Tema 4 Inecuaciones con valor absoluto

Tema 4
Inecuaciones con valor absoluto
Matemáticas
El valor absoluto de expresiones reales lo hallamos con frecuencia
en ecuaciones con polinomios reales de la forma |ax + b| = c, en
donde a ≠ 0. En este caso encontramos el conjunto solución aplicando la definición de valor absoluto de un número real.
Si la ecuación es |2x − 3| = 1, entonces basta considerar que, de
acuerdo con la definición de valor absoluto, |2x − 3| puede ser
2x − 3 ó − (2x − 3). En el primer caso la ecuación a resolver es
2x − 3 = 1 y por tanto x = 2; en el segundo caso,
− (2x − 3) = 3 − 2x = 1 y entonces x = 1. Luego, el conjunto
solución de la ecuación |2x − 3| = 1 es {2, 1}.
Observemos que si c < 0, entonces la ecuación no tiene solución por cuanto el valor absoluto de una expresión real nunca es
negativo.
También encontramos desigualdades con valor absoluto y en tal
caso usamos un método parecido al empleado para resolver ecuaciones, y las propiedades de las desigualdades de números reales.
Consideraremos dos casos.
a. Si la desigualdad es de la forma |x| < a, como el valor absoluto es no negativo, entonces asumimos que a es positivo y
la desigualdad se puede interpretar como una expresión en
donde la distancia de cada x del conjunto solución al origen
es menor que a. Por consiguiente, x se encuentra ubicado
entre los puntos con abscisa a y −a, es decir, −a < x < a o
gráficamente x es un punto del segmento con extremos −a y
a sin ser ni a ni −a, como se ilustra en la figura.
0
9
Cuando la desigualdad estudiada sea de la forma |x| ≤ a, x
podrá ser extremo del segmento con extremos −a y a.
b. S
i la desigualdad es de la forma |x| > a, y a es un número
negativo o 0, la inecuación será verdadera para todo valor de
x porque el valor absoluto de todo número real es no negativo. Cuando a es positivo la desigualdad se puede interpretar
como que la distancia de cada punto x del conjunto solución
al origen es mayor que a y así el punto x está por fuera del
intervalo con extremos −a y a, es decir x < −a o x > a. Gráficamente el conjunto solución es la recta excepto el segmento
con extremos −a y a. Veamos la figura.
0
−a
a
r
Si la desigualdad es de la forma |x| ≥ a, en el conjunto solución se incluyen los extremos del segmento.
Ejemplo
Para cada desigualdad o inecuación encontremos el conjunto
solución y representémoslo gráficamente.
a. |3x − 5| < 2. Para esta desigualdad el conjunto solución está
formado por los puntos cuyas abscisas x cumplen
− 2 < 3x − 5 < 2, esto es, 3 < 3x < 7, y por tanto, 1 < x < 7 .
3
La representación se ilustra en la siguiente figura.
0
1
27
3
r
9
Matemáticas
b. |4 − 3x| ≥ 1. Esta desigualdad se satisface para los puntos
cuya distancia a 0 es mayor o igual que 1. Esto es, aquellos
que cumplen 4 − 3x ≥ 1 o 4 − 3x ≤ − 1. Por tanto son los
que cumplen que − 3x ≥ − 3 o − 3x ≤ − 5 . Como (−3) < 0
serán aquellos que cumplen x ≤ 1 o x ≥ 5 y que se encuen3
tran en el conjunto representado en la figura.
0
1
2
1
5
3
2
4
Encuentra el conjunto solución.
a. |x − 3| = 5 __________________
b. |2x − 1| = 3 __________________
c. |3 − 2x| = − 1 __________________
1
= 1 __________________
d. – x
2
3
Trasforma cada expresión en ecuaciones sin valor absoluto.
a. |a − 1|
= 3____________
2
b. – b == 11____________
3
Trasforma cada desigualdad con valor absoluto en una sin
valor absoluto.
a. |x − 3| < 1____________
b. 2x – 1 < 1 ____________
2
x – 5 ʺ 2 ____________
3
Halla el conjunto solución de las desigualdades.
a. |5 − x| > 2 ____________
x – 1 ≥ 3 ____________
2
c. x – 2 < 3 ____________
3
b.
r
c. |10,3 − 2x| = 0,3____________
d. |3z − 1|
= 1____________
3
c.
5
Completa el procedimiento para hallar el conjunto solución
de cada ecuación.
a. |3x − 2| = 5
1. S
i 3x − 2 ≥ ______ , entonces, |3x − 2| = ______.
Luego 3x − 2 = 5 y por tanto x = ___.
2. Si _______ < 0, entonces, _______ = − (3x − 2).
Luego − (3x − 2) = _______ y por tanto x = ___.
b.
– 3– x
2
=1
1. Como – 3 – x
2
=
_____________
la ecuación dada es __________ = 1
;
Matemáticas
2. Si 3 – x ≥ _____ , entonces, 3 – x =
2
2
_________. Luego 3 – x = _________
2
y por tanto x = _______.
3. Si 3 – x < _____ , entonces, 3 – x =
2
2
_________. Luego x − 3 = 1 y por tanto
2
x = ________________.
6
Verifica si dos números del conjunto dado son solución de
la inecuación.
a. |2x − 8| ≤ 4 2 ≤ x ≤ 6
b. x – 1 > 2 x < − 5 o x > 15
5
7
Escribe como inecuación el conjunto de los puntos (números) reales, cuya distancia al punto de abscisa −3 es menor
que 1. Soluciona la inecuación y representa el conjunto
solución.
__________________________________________________
8
La distancia de un punto X (x) al punto Y (−3) más la distancia de Y al origen, es 5. ¿Cuál es la abscisa de x? ______
__________________________________________________
9