Matriz de Gram - Apuntes y ejercicios de matemáticas, Egor

Matriz de Gram
Objetivos. Definir la matriz de Gram de una lista de vectores en un espacio con producto
interno. Conocer sus propiedades básicas.
Requisitos. Espacios con producto interno, listas ortogonales y ortonormales de vectores,
bases ortonormales, matriz adjunta.
1. Definición (matriz de Gram de una lista de vectores en un espacio con
producto interno). Sean V un espacio vectorial con producto interno, A = (a1 , . . . , am )
una lista de vectores en V . La matriz de Gram de la lista A es la matriz de todos los
productos internos de los vectores de esta lista:
m
G(a1 , . . . , an ) := hai , aj i i,j=1 .
2. Ejemplo. En el espacio P(R) con el producto interno
1
hf, gi =
2
Z1
f (x)g(x) dx
−1
consideremos la lista de los monomios e0 , e1 , e2 :
e0 (x) = 1,
e2 (x) = x2 .
e1 (x) = x,
Calculemos todos los productos internos:
he0 , e0 i = 1,
he0 , e1 i = 0,
1
he0 , e2 i = ,
3
he1 , e0 i = 0,
1
he1 , e1 i = ,
3
he1 , e2 i = 0,
1
he2 , e0 i = ,
3
he2 , e1 i = 0,
1
he2 , e2 i = .
5
De allı́

1 0
1
3


G(e0 , e1 , e2 ) =  0
1
3

0 .
1
3
0
1
5
3. Ejercicio. En el caso real, la matriz de Gram es simétrica:
G(a1 , . . . , am )> = G(a1 , . . . , am ).
4. Ejercicio. En el caso complejo, la matriz de Gram es hermitiana (en otras palabras,
autoadjunta), es decir,
G(a1 , . . . , am )> = G(a1 , . . . , am ).
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5. Observación. Una lista de vectores es ortogonal
gonal.
6. Observación. Una lista de vectores es ortonormal
matriz identidad.
⇐⇒ su matriz de Gram es dia-
⇐⇒ su matriz de Gram es la
7. Proposición (cálculo de la matriz de Gram en el caso de dimensión finita).
Sean V un EV de dimensión finita n, B una base ortonormal de V , A = (a1 , . . . , am ) una
lista de vectores en V . Denotemos por C a la matriz de la lista A respecto la base B:
C = AB = (a1 )B , . . . , (am )B ,
ası́ que la j-ésima columna de C consta de las coordenadas del vector aj con respecto a
la base B:
n
X
aj =
Ci,j bi .
i=1
Entonces
G(A) = C ∗ C,
donde C ∗ es la matriz adjunta (transpuesta conjugada) de la matriz C.
8. Ejemplo. En el espacio R4 consideremos la lista de vectores





1
3
4
 −2 
 −1 
 5


a1 = 
a2 = 
a3 = 
 2 ,
 0 ,
 −2
3
2
−4


.

En este caso la matriz de la lista A = (a1 , a2 , a3 ) con respecto a la base canónica E es


1
3
4
 −2 −1
5 
,
AE = 
 2
0 −2 
3
2 −4
y la matriz de Gram es



1
3
4
18
11
−22
1 −2
2
3 
−2 −1
5 
 =  11 14 −1  .
0
2 
G(A) =  3 −1
 2
0 −2 
4
5 −2 −4
−22 −1
61
3
2 −4



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9. Proposición (rango de la matriz de Gram). Sean V un EV de dimensión finita
n, B una base ortonormal de V , A = (a1 , . . . , am ) una lista de vectores en V . Denotemos
por C = AB a la matriz de la lista A en la base B. Entonces
r(G(a1 , . . . , am )) = r(C).
10. Tarea adicional. Demuestre el teorema después de estudiar la ortogonalización de
Gram-Schmidt (véase las siguientes clases).
11. Proposición (matriz de Gram y volumen de un paralelepı́pedo). Sea V un
espacio vectorial real con producto interno, dim(V ) = n, y sea a1 , . . . , an una lista de
vectores en V . Entonces
det G(a1 , . . . , an ) = x2 ,
donde x es el volumen del paralelepı́pedo generado por a1 , . . . , an .
Demostración. Sea B = (b1 , . . . , bn ) una base ortonormal en V . Denotemos por C a la
matriz de la lista a1 , . . . , an en la base B. Entonces det(C) es el volumen orientado del
paralelepı́pedo generado por a1 , . . . , an , y x = | det(A)|. De allı́
det G(a1 , . . . , an ) = det(C > C) = det(C)2 = x2 .
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