Unidades 1 a 7 - Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Departamento de Aeronáutica
Cátedra de Mecánica de los Fluidos
Carrera de Ingeniería Aeronáutica
Guía de Trabajos Prácticos de Aula
2007
Titular: Ing. Esteban Ibarrola
J.T.P.: Ing. Mario A. D’Errico
U.N.C. - F. C. E. F. y N.
Departamento de Aeronáutica : Mecánica de los Fluidos IA
2007
Unidad I: Propiedades de los Fluidos
Problema 1. : Se usa aceite lubricante de densidad relativa 0.88 como fluido de trabajo en un
sistema hidráulico de alta presión. Estime el cambio porcentual en la densidad del aceite cuando su
presión se eleva de las condiciones ambiente hasta 300 atm (man). Suponer fluido incompresible es
una buena hipótesis para este aceite en esas condiciones ?. Aceite : K = 1.44 GN/m2 .
Sol. : 2.1 %
Problema 2.: La compresibilidad puede ser importante en el estudio de vehículos sumergibles.
Evalué la presión y la densidad del agua de mar a una profundidad de 6000 m, asumiendo módulo
volumétrico constante K = 2.42 GN/m2 ρ0 = 1025 kg/m3 y compare con los valores asumiendo
incompresibilidad.
Sol.:
ρ (h) =
1−
ρ0
ρ0 g
K
; Δp = 603 atm (compresible) vs 595 atm (incompresible)
h
Problema 3. : Un caño de longitud 9.15 m se llena con fluido hidráulico de K = 14770 kgf/cm2.
Suponiendo el caño como totalmente rígido, calcule el diámetro del tubo a fin de dar al sistema una
constante de resorte equivalente a 56 kgf/cm
Sol. : 2.1 cm
Problema 4. : Petróleo crudo, con densidad relativa 0.85 y viscosidad dinámica μ = 2.15 10-3
lbf.s/pie2 fluye en forma de capa descendiendo sobre una superficie con inclinación β = 30o respecto
la horizontal, en una película de espesor h = 0.125 pulg. El perfil de velocidades está dado por:
ρg
y2
(h. y − )sinβ (y : normal al plano inclinado)
2
μ
Analice la distribución de esfuerzo de corte y calcule la tensión de corte sobre la superficie.
u( y) =
Sol. : 1.324 daN/m2 sobre el plano
Problema 5. : Un juego de tejo (o hockey de mesa) emplea discos de masa 30 gr y diámetro 100
mm. La película de aire bajo el disco es de 0.1 mm de espesor. Suponiendo un perfil de velocidades
lineal del aire entre disco y la mesa, estime el tiempo requerido para que el disco pierda el 10% de su
velocidad inicial cuando es impulsado por el impacto.
Sol. : 2.30 seg.
Problema 6. : Un viscosímetro de cilindros concéntricos se forma de un cilindro puesto a girar a
velocidad angular constante dentro de un alojamiento cilíndrico, siendo la luz entre ambos muy
pequeña y llena del fluido cuya viscosidad se desea determinar. Las dimensiones y luces son valores
fijos; se miden entonces velocidad angular y torque requerido para mantener el movimiento, y en
base a estos valores se obtiene la viscosidad dinámica del fluido. La figura muestra el esquema de un
viscosímetro.
a) Desarrolle las expresiones del torque de fricción generado en la cara lateral y en la base del
cilindro rotante.
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b) Determine una criterio o relación a cumplir entre el radio R y altura H del cilindro interior, y las luces
lateral a e inferior b, a fin de que torque de la base sea menor al 1 por ciento del torque de la
superficie lateral anular.
Sol.: a/b < 0.04 H/R
Figura P.7
Figura P.6
Problema 7. : La figura muestra el esquema de un cojinete de fricción esférico (rótula). Obtenga la
expresión general del momento de torsión de fricción en función de la viscosidad dinámica μ , la
velocidad angular ω y los parámetros geométricos α, R y h.
Calcule el valor para el caso : μ = 0.4 N.s/m2, α = 40o , R = 30 mm , h = 0.25 mm y 600 r.p.m.
Sol. : 2.582 daN.mm
Problema 8. : La figura muestra un embrague fluido. En estado estacionario, el eje impulsor gira a ω1
y el eje conducido gira a ω2 menor, transmitiendo un torque T. Desarrolle una expresión que vincule la
diferencia de velocidad angular con el torque, la luz entre los discos, el diámetro de los mismos y la
viscosidad absoluta del fluido, asumiéndolo como newtoniano.
Sol. : ω1-ω2 = 32 a T / (μ π D4 )
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Problema 9.
Un eje de punta cónica gira a 1800 r.p.m. en un alojamiento cónico. El espacio “e” entre eje y
alojamiento es de 0.2 mm y está lleno de aceite pesado con viscosidad cinemática 4 10-4 m2/seg y
densidad 900 kg/m3 .
La altura H del cono es de 40 mm y el semi-ángulo α es 30º .
Calcule el momento torsor de fricción, asumiendo que el aceite sólo baña la cara lateral del cono.
30º
H = 40 mm
Sol. : M f =
πμω H 4 tan 4 α
= 0.303 N.m
e 2 sin α
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Unidad II: Cinemática de los Fluidos
Problema 10. : Pequeñas burbujas de hidrógeno se utilizan como partículas trazadoras para realizar
una visualización de flujo. En un caso dado, las burbujas son generadas en el origen x = 0 , y = 0 . El
campo de velocidades es inestacionario y está dado por:
u = 1 m/s
v = 1 m/s
0 < t < 2 seg
u=0
v = 1.4 m/s
2 seg < t
Dibuje las líneas de corriente para t = 0, 1, 2, 3 y 4 seg.
Dibuje las trayectorias de las partículas.
Dibuje las líneas de traza asociadas al origen, para t = 1, 2, 3 y 4 seg.
y
y
y
x
x
x
Líneas de corriente
(Streamlines) hasta t = 2 seg
y
Líneas de corriente
(Streamlines) desde t = 2 seg
y
x
Líneas de Traza
(Streaklines) a t = 1 seg
Trayectorias
(Paths o Trajectories)
y
x
y
x
Líneas de Traza
(Streaklines) a t = 2 seg
Líneas de Traza
(Streaklines) a t = 3 seg
x
Líneas de Traza
(Streaklines) a t = 4 seg
Problema 11. : Dado el campo de líneas de corriente :
x⋅ y = C
Determine un campo de velocidades compatible con el campo dado de líneas de corriente. ¿Cuántos
campos de velocidades satisfacen el patrón de líneas de corriente propuesto?.
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Problema 12.: El campo de movimiento generado por un tornado puede ser aproximado en el plano
por: V = −
a
b
eˆr + eˆθ
r
r
Obtenga la forma de las líneas de corriente.
Problema 13. : El flujo estacionario bidimensional ideal (no viscoso) alrededor de un cilindro circular
de radio a inmerso en una corriente uniforme de velocidad U está dado (como se verá más adelante)
por el siguiente campo de velocidades, en coordenadas polares.
Determine el campo de aceleraciones de las partículas fluidas. Determine la aceleración de una
partícula en el contorno del cilindro r = a.
⎡ ⎛ a⎞ 2 ⎤
⎡ ⎛ a⎞ 2 ⎤
V (r, θ) = U ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ cos θ e r − U ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ sinθ e θ
⎢⎣ ⎝ r ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ r ⎠ ⎥⎦
Problema 14. : La transición entre dos tubos de sección circular pero de diámetro diferente es de
longitud L = 40 cm con variación lineal del diámetro. El diámetro de entrada es D1 = 60 cm y el de
salida, de D2 = 30 cm.
a) Determine el campo de aceleración longitudinal en el tramo convergente de unión, suponiendo que
el flujo es unidimensional y que el caudal volumétrico de fluido que circula es constante e igual a
300 dm3/seg.
b) Determine el campo de aceleración longitudinal en el tramo convergente (para flujo
unidimensional) si el caudal volumétrico se incrementa desde el valor inicial 300 dm3/seg a razón
de 15 dm3/seg/seg.
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Problema 15.: El tubo de escape de un cilindro de motor alternativo tiene la forma mostrada. Los
gases de escape de densidad 1.34 kg/m3 salen a una velocidad 320 m/s formando un ángulo de 30º
con el plano del orificio de escape, el cual posee un área de 58 cm2 . Calcule el caudal másico de
escape.
Ae = 58 cm2
Ve = 320 m/s
Problema 16. : El flujo de un fluido viscoso en régimen laminar, en un conducto de sección circular,
está dado por la siguiente distribución parabólica de velocidades:
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
u (r ) = U 0 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦
donde U0 es la velocidad máxima en el eje del conducto.
Obtenga la expresión del caudal volumétrico y la relación velocidad promedio a velocidad máxima.
Laminar
Turbulento
Problema 17. : El flujo de un fluido viscoso en régimen turbulento, en un conducto de sección
circular, está dado por la siguiente distribución de velocidades (velocidades medias en el tiempo):
1/ 7
⎛ r⎞
u (r ) = U 0 ⎜1 − ⎟
⎝ R⎠
donde U0 es la velocidad máxima en el eje del conducto.
Obtenga la expresión del caudal volumétrico y la relación velocidad promedio a velocidad máxima.
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Unidad III: Leyes Básicas Aplicadas al Volumen de Control
Problema 18. : Agua con sustancias en suspensión fluye en un canal de sección rectangular, de
ancho 6.1 m y profundidad del líquido 0.61 m. El flujo es paralelo, bidimensional y estacionario. El
perfil de velocidades es aproximado por : u = 10 (4 y - 3.2808 y2). El liquido fluye estratificado de
manera que la densidad varía como : ρ = 128.8103 (10 – 3.2808 y). Calcule el caudal másico y la
velocidad media.
Sol. : 34097 kg/s , 8.131 m/s
Problema 19. : Un tubo de diámetro 152 mm con un extremo cerrado tiene una ranura de ancho 6.35
mm en su costado. Por su extremo abierto entra liquido con velocidad media V0 = 10 m/s. La
velocidad de salida del liquido a través de la ranura está dada por V(x) = V0 (1 - x/L). Si el flujo es
estacionario determine la longitud L de la ranura.
Sol. : 5.715 m
Problema 20. : Agua entra a razón de 300 dm3/seg a un conducto rectangular de sección 0.1 m2 y
longitud 80 cm . Dos caras son porosas de manera que por la cara superior ingresa un caudal cuya
distribución a lo largo de la longitud del conducto es parabólica, mientras que por la cara frontal sale
un caudal cuya distribución a lo largo de la longitud del conducto es lineal. Los valores máximos de
ambas distribuciones mostradas son : 90 (dm3/s)/m para la parabólica y 150 (dm3/s)/m para la lineal.
Obtenga el valor de la velocidad media de salida del agua.
Sol. : 2.64 m/s
h
Problema 21. : Entra agua a un tanque (cilíndrico de diámetro 2 pies) a razón de un caudal
volumétrico Q = 0.35 pie3/seg y además sale a través de una tobera redondeada de diámetro 2 pulg.
La velocidad de salida del agua depende de la altura h del líquido por encima del orificio y está dada
por V = (2.g.h)1/2.
En t = 0 , la altura es h = 9 pies. Estudie la variación del nivel de agua en el tanque.
Sol. : El nivel va disminuyendo hacia una altura de equilibrio h = 4 pies
Problema 22. : Un embudo cónico de semi-ángulo θ drena a través de un orificio de área AS en su
vértice. La velocidad de salida es función de la altura del líquido desde el vértice y es aproximada por
u = (2.g.y)1/2. La altura inicial del líquido desde el vértice es y0. Obtenga una expresión para el tiempo
que demanda el vaciado del embudo. Expréselo en función del volumen inicial de líquido V0 y del
caudal inicial evacuado Q0 = (2.g.y0)1/2 .AS Desprecie el área de salida para la descripción del área de
embudo en función de y.
Sol. : t = 6 V0 / (5 Q0)
Problema 23. : Un tanque contiene un volumen V de salmuera, de densidad inicial ρi (por supuesto,
mayor que la del agua ρa ). Agua pura entra al tanque en forma estacionaria, con caudal volumétrico
Qa y se mezcla de manera homogénea y perfecta con la salmuera en el interior del tanque. Tanto el
líquido de salida como el líquido del interior del tanque es salmuera diluida, de densidad función del
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tiempo. A lo largo del tiempo, el volumen de líquido en el interior del tanque permanece constante e
igual a V.
Obtenga la expresión de la densidad de la mezcla en función del tiempo y obtenga el tiempo
necesario para que la densidad de la mezcla esté dentro del 1% de la densidad del agua pura, para el
caso donde V = 10 m3 ; Qa = 10 dm3/seg ; ρi / ρa = 1.15
Sol. : t = 45 min
Problema 24. : La figura presenta el esquema de una placa plana sumergida en una corriente de un
fluido incompresible y la capa límite que se desarrolla sobre ella. En una sección a 1.22 m del borde
de la placa, el perfil de velocidad horizontal en la capa límite está dado por : u(y) = V0 (y/δ)2 . La
velocidad de la corriente sin perturbar es V0 = 9.25 m/s. La magnitud δ es el espesor local de la capa
límite.
a) Calcule la altura h en el borde de la placa que corresponde al flujo que pasa por el espesor
de la capa limite en x = 1.22 m.
b) Obtenga la expresión del defecto de caudal entre la sección de entrada y la sección de salida
en X (defecto de caudal que es saliente por la parte superior de la capa límite a través de una
componente v de velocidad)
Sol. : h = 1/3 δ QV = 2/3 V0 δ w
y
V0
V0
capa límite
u(y)
δ
x
Problema 25. : Se muestra un codo de 180º con una boquilla reductora en su salida. El diámetro
mayor es 30 cm y el diámetro de la salida es la mitad. La presión en la brida de entrada del codo es
1.06 kgf/cm2 man y la velocidad de entrada es 1.5 m/s. El chorro de agua descarga a la atmósfera.
Calcule la fuerza horizontal que soporta la brida de unión.
Sol. : 830 kgf
Problema 26. Sea un motor de reacción fijado a un banco de pruebas. En la entrada del motor (toma
de aire) la velocidad del aire es 150 m/s y la presión es 103 mm de mercurio por debajo de la presión
ambiente. El área de entrada es 5.9 m2 . Los gases de combustión salen por la tobera de escape a
velocidad de 365 m/s y a presión ambiente. El combustible ingresa verticalmente por la parte superior
del motor en una proporción de 2% del caudal másico de aire de entrada. Calcule el empuje del
motor.
Sol. : 32208 daN (densidad estándar) ; 29788 daN (densidad real)
Problema 27. : Una boquilla de spray genera un chorro plano y semicircular de agua, de espesor
delgado. Los flujos de entrada y de salida son uniformes. La velocidad de entrada, por un conducto
de diámetro 35 mm, es de 2.5 m/s. El radio y el espesor de salida del chorro son 50 mm. y 1.5 mm
respectivamente. La presión de entrada es 150 kPa (abs).
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Calcule la fuerza (en magnitud y sentido) que la boquilla ejerce sobre la tubería de alimentación.
Sol. : 37 N , tracción
Problema 28. Se descarga agua de una tubería de diámetro 150 mm por una estrecha ranura a lo
largo de un costado. El chorro es casi plano, de ancho 1.2 m y espesor 5 mm. La velocidad de salida
no es uniforme sino que varia linealmente desde 5 m/s hasta 15 m/s . Calcule el caudal volumétrico y
la fuerza según y que la tubería debe absorber por acción de la corriente fluida. Sol. : 0.06 m3/seg ;
reacción Ry = -650 N
y
x
5 m/s
15 m/s
Problema 29. : Un fluido incompresible entra de manera uniforme a un tubo recto de radio R, con
velocidad U . A una distancia L aguas abajo, la velocidad no es más uniforme por efecto de la fricción
con las paredes y es aproximada por u(r) = Umax (1 - (r/R)2) .
Obtenga la expresión para la fuerza de fricción entre la pared interna y el fluido (en una dirección
opuesta al flujo), entre las secciones agua abajo y la entrada. Exprésela en función de la caída de
presión p1- p2 y la velocidad media U.
Sol. : F = π.R2 (-(p1- p2)+ρ.U2 /3)
Problema 30. Un chorro cilíndrico de diámetro D = 12 cm y velocidad U = 10 m/s es deflectado por
un cono de radio de base R = 30 cm y ángulo α = 30º , deformándolo en forma de una lámina cónica
muy delgada de espesor h ( h << R ).
Suponiendo flujo estacionario y no viscoso, calcule la fuerza horizontal que la acción de éste flujo
ideal ejerce sobre el cono, en magnitud y sentido. El fluido es agua y todo el proceso está abierto a la
atmósfera.
U
Sol. : 150 N
h
α
U
R
D
U
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Problema 31. Determine la fuerza que un chorro abierto bidimensional (plano) de velocidad V y altura
h ejerce sobre una placa fija inclinada un ángulo respecto el eje del chorro. Asuma que la velocidad
de salida de los dos corrientes deflectadas son iguales a V.
Sol. : h2 = h
1 + cos θ
2
Fn = ρ V 2 h w sin θ
2
1
Problema 32. En el flujo plano (bidimensional) de aire alrededor de un cilindro circular de diámetro d
= 30 mm se han hecho relevamientos de las distribuciones de velocidad. Las mediciones en dos
planos por delante y por detrás del cilindro, donde la presión es uniforme e igual a la presión
ambiente, dan los resultados siguientes :
Por delante :
Por detrás :
velocidad uniforme del flujo sin perturbar V = 50 m/s
IyI > a : u(y) = V (velocidad sin perturbar)
IyI < a : u(y) = V.sen (π IyI /2a) (estela) , dónde a = 2.2 d
Calcule la fuerza de resistencia (fuerza en x) por unidad de ancho que el flujo ejerce sobre el cilindro.
Asuma aire en condiciones estándar.
Sol. : 54.1 N/m
Problema 33. : Calcule la fuerza requerida para mover el carrito en sentido opuesto al chorro de
agua deflectado por el álabe (ángulo de salida de 60º respecto la horizontal), con velocidad del
carrito 15 m/s (constante). El chorro es de velocidad 30 m/s respecto el suelo. Su diámetro es 5 cm
Sol. : 608 kgf
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Problema 34.: Considere el caso anterior de movimiento del carrito pero suponga ahora que no se
ejerce fuerza alguna (desprecie además la resistencia aerodinámica y la fricción en las ruedas).
Si la masa total es de 1000 kg, determine la velocidad del carrito cuando ha avanzado 2 m partiendo
del reposo.
Sol. : --Problema 35. : Un regador de jardín de 2 toberas es mantenido frenado mientras el agua fluye.
Calcule la cupla de freno que debe aplicarse a fin de mantenerlo sin girar cuando circula un caudal
volumétrico Q. Las toberas tienen un área de salida A cada una, la salida de cada una se encuentra a
un radio R del eje de rotación y cada tobera está inclinada un ángulo α respecto el plano de rotación.
Sol. : M = (ρ Q2 R cos α )/(2 A)
Problema 36. : La bomba centrífuga cuyo esquema se muestra en la figura siguiente suministra un
caudal de agua de 30 dm3/seg. El rotor es de diámetro interior 15 cm y exterior 20 cm ; su ancho es 2
cm. La dirección de los alabes a la salida forma un ángulo de 135º con la velocidad tangencial de
rotación. El agua entra al rotor en forma radial pura. Considere flujo estacionario y condiciones
uniformes a la entrada y salida del rotor. Calcule la potencia teórica que consume a 1200 rpm.
Sol. : 5.22 CV
135o
Problema 37. : La figura inferior derecha muestra el esquema de una turbina hidráulica de flujo radial
(centrípeto). El rotor gira a 300 rpm. Es de alabes bidimensionales, ancho 0.15 m, radio interno 0.3 m
y radio externo 0.45 m. La velocidad de entrada al rotor es 12 m/s y forma un ángulo de 20º con la
dirección tangencial de rotación. La dirección de los alabes a la salida forma un ángulo de 42º con la
dirección tangencial de rotación. Considere flujo estacionario y condiciones uniformes a la entrada y
salida del rotor.
Calcule la potencia teórica desarrollada por la turbina.
Sol. : 320 CV
20o
42o
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Problema 38. : Una bomba toma 1000 kg/min de benceno de un tanque abierto, a través de un
conducto de diámetro 20.4 cm y lo descarga por un conducto de diámetro 15.3 cm. En un punto del
conducto de descarga, a 3 m por encima de la superficie libre del tanque, un manómetro indica 2.45
kgf/cm2 . La densidad relativa del benceno es 0.88. Calcule la potencia teórica de la bomba.
Sol. : 6.77 hp
Problema 39. : A través de un conducto de diámetro 10 cm para un caudal de 28 lts/seg de agua a
un motor hidráulico y descarga a través de un conducto de diámetro 15 cm. El conducto de entrada
se encuentra 4 m por debajo del de descarga. En un punto de la entrada y en otro punto de la
descarga, sendos manómetros indican 4.2 kgf/cm2 y 2.1 kgf/cm2 respectivamente. Calcule la potencia
teórica que desarrolla el motor
Sol. : 6.7 hp
Problema 40. : Calcule la potencia teórica (ideal) que debe suministrarse a la bomba para mantener
un caudal de agua de 56.64 dm3/seg , con las condiciones de la instalación mostrada en la figura
siguiente.
p1 = -2070 kgf/m2 (man) p2 = patm (abs)
D1 = 20. cm
D2 = 15.2 cm
2
Sol. : 11 HP
13 m
1
Problema 41. : Una turbina de vapor trabaja con un caudal másico de 0.1285 UTM/seg, generando
1000 HP al eje. Las velocidades de entrada y salida son 61 m/s y 274.5 m/s, respectivamente. las
mediciones efectuadas indican que las entalpías de entrada y salida son 6528 y 4896 kcal/UTM
respectivamente.
Calcule : a) la pérdida de calor por unidad de tiempo, de la turbina. b) el error porcentual del punto a)
si en realidad la entrada se encuentra 3 m por encima de la salida (verificando de esta manera la
influencia de incluir o no la energía potencial).
Sol. : -20.77 kcal/seg ; 0.043%
Problema 42. : Agua fluye desde un depósito cerrado muy grande, presurizado a 1.4MPa (man), con
caudal 0.14 m3/seg, hacia la atmósfera. Si el sistema completo está aislado térmicamente, determine
el aumento de temperatura que sufre el líquido, desde el tanque hasta la salida a la atmósfera. El
diámetro de la tubería es 0.2 m. El nivel del agua está a altura 1 m respecto la boca de salida a la
atmósfera.
Calor específico del agua en estado líquido : C = 4210 J/kg oK
Sol. : delta T = 0.33oK
Problema 43. : Una bomba de 10CV de potencia al eje eleva 600 litros/min de agua hacia un
depósito cuyo nivel de líquido está 60 m por encima de la bomba. El incremento de energía interna
térmica es estimado en 10% de la potencia de la bomba y el sistema completo se considera
adiabático. La tubería es de diámetro 50 mm. Calcule la presión manométrica a la entrada de la
bomba.
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Sol. : -0.8475 atm
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Unidad IV: Leyes Básicas Aplicadas a los Sistemas
Problema 44. : Considere el flujo viscoso laminar de un líquido de densidad ρ y viscosidad dinámica
μ entre dos placas horizontales paralelas. La placa inferior está fija y la placa superior se mueve
hacia la derecha con velocidad U0. La distancia entre las placas es h.
Además el flujo entre las placas está sometido a un gradiente de presiones ∂p/∂x
El flujo es estacionario, bidimensional y unidireccional (líneas de corriente paralelas).
a) Obtenga el perfil de velocidades del fluido y el caudal volumétrico en el sentido de x.
b) Para el caso siguiente: ρ = 800 kg/m3 μ= 0.1 N.s/m2 U0 = 1 m/seg y h = 1 cm, determine el
gradiente de presiones ∂p/∂x necesario a fin de tener un caudal neto hacia la izquierda (en –x)
de Q/b = 3 litros/seg/m (caudal por unidad de ancho en y)
z
U0
h
x
Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas:: x − y − z ; u − v − w
∂u ∂v ∂ w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
⎛ ∂2 u ∂2 u ∂2 u ⎞
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u ⎞
∂p
⎟
⎟⎟ = −
+u
+v
+w
+ ρ g x + μ ⎜⎜ 2 +
+
2
2 ⎟
∂y
∂z⎠
∂x
∂x
∂
∂
∂
x
y
z
⎝ ∂t
⎝
⎠
ρ ⎜⎜
⎛ ∂2 v ∂2 v ∂2 v ⎞
⎛∂v
∂p
∂v
∂v
∂v ⎞
⎟
+ ρ g y + μ ⎜⎜ 2 +
+u
+v
+ w ⎟⎟ = −
+
∂y
∂x
∂y
∂z⎠
∂ y 2 ∂ z 2 ⎟⎠
⎝ ∂t
⎝∂x
ρ ⎜⎜
⎛ ∂2 w ∂2 w ∂2 w ⎞
⎛∂w
∂w
∂w
∂p
∂w⎞
⎟
⎟⎟ = −
+u
+v
+w
+ ρ g z + μ ⎜⎜
+
+
2
∂x
∂y
∂z
∂z ⎠
∂ y 2 ∂ z 2 ⎟⎠
⎝ ∂t
⎝∂x
ρ ⎜⎜
Problema 45. : Considere el flujo viscoso laminar de un líquido de densidad ρ y viscosidad dinámica
μ en un conducto horizontal, recto y cilíndrico de radio R, sometido a un gradiente de presiones
∂p/∂x.
El flujo es estacionario, axilsimétrico y unidireccional (líneas de corriente paralelas).
a) Obtenga el perfil de velocidades del fluido y el caudal volumétrico en el sentido de x.
b) Para el caso siguiente: ρ = 800 kg/m3 μ= 0.1 N.s/m2 y R = 5 cm, determine el gradiente de
presiones ∂p/∂x necesario a fin de tener un caudal neto de Q = 1 m3/min.
r
Q
D = 2R
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x
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Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas: r − θ − x ; ur − uθ − u x
1 ∂ ( r ur ) 1 ∂ ( uθ ) ∂ u x
+
+
=0
r ∂r
r ∂θ
∂x
⎧⎪ ∂ ⎡ 1 ∂ ( r ur ) ⎤ 1 ∂ 2ur 2 ∂uθ ∂ 2ur ⎫⎪
⎛ ∂ur
∂u u ∂u u 2
∂u ⎞
∂p
+ ur r + θ r − θ + u x r ⎟ = − + ρ g r + μ ⎨ ⎢
− 2
+ 2 ⎬
⎥+ 2
2
θ
θ
θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂x ⎭⎪
t
r
r
r
x
r
r
r
r
r
r
⎪
⎝
⎠
⎦
⎩ ⎣
ρ⎜
∂u u ∂u u u
∂u
⎛ ∂uθ
+ ur θ + θ θ + r θ + u x θ
∂r
∂x
r ∂θ
r
⎝ ∂t
ρ⎜
∂u u ∂u
∂u
⎛ ∂u x
+ ur x + θ x + u x x
∂r
∂x
r ∂θ
⎝ ∂t
ρ⎜
⎧⎪ ∂ ⎡ 1 ∂ ( r uθ ) ⎤ 1 ∂ 2uθ 2 ∂ur ∂ 2uθ ⎪⎫
1 ∂p
⎞
ρ
μ
g
=
−
+
+
+ 2
+
⎨ ⎢
⎬
⎥+ 2
θ
⎟
2
r ∂θ
r ∂θ ∂x 2 ⎭⎪
⎠
⎩⎪ ∂r ⎣ r ∂r ⎦ r ∂θ
⎧ 1 ∂ ⎛ ∂u x ⎞ 1 ∂ 2u x ∂ 2u x ⎫
∂p
⎞
=
−
+
+
+ 2 ⎬
ρ
μ
g
⎨
x
⎟
⎜r
⎟+ 2
2
∂x
∂x ⎭
⎠
⎩ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ
Problema 46. : Considere el flujo viscoso laminar de un líquido de densidad ρ y viscosidad dinámica
μ que desliza por gravedad por un plano inclinado que forma un ángulo α respecto la horizontal,
como se muestra. La capa de fluido posee un espesor constante h.
El flujo es estacionario, bidimensional y unidireccional (líneas de corriente paralelas). Desprecie la
fricción entre la superficie libre de líquido y el aire de la atmósfera.
Obtenga el perfil de velocidades del fluido y el caudal volumétrico en el sentido de x.
z
Atmósfera a pamb
α
h
x
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Unidad V: Estática de los Fluidos
Problema 47. : La presión relativa del gas en el primer piso del edificio es 100 mm c.a. (mm de
columna de agua). Determine la presión relativa del gas en el octavo piso, a una altura 32 m respecto
el primero. Asuma que las densidades del gas y del aire no varían con la altura. Las densidades
correspondiente son : 0.5 kg/m3 (gas) y 1.29 kg/m3 (aire).
Sol. : 125 mm
Problema 48. : El depósito mostrado se acelera hacia la derecha con el fluido moviéndose como
sólido rígido. Determine la aceleración aX y la presión en el punto A si el fluido es agua.
Sol. : 0.13 g
aX
28 cm
15 cm
100 cm
A
Problema 49. : El depósito mostrado se mueve hacia arriba del plano inclinado con aceleración
constante, de manera que el fluido se mueve como sólido rígido. Determine la aceleración a y si es
hacia arriba o abajo. Determine la presión en el punto A si el fluido es agua.
Sol. : 0.613 g hacia abajo ; 2379 Pa (man)
V
¿a?
z
15 cm
28 cm
100 cm
A
α = 30º
x
Problema 50. : El tanque de combustible de un avión es rectangular como se muestra y contiene
hasta un tercio de su capacidad. En un lapso dado, el avión se encuentra volando horizontalmente
con aceleración constante aX . Determine el valor de la aceleración para que la superficie libre del
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líquido alcance: a) el fondo del tanque, esquina B ; b) el punto C, a partir de lo cual cesa el suministro
de combustible.
Sol. : a) aX = 0.333g ; b) aX = 1.5g
aX
a
h
C
B
a
a
Problema 51. : El tanque en forma de L de la figura contiene aceite de densidad relativa 0.8 y en el
punto A posee un orificio abierto a la atmósfera. Si la aceleración según X es aX = 4.9 m/s2 ,
determine las presiones relativas en los puntos B y C. Determine la aceleración requerida para que el
punto B esté a presión ambiente.
Sol. : pB = 800 kgf/m2 ; pC = 3920 kgf/m2 ; 6.54 m/s2
0.6 m
A
aX
4m
6m
B
0.6 m
C
Problema 52. : Un recipiente cilíndrico de diámetro 0.9 m contiene agua hasta una altura de 0.25 m
como se muestra, cuando está en reposo. Se lo pone a girar a velocidad angular constante alrededor
de su eje vertical y luego de un período de transición la superficie libre adopta una forma fija inmóvil
respecto el propio recipiente.
Determine la velocidad angular a fin de que la presión en el centro del fondo del recipiente sea la
atmosférica. Determine la máxima elevación del líquido en esa condición.
Sol. : 1.108 rev/seg ; 0.5 m
0.9 m
0.6 m
0.25 m
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Problema 53. : Se muestra el esquema de una centrífuga que separa partículas en suspensión en
un líquido (por ejemplo glóbulos en el suero de las sangre o grasa en el suero de la leche). La
centrífuga gira a 400 r.p.m. y la distancia radial media del nivel del líquido es r = 25 cm (se asume que
la sección de cada tubo de al centrífuga es pequeño en relación a la distancia r).
Determine el factor de incremento de la “gravedad relativa” y el ángulo
más ventajoso para la
separación de las partículas en suspensión.
g′
r ω2
cos α
= sen α +
Sol. :
g
g
α =1.28º
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Unidad VII: Movimiento de Fluidos Ideales
Problema 54. :
La figura muestra un venturi en el cuál la diferencia de presión generada es empleada para equilibrar
una carga P mediante el arreglo de cilindro - pistón mostrado.
Calcule el caudal volumétrico Q de agua requerido para equilibrar una carga W = 24 kgf, sabiendo
que el diámetro de entrada del venturi es D1 = 150 mm, el diámetro de la garganta D2 = 75 mm , el
diámetro del cilindro D0 = 100 mm y el diámetro del vástago central d = 5 mm. Desprecie totalmente
los efectos de la fricción.
Sol.: 35.3 dm3/seg
Q
W
Problema 55. :
La figura muestra en forma simplificada el Venturi de un carburador. La succión generada en la
garganta, por el pasaje del caudal de aire debe ser suficiente para aspirar un cierto caudal de
combustible de la cuba. (El caudal de aire es generado a su vez por la succión cíclica debida al
desplazamiento de los pistones en sus cilindros, siendo función de las r.p.m. y la cilindrada del motor)
Sea el caso siguiente :
- Caudal de aire 0.06 m3/seg
- Diámetro de la garganta del venturi : D = 4 cm
- Diámetro del conducto de aspiración del combustible : d = 2 mm
- Densidad del aire : ρa = 1.225 kg/m3
Densidad del combustible : ρC = 700 kg/m3
- Desnivel entre la salida del combustible y el nivel de combustible en la cuba : h = 10 cm
Calcule el caudal másico de combustible aspirado en esas condiciones, despreciando totalmente los
efectos de la viscosidad y suponiendo flujo estacionario e incompresible. Determine la relación
aire/combustible.
Sol.: 3.13 g/seg ; A/C = 23.5 ; presión en la garganta: -142.3 mm c.a.
D = 4 cm
Aire
h = 10 cm
Comb.
d = 2 mm
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Problema 56. :
Un conducto cilíndrico de radio R0 = 10 mm a lo largo del cual pasa un caudal volumétrico Q = 0.63
dm3/seg de aire (ρ = 1.225 kg/m3) descarga a la atmósfera a través de una boquilla de descarga
formada por dos placas circulares paralelas, de radio R = 100 mm.
El chorro descargado a la atmósfera es un chorro chato de espesor t = 1 mm, emitido radialmente a
lo largo de toda una circunferencia de radio R. Asuma que el flujo entre las placas es puramente
radial desde el radio R0 .
Desarrolle una expresión para la fuerza de succión que el flujo de aire ejerce sobre la placa inferior
que explique el fenómeno observado en la experiencia de clase.
Sol.:
⎛ R2 ⎞
1
p(*r ) = − ρ Vs2 ⎜ 2 − 1⎟
2
⎝r
⎠
Fsucc =
π
2
⎛
ρ Vs2 ⎜ R 2 ln
⎝
Q
⎞
R2
+ Ro2 − R 2 ⎟ = 0.07 N
2
Ro
⎠
Q
2R0
t
2R
Problema 57. :
Sea el tramo curvo de un conducto de sección rectangular, ancho 120 mm y altura 400 mm, en el
cual fluye aire (asuma densidad estándar ρ = 1.225 kg/m3 ). El radio de curvatura de la pared interna
del conducto es 300 mm. Se ha medido la diferencia de presión entre la pared externa y la interna
con un manómetro, indicando 30 mm de columna de agua.
a) Estime el caudal volumétrico de aire, despreciando los efectos viscosos y suponiendo una
distribución uniforme de velocidad.
b) Asumiendo el flujo en la sección como iso-energético, determine la forma del perfil de
velocidades, calcule las velocidades del flujo en la cara externa y la cara interna y calcule el
nuevo valor del caudal volumétrico. ¿Las diferencias son significativas?
Sol.: a) 1.2826 m3/seg ; b) No ; c) 31.321 m/s , 22.372 m/s , 1.2826 m3/seg , 1.4% de error en Q
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Problema 58. :
La figura esquematiza la entrada a un túnel de viento bidimensional, de ancho b y altura 2h. Toma
aire desde la atmósfera y posee una toma tipo “bell mouth” (boca de campana) de amplio radio R, de
manera que el ingreso de aire es prácticamente sin pérdidas por fricción y con líneas de corriente
suaves, cuyo radio de curvatura varía aproximadamente en la forma r = R
h
.
y
Obtenga la forma genérica del perfil de velocidades a la entrada u(y) . ¿ Es significativa la diferencia
entre las velocidades sobre el eje del túnel u0 y sobre la pared u1 ?
Asumiendo que la velocidad es uniforme, estime la diferencia de presiones entre la pared del túnel y
el eje p1 – p0.
Considere el caso con: h = 75 mm ; R = 600 mm ; b = 1 m ; Q = 3 m3/seg
Sol.:
u ( y) = u0 e
y2
2 hR
u1/u0 = 1.0645
-30.625 Pa
R
y
pamb
V=0
y=h
u1 p1
u0
h
y=0
p0
Problema 59. :
La figura muestra una tobera que descarga un flujo de aire a la atmósfera. Se ha dispuesto un tubo
Pitot en el chorro de salida y una toma estática en la sección de mayor diámetro, como se muestra.
Ambas tomas se unieron mediante un manómetro en U, con alcohol como fluído indicador
Despreciando totalmente los efectos de la fricción, calcule
a) El caudal de aire asumiendo densidad estándar del aire.
b) La presión estática en 1.
D1 = 40 cm ; D2 = 30 cm ; Δh = 10 mm alcohol (densidad 790 kg/m3)
Sol.: V1 = 11.25 m/s Q = 1.41 m3/s V2 = 20 m/s
p1 = 167.44 Pa man
V2
D1
D2
V1
Δh
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