Retículos residuados y algunas conexiones con topología y lógica

Retículos residuados y algunas conexiones con topología y lógica.
Sandra M. Perilla- Monroy1
Resumen.
Este artículo tiene como fin presentar los resultados obtenidos en mi trabajo final de
maestría en Ciencias Matemáticas el cual se titula “Retículos residuados y algunas
conexiones con topología y lógica”. En él se muestra un enlace entre álgebra, lógica y
topología, tomando como base la teoría de retículos. Se estudian los retículos
residuados. Se establece entre los retículos residuados completos (cuantales unitarios), y
las pretopologías, una adjunción de categorías, estableciendo antes una adjunción entre
la categoría de retículos completos y los operadores de clausura. Por último se ve que
estos retículos son semánticas asociadas a lógicas subestructurales.
Palabras
Clave:
retículos
residuados,
pretopologías,
cuantales,
lógicas
subestructurales.
Introducción
Una característica sobresaliente de la matemática contemporánea es buscar enlaces entre
sus diferentes sub-ramas. En particular, unas estructuras especialmente propensas a
revelar ese tipo de enlaces son los retículos, con sus conexiones con el álgebra, la
topología y la lógica, entre otras ramas. En mi trabajo [11] “Retículos residuados y
algunas conexiones con topología y lógica” muestro uno de estos enlaces entre álgebra,
lógica y topología enmarcado en los retículos residuados, cuyo interés de estudio radica
en parte a que ellos resultan ser las semánticas naturales asociadas a las lógicas
subestructurales, lógicas que se originan ante la necesaria expansión de la lógica a otras
facultades del conocimiento como son la lingüística, la filosofía y la teoría de la
computación, expansión que las lógicas clásica e intuicionista no alcanzan a abarcar
completamente entre otras cosas por no tener control sobre el uso y la combinación de
las premisas o los recursos. Estudiar las semánticas para estas lógicas indiscutiblemente
permitirá tener un mayor conocimiento de las mismas y, al establecer conexiones entre
estos retículos y topología permitirá a futuro encontrar estructuras topológicas que
sirvan también como modelos para las lógicas subestructurales. Por eso en el trabajo se
hace un estudio detallado de estos retículos y se logra dar para ellos una buena lista de
propiedades a partir de la noción de adjunción entre conjuntos ordenados. Por otro lado
se llega a una adjunción entre los retículos completos y los operadores de clausura y con
ese resultado se llega también a una adjunción entre los retículos residuados completos
(cuantales unitarios) y las pretopologías.
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PERILLA, Sandra. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Santo Tomás. Bogotá,
Colombia. Email: [email protected]. Dirección de contacto Crr 7 No. 51 A-13.
Metodología.
Debido a que el objetivo de este artículo es mostrar los principales resultados de mi
trabajo “Retículos residuados y algunas conexiones con topología y lógica” [11] ,
empiezo por presentar el siguiente diagrama que intenta dar un panorama general de lo
que se desarrolló en el trabajo.
ALGEBRA
RETÍCULOS COMPLETOS
RETÍCULOS RESIDUADOS
COMPLETOS
(CUANTALES UNITARIOS)
LÓGICA
LOGICAS
SUBESTRUCTURALES
BÁSICAS
TEOREMA DE VALIDEZ
Y COMPLETITUD
Transl
Sat
TOPOLOGÍA
OPERADORES DE
CLAUSURA
PRETOPOLOGÍAS
Como había dicho antes el objetivo del trabajo era buscar enlaces entre álgebra, lógica y
topología tomando como base la teoría de retículos, así que se estudiaron desde el
álgebra las categorías de los retículos completos y de los retículos residuados completos
(cuantales unitarios), desde la topología las categorías de operadores de clausura, y
operadores de clausura estables (pretopologías) y desde la lógica se estudiaron las
lógicas subestructurales y en particular las lógicas subestructurales básicas,
estableciendo entre ellas equivalencias y adjunciones categóricas.
Más precisamente desde el álgebra se estudiaron los retículos residuados que son
retículos (conjuntos ordenados en donde cada par de elementos tiene sup e inf) a los que
se les agrega una operación de monoide que resulta ser residuada, es decir se estudiaron
estructuras de la forma
1.
es un retículo
2.
es un monoide.
donde:
3. / y \ son operaciones binarias sobre P que satisfacen:
(
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PERILLA, Sandra. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Santo Tomás. Bogotá,
Colombia. Email: [email protected]. Dirección de contacto Crr 7 No. 51 A-13.
Son por ejemplo retículos residuados las álgebras de boole, las álgebras de Heyting y las
MV-álgebras que sirven como semánticas a la lógica clásica, la lógica intuicionista y la
lógica de Lukasiewicz, respectivamente, son también retículos residuados los l-grupos
que son retículos compatibles con una estructura adicional de grupo, entre ellos están
por ejemplo los reales, enteros y racionales con la suma y el orden usual.
Una traducción de la definición de retículos residuados en términos de adjunción
permitió dar una lista bastante grande de propiedades para los retículos residuados. Ver
([11] p. 22) . También la primer parte del trabajo se puede considerar como una fuente
introductoria a conjuntos ordenados, adjunción entre conjuntos ordenados y retículos,
que puede ser útil para aquellas personas que estén interesadas en empezar a estudiar
estos temas.
Como la idea principal del trabajo era buscar conexiones de estos retículos con
estructuras topológicas y ver también para cuáles lógicas ellos resultan ser las
semánticas asociadas, en la segunda parte del trabajo se establece un enlace entre los
retículos residuados completos y las pretopologías. Para ello se inició estudiando las
categorías de los retículos completos y de los operadores de clausura, (un operador de
clausura es un par
que para todo
y
donde
es un conjunto no vacío y
, cumple
subconjuntos de :
). Se logró establecer entre estas dos categorías una
adjunción categórica mediante el siguiente par de funtores: dado un retículo completo o
sup-retículo
se define el funtor
donde
que resulta ser un operador de clausura; y para
un morfismo entre retículos completos
. Y de la categoría de los
operadores de clausura a los retículos completos se define el funtor Sat que actúa de la
siguiente manera: dado un operador de clausura
los puntos fijos bajo ese operador, es decir todos los
se consideran
a todos
tales que
Este
conjunto se denomina los saturados del operador C y entonces
donde
es un retículo completo y, para un morfismo
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PERILLA, Sandra. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Santo Tomás. Bogotá,
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es un morfismo de retículos completos. Se
demuestra que el funtor Sat es adjunto a izquierda del funtor Transl y se da un
contraejemplo de que no se tiene una equivalencia de categorías. Dado un retículo
completo
a
se demuestra también que Sat(Transl (L, )) resulta siempre ser isomorfo
esto se debe a que en realidad Sat(Transl (L, )) es el completamiento de McNeille
del retículo
(para más información sobre el completamiento de McNeille puede ver
[4]); en cambio no siempre que se tome un operador de clausura y se apliquen los dos
funtores se obtiene un operador de clausura isomorfo al original.
Se estudian también los cuantales unitarios que son retículos residuados completos y las
pretopologías que son estructuras matemáticas que tienen sus raíces en la topología
formal según Sambín y cuyo objetivo es describir las propiedades de un espacio
topológico sin hablar de sus puntos sino estudiando de manera global las propiedades de
sus conjuntos abiertos. Las pretopologías se pueden caracterizar como operadores de
clausura estables, esto es operadores de clausura con una operación de monoide que
cumplen que:
lo que permite que al restringir los funtores Sat y
Transl a estas nuevas categorías se siga teniendo una adjunción pero al igual que antes
no se tiene tampoco la equivalencia.
De esta manera un problema que queda abierto de este trabajo es buscar condiciones
sobre los operadores de clausura y también sobre las pretopologías de tal manera que se
tengan una equivalencia entre las categorías de los retículos completos y los operadores
de clausura y también entre las categorías de los cuantales unitarios y las pretopologías.
Por último se hizo un estudio de las lógicas subestructurales que son lógicas que se
formalizan en sistemas de secuentes de Gentzen y se obtienen a partir de la lógica
clásica y la lógica intuicionista mediante restricción de reglas estructurales. Estas
lógicas nacen debido a la incursión de la lógica en otras ramas del conocimiento como
la lingüística, la filosofía y la teoría de la computación en donde se toman en cuenta
aspectos del orden, la combinación y el uso de las premisas que no son tomadas en
cuenta por la lógica clásica y la intuicionista. Se estudian en esta parte las lógicas
subestructurales básicas, que son lógicas que se extienden al cálculo de Lambek y se
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demuestra que los retículos residuados resultan ser las semánticas asociadas a estas
lógicas. Para esta última parte se tuvieron en cuenta resultados de las fuentes [5], [10] y
[12]
Las personas que deseen obtener más información sobre teoría de retículos pueden ver
[3]. Para estudiar retículos residuados la mejor referencia en el momento es [6]. Para los
que quieran profundizar más en cuantales y pretopologías pueden ver [1],[13] y [14].
Conclusiones
Los resultados a destacar del trabajo de investigación [11] son los siguientes:
1. A partir de la noción de adjunción entre conjuntos ordenados se logra establecer
una amplia lista de propiedades de los retículos residuados.
2. El trabajo sirve como una fuente introductoria a conjuntos ordenados, adjunción
entre conjuntos ordenados y retículos.
3. Se definieron un par de funtores (Sat, Transl) entre la categoría de los supretículos o retículos completos y la categoría de los operadores de clausura y se
demostró que resulta ser una adjunción.
4. Se demuestra también que Sat(Transl (L, )) resulta siempre ser isomorfo a
5. Se da un contraejemplo de que dado (X,C) un operador de clausura,
Transl (Sat (X,C)) no siempre resulta ser isomorfo a (X,C).
6. Se estableció una adjunción entre la categoría de los cuantales unitarios y la
categoría de las pretopologías.
7. Se demuestra en el trabajo que los retículos residuados son semánticas para las
lógicas subestructurales básicas.
8. A partir del estudio realizado quedan como problemas abiertos:
 Buscar condiciones sobre los operadores de clausura para que se pueda
establecer una equivalencia con los retículos completos.
 Buscar condiciones sobre las pretopologías para lograr establecer una
equivalencia con los cuantales unitarios.
Referencias bibliográficas
[1] BATTILOTTI, Giulia, SAMBIN,Giovanni, ``Pretopologies and a uniform
presentation of sup-lattices, quantales and frames", Ann. Pure Appl.Logic,137
(2006):30-61.
(http://www.math.unipd.it/~sambin/txt/BS2003.pdf).
[2] BALBES, Raymond, Distributivve Lattice, University of Missouri,Press,1974.
1
PERILLA, Sandra. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Santo Tomás. Bogotá,
Colombia. Email: [email protected]. Dirección de contacto Crr 7 No. 51 A-13.
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Press,1972.
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MacNeille, Miscelánea matemática, Sociedad Matemática Mexicana, 37 (2003): 65-76
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[5] DOSEN, Kosta, ``A Historical Introduction to Substructural Logics", In
Substructural Logics Oxford University Press, Oxford, 1993, pp.1-30.
[6] GALATOS,N.,JIPSEN,P.,KOWALSKI,T.,ONO, H.,``Residuated Lattices: An
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mathematics, vol. 151.
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[9] ONO, Hiroakira, ``Semantics for Substructural Logics", Studies in Logic and
Computation, Oxford University Press 2, (1993): 259-291.
[10] ONO, Hiroakira, ``Substructural logics and residuated lattices - an introduction",
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[11] PERILLA, Sandra, “Retículos residuados y algunas conexiones con topología y
lógica” Universidad Nacional, (2012)
http://www.bdigital.unal.edu.co/7754/1/830118.2012.pdf
[12] RESTALL, Greg, Introduction to substructural logics, London: Routledge, 2000.
[13] SAMBIN, Giovanni, ``Pretopologies and completeness proofs", J. Symbolic Logic
60 (1995):861-878.
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PERILLA, Sandra. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Santo Tomás. Bogotá,
Colombia. Email: [email protected]. Dirección de contacto Crr 7 No. 51 A-13.
[14] SAMBIN, Giovanni, ``The semantics of Pretopologies", In Substructural Logics,
(1993):293-307
1
PERILLA, Sandra. Departamento de Ciencias Básicas Universidad Santo Tomás. Bogotá,
Colombia. Email: [email protected]. Dirección de contacto Crr 7 No. 51 A-13.