Ficha 7-Matematica - miscompetenciasycapacidadesmatematicas

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Matemática
Las transformaciones geométricas en el antiguo Perú1
Chan Chan es la ciudadela de barro más grande de América precolombina, por lo que su importancia
radica en valores históricos, estéticos, culturales y sociales. Posee un alto grado de organización espacial
y abarca alrededor de 20 km2. El fenómeno del Niño que en 1925 destruyó el magnífico mural del Palacio
Velarde, los sismos y la actualmente elevada napa freática, sumados a la persistencia de agricultores
precarios, constituyen los principales agentes contra su preservación. Es por esto que el MINCETUR2 y el
INC3 han iniciado los trabajos de conservación e investigación en el conjunto Velarde.
Situación problemática
En una de las paredes de este complejo arquitectónico, se observan estas figuras que siguen cierto
orden. Cuatro de ellas han sido retiradas para darles mantenimiento; sin embargo, para no olvidar su
posición al momento de sacarlas, se anotó lo siguiente: “De derecha a izquierda: traslación - rotación traslación - rotación”.
Responde las siguientes preguntas:
1
¿Cómo son las figuras que se observan?
2
¿Tienen la misma forma? ¿Qué puedes decir de sus posiciones?
3
¿Qué significa trasladar y rotar?
Adaptado de Gabriela y Laura (2010). “Capítulo II”. Blog Los secretos de Chan Chan. Consulta: 25 de julio de 2015. <http://lossecretosdechanchan.blogspot.com/>
MINCETUR: Ministerio de Comercio Exterior y Turismo
3
INC: Instituto Nacional de Cultura
1
2
1
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4
Según las anotaciones al momento de retirar las figuras
(de derecha a izquierda: traslación - rotación - traslación rotación), completa las que hacen falta en la foto.
» APRENDEMOS
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
La traslación. Es una transformación geométrica que se realiza en el plano. En esta transformación,
las figuras solo cambian su posición, es decir, solo cambian de lugar. Su orientación, tamaño y formas
se mantienen.
Ejemplo: en este caso, la figura ABC se traslada tomando como referencia el vector (6, 1), el cual indica
que la figura original debe moverse 6 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba para transformarse
en la figura A’B’C’.
y
V
C'
C
B
B'
A'
A
x
Las rotaciones o giros. Son movimientos que realizan las figuras alrededor de un punto fijo en el
plano. En las rotaciones, las figuras conservan su forma, tamaño y ángulos. Las transformaciones por
rotación pueden ser positivas o negativas, dependiendo del sentido del giro. Si el giro es en sentido
antihorario, será positivo, y será negativo cuando sea un sentido horario.
Ejemplo: se aprecia que la figura de bolitas rota 90° alrededor
del punto x para transformarse en la figura de lineas.
900
x
2
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La reflexión. Es la imagen de un objeto o ser vivo
A
que se muestra en el espejo. Para obtener la reflexión
de una figura, se utiliza una recta que recibe el
nombre de eje de reflexión. A la reflexión respecto de
una recta también se le denomina simetría axial.
e
A΄
B΄
B
Ejemplo: el triángulo de lineas se refleja con respecto
a un eje de reflexión para convertirse en el triángulo
de puntos.
C
C΄
POLÍGONOS REGULARES
Se denomina polígono regular a aquel que tiene todos sus lados y ángulos congruentes.
El perímetro de un polígono regular se calcula multiplicando la longitud de unos de sus lados por el
número de lados que tenga.
Por otra parte, también podemos calcular el área de cualquier polígono regular dividiéndolo en triángulos,
todos con un vértice común en el centro del polígono. Al obtener el área de uno de ellos y multiplicarla por
el número de triángulos que se forman, se obtiene el área total.
Para calcular el área del triángulo, basta con conocer su base (el lado del polígono) y su altura (el apotema
del polígono).
A = n(A∆)
 Ap.L 
A = n
 2 
A=
Ap
L
Hexágono regular
( n.L). Ap
2
De esto se desprende que: A = P . Ap ; donde P: perímetro,
2
L: longitud del lado, n: número de lados, Ap: apotema.
» ANALIZAMOS
1
La siguiente figura muestra un polígono irregular ubicado en uno de los cuadrantes del plano
cartesiano:
y
x
3
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¿Cómo quedará finalmente la figura si se aplican dos movimientos sucesivos: el primero, una reflexión
respecto al eje x, y luego un reflexión con respecto al eje y?
❱ RESOLUCIÓN
Sabemos que si consideramos al eje x como eje de reflexión, la figura tendrá que reflejarse hacia
abajo, como en la figura 1. Y si a este resultado le aplicamos una reflexión tomando como punto el
eje y, el polígono regular tendrá que reflejarse hacia la derecha, y quedará como la figura 2:
x
Figura 1
2
x
Figura 2
y
y
Se desea colocar cámaras de seguridad en un centro comercial de una sola planta. El área
coloreada en el plano representa las zonas transitables. Las cámaras podrán tener una vista
de giro de 360° y tendrán que cubrir toda la región transitable. Indica en el plano los puntos
donde deberán ser colocadas las cámaras para cumplir con ese propósito, si estas deben ser la
menor cantidad posible.
❱ RESOLUCIÓN
Dado que las cámaras tienen una vista de giro de 360°, esto quiere
decir que dan una vuelta completa. Entonces basta con colocar solo
una en el punto de bifurcación de la región coloreada para tener una
vista de toda la zona transitable.
3
Se desea colocar en la pared un espejo en forma hexagonal regular que tenga como medida de lado
3 dm. ¿Cuánto medirá la superficie de dicho espejo?
❱ RESOLUCIÓN
El espejo tiene forma de un hexágono regular. Hacemos un pequeño bosquejo. Para conocer la
superficie, podemos descomponer el hexágono regular en triángulos.
Observamos que los triángulos son equiláteros; por tanto,
si determinamos el área de uno de ellos y la multiplicamos
por 6, obtendremos el área del hexágono.
A∆=
9 3 2
32 3
l2 3
dm
→ A∆=
A∆=
→
4
4
4
Finalmente, para obtener el área del hexágono, multiplicamos por 6.
3 dm
4
A∆=
9 3
27 3 2
.6 → A =
dm
4
2
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9 3
27 3 2
Entonces la superficie del espejo con forma hexágono regular
es=
.6 → A
dm .
4
2
» PRACTICAMOS
1 Se muestra el plano de un centro comercial de una sola planta. La parte coloreada representa
las áreas por donde transita la gente. Se van a instalar cámaras de seguridad para observar toda
el área transitable. Estas cámaras podrán tener una vista de 360°. Coloca en el plano los puntos
donde se deberían instalar las cámaras para que sean la menor cantidad posible y que con estas se
pueda observar toda el área transitable.
Área transitable
Tiendas
2 ¿Cuál de las siguientes opciones muestra el resultado de rotar la figura en 180° sentido horario
alrededor del punto 0?
0
a.
b.
0
c.
0
d.
0
0
5
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3 En una tarea de arte, Dante realizó la ampliación de la siguiente figura.
Si la ampliación consistía en duplicar la figura, dibuja en la cuadrícula
la figura ampliada por Dante.
4 Elena está diseñando el jardín rectangular de un condominio. Ella ha plasmado su diseño en una
hoja en la cual 1 cm equivale a 1 m. Si cuenta con 100 m de vallas, escribe verdadero o falso según
corresponda:
I. Según el diseño de Elena, el jardín tendrá una superficie
de 525 m2.
II. Si ella quiere ampliar la superficie del jardín, necesariamente debe comprar más vallado.
Jardín
III. Si reduce 5 m a un lado y aumenta 5 m al otro, no varía el
área del jardín.
35 cm
IV. Si la superficie del jardín se reduce a la mitad, también se
necesitaría la mitad de la longitud del vallado.
15 cm
Condominio
a. VVFF b. FVVVc. FFFFd. VFFF
5 Respecto al problema anterior, ¿cuánto será la máxima superficie que podrá tener el jardín
utilizando los 100 m de vallas?
a. 525 m2
b.625 m2
c. 2500 m2
d.10 000 m2
6 Considera los datos de los problemas 4 y 5: si Elena no quiere limitarse a jardines de forma
rectangular, sino que también quiere diseñarlos circulares, y quiere utilizar la mayor longitud de
vallas disponibles, ¿cuánto mediría la máxima longitud entera del radio de la superficie del jardín
si este tuviera forma circular? Considera π= 3,14.
a. 15 m
b.16 m
c. 50 m
d.100 m
6
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7 El siguiente mapa corresponde a la red de carreteras que une los pueblos de un distrito. En él está
indicado el tiempo en minutos que demora ir de un lugar a otro. ¿Cuántos minutos como mínimo
demora una persona para ir de las Gardenias a los Jazmines?
2
10
CAMPANULAS 5
ZINNIA
3
5
JAZMINES
2
5
LUPINUS
9
9
7
6
DALIAS
5
GARDENIAS
6
AZUCENAS
6
6
5
5
4
4
6
8
2
MARGARITAS
GERANIOS
TULIPANES
5
CLAVELES
GIRASOLES
GLADOLOS
a. 28 minutos.
b.33 minutos.
c. 21 minutos.
d.20 minutos.
8 Con respecto al problema anterior, si Ernesto demoró 31 minutos en trasladarse, ¿de qué lugar a otro
pudo haber ido?
9 Se desea colocar una plancha de vidrio sobre el tablero de una mesa que tiene forma de un hexágono
regular. Si uno de los lados de la mesa tiene 4 dm, determina la superficie del vidrio que encaja
exactamente para cubrir todo el tablero de la mesa.
2
a. 6 3 dm
b. 6 dm2
c. 24 3 dm2 d. 24 dm2
7
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10 En la plaza de una ciudad se está construyendo una pileta de forma circular. Se van extender 5 tubos
que irán desde el centro de la pileta hasta 5 puntos en el borde de esta; en ellos se instalarán grifos
distribuidos a una misma distancia unos de otros. ¿Cuánto medirá el ángulo de abertura entre tubo
y tubo?
a.36°
b.72°
c.90°
d.360°
11 Observa las figuras A, B y C. ¿Cuál es el orden de las transformaciones que debemos efectuar a la
figura A para que se convierta en la figura B, y luego esta en la figura C?
a. Reflexión y rotación.
b. Reflexión y traslación.
A
c. Rotación y traslación.
B
C
d. Rotación y reflexión.
12 Para la decoración del aula, Patricia decide hacer figuras sobre un hexágono regular. En la imagen
siguiente, se observa una región sombreada y la siluetan que resulta de aplicarle un movimiento a
dicha región.
T
L
S
M
N
R
P
Señala qué movimiento se le aplicó a la región sombreada para obtener su imagen.
a. Una reflexión tomando como eje el segmento NS.
b.Una reflexión tomando como eje el segmento LR.
c. Una rotación de 30° con centro en el punto L.
d.Una rotación de 120° con centro en el punto M.
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13 Una plaza tiene forma de un hexágono regular. Por el aniversario van a colocar cadenetas de una
esquina a otra, de tal manera que las cadenetas se crucen en el punto centro de la plaza. Si la plaza
mide 15 m en cada lado, ¿cuánta será la longitud mínima de la cadeneta que une dos esquinas de la
plaza?
a. 90 m
b.60 m
c. 30 m
d.15 m
14 Las monedas de un nuevo sol tienen un polígono regular inscrito. Si una diagonal une dos vértices no
comunes de un polígono, ¿cuántas diagonales podríamos trazar en este polígono regular inscrito en
la moneda de un nuevo sol?
a. 8 diagonales
b.20 diagonales.
c. 40 diagonales.
d.56 diagonales.
15 Una empresa fabrica triángulos musicales. Cada lado del triángulo mide 18,5 cm y la varilla con que se
toca, 15 cm. Si se desea aprovechar al máximo una varilla sin trabajar cuya longitud es 5,5 m, ¿cuántos
triángulos musicales completos (triangulo y varilla) se podrá obtener de la varilla sin trabajar?
a.7
b.7,8
c.8
d.9,9
9