultado.
219
Miguel Angel Mellado Espinoza
•
MINIMAX
Método neutro frente al riesgo, no adopta una situación en particular previamente, más
bien estudia los efectos de cada acción, midiendo el arrepentimiento de tomar un curso
de acción en omisión de otro (el mejor). Determina la mejor estrategia en cuatro pasos,
una vez que previamente haya sido determinada la matriz de indicadores VAN
i)
Para cada uno de los escenarios determina la mayor estrategia.
ii)
Determina el arrepentimiento de optar por otra estrategia en lugar de la mejor en
cada escenario(representa un costo de oportunidad), generando de paso una matriz
de arrepentimiento.
iii)
Para cada estrategia determina el máximo arrepentimiento en que incurre entre los
diversos estados de la naturaleza o escenarios.
iv)
La mejor estrategia es aquella que conducente al mínimo entre los máximos
arrepentimientos.
5.3.2
Aplicación
Suponga que usted está planeando la construcción y explotación de cabañas de veraneo,
las cuales puede instalarlas en cuatro diferentes lagos del sur de Chile (Lago 1, 2, 3, 4).
La inversión necesaria correspondientes a cada una de las localizaciones es M$ 200.000,
M$ 350.000, M$ 280.000 y M$ 8.000.000 respectivamente. La capacidad de hospedaje
en cada una de las localidades es de 70, 100, 80 y150 camas.
Los precios cobrados por día por cama son de $ 50.000, $ 70.000, $ 65.000 y $ 110.000,
valores que incluyan el alojamiento, desayuno y comida.
Los costos de operación anuales son de M$ 500.000 en cada una de las localidades, dado
los estándares de clase mundial que quiere instalar.
Las condiciones económicas para los próximos años pueden ser agrupadas en buenas,
normales y no tan buenas. Si las condiciones económicas son buenas las cabañas llenarían
su capacidad los 365 días del año, si son normales tendría llena la capacidad cuatro meses
al año y los ocho meses restantes al 50% de su capacidad. Por último si las condiciones
no son tan buenas las cabañas llenarían su capacidad sólo en enero y febrero y a un 50%
de su capacidad dos meses más al año, permaneciendo el resto del año desocupado.
220
Evaluación de Proyectos de Inversión
Considere un horizonte de análisis para los lagos 2 y 4 de 15 años, para el lago 3 de 10
años y para el lago 1 de 8 años, al término de los cuales dadas las condiciones adversas
del sur de Chile tendrían un valor de desecho de cero. No obstante usted podría volver a
construir en el mismo lugar una y otra vez.
Si la tasa de interés es del 8% anual determine cuál es la mejor estrategia si usted es
neutro frente al riego.
Solución:
a.-
tasas de descuento: como los proyectos tienen diferente vida útil y son repetitivos,
se deberá proceder a emplear indicadores de proyectos con repetición, como es el
VAN a horizonte máximo común o infinito, para lo cual requiere las tasas
equivalentes de período de definición igual a la vida útil de cada proyecto.
R = 8,00% anual
H
rH = (1 + 0,08) − 1
r8 = (1 + 0,08) − 1 = 85,09%
8
r15 = (1 + 0,08)15 − 1 = 217,22%
r10 = (1 + 0,08) − 1 = 115,89%
10
b.-
Rentabilidad:
i) Condiciones Buenas
 (1 + 0,08)H − 1 
VAN = −I + (capacidad ∗ 365 ∗ precio − costos) ∗ 

H
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1
VAN∞ = VAN ∗ 1 + 
 rH 
VAN1,1
 (1 + 0,08)8 − 1 
= −200 + (70 ∗ 365 ∗ 0,05 − 500) ∗ 
 = 4.268,01
8
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 4.268,01 ∗ 1 +
 = 9.283,89
 0,8509 
221
Miguel Angel Mellado Espinoza
 (1 + 0,08)15 − 1 
VAN 2,1 = −350 + (100 ∗ 365 ∗ 0,07 − 500) ∗ 
 = 17.239,73
15
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 17.239,73 ∗ 1 +
 = 25.176,26
 2,1722 
VAN3,1
 (1 + 0,08)10 − 1 
= −280 + (80 ∗ 365 ∗ 0,065 − 500) ∗ 
 = 9.100,69
10
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN ∞ = 9.100,69 ∗ 1 +
 = 16.953,56
 1,1589 
 (1 + 0,08)15 − 1 
VAN 4,1 = −8.000 + (150 ∗ 365 ∗ 0,110 − 500) ∗ 
 = 39.269,72
15
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 39.269,72 ∗ 1 +
 = 57.348,04
 2,1722 
ii) Condiciones Normales
 (1 + 0,08)H − 1 
VAN = −I + [(4 ∗ 30 + 0,5 * (365 − 4 ∗ 30)) ∗ capacidad ∗ precio − costos ] ∗ 

H
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
 (1 + 0,08)H − 1 
VAN = −I + (242,5 ∗ capacidad ∗ precio − costos ) ∗ 

H
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1
VAN∞ = VAN ∗ 1 + 
 rH 
VAN1,2
 (1 + 0,08)8 − 1 
= −200 + (242,5 ∗ 70 ∗ 0,05 − 500) ∗ 
 = 1.804,14
8
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 1.804,14 ∗ 1 +
 = 3.924,41
 0,8509 
222
Evaluación de Proyectos de Inversión
 (1 + 0,08)15 − 1 
VAN 2,2 = −350 + (242,5 ∗ 100 ∗ 0,07 − 500 ) ∗ 
 = 9.899,98
15
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 9.899,98 ∗ 1 +
 = 14.457,56
 2,1722 
 (1 + 0,08)10 − 1 
VAN 2,3 = −280 + (242,5 ∗ 80 ∗ 0,065 − 500 ) ∗ 
 = 4.826,37
10
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 4.826,37 ∗ 1 +
 = 8.990,98
 1,1589 
VAN 2,4
 (1 + 0,08)15 − 1 
= −8.000 + (242,5 ∗ 150 ∗ 0,110 − 500 ) ∗ 
 = 21.968,87
15
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 21.968,37 ∗ 1 +
 = 32.082,52
 2,1722 
iii) Condiciones no tan Buenas
 (1 + 0,08)H − 1 
VAN = −I + [(2 ∗ 30 + 0,5 ∗ 2 ∗ 30) ∗ capacidad ∗ precio - costo ] ∗ 

H
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
 (1 + 0,08)H − 1 
VAN = −I + [90 ∗ capacidad ∗ precio - costo ] ∗ 

H
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1
VAN∞ = VAN ∗ 1 + 
 rH 
 (1 + 0,08)H − 1 
VAN3,1 = −200 + [90 ∗ 70 ∗ 0,05 − 500] ∗ 
 = −1.263,13
H
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
223
Miguel Angel Mellado Espinoza
1 

VAN∞ = -1.263,13 ∗ 1 +
 = −2.747,59
 0,8509 
 (1 + 0,08)15 − 1 
VAN3,2 = −350 + [90 ∗ 100 ∗ 0,07 − 500] ∗ 
 = 762,73
15
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = 762,73 ∗ 1 +
 = 1.113,86
 2,1722 
VAN3,3
 (1 + 0,08)10 − 1 
= −280 + [90 ∗ 80 ∗ 0,065 − 500] ∗ 
 = −494,72
10
 (1 + 0,08) ∗ 0,08 
1 

VAN∞ = -494,72 ∗ 1 +
 = −921,61
 1,1589 
 (1 + 0,08)15 − 1 
VAN3,4 = −8.000 + [90 ∗ 150 ∗ 0,110 − 500] ∗ 
 = 431,09
15
(
1
+
0,08
)
∗
0,08


1 

VAN ∞ = 431,09 ∗ 1 +
 = 629,55
 2,1722 
Matriz de Indicadores de Rentabilidad VAN [M$]
Estrategias
Lago
1
Buenas
9.283,89
Escenarios
Normales
3.924,41
2
25.176,26
14.457,56
1.113,86
3
16.953,56
8.990,98
-921,61
4
57.348,04
32.082,52
629,55
224
No Tan Buenas
-2.747,59
Evaluación de Proyectos de Inversión
Dado que el comportamiento frente al riesgo es de neutralidad, el método de análisis debe
corresponder al Mínimo de los Máximos Arrepentimientos. Con lo cual, se debe proceder
en primera instancia a establecer la mejor estrategia para cada uno de los estados y luego
proceder a calcular los arrepentimientos.
En este caso en particular, los antecedentes de la matriz de rentabilidad señalan que:
Escenario:
Buena
Lago 4
Normal
Lago 4
No tan Buena
Lago 2
El arrepentimiento es calculado en cada escenario, como la diferencia entre el VAN de la
mejor estrategia y el VAN de a estrategia en análisis, de esta forma se llega a:
Matriz de Arrepentimiento VAN [M$]
Estrategias
Lago
1
Buena
48.064,15
Escenarios
Normal
28.158,11
No Tan Buena
3.861,45
Máximo
Arrepentimiento
48.064,15
2
32.171,78
17.624,96
0
32.171,78
3
40.394,48
23.091,54
2.035,47
40,394,48
4
0
0
484,31
484,31
La mejor estrategia sería la localización en el Lago 4, ya que corresponde a aquella que
tiene el mínimo dentro de los máximos arrepentimientos.
225
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.4
Análisis de Sensibilidad
El análisis de sensibilidad es una herramienta que permite conocer la sensibilidad que
presenta la rentabilidad de un proyecto frente a cambios en las principales variables. El
procedimiento de análisis, se sustenta en efectuar los cambios en los valores de las
variables de uno en uno, considerando un amplio espectro, en donde el punto medio del
rango es el valor original de la variable. Las variables que normalmente son consideradas
para efectuar el análisis de sensibilidad, son aquellas donde es posible que se produzcan
cambios, pero es difícil predecir la cuantía de la variación y la probabilidad que ella ocurra,
entre estas variables se cuentan:
Monto de la inversión inicial
Valor de la tasa de descuento
Precio de comercialización de los productos o servicios que genere el proyecto
Costo unitario de producción
Costo fijo de producción
Volumen producido
Los rangos de variación para dichas variables normalmente empleados fluctúan entre un
20% a 30% a –20% a –30% del valor original, con variaciones de 5% cada vez.
Lo anterior implica que para una tasa de descuento del 10% anual, los valores de las nuevas
tasas a emplear para sensibilizar los resultados serían:
Variación
Valor tasa
VAN
-20% -15% -10% -5% 0%
8%
8.5% 9%
9.5% 10%
5%
10%
10.5% 11%
15% 20%
11.5% 12%
En la práctica se contaran con tantos valores del indicador de rentabilidad como numero de
variaciones más uno se desee efectuar, lo cual permite calcular la elasticidad o sensibilidad
del indicador frente a cambios en la variable.
226
Evaluación de Proyectos de Inversión
VAN
Elasticidad
(VAN1-VAN2)
Valor 1 – Valor 2
VAN1
VAN2
Valor1 Valor2
Variable
La sensibilidad permite determinar además el punto de quiebre del proyecto, el cual es la
variación en la variable que lleva el indicador de rentabilidad VAN a un valor igual a cero,
a partir de dicho valor el indicador se vuelve negativo. Este ultimo aspecto permite
establecer el grado de robustez del proyecto frente a las variables críticas.
-20%
-15%
-10%
-5%
Variación
0%
5%
10%
15%
20%
Pto.
quiebre
Tasa
VAN
0
Inversión
VAN
0
Precios
VAN
0
Costos
VAN
0
227
Miguel Angel Mellado Espinoza
5.5
Indicadores de Riesgo Conjunto
5.5.1 Análisis de Porfolio o Cartera de Proyectos
El análisis de porfolio de cartera de proyectos, está orientado a examinar el efecto que se
genera en la rentabilidad y en el riesgo de la empresa al introducir nuevas iniciativas de
inversión.
Proyecto Nuevo
Indicadores:
Inversión
E(VAN)
σ(VAN)
Conjunto de Actuales Proyecto o Cartera
de Proyectos
Indicadores:
Inversión
E(VAN)
σ(VAN)
para cada uno de
los actuales proyectos
Se producen cambios en la rentabilidad
y en el riesgo:
∆ E(VAN)
∆ σ(VAN)
El anterior esquema muestra que al introducir un nuevo proyecto en un conjunto de
proyectos ya existente de proyectos o cartera actual de proyectos, se generan dos grandes
efectos:
•
Incremento en la rentabilidad, al aumentar el E(VAN), al sumarse al E(VAN) de los
actuales proyectos el valor esperado del VAN de nuevo proyecto, el cual al cumplir la
condición individual (VAN ≥ 0) siempre contribuye positivamente.
•
Variación en el riesgo del conjunto de proyectos que va más allá de del riego del
proyecto, el efecto va ha depender del tipo de relación que se producen entre los
proyectos que actualmente forman la cartera y el nuevo proyecto. Esta relación, se
traduce en la correlación entre los proyectos, la cual puede ser positiva o negativa. Con
lo cual el riesgo conjunto puede ser expresado como:
σ (VAN) = σ (VAN )2 actual + σ (VAN )2 proyecto + 2 ρ ∗ σ (VAN )actual ∗ σ (VAN ) proyecto
228
Evaluación de Proyectos de Inversión
En la anterior expresión ρ representa el coeficiente de correlación entre los actuales
proyecto y el nuevo proyecto que se incorpora. Si los proyectos corresponden a áreas
económicas diferentes, normalmente el coeficiente será negativo disminuyendo el riego
conjunto, esto equivale a “colocar los huevos en diferentes canastas”.
5.5.2 Procedimiento de Análisis de riesgo conjunto
En el caso que sean más proyectos nuevos y que la cartera actual de proyectos este
compuesta por más de un proyecto, la expresión se ve incrementada en el número de
combinaciones, por ejemplo ¿Conviene incorporar los proyectos A, B y/o C a la Cartera
Actual?
A
B
C
Cartera Actual
I, II y III
La cartera actual
está formada por los
proyectos I, II y III
Es posible incorporar
3 proyectos: A, B y C
En primer lugar se procede a definir las Alternativas de que se dispone y a la vez explicitar
el indicador de decisión a usar, en este caso al estar involucrado riesgo y rentabilidad, se
emplea el inverso del coeficiente de variabilidad, es decir, la rentabilidad por unidad de
riesgo:
i) Cartera Actual:
 1 
constituye el umbral mínimo que deben


 Cv  Actual
vencer las otras alternativas.
ii) Cartera Actual + A:
 1 


 Cv  Actual+ A
Cartera Actual + B:
 1 


 Cv  Actual+ B
229
Miguel Angel Mellado Espinoza
Cartera Actual + C:
 1 


 Cv  Actual+ C
Cartera Actual + A+B:
 1 


 Cv  Actual+ A + B
Cartera Actual + A+C:
 1 


 Cv  Actual + A + C
Cartera Actual + B+C:
 1 


 Cv  Actual + B + C
Cartera Actual + A+B+C:
 1 


 Cv Actual + A + B + C
Los indicadores de rentabilidad y riesgo para la Cartera Actual serían:
E(VAN) = E(VAN) I + E(VAN)
σ (VAN
act
)=
II
+ E(VAN)
III
σ 2 Ι + σ 2 ΙΙ + σ 2 ΙΙΙ + 2ρ Ι , ΙΙ σ Ι σ ΙΙ + 2ρ Ι , ΙΙΙ σ Ι σ ΙΙΙ + 2ρ ΙΙ , ΙΙΙ σ ΙΙ σ ΙΙΙ
Luego se determina:
 1 


 Cv  Actual
Para la primera de estas alternativas, es decir incorporar a la cartera actual el proyecto A,
Los indicadores estarían dados por:
E(VAN) = E(VAN)I + E(VAN)II + E(VAN)III + E(VAN)A
σ (VAN act + A ) =
σ 2 Ι + σ 2 ΙΙ + σ 2 ΙΙΙ + σ 2 Α + 2ρ Ι , ΙΙ σ Ι σ ΙΙ + 2ρ Ι , ΙΙΙ σ Ι σ ΙΙΙ + 2ρ ΙΙ , ΙΙΙ σ ΙΙ σ ΙΙΙ +
2ρ Ι , Α σ Ι σ Α + 2ρ ΙΙ , Α σ ΙΙ σ Α + 2ρ ΙΙΙ , Α σ ΙΙΙ σ Α
230
Evaluación de Proyectos de Inversión
luego se determina:
 1 


 Cv  Actual+ A
Una vez aplicado un procedimiento similar a las otras alternativas, se procede a comparar el
indicador de decisión, optando por aquel de más alto valor.
5.6
Ejercicios Propuestos
1. Suponga que para la próxima temporada de invierno usted ha deseado ingresar al
negocio de venta de calefactores. El precio de compra de cada equipo es de $10.000, los
cuales se pueden vender de puerta a puerta en $15.000 cada uno. Los equipos que no se
vendan son recibidos por la fabrica con un castigo del 30%. Usted está pensando en
comprar lotes de 5, 10, 15 o más de 20 equipos. Si usted tiene un comportamiento
neutro frente al riesgo, se le solicita que determine el tamaño óptimo de compra.
2. La empresa trasnacional Trucos S.A. se encuentra analizando la composición de la
cartera de sus inversiones para los próximos periodos. Actualmente la empresa
mantiene en cartera los activos A, B, C y D.
Activo
A
B
C
D
IVAN
0,12
0,14
0,15
0,10
Inversión
1.000
3.000
4.000
2.000
La gerencia de estudios ha planteado como inversiones factibles los proyectos
designados por los números 1 al 9. De estos, los proyectos 1, 3 y 7 son mutuamente
excluyentes, lo mismo ocurre con los proyectos 2, 6 y 9. La empresa tiene como política
mantener una cartera de inversiones de 16.000, por lo cual le han contratado a usted
para que determine que proyectos deben ser incorporados a la cartera si :
Proyecto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
IVAN
0,18
0,17
0,16
0,16
0,15
0,14
0,14
0,13
0,12
Inversión
2.000
2.000
2.000
4.000
4.000
2.000
2.000
4.000
2.000
231
Miguel Angel Mellado Espinoza
Matriz de Varianza y Covarianza:
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
1
2
125 100 200 100 -50 50
200 100 150 50 -50
15 100 -100 100
100 100 -100
150 150
250
3
-100
100
-50
50
∞
-100
100
4
100
-100
50
-50
-100
-100
100
300
5
-50
50
-100
100
-50
-50
150
450
150
6
50
-50
100
-100
50
∞
50
100
50
250
7
-100
100
-50
50
∞
-100
-100
100
100
200
8
50
-50
100
-100
-50
-50
150
150
150
150
150
50
9
100
100
50
-50
100
∞
100
100
100
∞
100
100
100
3. Sea Free S.A. está analizando la posibilidad de ingresar al negocio del ecoturismo, para
lo cual ha estudiado la factibilidad técnica de instalarse en cuatro localidades distintas
del sur de Chile, en cada una de las cuales debe pagar a la respectiva municipalidad
derechos de concesión por X años, con la posibilidad cierta de renovarlos al término de
su vigencia. Las localidades se encuentran todas en la alta cordillera, por lo cual pueden
ser explotadas para los deportes invernales. La concurrencia de personas y por tanto los
ingresos dependen de la nieve caída en el año, en la cual cada año puede ser calificado
como Bajo, Normal o Alta.
Ingresos Anuales
MM$
Localidad
Puyehue
Panguipulli
Cochamó
Huailahue
Años
Concesión
4
5
6
10
Derechos
Concesión
50 MM$
70 MM$
75 MM$
60 MM$
Baja
Normal
Alta
17
20
21
14
22
24
25
15
25
30
28
17
Si la tasa de descuento es del 10% anual real, señale en cual de las cuatro localidades es
recomendable efectuar el proyecto si la empresa es neutra frente al riesgo.
232
Evaluación de Proyectos de Inversión
4. Forestal Santa Clara, esta pensando arrendar una parcela de terreno y dedicarla a la
producción de Pinos, para ello desean analizar tres alternativas de proceso productivo.
La primera de ellas implica plantar pinos y venderlos después de 5 años, la segunda
venderlos cada 10 años y la tercera cada 15 años, en cada caso la inversión inicial sería
por una sola vez y de 100 millones.
Obteniendo beneficios de 250 millones, 500 millones y 920 millones cada vez que
vende para los años 5, 10 y 15, si los siguientes años son climáticamente normales.
En cambio si los siguientes años son secos los beneficios serían de 150 millones, 400
millones y 650 millones respectivamente cada vez que venden a los 5, 10 y 15 años.
Si los siguientes años son lluviosos se lograrían beneficios de 300 millones, 750
millones y 1450 millones, para los años 5, 10 y 15 cada vez que vende.
Si el proyecto tiene duración perpetua y la rentabilidad mínima exigida es de un 8 %
anual. Le conviene realizar el proyecto y que tipo de proceso productivo empleará si la
probabilidad de año climáticamente normal, seco y lluvioso son de 65%, 15% y 20%.
5. Esta Frito S.A. esta analizando la posibilidad de ingresar al negocio de comidas, para lo
cual ha estudiado la factibilidad técnica de instalarse en cuatro distintas localidades del
litoral central de Chile, en cada una de las cuales debe pagar a la respectiva
municipalidad derechos de concesión por H años, con la posibilidad cierta de
renovarlos al termino de su vigencia.
La concurrencia de personas y por tanto los ingresos dependen del nivel de la economía
para los próximos años, en la cual cada año puede ser clasificado como Baja, Normal y
Alta.
Localidad
Quisco
Reñaca
Algarrobo
El tabo
H
Años
Concesión
4
6
7
9
Pago
Derechos
Concesión
50 MM$
70 MM$
75 MM$
60 MM$
Margen Neto anual MM$
Baja
Normal
Alta
17
20
21
14
22
24
25
15
25
30
28
17
Si la tasa de descuento en cada localidad de invertir adicionalmente 20MM$
depreciados totalmente en la vida útil, con una tasa de impuesto del 10 % y el costo
alternativo del capital es del 8,2 % anual real, donde instalaría el negocio si el
comportamiento frente al riesgo es neutro.
233
Miguel Angel Mellado Espinoza
6. La sociedad Pesquera Gran Colososur S.A., esta planeando incrementar sus inversiones
de en naves de captura de Sardina Española, encontrando que es posible adquirir una de
dos naves.
La Gran Piraña M$
Estado Probabilidad
1
2
3
4
5
0,25
0,10
0,30
0,25
0,10
El Cangrejo Azul M$
Estado
Probabilidad
Flujo
anual
75.000
50.000
95.000
80.000
65.000
1
2
3
4
5
6
0,10
0,25
0,25
0,10
0,15
0,15
Flujo
anual
45.000
70.000
85.000
50.000
60.000
65.000
Por otra parte los estudios técnicos, señalan que la inversión para el barco La Gran
Piraña sería de M$ 380.000, en cambio la inversión en El Cangrejo Azul de M$
394.000, con vidas útiles de 8 y nueve años respectivamente.
Si el estudio financiero, legal y tributario señala que la rentabilidad mínima para este
tipo de proyectos es del 8,5 %, en tanto que como están exentas de impuestos las
inversiones no se debe esperar valor de recuperación alguno al termino del horizonte de
evaluación, se pide que determine si es aconsejable invertir y en que tipo de nave.
Asuma que al termino de la vida de un barco es posible comprar otro idéntico.
7. Una empresa de Turismo ha estado operando el área de viajes turísticos en los mares
del Sur de Chile desde hace más de 20 años, obteniendo una rentabilidad anual por sus
operaciones no inferior al 12.5% anual. Hoy día se encuentra analizando la posibilidad
de adquisición de Catamaranes, para lo cual esta evaluando dos opciones El Poseidón y
La Sirenita, los cuales tiene vida útil de 10 y 8 años respectivamente, al cabo del cual
no tienen valor residual. Las inversiones y flujos anuales de operación para cada uno de
los años del horizonte de evaluación serían de:
Poseidón
Inversión
Flujo MS$
$ 3,000
$ 3,500
$ 4,000
$ 4,500
$ 5,000
Sirenita
Inversión
Flujo MS$
$ 3,500
$ 4,000
$ 4,500
$ 5,000
$ 5,500
15000
Prob
10%
20%
40%
20%
10%
1000
Prob
15%
15%
30%
30%
10%
Las proyecciones de esta empresa son permanecer por muchos años en el negocio.
Determine cuál es el mejor proyecto de inversión para la empresa de turismo
234
Evaluación de Proyectos de Inversión
8. La sociedad de inversiones Británica “LONDON S.A”, desea ingresar al mercado del
turismo en chile, para lo cual planea ingresar capitales a nuestro país con la finalidad de
fomentar el turismo desde Inglaterra hasta las Torres del Paine o hasta las Termas de
Puyuhuapi, para lo cual ha tomado contacto con SERNATUR, para que le proporcionen
información, ya que su intención es construir un Hotel en alguno de estos dos lugares.
Según los estudios de Marketing que posee y considerando que los europeos están
proclives a todo lo que sea natural o ecológico, los flujos anuales para cada uno de los
años de operación de los hoteles son :
Hotel Torres del Paine M$
Estado Probabilidad Ingreso anual
1
0,20
80.000
2
0,15
85.000
3
0,10
110.000
4
0,20
115.000
5
0,15
105.000
6
0,10
100.000
7
0,10
95.000
Hotel Puyuhuapi
Estado Probabilidad
1
0,10
2
0,25
3
0,25
4
0,10
5
0,15
6
0,15
M$
Ingreso anual
75.000
95.000
105.000
90.000
80.000
85.000
La inversión para el proyecto de Hotel Torres del Paine sería de M$ 460.000,con una
vida útil de 10 años. En cambio la inversión en el Hotel Puyuhuapi sería de M$
250.000, pero con una vida útil de 5 años. No obstante, que en los costos de operación
se estiman en M$ 20.000 cada año en cualquiera de los hoteles.
El estudio financiero, legal y tributario señalo que la rentabilidad mínima para este tipo
de proyectos es del 8,5 %, en tanto que están afectas a una tasa del 10 % de impuestos y
la inversiones serían depreciadas linealmente, no esperando valor de recuperación
alguno al termino de la vida útil.
Determine en que hotel es aconsejable invertir, si las características de la área
geográfica y tipo de construcción señalan que se puede construir en el mismo lugar un
hotel idéntico al anterior al termino de su vida útil.
235
Miguel Angel Mellado Espinoza
9. La compañía “Homero Limitada.” desea entrar en un nuevo negocio, el cual demanda
de una inversión inicial de $100.000 , con una vida útil estimada de 5 años, al cabo de
los cuales tiene un valor residual del 25% del valor inicial. Para los años de operación
tiene flujo anuales esperados según la siguiente distribución:
Flujo Neto Posible
para cada uno de
años 1 al 5
3000
3500
4000
4500
5000
Probabilida
d del Flujo
Neto %
10
20
40
20
10
Por ello los dueños de la compañía le solicitan, determine si el negocio sea aceptable,
considerando una tasa de descuento es de un 15%
10. La compañía PC. New, desea ingresar a un nuevo tipo de negocio informático, para lo
cual dispone de dos alternativas, en el que las inversiones iniciales son de $ 120.000 y
$ 180.000 para los negocios tipo A y B respectivamente. En cada caso se generará
ingresos netos anuales operacionales según lo indicado en la tabla, en la cual se puede
observar que las características del mercado informático hacen que el valor de los
ingresos sea variable. Las características del negocio hacen que los proyectos se puedan
efectuar una y otra vez al termino de su vida útil, al termino de la vida útil de cada
negocio el valor residual es de un 10 % y el valor de venta es de 25 % del valor inicial
de la inversión.
Si la tasa mínima de rentabilidad exigida es del 12 % anual y la tasa de impuestos es de
un 15 %, se pide que determine la rentabilidad esperada por unidad de inversión e
indicador de decisión correspondiente.:
Negocio A
año 1 a 4
Probabilidad.
0,2
0,3
0,4
0,1
H= 4 años
Negocio B
H= 6 años
año 1 a 6
Probabilidad Margen Bruto
.
M$
0,1
23.000
0,3
33.000
0,4
48.000
0,2
65.000
Margen Bruto
M$
25.000
38.000
45.000
63.000
La tabla señala los valores posibles para el Margen Bruto que se tendrían en un año típico,
siendo exactamente el mismo comportamiento en cada uno de los años del horizonte del
proyecto
236