Relación nº 7 - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Ampliación de Topologı́a
Relación de problemas no 7
Departamento de Matemáticas
TOPOLOGÍAS INICIALES: ESPACIOS PRODUCTO
Q
60. Sean (Xi , di )ni=1 una familia de espacios métricos y sea X = ni=1 Xi . Pruebe que
cada una de las aplicaciones siguientes, definidas para todo x = (x1 , . . . , xn ), y =
(y1 , . . . , yn ) ∈ X, es una distancia sobre X:
d(x, y) =
n
X
! 21
di (xi , yi )
i=1
ρ(x, y) = max{di (xi , yi ) : i = 1, . . . , n}
δ(x, y) =
n
X
di (xi , yi )
i=1
Pruebe además, que la topologı́a inducida por cada una de las métricas anteriores
es la topologı́a producto.
Q
61. Sea (Xn , dn )n∈N una colección numerable de espacios métricos y sea X = n∈N Xn .
Pruebe que la aplicación d definida como
∞
X
1
dn (xn , yn )
, para x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ X
d(x, y) =
n
2
1
+
d
(x
,
y
)
n
n
n
n=1
es una distancia sobre X cuya topologı́a inducida en la topologı́a producto sobre
X.
62. Considere los conjuntos X = {a, b, c} con la topologı́a τ = {X, ∅, {a}, {b, c}}
e Y = {u, v} con la topologı́a τ 0 = {Y, ∅, {u}}. Determine los elementos de la
subbase de la definición de la topologı́a producto sobre X ×Y ; determine también
la base de dicha topologı́a producto.
63. Sea τ la topologı́a del plano R2 generada por los rectángulos semi-abiertos
[a, b) × [c, d) = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x < b; c ≤ y < d}
Pruebe que (R2 , τ ) es el producto de (R, τ[a,b) ) consigo mismo.
64. Sea (X, τ ) un espacio topológico y sea ∆ = {(x, x) : x ∈ X} la diagonal del
producto X × X. Demuestre que ∆, con la topologı́a inducida por la producto,
es homeomorfo a (X, τ ).
65. Sea f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) una aplicación continua entre espacios topológicos y
sea G(f ) el grafo de f en X × Y con la topologı́a producto. Pruebe que G(f ) es
homeomorfo a (X, τ ).
66. Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos; y sea xo ∈ X. demuestre que Y es
homeomorfo a {xo } × Y .
67. Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos. Si f : X −→ Y es biyectiva.
Pruebe que son equivalentes:
(a) f es un homeomorfismo.
(b) τ es la topologı́a inicial sobre X inducida por f .
68. Sea τ la topologı́a sobre R cuya base es la familia B = {(a, b] : a < b, a, b ∈ R}.
Definimos la aplicación f : R −→ (R, τ ) como f (x) = |x|. Sea τ 0 la topologı́a
inicial sobre R inducida por f .
(a) Caracterice una base de τ 0 y una base de entornos de x ∈ R para esta
topologı́a.
(b) ¿Es (R, τ 0 ) un espacio de Hausdorff?
(c) Sea A = {x ∈ R : 0 < x ≤ 3}. Calcule A en τ 0 .
(d) Estudie la convergencia, en (R, τ 0 ), de las sucesiones cuyos términos generales son:
n−1
1
1
an =
; bn = ; cn = (−1)n +
n
n
n
69. En el espacio (R × R, τu × τu ), considere el subespacio topológico M = A ∪ B con
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} y B = {(x, y) : y = x}
√
2
2
)
,
2
2
√
Estudie si A es entorno de los puntos (
y de (0, 1) en el subespacio M .
70. Sean (R, τu ); (R, τcf ) y (R2 , τu × τcf ).
(a) Compare τu × τcf con τu × τu .
(b) Estudie el interior y la clausura de R × {0} y {0} × R en τu × τcf .
(c) Estudie si la aplicación f : (R2 , τu × τu ) −→ (R2 , τu × τcf ) definida como
f (x, y) = (y, x) y continua y/o abierta.
71. Sean (X, τ ), (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos y A ⊂ X × Y un abierto (respectivamente cerrado) en la topologı́a producto. Para cada x ∈ X se define
Ax = {y ∈ Y ; (x, y) ∈ A}.
Pruebe que Ax es un abierto (respectivamente cerrado) de Y . Busque ejemplos
de subconjuntos A de R2 tales que A no es abierto (respectivamente cerrado)
pero Ax sı́ es abierto (respectivamente cerrado) para todo x ∈ X.
72. Q
Sea (Xi , τi )i∈I una familia no vacı́a de espacios topológicos no vacı́os y X =
producto. Pruebe que si Ai ⊂ Xi , para todo i ∈ I,
i∈I Xi con la topologı́a Q
entonces el conjunto A = i∈I Ai es abierto en X si, y sólo si A es vacı́o o bien
J = {i ∈ I : Ai 6= Xi } es un conjunto finito y además Ai es abierto en Xi , para
todo i ∈ I.
73. Sea (Xi , τi )i∈I una familia no vacı́a de espacios topológicos no vacı́os tales que τi
es la
Qtopologı́a discreta en Xi para cada i ∈ I. Pruebe que la topologı́a producto
en i∈I Xi es la topologı́a discreta si, y sólo si J = {i ∈ I : card(Xi ) ≥ 2} es un
conjunto finito.
74. Sea {τi }i∈I una familia de topologı́as sobre un mismo conjunto X. Determine la
topologı́a inicial en X para las aplicaciones identidad 1i : X −→ (X, τi ) y pruebe
que con esta topologı́a X es homeomorfo a la diagonal ∆ ⊂ X I con la topologı́a
inducida por la topologı́a producto. Nota: la diagonal se define como
∆ = {(xi ) ∈ X I : existe a ∈ X tal que xi = a para todo i ∈ I}.
75. Sea RN el conjunto de las sucesiones de números reales y consideremos el subconjunto
RN0 = {(xn )n∈N ∈ RN : existe n0 tal que xn = 0 si n ≥ n0 }.
Halle la clausura de RN0 en la topologı́a producto y la topologı́a caja.