Clase 1 - Departamento de Computación

Algoritmos y Estructuras de Datos I
Algoritmos y Estructuras de Datos I
Clases teóricas
I
Segundo cuatrimestre de 2014
Profesores Verónica Becher, Hernán Melgratti, Paula Zabala
Clases prácticas
Departamento de Computación - FCEyN - UBA
Especificación - clase 1
I
Mañana: Rodrigo Castaño, Esteban Pavese, Alexis Tcatch (JTPs)
I
Noche: Brian Curcio, Gabriela Di Piazza (JTPs)
Sitio web de la materia:
http://www.dc.uba.ar/people/materias/algo1
Introducción a la especificación de problemas
Lógica proposicional
1
2
Algoritmos y Estructuras de Datos I
Régimen de aprobación
I
parciales
I
I
I
2 parciales
2 recuperatorios (al final de la cursada)
[email protected]
trabajos prácticos
I
I
I
[email protected]
2 entregas
2 recuperatorios (cada uno a continuación)
grupos de 4 alumnos
Exámen final
I
o en caso de tener dado el final de Álgebra, coloquio.
Calificacion= promedio de la cursada y el nota del coloquio,
cursada =
p1 + p2 + t1 + t2
4
3
4
Bibliografı́a
I A Method of Programming
Edsger Dijkstra, W. H. Feijen
Addison-Wesley Longman, 1988
I Structured Programming
Edsger Dijkstra, C. A. R. Hoare, Ole-Johan Dahl
Academic Press, 1972
¿Qué es una computadora?
I A Discipline of Programming
Edsger Dijkstra
Prentice Hall , 1976
I Mathematical Logic: A Course With Exercises, Part 1
René Cori, Daniel Lascar.
Oxford University Press, 2000
I The Science of Programming
David Gries
Springer Verlag, 1981
I Reasoned programming
K. Broda, S. Eisenbach, H. Khoshnevisan, S. Vickers,
Prentice-Hall, 1994
5
6
¿Qué es una computadora?
¿Qué es un algoritmo?
Dispositivo para manipulación simbólica que ejecuta cualquier algoritmo.
Matemáticamente, es una función recursiva parcial universal.
7
8
Definición de Algoritmo
Pasos primitivos
Problema: sumar dos números naturales
I
Algoritmo suma escolar: sumo las unidades del primero a las del
segundo, después las decenas y ası́ (“llevándome uno de acarreo”
cuando hace falta).
I
Algoritmo sucesor: voy sumando uno al primero y restando uno al
segundo, hasta que llegue a cero.
I
Algoritmo moderno: escribo el primero en una calculadora, aprieto
+, escribo el segundo, aprieto =.
Un algoritmo es una sucesión de pasos primitivos que permiten resolver
un problema.
¿Con qué pasos primitivos contamos?
Ejemplo: Problema sumar dos números naturales.
Algoritmo de suma escolar, por columnas
Algoritmo de sucesor n veces.
Los tres algoritmos para distintas operaciones primitivas:
I
sumar dos dı́gitos y acarreo, y concatenar resultados.
I
sumar uno, restar uno y comparar por 0.
I
apretar una tecla de una calculadora.
9
Definición de programa
10
Fue en los años 1930. . .
Definición: Un programa es la descripción de un algoritmo en un lenguaje
de programación.
Alonzo Church, define el cáculo lamdba
“An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory”,
American Journal of Mathematics, 1936
“A Note on the Entscheidungsproblem”,
Journal of Symbolic Logic, 1936.
¿El programa siempre termina?
Alan Turing, define máquina universal y demuestra sus limitaciones.
¿Es correcto? Es decir, ¿resuelve el problema?
“On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem”,
Journal of the London Mathematical Society, 1936.
11
12
Algoritmos y Estructuras de Datos I
Algoritmos y Estructuras de Datos I
Contenidos
1. Especificación de problemas
I Lenguaje formal cercano a la lógica proposicional
Objetivos
El principal: aprender a programar
I
Especificar problemas
I
I
describirlos en lenguaje no ambiguo, formal
3. Estructuras de datos
I Especificación de tipos de datos
I Implementación de tipos mediante estructuras de datos
Escribir programas sencillos
I
I
2. Introducción a la programación imperativa
I Semántica por transformación de estados
I Correctitud para especificación dada
tratamiento de secuencias
4. Algoritmos sobre secuencias
I Búsqueda lineal
I Búsqueda binaria
I Algortimos de ordenamiento
I Intercalación ordenada (merge) y otros con dos secuencias
Razonar acerca de estos programas
I
I
I
visión abstracta del cómputo
manejo simbólico y herramientas para demostrar propiedades
correctitud de un programa respecto de su especificación
5. Noción de complejidad tiempo.
6. Algoritmos y estructuras de datos dinámicas.
13
Problemas y soluciones
14
Especificación, algoritmo, programa
1. especificación = descripción del problema
I
I
I
Si vamos a escribir un programa, es porque hay un problema a resolver.
I
necesitamos describirlo de manera precisa
I
no siempre es claro que haya solución
I
¿qué problema tenemos?
en lenguaje formal
es un contrato que da las propiedades de los datos de entrada
y las propiedades de la solución
Edsger Dijkstra, C.A.R. Hoare (años 70)
2. algoritmo = descripción de la solución escrita para humanos
I
¿cómo resolvemos el problema?
3. programa = descripción de la solución para la computadora
I
I
15
también, ¿cómo resolvemos el problema?
usando un lenguaje de programación
16
Etapas en el desarrollo de programas
especificación:
diseño:
programación:
validación:
mantenimiento:
E
1. Especificación
El planteo inicial del problema puede ser vago y ambiguo.
Al especificar damos una descripción clara y precisa
en lenguaje formal, por ejemplo, el lenguaje de la lógica matemática.
Ejemplo, el problema calcular de edad de una persona, es vago porque:
definición formal del problema
elegir una solución y dividir el problema en partes
dar algoritmos e implementarlos en algún lenguaje
testear y demostrar que el programa
cumple con la especificación.
corregir errores y adaptarlo a nuevos requerimientos.
D
P
V
M
···
I
¿Cuáles son los datos? fecha de nacimiento, ADN
I
¿Qué forma van a tener? dı́as, años enteros, fracción de años
I
¿Cómo recibo los datos? manualmente, archivo en disco, sensor
I
¿Cómo devuelvo el resultado? pantalla, papel, voz alta, email
Una especificación formaliza algunas, como:
I
Necesito una función que, dadas dos fechas en formato
dd/mm/aaaa, de la cantidad de dı́as que hay entre ellas.
17
2. Diseño
18
3. Programación (algoritmos)
Escribir un algoritmo para dar solución a cada problema:
I
¿Varios programas o uno muy complejo?
¿distintas partes en distintas máquinas?
I
I
Asumimos que están definidos los pasos primitivos
I
Dar la sucesión de pasos para resolver cada problema
Ejemplo: Dadas dos fechas a y b en formato dd/mm/aaaa, calcular la
cantidad de dı́as que hay entre ellas.
Un algoritmo es:
¿cómo dividirlo en partes?
I
I
1. restar el año de b al año de a
(mini) especificación de cada parte
un programador recibe una sola (o una por vez)
2. multiplicar el resultado por 365
3. sumarle la cantidad de dı́as desde el 1◦ de enero del año de b hasta
el dı́a b
¿Programas ya hechos con los que interactuar?
4. restarle la cantidad de dı́as desde el 1◦ de enero del año de a hasta
el dı́a a
Estos son temas de Algoritmos y Estructuras de Datos II y de Ingenierı́a
del Software I.
5. sumarle la cantidad de 29 de febrero que hubo en el perı́odo
¿Son todos pasos primitivos?
I
19
si no, hay que dar algoritmos para realizarlos (Por ej. para 3, 4 y 5).
20
3. Programación (algoritmos)
3. Programación (estructuras de datos)
La elección del algoritmo viene junto con la elección de una
representación de los datos.
I
traducir el algoritmo (escrito o idea) para que una computadora lo
entienda
I
lenguaje de programación
I
I
I
Ejemplos
I
Haskell (ya saben)
Java (vamos a ver en esta materia)
I
I
hay muchos otros
I
I
Para el problema de calcular la edad de una persona, es posible
representar los datos como
pueden ser más adecuados para ciertas tareas
depende del algoritmo, de la interfaz, tiempo de ejecución, tipo
de máquina, interoperabilidad, entrenamiento de los
programadores, licencias, etc.
dı́as, meses, años, fracciones de año, etc.
Para el problema contar la cantidad de alumnos de cada género
podrı́amos usar
I
foto, nombre, ADN, etc.
Una vez elegida la representación de los datos, es necesario elegir una
estructura de datos computacional, que será usada por los algoritmos.
En un tema de estudio en Algoritmos y Estructuras de Datos II.
21
4. Validación
22
5. Mantenimiento
Asegurarse de que un programa cumple con la especificación
Testeo
I
probar el programa con muchos datos y chequear la especificación.
I
si hay un error, con algo de suerte uno puede encontrarlo
I
no es infalible (puede pasar el testing pero haber errores). Para
garantizar corectitud, deberı́a probar infinitos datos de entrada.
I
I
I
Las técnicas de testeo son un tema de Ingenierı́a del Software I.
Verificación formal
I
demostrar matemáticamente que un programa cumple con una
especificación. Se llama “correctitud de un programa respecto de
una especificación”. Requiere que el lenguaje de especificación sea
formal y admita una teorı́a de prueba, y una semántica.
I
una demostración cubre infinitos valores de entrada (abstracción)
I
es infalible (si está demostrado, el programa no tiene errores)
En esta materia vamos a estudiar cómo demostrar la correctitud de
programas sencillos para problemas sencillos.
tiempo después, encontramos errores
I
o cambian los requerimientos
I
puede hacerlo el mismo equipo u otro
I
justifica las etapas anteriores
I
23
el programa no cumplı́a la especificación
la especificación no describı́a correctamente el problema
si se hicieron bien la especificación, diseño, programación y
validación, las modificaciones van a ser más sencillas y menos
frecuentes
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Lenguaje naturales y lenguajes formales
Especificación de problemas
Lenguajes naturales
I idiomas (castellano)
I mucho poder expresivo (modos verbales –potencial, imperativo–, tiempos
verbales –pasado, presente, futuro—, metáforas, etc. )
I con un plus (conocimiento del contexto, experiencias compartidas,
ambigüedad e imprecisión)
Es un contrato que define qué se debe a resolver y qué propiedades debe
tener una solución:
I
define el qué y no el cómo
No usamos problemas para especificar problemas.
Lenguajes formales
I limitan lo que se puede expresar
I todas las suposiciones quedan explı́citas
I relación directa entre lo escrito (sintaxis) y su significado (semántica)
I pueden tratarse formalmente
I sı́mbolos manipulables directamente
I las manipulaciones son válidas también para el significado
I ejemplo: aritmética
I lenguaje formal para los números y sus operaciones
I resolvemos problemas simbólicamente sin pensar en los significados
numéricos y llegamos a resultados correctos
Es un tema de Teorı́a de Lenguajes y de Lógica y Computabilidad.
Después de programar la especificación de problemas sirve para:
I
testing
I
verificación formal de correctitud
I
derivación formal
(construir un programa a partir de la especificación)
25
Parámetros de un problema
I
ejemplo de problema: arreglar una cafetera
I
para solucionarlo, necesitamos más datos
I
I
I
Problemas funcionales
¿qué clase de cafetera es?
¿qué defecto tiene?
¿cuánto presupuesto tenemos?
I
se llaman parámetros del problema
I
los valores de los parámetros se llaman argumentos
I
cada combinación de valores de los parámetros es una instancia del
problema
26
I
no podemos especificar formalmente cualquier problema
I
simplificación (para esta materia)
I
problemas que puedan solucionarse con una función
I
I
I
parámetros de entrada
un resultado para cada combinación de valores de entrada
una instancia: “arreglar una cafetera de filtro cuya jarra pierde
agua, gastando a lo sumo $30”
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28
Tipos de datos
Contratos
Una especificación es un contrato entre el programador de una función
que resuelva el problema y el usuario de esa función.
Cada parámetro tiene un tipo de datos
I
Ejemplo de problema: calcular la raı́z cuadrada de un real
conjunto de valores para los que hay ciertas operaciones definidas.
Cada tipo de datos lleva un nombre.
I
Especificación de una función
I
Por ejemplo:
I
parámetros de tipo fecha
I
I
I
I
I
valores: ternas de números enteros
operaciones: comparación, obtener el año,...
Para hacer el cálculo, debe recibir un número no negativo
I
I
parámetros de tipo dinero
I
I
I
valores: números reales con dos decimales
operaciones: suma, resta,...
con un un argumento real
va a calcular un resultado real
obligación del usuario: no puede proveer números negativos
derecho del programador de la función: puede suponer que el
argumento recibido no es negativo.
El resultado va a ser la raı́z cuadrada del número.
I
I
obligación del programador: debe calcular la raı́z, siempre y
cuando haya recibido un número no negativo
derecho del usuario: puede suponer que el resultado va a ser
correcto
30
29
Partes de una especificación (contrato)
El contrato
El programador va a hacer un programa P tal que si el usuario
suministra datos que hacen verdadera la precondición,
entonces P va a terminar en una cantidad finita de pasos y va
a devolver un valor que hace verdadera la poscondición.
Tiene 3 partes
1. encabezado
2. precondición
I
I
I
I
condición sobre los argumentos
el programador da por cierta
lo que requiere la función para hacer su tarea
por ejemplo: “el valor de entrada es un real no negativo”
El programa P es correcto para la especificación dada por la precondición
y la postcondición exactamente cuando se cumple el contrato.
Si el usuario no cumple la precondición y P se cuelga o no cumple la
poscondición...
3. poscondición
I
I
I
I
condición sobre el resultado
debe ser cumplida por el programador, siempre y cuando el
usuario haya cumplido la precondición
lo que la función asegura que se va a cumplir después de
llamarla (si se cumplı́a la precondición)
por ejemplo: “la salida es la raı́z cuadrada del valor de entrada”
I
¿el usuario tiene derecho a quejarse? No.
I
¿Se cumple el contrato? Sı́. El contrato prevé este caso y dice que P
solo debe funcionar en caso de que el usuario cumpla con la
precondición
Si el usuario cumple la precondición y P se cuelga o no cumple la
poscondición...
31
I
¿el usuario tiene derecho a quejarse? Sı́.
I
¿Se cumple el contrato? No. Es el único casode violación del
contrato.
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Una especificación es un contrato
Nuestro lenguaje de especificación
Contrato: El programador va a hacer un programa P para una
especificación E tal que si el usuario suministra datos que hacen
verdadera la precondición, entonces el programa P va a terminar en una
cantidad finita de pasos y va a arrojar un valor que hace verdadera la
poscondición.
http://www.dc.uba.ar/materias/aed1/2014/1c/descargas/apuntes/AEDI-LE.pdf
P es correcto para la especificación dada por la precondición y la
postcondición cuando se cumple el contrato.
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33
Encabezado de un problema
Ejemplos
problema rcuad(x : Float) = result : Float {
requiere x ≥ 0;
asegura result ∗ result == x;
}
problema nombre(parámetros) = nombreRes : tipoRes
I
problema suma(x : Int, y : Int) = result : Int {
asegura result == x + y ;
}
nombre: nombre que le damos al problema
I
será resuelto por una función con ese mismo nombre
I
nombreRes: nombre que le damos al resultado
I
tipoRes: tipo de datos del resultado
I
parámetros: lista que da el tipo y el nombre de cada uno
problema resta(x : Int, y : Int) = result : Int {
asegura result == x − y ;
}
problema cualquieramayor (x : Int) = result : Int {
asegura result > x;
}
35
36
Argumentos que se modifican (modifica y usa pre())
Otro ejemplo
Dado dos enteros dividendo y divisor, obtener el cociente entero
problema cociente(dividendo : Int, divisor : Int) = result : Int {
requiere divisor > 0;
asegura (result ∗ divisor ≤ dividendo)
asegura ((result + 1) ∗ divisor > dividendo)
}
La especificación anterior es la función haskell div or mod. Notar
div (-5) 3 == -2
mod (-5) 3 == 1
div 5 (-3) == -2
mod 5 (-3) == -1
div (-5) (-3) == 1
mod (-5) (-3) == -2
Problema: Incrementar en uno el argumento de entrada.
Alternativa sin modifcar la entrada (usual).
problema incremento(a : Int) = res : Int{
asegura res == a + 1;
}
Alternativa que modifica la entrada: usamos el mismo argumento para la
entrada y para la salida.
I
problema incremento-modificando(a : Int){
modifica a;
asegura a == pre(a) + 1;
}
cociente:: Int -> Int -> Int
cociente x y | (x < y) = 0
cociente x y | (x >= y) = 1 + (cociente (x-y) y)
I
cociente 1 0: No termina (pero no viola la especificación).
Observar que en este caso la función no tiene un resultado en su nombre.
I
cociente (-4) (-2) == 0. Viola la especificación.
I
cociente 4 (-2): No termina. Viola la especificación.
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Argumentos de salida (modifica, no usa pre())
38
Dos argumentos de salida (modifica, no usa pre)
Problema: Calcular el cociente y el resto
Problema: Calcular el cociente y el resto
I
Cociente: el resultado de la función.
I
Cociente y resto: ambos argumentos modificables
I
Resto: argumento modificable.
I
La función no tiene resultado en su nombre.
problema cocienteModificaResto(a, b, r : Int) = q : Int {
requiere b > 0;
modifica r ;
asegura a == q ∗ b + r ∧ 0 ≤ r < b; }
problema ModificaCocienteYModificaResto(a, b, q, r : Int){
requiere b > 0;
modifica q, r ;
asegura a == q ∗ b + r ∧ 0 ≤ r < b; }
39
40
Sobrespecificación
Subespecificación
Dar una postcondición más restrictiva que lo que se necesita o una
precondición más laxa
Dar una una precondición más restrictiva o postcondición más débil.
I
I
Limita excesivamente los posibles algoritmos que resuelven el
problema, porque impone más condiciones para la salida, o amplı́a
los datos de entrada.
Deja afuera datos de entrada o ignora condiciones necesarias para la
salida (permite soluciones no deseadas).
Ejemplo de subespecificación:
problema distinto(x : Int) = res : Int {
requiere x > 0;
asegura not(res == x)
}
Ejemplo de sobrespecificación:
problema distinto(x : Int) = res : Int {
asegura res == x + 1;
}
en vez de
problema distinto(x : Int) = res : Int {
asegura not(res == x)
}
en vez de :
problema distinto(x : Int) = res : Int {
asegura not(res == x)
}
42
41
Especificar los siguientes problemas
I
Calcular la función signo
problema signo(x : Float) = r : Int {
asegura(r == 0 ∧ x == 0) ∨ (r == −1 ∧ x < 0) ∨ (r == 1 ∧ x > 0)
}
I
Calcular el área de un triángulo rectángulo
problema area(x, y : Float) = r : Float {
requiere x > 0
requiere y > 0
asegura r == x ∗ y /2
}
I
Encontrar una raı́z para un polinomio de grado 2
problema raizPolinmioGrado2(a, b, c : Float) = r : Int {
requiere a 6= 0
requiere b ∗ b ≥ 4 ∗ a ∗ c
asegura a ∗ r ∗ r + b ∗ r + c == 0
}
Especificar el siguientes problema:
Dada una hora,minutos y segundos correspindientes a una hora de la
mañana, dar la cantidad de segundos que faltan hasta mediodı́a.
problema hastamediodia(h, m, s : Int) = r : Int {
requiere 0 ≤ h < 12
requiere 0 ≤ m < 60
requiere 0 ≤ s < 60
asegura r + (h ∗ 60 + m) ∗ 60 + s == 12 ∗ 60 ∗ 60
}
43
44
Lógica proposicional - sintaxis
I
sı́mbolos
true , false , ⊥ , ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , ( , )
I
Lógica proposicional
variables proposicionales (infinitas)
p , q , r , ...
I
fórmulas
1. true, false y ⊥ son fórmulas
2. cualquier variable proposicional es una fórmula
3. si A es una fórmula, ¬A es una fórmula
4. si A1 , A2 , . . . , An son fórmulas, (A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An ) es una
fórmula
5. si A1 , A2 , . . . , An son fórmulas, (A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An ) es una
fórmula
6. si A y B son fórmulas, (A → B) es una fórmula
7. si A y B son fórmulas, (A ↔ B) es una fórmula
46
45
Semántica clásica
I
Semántica clásica
2 valores de verdad posibles
Conociendo el valor de las variables proposicionales de una fórmula,
conocemos el valor de verdad de la fórmula
1. verdadero (1)
2. falso (0)
I
p
1
0
El valor de verdas de una fórmula se obtiene a partir del valor de
verdad de sus subfórmulas.
I
I
I
I
I
I
I
true siempre vale 1
false siempre vale 0
¬A se interpreta como “no”, se llama negación
∧ se interpreta como “y”, se llama conjunción
∨ se interpreta como “o”(no exclusivo), se llama disyunción
→ se interpreta como “si... entonces”, se llama implicación
↔ se interpreta como “si y solo si”, se llama doble implicación
o equivalencia
p
1
1
0
0
47
p
1
1
0
0
¬p
0
1
q
1
0
1
0
(p → q)
1
0
1
1
q
1
0
1
0
(p ∧ q)
1
0
0
0
p
1
1
0
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
q
1
0
1
0
(p ∨ q)
1
1
1
0
(p ↔ q)
1
0
0
1
48
Ejemplo: tabla de verdad para ((p ∧ q) → r )
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
(p ∧ q)
1
1
0
0
0
0
0
0
Un ejercicio
Escribir la siguiente frase como una fórmula de lógica proposicional.
((p ∧ q) → r )
1
0
1
1
1
1
1
1
“Si Juan está cursando y no conoce a nadie entonces Juan todavı́a no tiene grupo”
I Solución:
p = Juan está cursando
q= Juan no conoce a nadie
r = Juan no tiene grupo
(p ∧ q) =⇒ r
50
49
Otro ejercicio
Oro ejercicio más
“Si Juan está cursando y no conoce a nadie entonces Juan todavı́a no tiene grupo”
Sea p = Juan está cursando; q= Juan no conoce a nadie; r = Juan no tiene grupo.
¿ Cuáles de las siguientes son una especificación adecuada para el el problema de
decidir si un número entero es positivo?
(p ∧ q) =⇒ r .
problema esPositivo (x : Int) = r : Bool
Esta fórmula es equivalente a una sola de las siguientes. ¿A cuál?
1. asegura(x > 0 ∧ r == true)}
1. Si Juan está cursando entonces no tiene grupo.
Solución (p =⇒ q)
2. asegura(x > 0 ∧ r == true) ∧ (x <= 0 ∧ r == false)}
3. asegura(x > 0 ∧ r == true) ∨ (x <= 0 ∧ r == false)}
2. Si Juan no tiene grupo entonces Juan no conoce a nadie.
Solución (r =⇒ q)
4. asegura(x > 0 =⇒ r == true)}
3. Si Juan está cursando y no tiene grupo entonces Juan no conoce a nadie.
Solución (p ∧ r ) =⇒ q
5. asegura(x > 0 =⇒ r == true) ∨ (x <= 0 =⇒ r == false)}
4. Si Juan no conoce a nadie entonces está cursando y no tiene grupo.
Solución q =⇒ (p ∧ r )
6. asegura(x > 0 =⇒ r == true)∧}
5. Si Juan no conoce a nadie entonces está cursando o no tiene grupo.
Solución q =⇒ (p ∨ r )
8. asegura(x <= 0 ⇐⇒ r == false)}
7. asegura(x > 0 ⇐⇒ r == true)}
Solución: La número 3 es adecuada. Y las que son equivalentes a la postcondición
dada en 3. Descubrirlas escribir las postcondiciones como fórmulas de tipo Bool y
hacer las tablas de verdad usando,
p : (x > 0), q : (r == true).
Notar que (¬p) : (x <= 0) y (¬q) : (r == false)
6. Si Juan tiene grupo entonces Juan conoce a alguien.
Solución ¬r =⇒ ¬q
7.
Si Juan tiene grupo entonces es imposible que esté cursando y no conozca a nadie
Solución ¬r =⇒ ¬(p ∧ q)
51
52