Revista Española de Física 21, 2, 58-60

Temas de Física
Reducción de la comunicación mediante entrelazamiento: del “descubrimiento más profundo de
la ciencia” a la “pseudo-telepatía cuántica”
Adán Cabello
From any proof of Bell's theorem (that some predictions of quantum mechanics cannot be reproduced by any local realistic theory), a distributed computing problem can be derived in which the classical communication required can be reduced if previous
entanglement between the parties is available. We describe two of these problems inspired by two proofs of Bell's theorem, and
review some recent proposals for performing a loophole-free Bell experiment.
1. ¿Telepatía?
La mecánica cuántica nos enseña que pueden suceder
cosas aparentemente inexplicables. Si no me cree, preste
atención a la siguiente historia.
Tengo tres amigos que nunca hablan entre sí. Siempre les
visito a los tres el mismo día: primero me presento en casa
de uno, luego voy a casa del otro, y luego a la del tercero.
Uno de cada cuatro días, al entrar en sus casas, les saludo
efusivamente a todos; el resto de los días sólo saludo efusivamente a uno de ellos, elegido al azar (al resto les saludo,
pero sin tanta efusión). Lo curioso es que, los días en los que
les saludo efusivamente a todos, siempre un número impar
de ellos no me saluda efusivamente a mí (me saludan, pero
sin tanta efusión); pero los días en que sólo saludo efusivamente a uno de ellos, siempre un número impar de ellos me
saluda efusivamente a mí. ¿Cómo diablos se las ingenian?
Detengámonos a analizar por qué encuentro sorprendente su proceder. Por un lado, tengo razones para pensar que el
comportamiento de cada uno de mis amigos depende de
cómo les salude yo, y está decidido de antemano. ¿Por qué
pienso eso? Pues porque tras visitar a dos de ellos, siempre
sé lo qué va a hacer el tercero, aunque él no sabe si he visitado o no a los demás, pues nunca hablan entre ellos.
Pero, por otro lado, ésa no puede ser la explicación.
Fijémonos en cuatro días concretos: en uno saludo efusivamente a todos, en otro saludo efusivamente sólo al primero,
en otro sólo al segundo, y en otro sólo al tercero. Si cada uno
de mis amigos tuviese decidido qué hacer, como a cada uno
de ellos le he saludado efusivamente dos días sí y dos no, lo
que espero es que en esas 12 visitas reciba en total un número par de saludos efusivos... ¡pero siempre recibo un número
impar!
¿Cómo lo hacen? No parece haber ninguna explicación, a
menos que estén haciendo trampas y estén usando algún tipo
de comunicación. Parece que existiese una especie de telepatía entre ellos.
Si calculo cuál es la probabilidad de que cumplan el
requisito de que “los días en los que les saludo efusivamente a todos, siempre un número impar de ellos no me saluda
efusivamente a mí; pero los días en que sólo saludo efusivamente a uno de ellos, siempre un número impar de ellos me
saluda efusivamente a mí”, suponiendo que mis amigos han
decidido su comportamiento de antemano y siguen una estrategia óptima (por ejemplo, saludar siempre efusivamente),
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obtengo que tal probabilidad es sólo el 75%... ¡pero yo he
visto que ellos logran cumplir el requisito el 100% de las
veces!
Sea cual sea el truco que usan, lo que tienen es un método para resolver un problema de computación distribuida
(puesto que cada uno de mis amigos recibe un input y sus
outputs deben satisfacer determinadas condiciones) de una
manera que requiere menos comunicación entre ellos (de
hecho, en este caso no requiere ninguna comunicación) que
la que requeriría una estrategia óptima en la que sus comportamientos estuviesen decididos de antemano.
El “truco” lo proporciona la mecánica cuántica. Lo que
he descrito más arriba es una versión de un juego inventado
por Vaidman [1] a partir de la simplificación que hizo
Mermin [2] del descubrimiento de Greenberger, Horne y
Zeilinger (GHZ) [3] (ver la figura 1). El nombre “pseudotelepatía cuántica” se introdujo en [4].
Figura 1. Greenberger, Horne y Zeilinger en Viena, en 2005.
Desde un punto de vista histórico, lo curioso es que el
descubrimiento de GHZ, que marcó el nacimiento de dos de
las ramas más activas de la Información Cuántica –la teoría
del entrelazamiento y el estudio de la complejidad en la
comunicación si se usan recursos cuánticos–, tenía inicial-
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Reducción de la comunicación mediante entrelazamiento
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mente un propósito distinto: demostrar, como ya había hecho
Bell [5], que Einstein, Podolsky y Rosen estaban equivocados cuando pensaban que la mecánica cuántica se podía
“completar” con variables ocultas locales [6], puesto que las
predicciones de la mecánica cuántica no pueden reproducirse con ninguna teoría realista local. El resultado de Bell ha
sido descrito como “el descubrimiento más profundo de la
ciencia” [7] o, cuando menos, “uno de los más grandes descubrimientos de la ciencia moderna” [8].
Como demostración del teorema de Bell, la historia de
mis amigos requiere un par de modificaciones. Primera: para
asegurarnos de que efectivamente no están haciendo trampas, tenemos que separar a mis amigos de manera que sea
físicamente imposible que la decisión de saludar efusivamente o no a uno de ellos pueda afectar al comportamiento
de los otros dos. La decisión de saludar o no efusivamente a
uno cualquiera de mis amigos tiene que estar lo suficientemente alejada de la respuesta de los otros dos para que ni
siquiera la luz viajando en el vacío tenga tiempo de llegar de
unas a las otras. Segunda: como tampoco yo puedo viajar
más rápido que la luz en el vacío, necesitaría que sean mis
hermanos gemelos los que visiten a mis otros dos amigos (y
les saluden efusivamente o no) mientras yo hago lo propio
con el tercero. Y, como no conviene que ni mis hermanos ni
yo sepamos lo que van a hacer los demás, saludaremos efusivamente o no a nuestros respectivos amigos aleatoriamente, sin acordar nada de antemano (y luego nos fijaremos sólo
en lo que pasa las veces en las que hemos saludo efusivamente a todos y en las que sólo hemos saludado efusivamente a uno).
Aprovechemos para desvelar el “truco” de GHZ. Mis
amigos preparan tríos de qubits en el estado |ψ⟩ que queda
determinado por las tres ecuaciones siguientes:
σx ⊗σ z ⊗σ z ψ = ψ ,
(1)
σz ⊗σx ⊗σ z ψ = ψ ,
(2)
σz ⊗σz ⊗σ x ψ = ψ ,
(3)
laciones cuánticas de desigualdades de Bell. En el primer
caso, el problema de computación distribuida correspondiente consiste en que los outputs tengan que satisfacer una
serie de condiciones [dictadas por ecuaciones como las ecuaciones (1)-(4) de la sección anterior] que no pueden ser satisfechas por descripciones realistas locales. En el caso de las
demostraciones que usan desigualdades de Bell, se trata de
evaluar una función de los inputs distribuidos entre las partes, elegida de modo que el entrelazamiento previo entre las
partes proporcione una solución más eficiente. Para una
amplia familia de desigualdades de Bell, una receta para
definir esas funciones puede encontrarse en [9].
El propósito de esta sección es describir un problema de
computación distribuida entre dos partes propuesto en [10],
inspirado en la más famosa de las desigualdades de Bell, la
de Clauser, Horne, Shimony y Holt (CHSH) [11].
Las reglas del juego son las siguientes: Supongamos dos
partes, Alicia y Bob, separadas y entre las que no existe ninguna comunicación aparte de la mencionada explícitamente
más abajo.
Alicia recibe dos bits: xA ∈ {0,1} y yA ∈ {–1,1}; y Bob
recibe otros dos bits: xB ∈ {0,1} y yB ∈ {–1,1}. Supondremos
que las 16 posibles variaciones ocurren con la misma frecuencia. Alicia manda un bit sA a Bob, y Bob manda un bit
sB a Alicia. El propósito es que ambos acierten el valor de la
función
f ( xA , y A , xB , y B ) = y A y B (−1)xA xB ,
(5)
el mayor número de veces posible (ver la figura 2). Alicia y
Bob aciertan si y solamente si el valor que anuncian ambos
es el correcto.
donde σx y σz son las correspondientes matrices de Pauli. Lo
interesante de este estado cuántico es que además satisface la
siguiente ecuación:
−σ x ⊗ σ x ⊗ σ x ψ = ψ ,
(4)
simplemente porque, en mecánica cuántica el producto de
los tres operadores que aparecen en (1)-(3), es el operador
que aparece en (4). Cada uno de mis amigos mide σx sobre
su qubit, si recibe saludos efusivos, o mide σz, si no son efusivos. Después, cada uno de ellos saluda efusivamente, si el
resultado de su medida es +1, o no tan efusivamente, si es –1.
Ingenioso.
2. Desigualdades de Bell y reducción
de la comunicación
Cualquier demostración del teorema de Bell puede convertirse en un problema de computación distribuida en el que
la comunicación clásica necesaria para resolverlo puede
reducirse si se dispone de entrelazamiento previo entre las
partes. Esto es cierto, tanto para las demostraciones del teorema de Bell sin desigualdades (como la de GHZ de la sección anterior), como para las demostraciones basadas en vio-
Figura 2. Problema de computación distribuida inspirado en la desigualdad de Bell-CHSH: Alicia y Bob reciben dos bits cada uno, e
intercambian sendos bits. El propósito es lograr la mayor probabilidad de que ambos acierten el valor de la función yA yB (–1)xA xB.
Una estrategia óptima sin usar entrelazamiento es la
siguiente: Tanto si Alicia recibe xA = 0 como si recibe xA = 1,
ella manda el valor sA = yA a Bob. Análogamente, tanto si
Bob recibe xB = 0 como si recibe xB = 1, él manda el valor
sB = yB a Alicia. Ambos dan sA sB como respuesta.
Es fácil ver que con esta estrategia, Alicia y Bob aciertan
el 75% de las veces; sólo fallan cuando xA = 1 y xB = 1.
Sin embargo, una estrategia óptima usando entrelazamiento es la siguiente: Inicialmente, Alicia y Bob comparten
pares de qubits preparados en el estado singlete
1
ψ− =
( 01 − 10 ).
(6)
2
Si Alicia recibe xA = 0, entonces mide A0 = σx en su qubit;
si recibe xA =1, mide A1 = σy. El resultado de esta medida es
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Temas de Física
rA ∈ {–1,1}. Si Bob recibe xB = 0, entonces mide B0 = –(σx +
σy)/√2 en su qubit. Si recibe xB = 1, mide B1 = (σy – σx)/√2.
El resultado de esta medida es rB.
Alicia manda el valor sA = yA rA a Bob. Bob manda el valor
sB = yB rB a Alicia. Ambos dan sAsB como respuesta.
Se puede comprobar que cuando xA = 0 y xB = 0, o cuando xA ≠ xB, Alicia y Bob aciertan si rA = rB, y se equivocan si
rA = –rB; cuando xA = 1 y xB = 1, aciertan si rA = –rB, y se
equivocan si rA = rB. Por tanto, usando este método basado
en entrelazamiento, la probabilidad de éxito es
1
Pf = [P ( A0 B0 = 1) + P ( A0B1 = 1)
4
(7)
+ P ( A1 B0 = 1) + P ( A1B1 = –1)]
1
1 
= 1 +
 ≈ 0,853.
(8)
2
2
Para ver la conexión entre este problema (y el correspondiente método para resolverlo usando entrelazamiento) y la
violación cuántica de desigualdad de Bell-CHSH,
−2 ≤ A0 B0 + A0 B1 + A1B0 − A1B1 ≤ 2,
(9)
basta con tener en cuenta que ⟨Ai Bj⟩ = P(Ai Bj = 1) – P(Ai Bj
= –1) y P(Ai Bj = 1) + P(Ai Bj = –1) = 1, con lo que
1 1
Pf = + ( A0 B0 + A0 B1 + A1 B0 − A1B1 ),
(10)
2 8
por lo que, teniendo en cuenta la desigualdad de Bell-CHSH
(9), si no se usa entrelazamiento,
1
3
≤ Pf ≤ .
(11)
4
4
3. Propuestas recientes para un experimento
de Bell sin escapatorias
Uno de los problemas pendientes más importantes de la
mecánica cuántica es hacer un experimento de Bell concluyente, un experimento sin escapatorias. Resulta curioso que,
43 años después del artículo original de Bell, todavía no se
haya conseguido hacer tal experimento. Los motivos por los
que es interesante el experimento son, por un lado, descartar
definitivamente la posibilidad de cualquier descripción realista local de la naturaleza y, por otro, demostrar experimentalmente la seguridad de una amplia familia de métodos
cuánticos de distribución de claves.
Existen dos problemas experimentales que hacen que
ninguno de los experimentos realizados hasta la fecha sea
concluyente. Por un lado, como decíamos antes, tenemos
que asegurarnos de que es físicamente imposible que la decisión de un observador pueda afectar el resultado de un experimento distante. La escapatoria de la localidad ocurre en
todos los experimentos en los que la distancia entre las mediciones locales es demasiado pequeña para descartar que se
esté produciendo algún tipo de comunicación a la velocidad
de la luz entre la elección de uno de los observadores y el
resultado de la medida de otro. Para evitar la escapatoria de
la localidad, debe existir una separación de género espacio.
Separar suficientemente átomos entrelazados o partículas
masivas entrelazadas es extremadamente dificil. Los fotones
de alta energía entrelazados en polarización no son adecuados porque para ellos no existen analizadores de polarización
apropiados. Los mejores candidatos para cerrar la escapatoREF Abril-Junio 2007
ria de la localidad son los fotones ópticos. Sin embargo,
hasta la fecha todos los experimentos con fotones ópticos
entrelazados tienen otra escapatoria, la escapatoria de la
detección. La ineficiencia de los detectores de fotones ópticos hace que todos los experimentos realizados sean compatibles con una descripción realista local. Por lo que sabemos,
en los experimentos con pares de fotones, harían falta detectores tales que la efficiencia total con la que detectamos los
fotones fuese superior al 67% (o incluso mayor del 75%,
dependiendo del nivel de ruido del experimento). Existen
detectores de fotones con una eficiencia cuántica de más del
90%, pero existen otras dificultades que hacen que, en la
práctica, la eficiencia total típica no llegue al 30%.
El trabajo más prometedor para eludir ambas escapatorias es el experimento que el grupo de Kwiat está montando
en Urbana (Illinois, EE.UU.) usando parejas de fotones (no
máximamente) entrelazados en polarización, producidos
mediante un proceso de conversión paramétrica descendente, y sobre los que se hacen medidas de polarización (separadas 60 m) usando una nueva generación de contadores de
fotones de luz visible que requieren bajísimas temperaturas
y permiten detectar más del 80% de los fotones.
Hay, además, otras propuestas recientes para eludir
ambas escapatorias simultáneamente. Una es usar pares
átomo-fotón entrelazados. La ventaja viene del hecho de que
la eficiencia total de detección de los átomos es del 100%,
por lo que la eficiencia total requerida para el fotón baja
hasta el 50%.
Otra propuesta, consiste en crear entrelazamiento entre
átomos distantes. Para conseguirlo, se preparan, en lugares
distantes, pares átomo-fotón entrelazados y, mediante una
medida sobre los fotones que vienen de ambos pares, se
induce un canje del entrelazamiento inicial desde los dos sistemas átomo-fotón a los sistemas fotón-fotón y átomoátomo.
Otra propuesta se basa en usar pares de fotones entrelazados no sólo en polarización sino también en momento y
una nueva familia de desigualdades de Bell basadas en la
idea original de Einstein, Podolsky y Rosen de elementos de
realidad. En [12] puede encontrarse una lista completa de
referencias sobre intentos recientes para realizar un experimento que demuestre de manera concluyente la imposibilidad
de descibir la naturaleza mediante teorías realistas locales.
Bibliografía
[1] L. VAIDMAN, Found. Phys. 29, 615 (1999).
[2] N. D. MERMIN, Phys. Today 43 (6), 9 (1990).
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Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, editado
por M. Kafatos (Kluwer Academic, Dordrecht, 1989), p. 69.
[4] G. BRASSARD, A. BROADBENT, Y A. TAPP, Found. Phys. 35, 1877 (2005).
[5] J. S. BELL, PHYSICS (Long Island City, NY) 1, 195 (1964).
[6] A. EINSTEIN, B. PODOLSKY, Y N. ROSEN, Phys. Rev. 47, 777 (1935).
[7] H. P. STAPP, Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis. 29B, 270 (1975).
[8] M. ZUKOWSKI, Stud. Hist. Philos. Mod. Phys. 36, 566 (2005).
[9] C. BRUKNER, M. ZUKOWSKI, J. W. PAN, Y A. ZEILINGER, Phys. Rev.
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[10] H. BUHRMAN, R. CLEVE, Y W. VAN DAM, SIAM J. Comput. 30, 1829
(2001).
[11] J. F. CLAUSER, M. A. HORNE, A. SHIMONY, Y R. A. HOLT, Phys. Rev.
Lett. 23, 880 (1969).
[12] A. CABELLO Y J.-Å. LARSSON, quant-ph/0701191.
Adán Cabello
está en el Dpto. de Física Aplicada II. Univ. de Sevilla
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