Probabilidad Conjunta

Unidad Nº 8
Teoría de Probabilidades
Esta unidad se mostrará varias reglas de probabilidad básica que pueden usarse para
evaluar la posible ocurrencia de diferentes fenómenos. Se analizarán tres diferentes
planteamientos para determinar probabilidades que len usarse en diferentes
situaciones. Después veremos cómo calcular una variedad de diferentes tipos de
probabilidades.
8.1 Teorías de Probabilidad
Probabilidad objetiva y subjetiva
¿Qué queremos decir con la palabra probabilidad? La probabilidad es la
posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular. Se podría referir a
1) La posibilidad de sacar una carta con figura negra de una baraja.
2) La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de la Encuesta sobre
la satisfacción de los empleados esté satisfecho con su trabajo.
3) La posibilidad que tenga éxito un nuevo producto en el mercado.
En cada uno de estos ejemplos, la probabilidad involucrada es una proporción
cuyo valor varía entre 0 y 1 exclusivamente. Observamos que un evento o tiene
posibilidad de ocurrir (es decir, el evento nulo) tiene una probabilidad de cero,
mientras que un evento que seguramente ocurrirá (es decir, el evento cierto) tiene una
probabilidad de uno.
Cada uno de los ejemplos anteriores se refiere a uno de los tres planteamientos
del tema de la probabilidad. El primero a menudo se denomina como el planteamiento
de la probabilidad clásica a priori. Aquí la probabilidad de éxito se basa en el
conocimiento anterior al proceso involucrado. En el caso más simple, cuando cada
resultado es igualmente posible, esta posibilidad de ocurrencia del evento puede
definirse de la siguiente manera:
Probabilidad de ocurrencia =
X / T
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Teoría de Probabilidades
1
X = número de resultados en los que ocurre el evento que buscamos
T = número total de resultados posibles
Por ejemplo se toma una baraja francesas estándar. Si queremos encontrar la
probabilidad de sacar una carta negra (donde definimos negro como "éxito") la
respuesta correcta sería 26/52 o 1/2, puesto que hay 26 cartas negras en una baraja
estándar.
¿Qué nos dice esta probabilidad? Si reemplazamos cada carta después de extraerla,
¿significa esto que una de las dos siguientes cartas seleccionadas será negra? No, por
el contrario, no podemos asegurar lo que sucederá en las siguientes selecciones. Sin
embargo, podemos decir que a largo plazo, si este proceso de selección se repite
continuamente, la proporción de cartas negras seleccionadas se acercará a 50.
En este primer ejemplo, el número de éxitos y el número de resultados se conocen a
partir de la composición de la baraja. Sin embargo, en el segundo planteamiento de
probabilidad, llamado el enfoque de probabilidad clásica empírica, aunque la
probabilidad se sigue definiendo como la proporción entre el número de resultados
favorables y el número total de resultados, estos resultados se basan en datos
observados, no en el conocimiento anterior a un proceso.
En nuestro segundo ejemplo, de la Encuesta sobre la satisfacción de los empleados, la
probabilidad de que un empleado esté satisfecho con su trabajo puede encontrarse
seleccionando una muestra aleatoria de empleados de la población completa.
Supongamos que de la Encuesta se seleccionó la muestra de 400 empleados. De
estos 400 empleados, 356 estaban satisfechos con su trabajo. Por consiguiente, la
probabilidad de que un empleado seleccionado aleatoriamente esté satisfecho con su
trabajo (es decir, la probabilidad de ocurrencia) es 356/400 ó 0.89.
El tercer planteamiento de probabilidad se denomina el enfoque de probabilidad
subjetiva. Mientras que en los dos anteriores enfoques la probabilidad de un evento
favorable se calculaba objetivamente, ya fuera de un conocimiento previo o de datos
reales, la probabilidad subjetiva se refiere a la posibilidad de ocurrencia asignada a un
evento por un individuo particular. Esta posibilidad puede ser bastante diferente de la
probabilidad subjetiva asignada por otro individuo. Por ejemplo, el inventor de un nuevo
juguete puede asignar una probabilidad muy diferente a la oportunidad de éxito del
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juguete que el presidente de la compañía que está considerando comercializar el
juguete. La asignación de probabilidades subjetivas a diversos eventos generalmente
se basa en una combinación de la experiencia del individuo, la opinión personal y el
análisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es especialmente útil para
la toma de decisiones en aquellas situaciones en que la probabilidad de diversos
eventos no puede determinarse empíricamente.
Conceptos de probabilidad básica
Espacios de muestras y eventos:
Los elementos básicos de la teoría de probabilidades son los resultados del
proceso o fenómenos bajo estudio. Cada tipo posible de ocurrencia se denomina un
evento.
Un evento simple puede describirse mediante una característica sencilla. La
compilación de todos los eventos posibles se llama el espacio muestral.
Podemos lograr una mejor comprensión de estos términos refiriéndonos a dos
ejemplos. Primero, examinemos la baraja estándar de 52 cartas de juego en la que hay
cuatro palos (espadas, corazones, tréboles y diamantes), cada uno de los cuales tiene
13 cartas diferentes (as, rey, reina, sota, 10,9,8,7, 6,5,4,3,2).
Si seleccionamos aleatoriamente una carta de la baraja
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea negra?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un as?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un as negro?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea negra o un as?
5. Si supiéramos que la carta seleccionada es negra, ¿cuál es la probabilidad de que
también sea un as?
Como segundo ejemplo, refirámonos a los datos recolectados en la Encuesta
sobre la satisfacción de los empleados analizada anteriormente. Suponga que de la
muestra total de 400 empleados, escogemos una sola persona aleatoriamente.
1. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado esté (muy o moderadamente) satisfecho
con su trabajo?
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2. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado haya "progresado" (rápido o
continuamente) en la organización?
3. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado esté satisfecho y haya "progresado" en la
organización?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado esté satisfecho o haya , "progresado"
en la organización ?
5. Suponga que sabemos que el empleado ha "progresado" en la organización. ¿Cuál
sería la probabilidad que el empleado esté satisfecho con su trabajo?
En el caso de la baraja, el espacio muestral consiste en toda la baraja de 52
cartas completado con varios eventos, dependiendo de cómo se clasifiquen. Por
ejemplo, si los eventos se clasifican por palo, hay cuatro eventos; espada, corazón,
trébol y diamante. Si los eventos se clasifican por valor de la carta, hay trece eventos:
as, rey, ...y 2. Por otra parte, de la Encuesta sobre la satisfacción de los empleados, el
espacio muestral se basa en las respuestas obtenidas de los 400 empleados. Los
eventos simples para las dos preguntas que aquí interesan son los siguientes:
1) Para la pregunta 4 referente a la satisfacción en el trabajo, existen cuatro eventos
simples: muy satisfecho, moderadamente satisfecho, un poco insatisfecho y muy
insatisfecho. Para nuestros propósitos en esta unidad, desglosaremos éstos en dos
eventos simples: (1) "satisfecho", que consiste en muy satisfecho y moderadamente
satisfecho, y (2) insatisfecho, que consiste en un poco insatisfecho y muy
insatisfecho.
2) Para la pregunta 5 referente al progreso, también existen cuatro eventos simples:
progreso rápido, progreso continuo, permanencia en el mismo nivel y pérdida de
cierto terreno. Para nuestros propósitos en esta unidad, los reduciremos a dos
eventos simples: (1) "progreso", que consiste en progreso rápido y progreso
continuo, y (2) "no progreso" , que consiste en permanencia en el mismo nivel y
pérdida de cierto terreno.
La manera en que se subdivide el espacio muestral depende de los tipos de
probabilidades que se han de determinar. Tomando esto en cuenta, resulta de interés
definir tanto el complemento de un evento como un evento conjunto de la siguiente
manera:
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El complemento del evento A incluye todos los eventos que no son parte del evento
A. Está dado por el símbolo A'.
El complemento del evento negro consistiría en todas las cartas que no fueron negras
(es decir, todas las cartas rojas). El complemento de espada contendría todas las
cartas que no fueran espadas (es decir, diamantes, corazones y tréboles). El
complemento de satisfecho con el trabajo es no satisfecho con el trabajo.
Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características.
El evento as negro es un evento conjunto, puesto que la carta debe ser negra y as para
calificar como as negro. De manera similar, el evento "el empleado está satisfecho y ha
progresado en la organización" es un evento conjunto, puesto que el empleado debe
estar satisfecho con el trabajo y también debe haber progresado en la organización.
Tablas de contingencias y diagramas deVenn
Existen varias formas en las que puede verse un espacio muestral particular. El
primer método implica asignar los eventos apropiados a una tabla de clasificaciones
cruzadas. Tal tabla también se denomina tabla de contingencias.
Si las dos variables de interés para el ejemplo de las cartas fueran "presencia
as" y "color de carta", la tabla de contingencias tendría el aspecto que muestra tabla
8.1.
Tabla 8.1 Tabla de contingencias para variables de color de carta.
Rojo
Negro
Totales
As
2
2
4
No As
24
24
48
Totales
26
26
52
Los valores de cada celda de la tabla se obtuvieron subdiviendo el espacio
muestral de 52 cartas de acuerdo con el número de ases y el color de la carta. Puede
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Teoría de Probabilidades
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observarse que si se conocen los totales de fila y columna (margen), sólo se necesita
una entrada de celda en esta tabla de 2 x 2 para obtener las entradas de las tres celdas
restantes.
La tabla de contingencias para los 400 empleados muestreados en industrias se
desarrolla utilizando un paquete de computadora para hacer una clasificación cruzada
de las dos variables de interés, la satisfacción en el trabajo y el progreso en la
organización. Los resultados con las categorías desglosadas en satisfecho y no
satisfecho y progreso y no progreso, se representa en la tabla 6.2.
Tabla 8.2 Tabla de contingencias para satisfacción con el trabajo y progreso en la
organización.
Avance
Satisfacción con el trabajo
Sí
No
Sí
194
162
356
No
14
30
44
208
192
400
Totales
Total
Una tabla de contingencias proporciona una clara presentación del número de
resultados posibles de las variables relevantes.
La segunda forma de presentar el espacio muestral es usando un diagrama de
Venn. Este diagrama representa gráficamente los diversos eventos como “uniones" e
"intersecciones" de círculos.
La figura 8.1 representa un diagrama de Venn típico para una situación de dos
variables, en donde cada variable tiene sólo dos eventos (A y A', B y B'). El círculo de la
izquierda (el más oscuro) representa todos los eventos que son parte de A. El círculo
de la derecha (el más claro) representa todos los eventos que son parte de B. El área
contenida dentro del círculo A y del círculo B (área central) es la intersección de A y B
(y se escribe A ∩ B), puesto que esta área es parte de A y también parte de B. El área
total de los dos circuitos es la unión de A y B (y se escribe A U B)
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Teoría de Probabilidades
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Figura 8.1 Diagrama de Venn para los eventos A y B.
y contiene todos los resultados que son parte del evento A, parte del evento B o parte
de ambos A y B. El área del diagrama fuera de A U B contiene aquellos resultados que
no son parte de A ni son parte de B.
Para desarrollar un diagrama de Venn, A y B deben estar definidos. No importa
que evento se define como A o B, siempre y cuando se sea consistentes en evaluar
diversos eventos.
Para el ejemplo del juego de cartas, los eventos pueden definirse de la siguiente
manera:
A = as
B = negra
A' =~ no as
B'= roja
Al trazar el diagrama de Venn (véase la figura 8.2), el valor de la intersección A y
B debe determinarse de manera que el espacio muestral pueda dividirse en sus partes.
A ∩ B consiste en todos los ases negros de la baraja (es decir, los dos resultados as de
espadas y as de tréboles).
Puesto que hay dos ases negros, lo restante del evento A (as) consiste en los
ases rojos (hay dos). Lo restante del evento B (cartas negras) consiste en todas las
cartas negras que no son ases (hay 24). Las cartas restantes son aquellas que no son
negras ni ases (también hay 24).
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Teoría de Probabilidades
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Figura 8.2 Diagrama de Venn para el ejemplo de la baraja.
Probabilidad (marginal) simple
Hasta aquí el desarrollo se ha concentrado en el significado de la probabilidad y
en definir e ilustrar varios espacios de muestra. Ahora comenzaremos a responder
algunas de las preguntas formuladas anteriormente, desarrollando reglas para obtener
distintos tipos de probabilidad.
La regla más evidente para las probabilidades es que deben variar en valor de
0 a 1. Un evento imposible tiene una probabilidad 0 de ocurrir, y un evento cierto tiene
una probabilidad 1 de ocurrir. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de
ocurrencia de un evento simple, P(A), como

La probabilidad de seleccionar una carta negra.

La probabilidad de seleccionar un as.

La probabilidad que el empleado esté satisfecho con su trabajo.

La probabilidad que el empleado haya progresado en la organización.
Ya hemos notado que la probabilidad de seleccionar una carta negra es 26/52 lo
1/2, puesto que hay 26 cartas negras en la baraja de 52 cartas.
¿Cómo encontraríamos la probabilidad de seleccionar un as de la baraja?
Hallaríamos el número de ases de la baraja sumando los ases negros y los ases rojos
de la baraja:
____________________________________________________________________
Teoría de Probabilidades
8
P(as) = número de ases en la baraja As
número de cartas en la baraja
= número de ases rojos + número de ases negros
total de número de cartas
= 2+2
= 4
52
52
La probabilidad simple también se denomina probabilidad marginal, puesto
que el número total de éxitos (ases en este caso) puede obtenerse del margen
apropiado de la tabla de contingencias (véase la tabla 8.1).
La probabilidad de un as, P(A), también podría obtenerse a partir del diagrama de Venn
(figura 8.2) observando el número de resultados contenidos en el círculo A. Hay cuatro:
dos contenidos en A ∩ B y dos fuera de A ∩ B. Esto, claro está, nos da el mismo
resultado que el análisis de la tabla de contingencias.
Probabilidad Conjunta
Mientras la probabilidad marginal se refiere a la ocurrencia de eventos simples,
la probabilidad conjunta se refiere a fenómenos que contienen do s o más eventos,
como la probabilidad de un as negro, una reina roja o un empleado que esté satisfecho
con el trabajo y haya progresado dentro de la organización.
Recuerde que un evento conjunto A y B significa que ambos eventos A y B
deben ocurrir simultáneamente. Si se observa la tabla 8.1, esas cartas que son negras
y ases consisten sólo en los resultados de la celda simple “as negro”. Como hay dos
ases negros, la probabilidad de escoger una carta que sea as negro es:
P (As negro) =
número de ases negros .
número de cartas en la baraja
= 2
52
Este resultado también puede obtenerse examinando el diagrama de Venn de la
figura 8.2. El evento conjunto A y B (as negro) consiste en la intersección (A ∩ B) de los
____________________________________________________________________
Teoría de Probabilidades
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eventos A (as) y B (negro), que contiene dos resultados. En consecuencia, la
probabilidad de un as negro es igual a 2/52.
La probabilidad de elegir un empleado que esté satisfecho con su trabajo y haya
progresado dentro de la organización se obtendría de la tabla 8.2 de la siguiente
manera:
P(satisfecho y ha progresado) = 194 = 0.485
400
puesto que hay 194 empleados que están satisfechos con su trabajo y han progresado
dentro de la organización.
Ahora que hemos analizado el concepto de probabilidad conjunta, la
probabilidad marginal de un evento particular puede verse de una manera alternativa.
Se ha mostrado que la probabilidad marginal de un evento consiste en un conjunto de
probabilidades conjuntas. Por ejemplo, si B consiste en dos eventos, B1 y B2, entonces
podemos observar que P(A), la probabilidad del evento A, consiste en la probabilidad
conjunta del evento A que ocurre con el evento B1 y la probabilidad conjunta del evento
A que ocurre con el evento B2. Por lo tanto, en general,
P(A) = P(A y Bl )+ P(A y B2) +... + P(A y Bk )
donde B1 , B2 ..., Bk
son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos.
Dos eventos son mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir al
mismo tiempo.
Dos eventos son colectivamente exhaustivos si uno de los eventos debe ocurrir.
Por ejemplo, ser hombre y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivos. Nadie es ambos (son mutuamente excluyentes) y todos
son uno u otro (son colectivamente exhaustivos).
Por consiguiente, regresando a nuestro primer ejemplo, la probabilidad de un as
puede expresarse de la siguiente manera:
P (As) = P ( As rojo) + P (As Negro)
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Teoría de Probabilidades
10
= 2
+ 2
52
=
52
4
52
Este es, claro está, el mismo resultado que obtendríamos si sumáramos el
número de resultados que constituyeron el evento simple “as”.
Axiomas. Teoremas
Definición: La probabilidad de un nuevo suceso A; P(A) es una función que a cada
elemento del espacio muestral le hace corresponder un n° real no negativo que cumple
con los siguientes axiomas:
1) P(A)  0 para todo suceso A
2) P (S) = 1
3) P (A  B) = P(A) + P(B)
AB=Ø
si
S
P
R  {0}
Aclaraciones: Las operaciones entre conjuntos son  ,  , complemento, etc. Las
operaciones entre probabilidades son +, - x, log, etc. Nunca:
P (A)  P(B) ; P(A) * P(B) √ P(A)
Teoremas derivados de los axiomas:
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Teoría de Probabilidades
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1)
P(Ac) = 1 – P(A)
P(S) = 1
P(A  Ac) = 1
P(A) +P(Ac) = 1
P (Ac) = 1 – P(A)
2) A y B son sucesos cualquiera:
P (A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
A
B
3)
P (Ø) = 0
S Ø=S
P(S) + P (Ø) = P(S)
1 + P (Ø) = 1
P(Ø) = 1 – 1 =
P(Ø) = 0
Reglas de Conteo
Cada regla de probabilidad que se ha expuesto ha involucrado el conteo del
número de resultados favorables y el número total de resultado. En muchas
oportunidades debido al gran número de posibilidades existentes, no es factible
____________________________________________________________________
Teoría de Probabilidades
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enumerar cada una de los resultados. A continuación se exponen diferentes reglas de
conteo.
Primero que nada, suponga que una moneda se ha lanzado al aire 10 veces,
¿Cómo determinaríamos el número de diferentes resultados posibles (las secuencias
de caras y cruces)?
Regla 1: Si cualquiera de K eventos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos puede ocurrir en cada uno de n intentos, el número de resultados posibles
es:
Kn
Si una moneda (con dos lados) se arroja 10 veces, el número de resultados es 210 =
1.024 Si un dado (con seis lados) se lanza dos veces, el número de resultados es 6 2 =
36. La segunda regla de conteo es una versión más general de la primera. Para ilustrar
esta regla, suponga que el número de eventos posibles es diferente en algunos de los
intentos. Por ejemplo, en la Dirección Provincial de vehículos automotores se desea
saber de cuántos números de placas policiales se dispondría si la placa consistiera en
tres letras seguidas de tres dígitos. El hecho que tres valores sean letras (cada una con
26 resultados posibles) y tres posiciones sean dígitos (cada uno con 10 resultados)
lleva a la segunda regla de conteo.
Regla de conteo 2: Si hay k, eventos del primer intento, k2 eventos del segundo intento
y Kn eventos del n ésimo intento, entonces el número de resultados posibles es
(K1) (K2) ... (Kn)
Por lo tanto, si una placa policial consistiera de tres letras seguidas de tres dígitos, el
número total de resultados posibles sería entonces (26)(26)(26)(10)(10)(10) =
17,576,000. Tomando otro ejemplo, si un menú de restaurante tuviera una cena
completa de precio fijo que consistiera en un aperitivo, entrada, bebida y postre y
hubiera la opción de cinco aperitivos, diez entradas, tres bebidas y seis postres, el
número total de cenas posibles sería (5) (10) (3) (6) = 900.
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Teoría de Probabilidades
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La tercera regla de conteo involucra el cálculo del número de formas en que un
conjunto de objetos puede ordenarse. Si un conjunto de seis libros de texto se tiene
que colocar sobre una repisa, ¿Cómo se puede determinar el número de formas en que
los seis libros pueden acomodarse? Se puede comenzar dándonos cuenta que
cualquiera de los seis libros podría ocupar la primera posición en la repisa. Una vez
que se llena la primera posición, hay cinco libros por escoger para llenar la segunda.
Este procedimiento de asignación se continúa hasta que se ocupen todas las
posiciones. Esta situación puede generalizarse como la regla de conteo 3.
Regla de conteo 3: El número de formas en que los n objetos pueden ordenarse
n! = n ( n – 1) ... (1)
donde n! se denomina n factorial y 0! se define como 1.
El número de formas en que los seis libros pueden ordenarse es
n! = 6! = (6) (5) (4) (3) (2) (1) = 720
En muchos casos necesitamos saber el número de formas en que un
subconjunto del grupo completo puede ordenarse. Cada arreglo posible se llama una
permutación. Por ejemplo, modificando el problema anterior, si se tienen seis libros de
texto, pero sólo hay espacio para cuatro libros en el estante, ¿ de cuántas formas se
pueden acomodar estos libros en el estante?
Regla de conteo 4: Permutaciones: El número de modos de ordenar X objetos
seleccionados de n objetos es
n!
(n! – X!)
Por lo tanto, el número de arreglos ordenados de cuatro libros seleccionados de seis
libros es igual a:
____________________________________________________________________
Teoría de Probabilidades
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n!
=
(n -X)!
6!
= 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 360
(6- 4)!
2!
(2)(1)
Finalmente, en muchas situaciones no estamos interesados en el orden de los
resultados, sino sólo en el número de formas en que X objetos pueden seleccionarse
de n objetos, sin tomar en cuenta el orden. Esta regla se llama de combinaciones.
Regla de conteo 5: Combinaciones: El número de modos de seleccionar X objetos de
n objetos, sin tomar en cuenta el orden, es igual a
n!
X! (n – X)!
Esta expresión puede denotarse mediante el símbolo
n
X
Comparando esta regla con la anterior, vemos que difiere sólo en la inclusión de
un término X! en el denominador. Esto se debe a que cuando contamos permutaciones,
todos los arreglos de X objetos eran distinguibles; con 1as combinaciones, los X!
arreglos posibles de objetos no son importantes. Así, el número de combinaciones de
cuatro libros seleccionados de seis libros se expresa mediante :
n!
=
6!
X! (n -X)! 4! (6- 4)!
= 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) =
4!2!
15
(4)(3)(2)(1)(2)(1)
Probabilidad condicional
Cada ejemplo que se ha estudiado hasta aquí en esta unidad ha involucrado
probabilidad de un evento particular al tomar una muestra del espacio muestral
____________________________________________________________________
Teoría de Probabilidades
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completo. Sin embargo, ¿cómo hallaríamos diversas probabilidades si ya conociera
cierta información respecto a los eventos involucrados? Por ejemplo, se nos hubiera
dicho que una carta era negra, ¿cuál sería la probabilidad que la carta fuera un as? O
si se nos hubiera dicho que un empleado ha progresado en la organización, ¿cuál sería
la probabilidad que estuviera satisfecho con el trabajo?
Cuando se está calculando la probabilidad de un evento particular A, dada
información sobre la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se denomina
probabilidad condicional, P(A\B) La probabilidad condicional P(A\B) puede definirse
de la siguiente manera:
P (A\B) = P ( A y B )
P (B)
donde
P(A y B) = probabilidad conjunta de A y B
P(B) = probabilidad marginal de B
En vez de usar la ecuación anterior para encontrar la probabilidad condicional,
podemos usar la tabla de contingencias o el diagrama de Venn. En el primer ejemplo,
deseamos encontrar P(as  negro). Aquí se da la información que la carta es negra. Por
lo tanto, el espacio de muestras no consiste en las 52 cartas de la baraja; consiste sólo
en las cartas negras. De las 26 cartas, dos son ases. Por consiguiente, la probabilidad
de un as, dado que sabemos que la carta es negra, es
P (as  negro) = número de ases negros = 2
número de cartas negras
26
Este resultado (2/26) también puede obtenerse usando la ecuación antes mecionada
de la siguiente manera:
Si
P (A  B) = P ( A y B )
P(B)
evento A = as
evento B = negro
Entonces
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Teoría de Probabilidades
16
P(as  negro)= 2 /52
26/52
= 2
26
A continuación el segundo ejemplo mencionado, determinar P(está satisfecho
con el trabajo  ha progresado en la organización). Puesto que la información dada es
que el empleado ha progresado en la organización, el espacio muestral se reduce a
esos 208 individuos. De esos 208 empleados, de la tabla 8.2 podemos observar que
194 están satisfechos con el trabajo. Por lo tanto, la probabilidad de que un empleado
esté satisfecho trabajo, dado que ha progresado en la organización, puede calcularse
de te manera:
número de empleados
que están satisfechos con su
P ( están satisfechos  Han progresado ) =
trabajo y han progresado
número de empleados que ha
progresado con la organización
= 194
208
Nuevamente, la ecuación proporcionaría la misma respuesta, de la siguiente
manera:
P(A yB) = P(A y B)
P(B)
evento A = está satisfecho con el trabajo
evento B = ha progresado en la organización
P (está satisfecho  ha progresado) = P (está satisfecho y ha progresado)
P (ha progresado)
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Teoría de Probabilidades
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= 194/400
208/400
= 194 / 208

Árboles de decisión
En la tabla 8.2, los empleados se clasificaron según su
satisfacción con el trabajo y también de acuerdo a si progresaron o no en la
organización. Una forma alternativa de ver la descomposición de las posibilidades
en cuatro celdas es a través del uso de un árbol de .La figura 8.3 consiste en un
árbol de decisión para estos datos.
Figura 8.3 Arbol de decisión para los datos de la tabla 8.2.
En la figura 8.3 comenzando a la izquierda con todo el conjunto de empleados, hay dos
"ramas" relativas a si un empleado está satisfecho o no con el trabajo. Cada una de
estas ramas tiene tiene dos subramas, correspondientes a si un empleado ha
progresado o no en la organización. Las probabilidades colocadas al final de las ramas
iniciales representan las probabilidades marginales de A [es decir, P (A)] y A` [es decir,
, P(A` )]y las probabilidades al final de cada una de las cuatro subramas representan la
probabilidad conjunta para una combinación de los eventos A y B. La probabilidad
condicional puede obtenerse dividiendo la probabilidad conjunta de interés entre la
probabilidad marginal apropiada.
____________________________________________________________________
Teoría de Probabilidades
18
Por ejemplo, para obtener P (está satisfecho con el trabajo  ha progresado en la
organización) se tomaría P (está satisfecho con el trabajo y ha progresado en la
organización) y la dividiríamos entre P(ha progresado en la organización) De la figura
8.3 tendríamos
P ( A B ) = P ( A y B )
P (B)
P (están satisfechos  han progresado) = 194/400
208/400
= 194 / 208
Observe que el denominador, P(B), es la suma de las probabilidades de los dos
eventos conjuntos apropiados, P(A y B) + P(A' y B), la probabilidad de satisfecho con el
trabajo y haber progresado en la organización más la probabilidad de no estar
satisfecho con el trabajo y haber progresado en la organización.
Independencia estadística : En el primer ejemplo, se observa que la probabilidad que
la carta elegida sea un as, dado que sabemos que es negra, es 2/26. Tal vez
recordemos que la probabilidad de sacar un as de la baraja, P (as), era 4/52, lo que
reduce a 2/26. Este resultado revela alguna información importante. El conocimiento
previo de que la carta era negra no afectó la probabilidad de que la carta fuera un as.
Esta característica se denomina independencia estadística y puede definirse de la
siguiente manera>
P(A  B) = P(A)
donde
P(A  B) = Probabilidad condicional de A dado B
P (A) = probabilidad marginal de A
Así se puede observar que dos eventos A y B son estadísticamente independientes si y
sólo si P (A  B) = P (A). En una tabla de contingencias de 2 x 2, una vez que esto se
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Teoría de Probabilidades
19
cumple para una combinación de A y B, será cierto para todas las demás. Aquí el "color
de la carta"
y
"ser un as" son eventos estadísticamente independientes. El
conocimiento de un evento no afecta de ninguna manera la probabilidad del segundo
evento.
También se podría determinar si estar satisfecho con el trabajo es independiente
de haber progresado en la organización. La proporción de estos empleados que están
satisfechos con el trabajo, dado que han progresado en la organización es
194/208=0.933 y la proporción de todos los empleados que están satisfechos con el
trabajo es 356/400=0.89. Este resultado revela cierta información importante: el
conocimiento del progreso en la organización afectó ligeramente la predicción de la
satisfacción con el trabajo. Por lo tanto, desde una perspectiva estadística podemos
establecer que estos dos eventos pueden considerarse como asociados de alguna
manera, es decir, no independientes. La proporción de empleados satisfechos con su
trabajo no es precisamente la misma cuando éstos avanzan en la organización.
Regla de multiplicación
La fórmula para la probabilidad condicional puede manipularse algebraicamente
de forma tal que la probabilidad conjunta P(A yB) pueda determinarse a partir de la
probabilidad condicional de un evento. Usando la ecuación
P(A  B)= P (A y B)
P(B)
y resolviendo para la probabilidad conjunta P(A yB), tenemos la regla general de la
multiplicación:
P ( A y B ) = P (A  B) P (B)
Para demostrar el uso de esta regla de la multiplicación se verá un ejemplo. Suponga
que 20 marcadores se exhiben en una papelería. Seis son rojos y 14 son azules.
Debemos seleccionar dos marcadores aleatoriamente del conjunto de 20. ¿Cuál es la
probabilidad que los dos marcadores seleccionados sean rojos? Aquí la regla de la
multiplicación puede usarse de la siguiente manera:
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Teoría de Probabilidades
20
P (A y B) = P(A I B) P(E)
Por lo tanto, si
AR = segundo marcador elegido es rojo BR = primer marcador elegido es rojo
tenemos
P (AR y BR) = P (AR y BR) P (BR)
La probabilidad que el primer marcador sea rojo es 6/20, puesto que 6 de los 20
marcadores son rojos. Sin embargo, la probabilidad que el segundo marcador sea
también rojo depende del resultado de la primera selección. Si el primer marcador no
se regresa al aparador después de determinar su color (muestreando sin reemplazo),
entonces el número de marcadores restantes serán 19. Si el primer marcador es rojo,
la probabilidad que el segundo también sea rojo 5/19, puesto que 5 marcadores rojos
continúan en el aparador. Por lo tanto, al usar la ecuación última, tenemos lo siguiente:
P (AR y BR) = 5
6
19
20
= 30 = 0.079
380
Sin embargo, ¿qué sucede si el primer marcador seleccionado se regresa al ..r
después de determinar su color? Entonces la probabilidad de elegir un marcador rojo
en la segunda selección es la misma que en la primera selección (muestrear con
reemplazo), puesto que hay 6 marcadores rojos de 20 en el aparador. Por lo tanto,
tenemos lo siguiente:
P (AR y BR) = P (AR  BR) P (BR)
=
6
20
= 36
6
20
= 0 .09
400
Este ejemplo de muestreo con reemplazo ilustra que la segunda selección es
independiente de la primera, puesto que la segunda probabilidad no estuvo influida por
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Teoría de Probabilidades
21
la primera selección. Así pues, la regla de la multiplicación para eventos
independientes puede expresarse de la siguiente manera [sustituyendo P(A) por P(A I
B)]:
P(A y B) =P(A) P(B)
Si esta regla se cumple para dos eventos, A y B, entonces A y B son estadísticamente
independientes. Por lo tanto, hay dos formas de determinar la independencia
estadística.
1. Los eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si P(A I B) =P (A)..
2. Los eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si P(AyB)=P(A)
P(B).
Debe observarse que para una tabla de contingencias de 2 x 2, si esto se
cumple para un evento conjunto, se cumplirá para todos los eventos conjuntos. Por
ejemplo, si la probabilidad que una carta sea un as es independiente de que sea negra,
entonces la probabilidad que sea un as es independiente de que sea roja, la
probabilidad que no sea un as es independiente de que sea negra y la probabilidad que
no sea un as es independiente de que sea roja.
Ahora que hemos analizado la regla de la multiplicación, podemos escribir la fórmula
para la probabilidad marginal de la siguiente manera. Si
P(A) = P (A y B1) + P (A y B2)+ ...+ P (A yBk)
entonces, usando la regla de la multiplicación, tenemos
P(A) = P (A  B1) P (B1) + P (A  B2) P (B2)+ ...+ P (A  Bk) P(Bk)
donde B1, B2
...
Bk
son k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos.
Se puede ejemplificar esta fórmula refiriéndonos a la tabla 8.1 usando la ecuación
anterior podemos calcular la probabilidad de un as de la siguiente manera:
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Teoría de Probabilidades
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P(A) = P (A  B1) P (B1) + P (A  B2) P (B2)
= 2
26
= 2
52
+
26 +
2
26
52
26
52
2
52
= 4
52
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Teoría de Probabilidades
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