SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO 1

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO
Così come avviene per i numeri ( 180 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la
trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili (fattorizzazione).
Ad esempio x 4 − y 4 = ( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x + y) ⋅ ( x − y)
Per eseguire la scomposizione in fattori di un polinomio si applicano i seguenti metodi.
1 - Raccoglimento a fattor comune totale
Questa regola si applica quando i termini del polinomio contengono un fattore comune, cioè quando il
M.C.D. dei monomi che compongono il polinomio è diverso da 1.
Il polinomio è scomposto in due fattori :
- il primo fattore è il M.C.D. dei termini del polinomio traccia;
- il secondo fattore è un polinomio costituito dai quozienti ottenuti dividendo ciascun termine del
polinomio traccia per il M.C.D. trovato.
Esempio: 12a 2 x 5 + 15a 3 bx 3 − 18a 4 cx 4 = 3a 2 x 3 ⋅ (4x 2 + 5ab − 6a 2 cx )
Calcoli :
12a 2 x 5
2 3
3a x
15a 3 bx 3
= 4x 2
2 3
3a x
18a 4 cx 4
= 5ab
2 3
3a x
= 6a 2 cx
2 - Raccoglimento a fattor comune parziale
Questa regola può, alcune volte, essere applicata quando il polinomio presenta fattori comuni solo per gruppi
di monomi.
Il metodo risulta applicabile se è possibile completare le seguenti due fasi:
- Ia fase: si applica il raccoglimento a fattor comune a gruppi di due (a volte tre) monomi;
- IIa fase: si raccolgono a fattor comune totale i polinomi (in parentesi) ottenuti.
2a
5b
Esempio:
14ax − 4a + 35bx − 10b = 2a ⋅ (7 x − 2) + 5b ⋅ (7 x − 2) = (7 x − 2) ⋅ (2a + 5b)
3 - Prodotti Notevoli
Differenza di due quadrati
I 2 − ΙΙ 2 = ( Ι + ΙΙ )
•
( Ι − ΙΙ )
Questa regola si applica quando il polinomio è la differenza di due monomi che hanno:
- per coefficienti, numeri o frazioni quadrati perfetti: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 ,
1
4
1
9
,
, 0,01 =
, 0,04 =
,...
121 , 144 , . . .
4
25
100
100
4 6
2
8
4 2 14
- per parte letterale, lettere con esponenti pari: a
, b , x y , a b x , ...
Esempio: 49x 4 − y 6
=
(7x 2 + y 3 )⋅ (7x 2 − y 3 )
I termini nelle parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi . Es.
Differenza o Somma di due cubi
Matematica
Ι 3 − ΙΙ 3 = ( Ι − ΙΙ )
•
y6 = y3 .
( Ι 2 + Ι • ΙΙ + ΙΙ 2 )
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1
Ι 3 + ΙΙ 3 = ( Ι + ΙΙ )
•
( Ι 2 − Ι • ΙΙ + ΙΙ 2 )
Queste regole si applicano quando il polinomio è la differenza (o somma) di due monomi che hanno:
- per coefficienti, numeri o frazioni cubi perfetti:
- 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , 216 , 343 , 512 , 729 , 1000 , . . .
8
1 27
1
,
, 0,001 =
, 0,08 =
8 64
1000
1000
- per parte letterale, lettere con esponenti multipli del 3: a 3 , b12 , x 9 y 6 , a 6 b 3 x15 , . .
Esempio:
64 9
x − y6
27
=
⎛4 3
2 ⎞ ⎛ 16 6 4 3 2
4⎞
⎜ x − y ⎟⋅⎜ x + x y + y ⎟
3
⎝3
⎠ ⎝9
⎠
I termini della Ia parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi . Es. 3 y 6 = y 2 .
I 2 ± I ⋅ II + II 2
I termini della IIa parentesi si ottengono effettuando il falso quadrato
parentesi.
Quadrato di binomio
della Ia
Ι 2 + ΙΙ 2 ± 2 • Ι • ΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ) 2
Questa regola si applica quando il polinomio è un trinomio contenente:
- due monomi quadrati perfetti, come ad esempio:
49 4
x
121
, 1 ,
a6
9
,
4 2 4 6
x y z ,…
25
- un terzo monomio che risulta essere il doppio prodotto delle radici dei quadrati perfetti .
49 4 14 2 3
x − x y + y6
Esempio:
121
11
=
⎛7 2
3⎞
⎜ x −y ⎟
⎝ 11
⎠
2
I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti.
7
14
Occorre però fare la verifica del doppio prodotto: 2 ⋅ I ⋅ II = 2 ⋅ x 2 ⋅ (− y 3 ) = − x 2 y 3
11
11
Cubo di binomio
Ι 3 ± 3 • Ι 2 • ΙΙ + 3 • Ι • ΙΙ 2 ± ΙΙ 3
=
( Ι ± ΙΙ ) 3
Questa regola si applica quando il polinomio è un quadrinomio contenente:
1 3
8 9 6
a 6 b 3 x15
- due monomi cubi perfetti, come ad esempio:
a , 1 , −
x y , −
,...
64
8
27
- due monomi che risultano essere i tripli prodotti 3 • Ι 2 • ΙΙ e 3 • Ι • ΙΙ 2 delle radici dei cubi perfetti .
Esempio: 8x 9 − 12x 6 + 6x 3 y 4 − y 6
=
(2x 3 − y 2 )3
I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi. Es.
Occorre però fare la verifica dei due tripli prodotti:
3
8x 9 = 2 x 3 .
3 ⋅ I 2 ⋅ II = 3 ⋅ (2 x 3 ) 2 ⋅ (− y 2 ) = − 12x 6 y 2
3 ⋅ I ⋅ II 2 = 3 ⋅ 2 x 3 ⋅ (− y 2 ) 2 = + 6 x 3 y 4 .
Quadrato di trinomio
Ι 2 + ΙΙ 2 + ΙΙΙ 2 ± 2•Ι•ΙΙ ± 2•Ι•ΙΙΙ ± 2•ΙΙ•ΙΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ± ΙΙΙ ) 2
Questa regola si applica quando il polinomio ha sei termini, di cui:
Matematica
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2
49 4
4 2 4 6
a6
x
, y6 , 1 ,
,
x y z
9
121
25
tre sono monomi che risultano essere i doppi prodotti 2 • Ι • ΙΙ , 2 • Ι • ΙΙΙ , 2 • ΙΙ • ΙΙΙ delle radici dei
quadrati perfetti.
tre sono monomi quadrati perfetti, come :
Esempio: 9a 2 − 6ab − 6ac + b 2 + c 2 + 2bc
=
(3a − b − c)2
I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti.
Occorre però fare la verifica dei tre doppi prodotti: 2 ⋅ I ⋅ II = 2 ⋅ 3a ⋅ (−b) = − 6ab
2 ⋅ I ⋅ III = 2 ⋅ 3a ⋅ (−c) = − 6ac
2 ⋅ II ⋅ III = 2 ⋅ (−b) ⋅ (−c) = + 2bc
4 - Trinomio di II° grado
Questa regola si applica, in generale, in presenza di un trinomio di II° grado in una data lettera.
I Caso - Il coefficiente della x 2 è uguale a 1.
Il polinomio si spezza nel prodotto dei due binomi:
x 2 + s x + p = (x + a) • (x + b)
dove s = a + b
p = a •b
Esempio: Dato il trinomio x 2 − 4x − 12 occorre trovare due
numeri il cui prodotto sia uguale al termine noto p = −12 e
la cui somma sia uguale al coefficiente della x s = −4.
Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco.
Dalla tabella si individuano i numeri cercati: +2 e –6 .
Pertanto il polinomio di scompone in ( x + 2) ⋅ ( x − 6) .
p = -12 s = -4
-1 +12 +11
+1 -12
-11
-2
+6
+4
+2
-6
-4
-3
+4
+1
+3
-4
-1
II Caso - Il coefficiente della x 2 è diverso da 1.
Per scomporre il polinomio a x 2 + b x + c occorre:
- Occorre trovare due numeri h e k tali che h + k = b e h • k = a • c
- Riscrivere il polinomio come a x 2 + h x + k x + c
- Effettuare il raccoglimento a fattor comune parziale.
2
Esempio: Dato il trinomio 2x − 7 x + 5 occorre trovare due
numeri h e k tali che h + k = −7 e h • k = 2 • 5 = 10
cui somma sia uguale al coefficiente della x s = −4.
Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco.
Dalla tabella si individuano i numeri cercati: –2 e –5.
Pertanto il polinomio si riscrive come 2x 2 − 2x − 5x + 5
Effettuando il raccoglimento parziale si ha 2 x ⋅ ( x − 1) − 5 ⋅ ( x − 1)
Raccogliendo di nuovo si ottiene ( x − 1) ⋅ (2x − 5)
Matematica
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p = 10
s = -7
+1 +10 +11
-1 -10
-11
+2 +5
+7
-5
-7
-2
3
5 - Regola di Ruffini
Questa regola va considerata in ultima analisi, dopo aver applicato, con successo o non, i precedenti metodi.
Essa si utilizza, in generale, in presenza di un polinomio in una data lettera, come ad esempio:
a 0 x n + a 1x n −1 + . . . + a n −1x + a n .
Per scomporre un tale polinomio occorre:
- Ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti della lettera x
- Determinare i divisori del termine noto a n e del I° coefficiente a 0 .
⎧ p
⎫
D = ⎨±
con p divisore di a n e q divisore di a 0 ⎬
⎩ q
⎭
- Attraverso la griglia di Ruffini, determinare uno zero α del polinomio
- Determinare i possibili zeri del polinomio
Il procedimento si conclude scrivendo il polinomio come: (x − α) ⋅ (polinomio di grado n - 1) , dove i
coefficienti del polinomio della IIa parentesi si ottengono dalla griglia di Ruffini.
Esempio:
Dato il polinomio ordinato x 3 − 7x 2 + 16x − 12
-
I divisori del termine noto 12 sono: ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±12
I divisori del I° coefficiente 1 sono: ±1
I possibili zeri del polinomio sono D = {±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±12}
Con la griglia di Ruffini si cerca uno zero del polinomio
1 -7 16 -12
1
1 -6 10
1 -6 10 -2 No
1 -7 16 -12
-1
-1 8 -24
1 -8 24 -36 No
Il polinomio x 3 − 7x 2 + 16x − 12 viene scomposto in ( x − 2 )
Matematica
1 -7 16 -12
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2
•
2 -10 12
1 -5 6 0 Si
( 1 x 2 −5 x + 6 ) .
4
In Sintesi
Binomio
La scomposizione in fattori di un binomio può avvenire con :
a - Raccoglimento a fattor comune totale : a x − a y = a • (x − y)
b - Differenza di due quadrati :
Ι 2 − ΙΙ 2 = (Ι + ΙΙ) • (Ι − ΙΙ)
c - Differenza di due cubi :
Ι 3 − ΙΙ 3 = (Ι − ΙΙ) • (Ι 2 + Ι • ΙΙ + ΙΙ 2)
d - Somma di due cubi :
Ι 3 + ΙΙ 3 = (Ι + ΙΙ) • (Ι 2 − Ι • ΙΙ + ΙΙ 2)
e- Regola di Ruffini
f - L’uso misto del procedimento ”a” con uno dei procedimenti “b” , “c” , “d” , “e”.
Trinomio
La scomposizione in fattori di un trinomio può avvenire con :
a - Raccoglimento a fattor comune totale : 6a3x − 4a2y + 8a4z = 2a2•(3ax − 2y + 4a2z)
b - Quadrato di binomio :
Ι 2 + ΙΙ 2 ± 2 • Ι • ΙΙ = (Ι ± ΙΙ) 2
c - Trinomio di II° grado : x 2 + s x + p = (x + a) • (x + b) con s = a+b e p = a•b
d - Regola di Ruffini
e - L’uso misto del procedimento ”a” con uno dei procedimenti “b” , “c” , “d”.
Quadrinomio
La scomposizione in fattori di un quadrinomio può avvenire con :
a - Raccoglimento a fattor comune totale : ax − ay + az − ak = a•(x − y + z − k)
b - Raccoglimento parziale :
c - Cubo di un binomio :
ax + ay + bx + by = a • (x + y) + b • (x + y) = (x + y) • (a + b)
Ι 3 ± 3 • Ι 2 • ΙΙ + 3 • Ι • ΙΙ 2 ± ΙΙ 3 = (Ι ± ΙΙ) 3
d - Regola di Ruffini
e - L’uso misto del procedimento ”a” b” con uno dei procedimenti ”b”, “c”, “d”.
Matematica
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