Tema 1. Movimiento Ondulatorio 1. La ecuación de una cierta onda es y(x, t) = 10 sin [2π (2x − 100t)] , donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, la velocidad de propagación de la onda, dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando la longitud de onda. 2. La evolución temporal de una onda escalar armónica E(x0 , t) se representa en la figura adjunta, donde x0 = 0 (metros). La onda se propaga con una velocidad vf = 420 m/s a lo largo del eje X. 2 E (V/m) 1 0 -1 -2 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 -14 t (x10 seg) (a) Determine la amplitud de la onda. (b) Determine la fase inicial de la onda. (c) Determine el periodo temporal y la frecuencia angular de la onda. (d) Escriba la expresión completa de la onda indicando claramente los valores numéricos de las diferentes magnitudes y sus unidades 3. Dos ondas polarizadas linealmente en planos perpendiculares viajan en la dirección OX a la misma velocidad, c. Explicitar las expresiones de ambas ondas. Hallar el movimiento ondulatorio resultante en el caso general. Analizar los siguientes casos particulares 1 2 Problemas Óptica Fı́sica A1 = 2A2 y de fases iguales, A1 = 2A2 y defasadas π/2, A1 = A2 y defasadas π/2. 4. Una fuente puntual emite ondas esféricas de λ = 500 nm. Estimar a qué distancia hay que colocarse de la fuente para que sobre un área circular de un centı́metro cuadrado las ondas esféricas difieran de una onda plana en λ/10. 5. Determinar el promedio temporal de la siguiente onda E = E0 cos (ωt − kr) . 2 Determinar asimismo el promedio temporal de |E| . 6. Supongamos que en un punto del espacio la variación temporal de una perturbación ondulatoria viene dada por E(t) = E0 e−(γ/2)t cos(ω0 t), (1) para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que γ ≥ 0. Dibujar la variación temporal de la perturbación. Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbación. Calcular espectro de potencia, |E(ω)|2 , y encontrar la relación entre γ y la anchura de |E(ω)|2 a mitad de altura. Tema 2. Teorı́a electromagnética de la luz 1. Una onda electromagnética plana en el vacı́o está dada por Ex = 102 sin π 3 × 106 z − 9 × 1014 t Ey Ez = = 0, 0. Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase. Determinar el campo magnético. Determinar el vector de Poynting. Determinar el promedio temporal del módulo del vector de Poynting. 2. Un haz de luz se propaga a través de un medio de ı́ndice de refracción (n = 1,5). Si la amplitud del campo eléctrico del haz de luz es de 100 V/m ¿cuál es la amplitud del campo magnético? Determinar la irradiancia de la onda. ¿Se podrı́a ionizar un átomo de H con esta onda? 3. El campo de una onda electromagnética en el vacı́o está dado, en unidades MKSC por Ex Ey Ez = 0, 2π × 107 x , V/m = 0,5 cos 2π × 1015 t − 3 = 0. (a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda, el estado de polarización y la irradiancia, indicando las unidades. (b) Calcular el campo magnético asociado dando sus componentes, indicando sus unidades. 4. Determinar el estado de polarización de las siguientes ondas electromagnéticas ~ = ı̂E0 cos(kz − ωt) − ̂E0 cos(kz − ωt). E ~ = ı̂E0 sin(−kz + ωt) + ̂E0 sin(−kz + ωt − π/4). E ~ = ı̂ E0 cos(kz − ωt) + ̂E0 cos(kz − ωt + π/2). E 2 5. La irradiancia producida por el Sol en la superficie de la Tierra es I = 1,34 × 103 W/m2 . Calcular el campo eléctrico y el campo magnético en la superficie de la Tierra, asumiendo que el promedio del vector de Poynting es igual a esa irradiancia. 3 4 Problemas Óptica Fı́sica 6. Escribir la expresión, en unidades del sistema M.K.S., de una onda electromagnética plana que tiene una longitud de onda de 500 nm y una irradiancia de 53,2 W/m2 , que se propaga a lo largo del eje Z. Considerése que la onda está linealmente polarizada a 450 del eje X. 7. Un pulso de radiación ultravioleta de 2 ns de duración es emitido por una fuente láser y tiene un diámetro de 2,5 mm y una energı́a de 6 J. Determinar la longitud espacial del pulso. Calcular la irradiancia de la onda y la amplitud de campo eléctrico. 8. Escribir la expresión de una onda plana linealmente polarizada que se propaga a lo largo del eje X y vibra a 300 del eje Z y cuya longitud de onda es λ = 0,52 µm. Indicar a qué región del espectro electromagnético corresponde este campo. Si la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de la onda. Determinar el flujo del vector de Poynting a través de la superficie de un cuadrado de lado 1 cm perpendicular al eje X. Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es de φP = 4 mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrio equivalente de 5,2 mm de radio y un ı́ndice de no = 4/3. Determinar el flujo del vector de Poynting a través de la superficie de la pupila perpendicular al eje X. Si tras refractarse en el dioptrio, la radiación se concentra en 0 0 un área de radio Rr = 1,22 λf φP , donde f es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia de la onda en la retina. Figura 1: Esquema de la dirección de propagación de la onda y detector de radiación. 9. Una onda electromagnética plana de amplitud E0 = 10 V/m y de longitud de onda λ0 = 500 nm se propaga en el vacı́o en la dirección del vector ~k (ver Figura 1). a) Escribir las expresiones completas del campo eléctrico y magnético en coordenadas cartesianas si la onda está linealmente polarizada perpendicular al plano ZY . b) Calcular la irradiancia de la onda y la potencia que incide sobre la superficie cuadrada de 5 mm de lado de un detector situado perpendicularmente a la dirección de propagación y situado a una distancia de 1 m del origen de coordenadas (0 = 8,85 × 10−12 F/m). c) Calcular la irradiancia de la onda si la distancia del detector al origen de coordenadas es de 6 m. Problemas Óptica Fı́sica d) 10. 5 Se gira el detector hasta que se coloca perpendicular al eje Y . Calcular el flujo de energı́a que incide sobre el detector en esta nueva situación. Las normas de protección ocular láser establecen que el lı́mite máximo de exposición (Energı́a / unidad de área) que puede recibir un ojo depende del tiempo de exposición, t, a la radiación láser según la ecuación (2) Exp = 1,8 × t0,75 × 10−3 Julios/cm2 donde t se expresa en segundos. Supongamos que la pupila del ojo tiene un diámetro de 6 mm, que el diámetro del haz láser es idéntico y que el tiempo de exposición es de 2 segundos. (a) Calcular la potencia máxima permitida que puede llegar a la córnea. (b) Calcular la irradiancia corneal máxima permitida. 11. Calcular la irradiancia de un haz láser de 100 W de potencia cuya sección transversal tiene un diámetro de 10 mm a una distancia de 1 metro. Compararla con la irradiancia producida por una bombilla a la misma distancia, suponiendo que emite de manera isótropa y cuya potencia es también de 100 W. 12. El campo de una onda electromagnética en el vacı́o está dado, en unidades MKSC por 2π Ex = 0,25 cos 2π × 1015 t − × 107 z , V/m, 3 2π × 107 z , V/m Ey = 0,5 cos 2π × 1015 t − 3 Ez = 0. (a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda, el estado de polarización y la irradiancia instantánea y la irradiancia promedio, indicando las unidades. λ= ω= I= Estado de polarización: (b) Calcular el campo de inducción magnética asociado dando sus componentes e indicar sus unidades. Bx = By = Bz = Tema 3. Interacción de la radiación con la materia. 1. En la interacción de una onda electromagnética con la materia se suele despreciar la fuerza ejercida por el campo magnético. Razonar los motivos por los que esta aproximación puede ser adecuada. Considere un átomo en el que el momento dipolar es p = 10−30 C/m, sobre el que incide una onda plana de frecuencia ν = 3 × 1014 Hz. 2. Un medio material denso y homogéneo está constituido por osciladores atómicos cuya frecuencia de resonancia es ω0 . Una onda electromagnética armónica de frecuencia ω ω0 incide perpendicularmente sobre este medio material. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: El medio es transparente para la radiación incidente y la onda esparcida por el medio material en la dirección de incidencia oscila en fase con la onda incidente. El medio es opaco para la radiación incidente y la onda esparcida por el medio material en la dirección de incidencia oscila en fase con la onda incidente. El medio es transparente para la radiación incidente y la onda esparcida por el medio material en la dirección de incidencia no oscila en fase con la onda incidente. El medio es opaco para la radiación incidente y la onda esparcida por el medio material en la dirección de incidencia oscila en oposición de fase con la onda incidente. El medio es transparente para la radiación incidente y la onda esparcida por el medio material en la dirección de incidencia oscila en oposición de fase con la onda incidente. 3. Un gas constituido por átomos distribuidos de forma desordenada y con una densidad tal que la distancia media entre átomos es de ed1 ≈ 0,1 mm se ilumina con una onda plana monocromática linealmente polarizada. La longitud de onda de la radiación es λ = 500 nm, se propaga en la dirección positiva del eje X y su dirección de polarización es paralela al eje Y (ver Figura 2). La radiación que emerge del gas se observa en los puntos A, B, C y D situados en los planos focales de dos lentes de focales f10 y f20 cuyos ejes ópticos están situados paralela y perpendicularmente a la dirección del haz incidente. Determine a cuáles de estos puntos llega luz procedente del gas. Responda a la misma pregunta si la distancia media entre átomos es de ed2 ≈ 0,01 µm. 4. La frecuencia de resonancia de un vidrio común de tipo crown se encuentra en el ultravioleta y muy lejos del espectro visible. Para la fabricación de vidrios de alto ı́ndice (tipo flint) se introduce en la mezcla óxido de plomo (ver Figura 3). La adición de estos óxidos introduce una frecuencia de resonancia que está en el ultravioleta pero muy cerca del visible. Teniendo en cuenta este hecho, justifique: 7 8 Problemas Óptica Fı́sica Figura 2: Esquema de la situación experimental descrita. (a) ¿Por qué un vidrio flint tienen un ı́ndice de refracción superior al de un vidrio crown en el visible? (b) ¿Cuál de los dos vı́drios suministra mayor protección al ultravioleta? Justifique la respuesta. (c) Si se construyen dos prismas con estos vidrios ¿cuál de ellos dispersará más un haz de luz blanca? Justifique la respuesta. Figura 3: Esquema de la dependencia de los ı́ndices de refracción con la frecuencia. 5. En un prisma delgado fabricado de vidrio Crown (cuya frecuencia de resonancia está en la región UV del espectro), indicar qué color sufrirá mayor desviación cuando se ilumina el prisma con un haz colimado de luz blanca. Suponer que la expresión del ı́ndice en función de la frecuencia está dada por n(ω) = 1+ N qe2 1 . 2 2me 0 ω0 − ω 2 + iγω (3) 9 Problemas Óptica Fı́sica 6. Sobre dos medios dieléctricos isótropos incide una onda electromagnética armónica de frecuencia ω. En la figura adjunta se muestra la evolución en el tiempo del campo incidente Ei y el campo esparcido por el medio Ee (campo radiado por todos los átomos del medio) en un punto dentro del material. (a) Dibuje sobre las gráficas el campo transmitido a través del medio en cada caso. En función de la onda resultante obtenida determinar razonadamente en cuál de los dos medios se produce absorción. Las expresiones de los campos incidente y esparcido por el medio son: Ei ∝ E0 cos(ωt − ky) (4) E0 π Ee ∝ p 2 cos ωt − ky − φ − 2 (ω0 − ω 2 )2 + (γω)2 (5) en donde la fase φ viene dada por tgφ = γω ω02 − ω 2 (6) y ω0 es la frecuencia de resonancia del material (b) A partir de las expresiones anteriores exprese la diferencia de fase entre la onda esparcida y la onda incidente. (c) A partir del resultado del apartado anterior determine cuál debe de ser el valor de φ para que el medio sea fuertemente absorbente. (d) A partir del valor de φ calculado en el apartado anterior determine la relación entre la frecuencia de la onda incidente (ω) y la frecuencia natural del medio (ω0 ). 10 7. Problemas Óptica Fı́sica Una onda electromagnética plana y monocromática de frecuencia ν = 4,5 × 1015 Hz se propaga en el vacı́o en la dirección del eje X. El módulo de la amplitud del campo eléctrico es E0 = 92 V/cm y la onda vibra en el plano XZ. Escribir la expresión del campo eléctrico. Hallar la longitud de onda. Esta onda incide sobre una interfase plana paralela al plano Y Z. El ı́ndice de refracción del medio para esa longitud de onda es n = 1,62. Determinar la expresión del campo eléctrico dentro del medio material. Escribir la expresión del campo eléctrico reflejado. 8. Un haz de luz natural incide sobre una superficie de agua tranquila (na = 4/3) bajo un ángulo tal que la luz reflejada en la dirección del rayo 1 está completamente polarizada en un plano. Un bloque de vidrio de ı́ndice nv = 3/2 está sumergido en el agua como se indica en la figura adjunta. La luz reflejada que emerge en la dirección del rayo 2 está totalmente polarizada en un plano (ver Figura 4). Determinar el ángulo que forma el bloque con la superficie de agua (α). Determinar la irradiancia del haz reflejado en la dirección del rayo 1. Figura 4: Esquema de la lámina sumergida en agua y rayos considerados. 9. Consideremos una fuente puntual de radiación visible despolarizada que emite en λ = 500 nm. Esta fuente se coloca en el foco objeto de una lente de f = 100 mm. Tras la lente colocamos un polarizador lineal ideal cuyo eje de trasmisión lo podemos girar a voluntad en el plano perpendicular al eje óptico de la lente. Asimismo se dispone de una lámina de un material isótropo en el que la radiación considerada experimenta un ı́ndice de n = 1,333 (ver Fig. 5). Indicar razonadamente cómo hay que colocar el polarizador y la lámina para no observar radiación reflejada procedente de ella. Hacer un esquema gráfico para demostrarlo. En la situación anterior, se desplaza la fuente 2 mm hacia abajo con respecto al eje óptico. Describir razonadamente si se observará radiación reflejada, y en ese caso estimar la irradiancia 2 de la onda reflejada sabiendo que tras el polarizador la irradiancia es de 2 mW/cm . Problemas Óptica Fı́sica 11 Figura 5: Esquema de la situación descrita: S fuente puntual, Le lente, P polarizador, La lámina. 10. Un haz de luz no polarizada de irradiancia Ii pasa a travás de una secuencia de dos polarizadores lineales perfectos.¿ Cuál debe ser su orientación relativa si el haz emergente debe tener una irradiancia de (a) Ii /2, (b)Ii /4 . 11. Las imágenes reflejadas por las superficies anterior y posterior de la córnea y del cristalino de denominan imágenes de Purkinje. Si el ı́ndice de la cónea vale nc = 1,336 y el del humor acuoso es na = 1,376, calcular la irradiancia de las dos primeras imágenes de Purkinje y la relación entre ellas. Considerar que la luz incidente está despolarizada. 12. Se tiene un ojo reducido cuyo radio es rc = 5,7 mm y nc = 1,334. Sobre él incide un haz colimado paralelo al eje óptico de luz linealmente polarizada en el plano de incidencia. (a) Calcular la irradiancia transmitida por el dioptrio. (b) Se acopla a este ojo una lente de contacto de ı́ndice nl = 1,67. Calcular la transmitancia al acoplar la lente de contacto al ojo reducido. Comparar los dos resultados. 13. Un polarizador gira con velocidad angular Ω. Sobre el polarizador incide un haz de luz despolarizado de irradiancia Io . La luz que pasa a través del primer polarizador se hace incidir sobre otro polarizador que está fijo. La irradiancia en función del tiempo transmitida por éste ultimo polarizador se muestra en la Figura 6. Calcular la frecuencia angular con la que gira el polarizador. 14. Un haz de luz monocromática de longitud de onda λ linealmente polarizada en la dirección Y incide sobre una lámina retardadora. La lámina se gira de tal manera que su eje rápido de ı́ndice ne forma un ángulo de 300 con el eje Y . El espesor de la lámina es e y el ı́ndice lento n0 ¿Cuáles son las amplitudes de las componentes del campo emergente en términos de la amplitud E0 del campo incidente? Estudiar el estado de polarización del haz emergente y la irradiancia transmitida en función del retardo. 15. El celo es un material birrefringente con dos lı́neas neutras perpendiculares entre sı́. Los ı́ndices de refracción a lo largo de las mismas son: no = 1.544 y ne = 1.553. La lámina de celo tiene un espesor de 1 mm. Se sitúa esta lámina entre dos polarizadores que tiene sus ejes perpendiculares entre sı́ y 12 Problemas Óptica Fı́sica Figura 6: Irradiancia tras el segundo polarizador en función del tiempo. que forman 45o con los ejes de la lámina (ver Figura 7). Tras el segundo polarizador se coloca una red de difracción de modo que la luz que emerge del polarizador incide perpendicularmente sobre ella. En una pantalla situada a continuación aparecen unas lı́neas oscuras en el espectro de transmisión. Calcular las longitudes de onda desaparecidas entre 500 y 700 nm. Téngase en cuenta que una red de difracción dispersa la radiación que incide sobre ella de acuerdo con la ecuación: d sin θ = mλ. Indicar qué ocurrirá si se gira el segundo polarizador de modo que se coloca su eje de transmisión paralelo al del primer polarizador. Figura 7: Esquema de la situación descrita. 16. Entre dos polarizadores cruzados se colocan varias capas de celo orientadas paralelamente entre 13 Problemas Óptica Fı́sica sı́ y con sus ejes ópticos a 45o de los ejes de transmisión de los polarizadores. Un haz de luz blanca incide sobre el primer polarizador. Se ha medido la irradiancia de la luz emergente del segundo polarizador en función de la longitud de onda y se ha representado en la figura adjunta. P1 1.0 lámina birrefringente Y Y Y no X ne θ X X eje de transmisión Z transmitancia eje de transmisión 0.5 P2 d campo elípticamente polarizado 0 400 450 500 550 600 λ (nm) (a) Interpretar la presencia de los máximos de irradiancia del espectro medido y representado en la figura (b). (b) Interpretar la presencia de los mı́nimos de irradiancia del espectro medido y representado en la figura (b). (c) Si la birrefrigencia es no − ne = 0,02, determine el espesor de la lámina de celo a partir de la gráfica que se adjunta. Indique el procedimiento seguido con detalle. 17. Explicar porqué el cristalino es transparente a las radiaciones del visible. Se dice que en el proceso incipiente de formación de una catarata se reduce la agudeza visual. Explicar este hecho suponiendo que el tamaño de las regiones de opacificación ası́ como la distancia entre ellas es mayor que las longitudes de onda del visible (véase Figura 8). 18. Una onda plana linealmente polarizada de longitud de onda λ = 633 nm y cuya irradiancia es de 2 1 mW/cm incide normalmente sobre una lámina cuyo espesor es de 1 cm. La lámina es de un material isótropo absorbente tal que la onda experimenta un ı́ndice de refracción de n = 1,6 − ı0,000025. Determinar la irradiancia de la onda a la salida. 19. El movimiento de un electrón ligado a un núcleo atómico que está sometido al campo de una onda externa de frecuencia ω, viene dado por la expresión ~z(t) = A cos(ωt)k̂, donde A es la amplitud de movimiento y se mide en el SI de unidades. El campo radiado por el electrón acelerado viene dado por la expresión e d2 ~z(t0 ) ~ R, ~ t) = E( . ŝ ∧ ŝ ∧ ~ dt02 ~ 4π0 c2 |R| t0 =t−|R|/c DATOS: e = 1,16 × 10−19 C, 0 = 8,85 × 10−12 F/m. 650 700 14 Problemas Óptica Fı́sica Figura 8: En la parte izquierda se muestra una micrografı́a electrónica de un cristalino y en la parte izquierda se muestra una catarata incipiente. (a) Determine explı́citamente la expresión del campo radiado en los puntos Q1 = (0, 20, 0) m y Q2 = (0, 0, 20) m. (b) ¿Está polarizado el campo eléctrico en los puntos Q1 y Q2 ? (c) Determine la irradiancia en los puntos Q1 y Q2 si A = 10−14 metros para ω = 4 × 1015 rad s−1 . (d) Si en un instante t = t1 > 0, el campo externo cesa (1.-) ¿seguirá moviéndose indefinidamente el electrón? Razone la respuesta. (2.-) ¿será monocromática la radiación emitida después del instante t1 ? Tema 4. Fenómenos interferenciales. 1. Un haz de radiación monocromática de longitud de onda desconocida ilumina una doble rendija de Young dando origen a un diagrama de interferencia que se observa en una pantalla colocada a 0,5 m. Se ha determinado la interfranja resultando ser 2,5 mm. Sabiendo que las rendijas están separadas entre sı́ 0,1 mm, indicar cuál es la longitud de onda λ empleada. 2. En la Figura 9 se muestran dos ondas planas de igual amplitud linealmente polarizadas que vibran en el plano Y Z y que se propagan en las direcciones ~k1 y ~k2 . La frecuencia angular de ambas ondas es de ω = 3,5 × 1015 rad/s. Escribir la expresión de los campos eléctricos asociados a cada onda. Determinar la irradiancia en el plano y = 0. Hallar el contraste del diagrama interferencial ası́ como la interfranja. Determinar cuál ha de ser el grano mı́nimo de la pelı́cula que se coloca en el plano y = 0 para que se registre correctamente el diagrama interferencial. Determinar el promedio espacial de la distribución de irradiancia. 3. Un haz de luz monocromático de longitud de onda λ0 ilumina una doble rendija de Young dando origen a un diagrama interferencial con una separación de 5,6 mm entre bandas oscuras consecutivas. Si la separación entre el plano de pantalla y el que contiene las franjas es de D = 10 m y las fuentes secundarias están separadas a = 1 mm, Calcular la longitud de onda de la radiación incidente. Dibujar la irradiancia frente a la posición en la pantalla. Si frente a uno de los orificios se coloca un filtro de densidad que reduce la irradiancia transmitida en un 10 por ciento, dibujar de nuevo la irradiacia en la pantalla en función de la posición. 4. Una doble rendija de Young separadas una distancia a se ilumina en incidencia normal con un haz colimado de radiación casi-monocromática λ0 = 500 nm. El diagrama de interferencia se observa sobre una pantalla colocada a una distancia de 1 m del plano que contiene a la doble rendija. En la figura adjunta se muestra el esquema del dispositivo y la distribución de irradiancia a lo largo del eje Z (utilizar la escala indicada en la propia Figura 10). Determine la separación entre rendijas y la longitud de coherencia. 5. Se dispone de una fuente puntual monocromática que ilumina un biprisma de Fresnel. La distribución de irradiancia se observa en una pantalla. 15 16 Problemas Óptica Fı́sica Figura 9: Dos haces de radiación polarizados en el plano Y Z en las direcciones û1 y û2 y propagándose en las direcciones ~k1 y ~k2 . Figura 10: Distribución de irradiancia a lo largo de una lı́nea del diagrama interferencial. Por medio de un trazado de rayos determinar las imágenes que produce el biprisma. Dibujar la forma de la distribución de irradiancia en la pantalla. Entre el biprisma y la pantalla se coloca una lente convergente de focal 237 mm. La distancia entre la lente y la pantalla es de 2740 mm. La distancia entre las imágenes reales en la pantalla Problemas Óptica Fı́sica 17 es 2 mm. El diagrama interferencial obtenido se ha reproducido en la Figura 11. Determinar la longitud de onda de la radiación empleada. Figura 11: Diagrama interferencial recogido en la pantalla de observación. 6. Dos rendijas de Young situadas en un plano opaco P y separadas una distancia a están iluminadas por la luz que proviene de una fuente puntual de radiación monocromática (λ = 0,5 µm) situada en el plano focal de una lente convergente L (ver Figura 12). Se considera que la anchura de las rendijas, b es tal que b a. Figura 12: Trazado de rayos correspondiente a la situación considerada. Describir el diagrama interferencial producido en una pantalla situada a una distancia D a. Calcular el orden interferencial en el centro de la pantalla coincidente con el eje óptico. Si la fuente puntual se desplaza verticalmente del eje óptico de la lente una distancia b ¿Cambia el orden interferencial en el centro? Si es ası́ calcular su valor. ¿Y el valor de la interfranja? Suponga que se abre una tercera rendija de Young situada en el centro del plano opaco P . Calcular la distribución de irradiancia a la que da lugar esta configuración. 7. Sobre una cuña de vidrio de ángulo α desconocido y longitud D = 30 mm incide perpendicularmente un haz de luz colimado no monocromático cuya longitud de onda central es λ0 = 500 nm (ver figura a). El diagrama de franjas de interferencia de las ondas reflejadas en las superficies de la cuña tiene una extensión d = 10 mm (ver figura b). Suponga que n(λ0 ) = 1,46. 18 Problemas Óptica Fı́sica (a) Estime el ángulo de la cuña a partir del diagrama interferencial que se ha reproducido con aumento unidad en la figura adjunta. (b) Explique la razón por la que aunque la cuña se ilumina en toda su extensión sólo se observan franjas en una región menor de la misma (d < D). (c) Determine la anchura espectral (∆λ) de la fuente y la longitud de coherencia (lc ) de la radiación con que se ilumina la cuña. (a) α (b) d D 8. Calcular el mı́nimo espesor que debe tener una pelı́cula transparente de ı́ndice de refracción 1,455, si se debe producir un mı́nimo al reflejar la luz de 500 nm bajo iluminación normal, rodeada de aire ¿Qué longitud de onda se reflejarı́a con un mı́nimo a 300 ? Suponga que el ı́ndice de refracción no cambia apreciablemente con la longitud de onda (lo cual es una aproximación). 9. Sobre una lente de ı́ndice n3 = 1,5 se depositan dos capas delgadas de material dieléctrico de ı́ndices n1 = 1,7 y n2 = 1,6. Los espesores de las capas son λ0 /4n1 y λ0 /2n2 respectivamente. El orden de las capas es el indicado en la Figura 13. Razonar si esta bicapa es antirreflectante para la radiación Figura 13: Esquema de la bicapa depositada sobre el substrato. λ0 en condiciones de incidencia normal. ¿Qué ocurre para incidencia a 45o ? Tema 5. Aplicaciones de las interferencias. 1. Medida de radios de curvatura. Una lente plano-convexa L está en contacto por su cara esférica, de radio de curvatura R desconocido, con una lámina plana de vidrio G. El radio de apertura de la cara plana es y = 1 cm (Fig. 14). El sistema está iluminado por una fuente monocromática colimada bajo incidencia próxima a la normal. Por reflexión se observa el fenómeno interferencial producido por la lámina de aire de espesor variable que hay entre la lente y la lámina plana. Si la longitud de onda utilizada es λ0 = 0,5890 µm en el vacı́o, calcular el radio del primer anillo oscuro y el número máximo de anillos observables. Para ello emplear la gráfica 14b donde se ha representado el cuadrado del radio de los anillos frente al orden interferencial obteniéndose el ajuste lineal de la figura. En realidad, la fuente de luz es una lámpara de sodio que emite en dos longitudes de onda que se supondrá de la misma irradiancia y que en el vacı́o valen λ1 = 0,5890 µm y λ2 = 0,5896 µm. ¿se modifica el fenómeno observado?. El radio de los anillos oscuros se mide mediante un visor micrométrico de 5 µm de precisión. Determinar si podrán medirse experimentalmente los radios de los anillos de cada diagrama interferencial. Se separa la lente una distancia z ¿Cómo se modifica el sistema de anillos producido por la radiación de λ0 = 0,5890 µm? 2. Diseño de una lámina antirreflejante. Sobre un medio de ı́ndice N se deposita una lámina delgada de caras planoparalelas, ı́ndice n y espesor e. Calcular los coeficientes de reflexión en las superficies de separación ası́ como las reflectancias respectivas. Se ilumina el dispositivo en incidencia normal por una radiación monocromática de longitud de onda λ. Calcular la irradiancia transmitida IT en el medio de ı́ndice N . Establecer las condiciones de reflectancia mı́nima Rm . Calcular los valores correspondientes de IT y la reflectancia Rm del dispositivo. Compararlo con la reflectancia R0 que se tendrı́a si no estuviera la capa de ı́ndice n. Calcular el valor de n para que Rm sea cero. Determinar el valor de n y de e que anulan Rm para los valores N = 1,50 y λ = 0,5890 µm. 19 20 Problemas Óptica Fı́sica Figura 14: (a) Esquema del dispositivo empleado y (b) puntos experimentales obtenidos. 3. En el siguiente pictograma (Figura 15) se han representado parcialmente los desfases de las ondas reflejadas en una multicapa dieléctrica. Complételo añadiendo los desfases que falten y determine si se trata de una estructura reflejante o antirreflejante. Figura 15: Esquema de la estructura multicapa. 4. Medida de espesores Sobre un substraro de ı́ndice nS , se coloca una lámina delgada de vidrio de caras paralelas, de espesor e e ı́ndice n se ilumina con un haz colimado que incide con un ángulo θi . Una pantalla Problemas Óptica Fı́sica 21 situada a una distancia D de ella, está iluminada por la luz reflejada de la cara anterior y posterior de la lámina. La fuente emite una radiación monocromática de longitud de onda λ0 . Si D = ∞, expresar la diferencia de camino en función de e, n y β (ángulo de refracción en la lámina, asociado al ángulo de incidencia). Si 2ne es un múltiplo de λ0 , ¿cuál es la irradiancia en el centro de la pantalla? Si e = 3 mm y n = 1,5 ¿qué se observa al iluminar con luz blanca? Se quiere medir el espesor de la capa de lágrima en un observador que lleva una lente de contacto de ı́ndice nl = 1,42 . Para ello se ilumina el ojo tal y como se muestra en la Figura 16a con una fuente de luz blanca (considerar incidencia próxima a la normal). La luz reflejada se recoge y se dirige a un espectrofotómetro que permite determinar la cantidad de luz reflejada para cada longitud de onda: el resultado se muestra en la Figura 16b. Estimar el espesor de la lágrima. Figura 16: (a) Dispositivo experimental empleado. (b) Reflectancia frente al número de ondas. 5. Interferencias en la retina. Una onda plana monocromática incide sobre la cara plana de un biprisma de Fresnel tal como se indica en la Figura 17. El ángulo del biprisma es de 40 y su ı́ndice de refracción es n = 1,5. Considerar que la longitud de onda de la radiación incidente es de λ = 500 nm. Escribir la expresión de las ondas refractadas por cada parte del biprisma. Se sitúa una pantalla a una distancia D = 30 cm del biprisma. Calcular la distribución de irradiancia en la pantalla y el valor de la interfranja. Indicar el número total de franjas brillantes que se observarán en la pantalla. Se sustituye la fuente de radiación colimada por una fuente puntual que emite radiación cuya longitud de onda es λ = 520 nm que dista d0 = 60 mm del biprisma. Describir qué se observará en la pantalla situada a 90 cm del biprisma. En el caso de que se observen interferencias determinar la interfranja. Se coloca una lente cuya focal imagen es de f 0 = 135 mm a 900 mm del biprisma. Determinar la posición de las imágenes reales que proporciona esta lente de la fuente de radiación. 22 Problemas Óptica Fı́sica Figura 17: Diagrama del experimento propuesto. Se ha sombreado la región en la que solapan ambos haces de radiación. En la situación anterior se coloca un ojo de un observador en el plano focal de la lente. Describir qué se observará en la retina del sujeto. Si asimilamos el ojo del observador como un dioptrio de radio rs = 5,7 mm y que el ı́ndice de refracción para esa longitud de onda es de 4/3. Determinar la interfranja que se produce en la retina del observador que está situada en el plano focal del dioptrio. ¿Podrı́a estimarse con este dispositivo la agudeza visual? Indicar razonadamente cómo lo harı́a. Tema 6. Difracción 1. Se ilumina una lente con un haz colimado procedente de una fuente monocromática emitiendo en λ = 500 nm. La focal de la lente es f 0 = 126 cm. La distribución de irradiancia en el plano focal es fotografiada y reproducida en la Figura 18 con un aumento lateral de β 0 = 76. Estimar la forma y el tamaño de la lente. Figura 18: Distribución de irradiancia en el plano focal de la lente considerada iluminada con un haz plano. A la derecha se muestra la función de Airy cuyo primer mı́nimo se encuentra en z = 3,83. 2. Un modelo de ojo teórico reducido está formado de la siguiente manera: el radio de la córnea es 5,6 mm y el ı́ndice de humor acuoso es n = 1,33. La pupila del ojo está situada a 5,6 mm del vértice de la córnea y tiene un diámetro de 4 mm. Calcular el tamaño de la mancha de Airy en la retina y compararla con el tamaño medio de un fotorreceptor (2 µm). Calcular la separación angular mı́nima que pueden tener dos estrellas para que sean resueltas por el ojo anterior. Si dos puntos luminosos están separados 1 mm, calcular la máxima distancia a que se podrán alejar del ojo para que sigan viéndose separados. 3. Comparar el poder de resolución teórico, en segundos de arco, del ojo anterior, el anteojo construido por Galileo (25 mm de apertura) y el telescopio de Monte-Palomar (5000 mm de apertura). 23 24 Problemas Óptica Fı́sica 4. Estimar la anchura de una rendija que produce el diagrama de difracción reproducido en la Figura 19 con aumento lateral unidad y que ha sido obtenido a una distancia D = 1,80 m de la rendija. La luz procede de un láser de He-Ne emitiendo a una longitud de onda de λ = 633 nm. Figura 19: Distribución de irradiancia en la pantalla de observación producida por una rendija iluminada. 5. Sobre un dispositivo de doble rendija de Young cuya anchura es despreciable incide una radiación monocromática de 500 nm. La distancia entre las rendijas es de 0,9 mm. El diagrama interferencial se recoge en una pantalla traslúcida (P ) situada a 0,5 m del plano de la doble rendija. Por detrás de la pantalla una persona situada a 2 m de la pantalla observa la imagen del diagrama interferencial (ver Figura 20). Figura 20: Esquema del dispositivo de doble rendija, pantalla traslúcida y observador. ¿Verá el observador el sistema de franjas resuelto? ¿Qué consecuencias tendrı́a sobre la percepción del diagrama interferencial si se reduce la separación entre rendijas a 0,65 mm? Justificar la respuesta. ¿Qué consecuencias tendrı́a sobre la percepción del diagrama interferencial si se cambia la longitud de onda de la fuente que ilumina la doble rendija? 6. La luz procedente de dos estrellas (λ = 550 nm) pasa a través de una lente de focal f 0 = 100 mm y de diámetro D desconocido. En el plano focal de la lente se fotografı́a la imagen obtenı́endose Problemas Óptica Fı́sica 25 sendas manchas de Airy que son tangentes tal y como se muestra en la Figura 21. El aumento lateral utilizado de la foto que se muestra en la imagen es de 350. Estimar el diámetro de la lente y la separación angular θE de las estrellas. Figura 21: Fotografı́a de la distribución de irradiancia que se produce en el plano focal. 7. En la Figura 22 se muestra un monocromador de red. La red posee las caracterı́sticas siguientes: número de trazos por milı́metro 600 y tiene un total de 10000 trazos. La lente convergente L1 permite iluminar la red con la luz blanca procedente de la fuente S. La lente L0 cuya distancia focal imagen es de un metro tiene su eje óptico normal a la red. Su foco se encuentra en el centro O de la rendija F0 . Este punto sirve de origen en la dirección Y en el plano de F0 . Figura 22: Esquema gráfico de la situación experimental descrita. ¿Qué valor debe tener el ángulo de incidencia sobre la red para obtener en O el máximo principal de orden 2 para una longitud de onda de λ0 = 0,6 µm? En las condiciones anteriores ¿dónde se encuentra el punto donde se forma el máximo de orden 2 para otra longitud de onda λ ligeramente diferente de λ0 ? La rendija F0 de anchura l = 0,1 mm deja pasar las radiaciones de longitudes de onda comprendidas entre λ0 − ∆λ/2 y λ0 + ∆λ/2. Calcular la anchura espectral ∆λ que pasa por la rendija. Calcular el poder de resolución de todo el instrumento en orden 2 y compararlo con el poder resolutivo de la red de difracción. 26 8. Problemas Óptica Fı́sica Dos láminas plano-paralelas están muy cerca una de otra dejando entre ambas una capa de aire muy delgada. Se iluminan las láminas con una radiación policromática en incidencia normal. La luz reflejada en la segunda cara de la primera lámina y en la primera cara de la segunda lámina incide sobre una red de difracción de 500 lı́neas/mm. En el espectro de primer orden y a 11,5o de la normal a la red se observa la desaparición de un color correspondiente a una longitud de onda desconocida (ver Figura 23). a) Calcular cuál es la longitud de onda de la radiación desaparecida. b) Calcular el espesor mı́nimo de la capa de aire entre las láminas. Figura 23: Esquema gráfico de la situación experimental descrita. 9. Una red de difracción cuadrada de lado L = 10 mm y periodo d = 5 µm es iluminada en su centro por un haz colimado de diámetro φ = 2 mm. Determinar su poder de resolución en orden 2 para el haz incidente y determinar si resuelve o no dos lı́neas espectrales separadas un intervalo ∆λ = 0,5 nm y centradas en λ = 600 nm. 10. Para resolver las dos emisiones amarillas del sodio, de longitudes de onda λ1 = 0,5890 µm y λ2 = 0,5896 µm se ilumina una red de difraccción con un haz colimado procedente de una lámpara de sodio. El orden 2 difractado se recoge con una lente de focal f 0 = 50cm montada sobre el brazo móvil de un goniómetro. La longitud total iluminada de la red es de 2 cm. ¿Cuál debe ser el número mı́nimo de lı́neas/mm de la red para resolver ambas radiaciones? Calcular, en el plano de observación, la distancia que separa las dos rayas. Calcular el ángulo que forma el brazo del goniómetro con la dirección original del haz. 11. Un haz plano monocromático incide perpendicularmente en una red de difracción de 100 lı́neas/mm (ver Figura 24). A la salida de la red se bloquea el orden cero de tal manera que sobre una lente de focal f 0 = 10 cm situada a 15 cm de la red sólo inciden los órdenes +1 y −1. La longitud de onda de la radiación empleada es λ = 0,5 µm. Describir con detalle lo que se observarı́a sobre una pantalla situada en el plano focal de la lente. ¿Serı́a esta la imagen de la red? Se desplaza ahora la pantalla hasta la situación donde la lente formarı́a la imagen de la red. Se forman franjas: calcular su espaciado. ¿Se corresponderı́a con la imagen de la red? (téngase en cuenta la relación de aumentos para discutir esta cuestión). 27 Problemas Óptica Fı́sica Figura 24: Esquema del dispositivo considerado. ¿Serı́an observables estas franjas por un ojo humano situado detrás de la pantalla a 20 cm de distancia? Responder a las preguntas anteriores si se desbloquea el orden cero y se bloquea el orden +1. 12. Una red de difracción se ilumina en incidencia normal con un haz de tamaño d = 1 mm y longitud de onda desconocida. Se sabe que el primer orden de difracción emerge formando un ángulo de 10o con la normal a la red. Se coloca una lente situada a 1 metro de distancia de la red. La focal de la lente es de 400 mm. a- Determinar cuál debe de ser el diámetro mı́nimo Φm de la lente para que en el plano imagen se obtenga una imagen resuelta del objeto. b- En el plano focal se coloca una pantalla que obstruye el orden −1. Calcular la interfranja que se obtiene en el plano imagen sabiendo que la longitud de onda de la radiación es λ = 632,8 nm. c- Calcular el periodo de la red objeto. Figura 25: Esquema de la situación considerada. 28 13. Problemas Óptica Fı́sica Una red de difracción de 100 lı́neas/mm es iluminada por una haz colimado de radiación monocromática de longitud de onda λ = 0,6 µm. Tras la red se coloca una lente de diámetro φ = 50 mm. La red tiene el mismo tamaño que la apertura de la lente y el haz incide normalmente sobre la red (ver figura A1). La figura (A2) muestra la distribución de radiación sobre una pantalla situada en el plano focal imagen de la lente, en la que se observan sólo 7 “puntos” de luz siendo el central el más intenso. (A1) Red L F’ (A2) s (a) Determine la distancia L entre la red y la lente, teniendo en cuenta que si se disminuye L ligeramente se observa la aparición de dos nuevos puntos de luz en la pantalla situada en el plano focal. En la figura 2 se muestran diferentes tipos de máscaras o filtros cuadrados que se pueden situar sobre el plano focal imagen de la lente, de modo que su centro coincida con el punto de luz más brillante de la figura A2. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (b) Determine los filtros para los que se tendrı́a una distribución uniforme de luz en el plano imagen de la lente. Razone la respuesta. (c) Determine los filtros con los que la imagen reproduce correctamente la periodicidad del objeto. Razone la respuesta. (d)¿Con qué filtro tendrı́a la imagen más definición, es decir, reproducirı́a el objeto con más detalles? En este caso, ¿la imagen serı́a la misma que sin poner dicho filtro espacial? Razone las respuestas.