Gravedad Cero - Uruguay Educa

“Gravedad Cero”
Álvaro Suárez
IPA, Montevideo, Uruguay.
Educación Secundaria, Canelones, Uruguay.
e-mail: [email protected]
Resumen
En este trabajo se estudia teórica y experimentalmente el comportamiento de un sistema masaresorte en situación de ingravidez, obteniéndose resultados acordes con los esperados. Para
obtener las condiciones de laboratorio que permitieran “contrarrestar” la atracción de la Tierra,
se aplico el principio de equivalencia de Einstein. Para ello una persona sostuvo verticalmente el
sistema masa-resorte mientras se dejaba caer de cierta altura, estudiándose el sistema desde un
referencial solidario a la persona.
A) Introducción
Una de las cosas que más llama la atención de niños y adultos, si de viajes espaciales se trata, es
la condición de ingravidez que perciben los astronautas. Quién no quisiera probar al menos por
un rato la posibilidad de evitar la fuerza gravitatoria y poder flotar por el aire o levantar un objeto
de gran masa sin realizar esfuerzo alguno.
Generar las condiciones de ingravidez en la Tierra no es una tarea fácil, si queremos escaparnos
literalmente de la atracción gravitatoria tenemos una sola opción, ir al centro de la Tierra, hecho
que en la actualidad resulta imposible, quedando dicha posibilidad destinada exclusivamente
para películas o libros de ciencia ficción.1
La posibilidad de realizar experimentos de “gravedad cero” en el aula resulta muy atractiva, ya
que permitiría a los alumnos poder observar alguno de los fenómenos que efectivamente
ocurrirían en ausencia del campo gravitatorio terrestre. Esto que a priori parece difícil de realizar,
puede ser simulado durante unos segundos si el fenómeno físico que se pretende estudiar, ocurre
dentro de un sistema de referencia no inercial cuya aceleración es igual a g .2
Una forma de entender por qué se puede simular un estado de gravedad cero, es haciendo uso del
principio de equivalencia formulado por Einstein en 1911, el cual dice que “un campo
gravitatorio homogéneo es completamente equivalente a un sistema de referencia uniformemente
acelerado”. [1]
1
El libro más conocido sobre dicho tema es “Viaje al centro de la Tierra” de Julio Verne, escrito en el año 1864.
En la página http://www.loreto.unican.es/Carpeta2007/00TorreonCartes2007/M81PrincEquivEinstein.pdf se describen varios
experimentos que se pueden realizar para estudiar distintos sistemas en estado de ingravidez.
2
A partir del principio de equivalencia se concluye que si se realiza en la Tierra un experimento
en un sistema de referencia no inercial con una aceleración igual a la gravitatoria, dicho sistema
se comporta como un referencial inercial sometido a un campo gravitatorio uniforme con una
aceleración gravitatoria vertical hacia arriba cuyo módulo es igual a g . De esta forma en dicho
sistema el campo gravitatorio es nulo y actúa como si estuviera en un estado de gravedad cero.
A continuación se estudiará teórica y experimentalmente en estado de “gravedad cero” el
comportamiento de un sistema masa-resorte. Para lograr dicho estado por algunas décimas de
segundo el sistema masa-resorte es sostenido por una persona a cierta altura del piso de un salón,
la cual después se deja caer. De esta manera mientras la persona está en caída libre, el sistema
masa-resorte visto desde un referencial solidario a ella, se encontrará en estado de ingravidez.3
B) Modelo teórico
Para encontrar la ley horaria del sistema masa-resorte, se partirá de la ecuación de movimiento
vista desde un marco de referencia solidario al techo del salón, hasta llegar a una solución
compatible con el principio de equivalencia.
Una de las hipótesis a utilizar es que el movimiento del sistema masa resorte es únicamente en la
dirección vertical.
Sea z la posición de la pesa medida desde el techo, x la posición de la mano de la persona
medida desde el techo e y la posición de la pesa medida desde un marco de referencia solidario a
la mano de la persona, tal como indica la figura 1.
Figura 1. Sistemas de
referencia.
3
Se supondrá despreciable la interacción de la persona con el aire mientras cae. En esas condiciones al estar en caída libre, no es
necesario suponer que el campo gravitatorio es uniforme para obtener el estado de ingravidez, aunque para la pequeña distancia
que cae es válida dicha consideración.
Mientras el sistema masa-resorte cae, si se desprecia la interacción con el aire, las únicas fuerzas
que actúan sobre la pesa son la fuerza elástica realizada por el resorte y la fuerza peso realizada
por la Tierra, por lo que aplicando la segunda ley de Newton a la pesa se obtiene:
mz  mg  k ( y  l0 )
(1)
Siendo m la masa de la pesa, k la constante elástica del resorte y l0 la longitud natural del mismo.
A partir de la ecuación 1 se puede determinar la ecuación de movimiento de la pesa vista desde
el referencial solidario a la persona.
De la figura 1 se deduce que:
z(t )  x(t )  y(t )
(2)
z (t )  x(t )  y(t )
(3)
Por lo tanto:
Como la persona está en caída libre, si se desprecia su interacción con el aire y se supone que la
mano de la persona mientras estaba cayendo no se movía respecto a la persona:
x(t )  g
(4)
Sustituyendo las ecuaciones 3 y 4 en la 1:
m( g  y)  mg  k ( y  l0 )
(5)
Cancelando términos se obtiene finalmente la ecuación de movimiento de la pesa vista desde el
referencial solidario a la persona.
my  k ( y  l0 )
(6)
Resolviendo la ecuación diferencial del movimiento se obtiene la ley horaria de la pesa en el
sistema de “gravedad cero”.
y(t )  Asen(t   )  l0
(7)
La cual implica que el sistema masa-resorte debe realizar un movimiento armónico simple de
frecuencia angular   k / m y amplitud A en torno a l0.
La ley horaria obtenida resulta lógica desde el punto de vista del principio de equivalencia. Ya
que si se aplicara dicho principio al referencial solidario a la persona, el campo gravitatorio
resultante sería nulo, por lo que la fuerza neta sobre la pesa sería igual a la fuerza elástica, tal
como está expresado en la ecuación 6.
Para determinar el parámetro A de la ecuación 7 se parte del hecho que, cuando el sistema masaresorte se encuentra en equilibrio (antes de dejarse caer la persona), la fuerza elástica es opuesta
al peso, por lo que:
mg  k lequilibrio
(8)
Con
lequilibrio  y0  l0
(9)
Siendo y0 igual a la posición de la pesa en equilibrio medida desde el referencial solidario a la
persona.
Figura 2. Diagrama del
sistema masa-resorte en
equilibrio antes de la caída.
De esta manera cuando la pesa se encuentra en estado de ingravidez, lequilibrio se convierte en la
amplitud de la oscilación, por lo tanto:
lequilibrio  A
(10)
Al sustituir la ecuación 10 en 8, y despejar A se obtiene:
A  mg / k
(11)
Además, teniendo en cuenta la relación de la frecuencia angular con k y m (  2  k / m ), podemos
escribir la amplitud A como:
A  g / 2
(12)
C) Montaje experimental
Para determinar la posición de la pesa en función del tiempo desde un sistema de referencia
solidario a la persona, se filma el movimiento del sistema masa-resorte con una cámara de video
que registra 30 cuadros por segundo. El archivo de video que se obtiene es procesado con la
versión 4.62 del programa “Tracker”4. Dicho software permite determinar automáticamente la
posición de un cuerpo en cada uno de los fotogramas del video.
De esta manera se obtiene la posición de la pesa y del extremo superior del resorte en función del
tiempo, desde un marco de referencia solidario al salón donde se realizó el experimento, es decir
z (t ) y x(t ) .
Figura 3. Imagen de las distintas
posiciones de la pesa y del
extremo del resorte en función del
tiempo, obtenidas con el software
Tracker.
Como z(t )  x(t )  y(t ) , despejando y (t ) :
y(t )  z(t )  x(t )
4
(13)
Disponible en http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/ bajo licencia GNU.
Por lo que restando la posición de la pesa a la del extremo superior del resorte para cada instante
de tiempo, se obtiene la posición de la pesa en el referencial de “ingravidez”.
D) Análisis de resultados y discusión
Para verificar el poder predictivo de la ley horaria obtenida para el sistema masa-resorte en el
referencial solidario a la persona, se determina experimentalmente  y la posición de la pesa en
el instante inicial. A partir de dicho valores se calculan A, l0 y  . Determinados los parámetros
de la ley horaria, se compara la función y(t )  Asen(t   )  l0 con los datos experimentales
extraídos del análisis de video.
Para determinar la frecuencia angular  del sistema masa-resorte, se separa la pesa de su
posición de equilibrio y se suelta, logrando que la misma oscile entorno a la posición de
equilibrio. Se filma dicha oscilación y se analiza con el Tracker. El gráfico obtenido se ajusta con
una función sinusoidal con el programa Logger Pro y a partir de los parámetros determinados por
el ajuste, se halla el valor de  .
  (3,82  0,02) rad / s
(14)
Figura 4. Gráfico de posición en función del tiempo para el sistema masa-resorte
oscilando libremente con un ajuste sinusoidal superpuesto.
Para determinar la amplitud A de la oscilación se parte de la ecuación 12 y del valor de 
obtenido, resultando A  0,672 m .
Para determinar la incertidumbre en la amplitud, se desprecia la incertidumbre en la aceleración
gravitatoria respecto a la incertidumbre de  .
A
A
2g
  3 


 A  7 103 m
(15)
(16)
Quedando el valor de la amplitud con su respectiva incertidumbre:
A  (0,672 0,007) m
(17)
Para determinar l0 se sustituye la ecuación 10 en la 9, resultando;
l0  y0  A (18)
Dados y0 y A se determina la longitud natural l0 del resorte. El valor de y0 se obtuvo de la
filmación del sistema:
y0  (0,79  0,02)m
(19) 5
Por lo tanto la longitud natural del resorte vale:
l0  (0,12  0,03)m
(20)
Determinados A, l0 y  , se obtiene la expresión para la ley horaria (en metros) de la pesa.
y(t )  0,672sen(3,82t   )  0,12
(21)
Para determinar el valor de la fase  , se parte de la posición de la pesa en t  0s la cual es
(0,79  0,02)m . Sustituyendo en la ecuación 21 y despejando  :
  (1,6  0,4) rad
(22)
Para comparar el modelo teórico propuesto, con los datos experimentales, se grafica con el
programa Excel, en el mismo par de ejes, los datos experimentales de la posición de la pesa en
5
Se asigna arbitrariamente una incertidumbre absoluta de 0,01m a la medida de cada posición obtenida por el Tracker. Por lo
tanto cada una de las medidas de las coordenadas y de la pesa tienen una incertidumbre de 0,02m porque surgen de la resta de
las coordenadas del extremos superior del resorte y de la posición de la pesa, ambas medidas desde el referencial fijo al salón.
0.90
0.80
0.70
función del tiempo y una función de la forma y(t )  Asen(t   )  l0 . Para determinar los valores
de las constantes , A, l0 y , se utiliza la función “solve” del Excel, la cual calcula dichas
constantes, para que la función teórica se ajuste de la mejor manera posible a los datos
experimentales. Para acotar los posibles valores de las constantes, se impone que los mismos se
encuentren dentro de los rangos dados por las ecuaciones 14, 17, 20 y 22 respectivamente,
obteniéndose el gráfico mostrado en la figura 5.
m) 0.60
0.90
0.50
0.80
0.40
0.70
Datos experimentales
Ajuste teórico
0.30
0.000
y(m) 0.60
0.100
0.200
Datos experimentales
0.300
Ajuste teórico
t(s)
0.50
0.40
0.30
0.000
0.100
0.200
0.300
t(s)
Figura 5. Gráfico de posición en función del tiempo de la pesa obtenida
experimentalmente con el ajuste teórico superpuesto.
Los valores calculados por el programa Excel para , A, l0 y  son:
  3,80rad / s
A  0,665m
  1,6rad
l0  0,10m
Los cuales están contenidos dentro de los rangos dados por las incertidumbres de cada una de las
magnitudes.
Como parámetro de calidad del ajuste teórico con los datos experimentales, se calcula la raíz
cuadrada del error cuadrático medio (RMSE), la cual está dada por:
xRMSE 
1 iN
 ( xiteo  xiexp )2
N i 1
(23)
Siendo N la cantidad de datos experimentales.
xRMSE  0,0154m
(24)
El ajuste se puede considerar aceptable ya que el valor del RMSE obtenido es menor que la
incertidumbre de las medidas de la posición de la pesa; además cuando se elaboró el modelo, se
realizaron tres fuertes hipótesis que no se ajustaban plenamente al movimiento analizado a través
de la filmación. A saber:
-
La mano de la persona mientras estaba cayendo no se movía respecto a la persona.
En el instante en el cual se empezaron a analizar los datos de la posición de la pesa en
función del tiempo, la persona justo se estaba dejando caer.
El movimiento de la pesa mientras estaba cayendo era sólo vertical.
Cabe mencionar que dada la altura a la que se dejaba caer la persona, el tiempo de caída era tan
pequeño que la pesa no llegaba a completar un cuarto de la oscilación. Sin embargo, si el tiempo
de caída hubiera sido mucho más largo, no se podría haber observado la oscilación completa ya
que el resorte utilizado estaba “precomprimido”. Es decir, en su longitud natural todas sus
espiras se encontraban apretadas, por lo que si la pesa llegaba a la posición de equilibrio mientras
estaba en estado de ingravidez, el resorte no podía seguir comprimiéndose.
E) Conclusiones
A partir del análisis realizado se muestra como el estudio de un experimento visto desde un
sistema de referencia en caída libre permite simular situaciones físicas en estado de ingravidez.
Esto abre un abanico de posibilidades para estudiar otros sistemas de interés en situaciones de
ausencia de gravedad, lo cual hace que resulte más sencillo del punto de vista didáctico la
compresión de cualquier fenómeno físico en las condiciones mencionadas ya que se puede
estudiar estos fenómenos de manera experimental.
Por último, cabe mencionar que el análisis experimental realizado a partir del estudio de una
filmación digital haciendo uso del software Tracker, muestra la gran potencialidad de esta
herramienta para analizar movimientos de diversa índole.
F) Referencias
- [1] Tipler, Paul, Física, tomo 2, 3era edición, España, Reverté, 1994. Página 1132