The thermodynamic meaning of negative entropy

(Recuperado
de:
http://www.nature.com/nature/journal/v474/n7349/full/nature10123.html?WT.ec_id
=NATURE-20110602, el 2 de Junio de 2011)
The thermodynamic meaning of negative
entropy
Lídia del Rio, Johan Åberg, Renato Renner, Oscar Dahlsten & Vlatko Vedral
Nature 474, 61–63 (02 June 2011) doi:10.1038/nature10123
Received 24 November 2010 Accepted 18 April 2011 Published online 01 June 2011
The heat generated by computations is not only an obstacle to circuit miniaturization
but also a fundamental aspect of the relationship between information theory and
thermodynamics. In principle, reversible operations may be performed at no energy
cost; given that irreversible computations can always be decomposed into reversible
operations followed by the erasure of data1, 2, the problem of calculating their energy
cost is reduced to the study of erasure. Landauer’s principle states that the erasure of
data stored in a system has an inherent work cost and therefore dissipates heat3, 4, 5, 6, 7,
8
. However, this consideration assumes that the information about the system to be
erased is classical, and does not extend to the general case where an observer may
have quantum information about the system to be erased, for instance by means of a
quantum memory entangled with the system. Here we show that the standard
formulation and implications of Landauer’s principle are no longer valid in the
presence of quantum information. Our main result is that the work cost of erasure is
determined by the entropy of the system, conditioned on the quantum information an
observer has about it. In other words, the more an observer knows about the system,
the less it costs to erase it. This result gives a direct thermodynamic significance to
conditional entropies, originally introduced in information theory. Furthermore, it
provides new bounds on the heat generation of computations: because conditional
entropies can become negative in the quantum case, an observer who is strongly
correlated with a system may gain work while erasing it, thereby cooling the
environment.
‘Erasure’ of a system is defined as taking it to a pre-defined pure state, |0 (a familiar
example is disk formatting, where a sequence of zero bits is written onto the disk).
Landauer’s principle asserts that the energy dissipated to erase a system, S, using an
optimal process in an environment of temperature T is given by
where k is the Boltzmann constant3, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Here the von Neumann entropy, H(S) =
−Tr[ρlog2(ρ)], quantifies the uncertainty about system S, whose state is described by ρ.
Different observers may have different knowledge about the same system. For instance, an
observer, Alice, can prepare n quantum bits (qubits; for example n spin-1/2 particles) in a
pure state of her choice, keeping a record of that state. However, from the point of view of
another observer, Bob, who does not have access to Alice’s record, the state of the system
is completely unknown: he describes it as a fully mixed state, of maximal entropy. Hence,
rather than W(S) being defined as the ‘cost of erasure’, it may be described as the ‘cost of
erasure for observer C’, which we denote by W(S|C). This leads to the following
reformulation of equation (1), where H(S|C) denotes the uncertainty that observer C has
about system S:
Typically, the observer C is assumed to be classical. More explicitly, classical observers
represent their information about S in a memory that consists of classical bits (as in the case
of Alice and Bob above). Our contribution is to go beyond this classical picture and
consider observers who may have access to information that is represented as the state of a
quantum system: a quantum memory. As an example, we could imagine a third observer,
Quasimodo, who has a memory that includes n qubits, each maximally entangled with a
particle of S.
Our main result characterizes the work, W(S|Q), that an observer with access to a quantum
memory, Q, needs to perform to erase system S. For simplicity, we formulate it here for a
special case, which could be referred to as a ‘thermodynamic limit’ of erasure, where the
observer erases many identical copies of S jointly. In this case, we show that there exists an
erasure process whose work cost does not exceed
per copy of S. Here H(S|Q) is the conditional von Neumann entropy, H(S|Q) =
H(SQ) − H(Q). We show that this work cost is optimal, under the assumption that
Landauer’s principle holds for a classical observer (Methods Summary). In its general
form, our main result (Theorem 1 in Methods Summary) includes the more natural case
where a single set of data, rather than a collection of identical copies, is to be erased.
Crucially, we require that the information stored in Q be preserved by the erasure process—
a non-trivial condition, given that accessing a quantum memory can in principle change it.
This information-preservation property is particularly important if we consider the erasure
process to be part of a larger procedure (see, for instance, Fig. 1). For example, suppose
that we erase system S and later would like to erase another system, Z. If the erasure of S
removed the information about Z, erasing Z could become unnecessarily costly. More
generally, we can consider a reference system, R, that models all other systems about which
the memory can have information (technically, R is a purification of Q and S). The
information-preservation condition can then be formulated as the requirement that the joint
state of the memory and the reference system, ρQR, be preserved by the erasure process (see
also Fig. 2).
Figure 1: Erasure in quantum computation.
As an example, we consider the period-finding algorithm for a function f, used in the
quantum part of Shor’s factoring algorithm. (1) Initially the algorithm evaluates f on a
superposition of all inputs, x, creating an entangled state between two registers, X and F
(this is done with a unitary transformation, Uf, on the two registers). Given statistical
knowledge about the properties of f, it is possible to find highly correlated subsystems of X
and F (in blue). (2a) The second part of the algorithm consists only of local operations on X
(a unitary transformation, UX, followed by a measurement; the final state of X is
).
(3a) Usually F is erased at the end of the algorithm, when correlations between X and F
have been destroyed. (2b) Instead, it is possible to erase F while it is still partly entangled
with X, using the correlations (in blue) to decrease the work cost of the erasure. If the
erasure can be performed in a computationally efficient manner, it may be incorporated in
the algorithm. (3b) The information-preservation condition ensures that the rest of the
algorithm is not affected by the early erasure. For a concrete example and further
discussion, see Supplementary Information, section V.
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Figure 2: Erasure setting.
An observer, here represented by a machine with a quantum memory, Q, erases a system, S.
All memory contents about a reference system must be preserved. We assume that the
initial Hamiltonian of S and Q is fully degenerate (for example like that of paramagnets in a
zero magnetic field). We use a simple model for erasure, with the following options. a, The
observer may couple S to a heat bath at temperature T; the bath thermalizes S, leaving it in a
Gibbs state. b, The observer may manipulate S and Q, by (1) applying unitary operations to
those systems, and (2) raising or lowering any energy levels of their Hamiltonian (for
example by tuning a magnetic field). By raising or lowering an occupied level by ΔE, the
observer uses or, respectively, gains energy ΔE; empty levels can be changed at no energy
cost. c, The observer may store energy in and withdraw it from a battery.
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The generalization of erasure to the quantum case exposes features not present in a classical
setting. In particular, equation (3) implies that the work required for erasure may be
negative for an observer with a quantum memory: the process results in a net gain of work.
This happens because the uncertainty H(S|Q) can become negative for quantum observers.
For instance, Quasimodo’s conditional von Neumann entropy is H(S|Q) = 0 − n (because
the joint state of S and Q is pure and the reduced state of the memory, Q, is fully mixed).
Our result provides a thermodynamic operational meaning for negative conditional
entropies, which until now only had information-theoretical interpretations; for instance,
they measure the entanglement needed to send a state to a receiver with side information14
(state merging), and quantify ‘violations’ of Heisenberg’s uncertainty principle15.
The proof of equation (3) uses a probabilistic method to find appropriate erasure
procedures. In the simple examples of our three observers, Alice, Bob and Quasimodo, we
can describe them explicitly. Alice, who holds a classical description of the pure state of S,
has no uncertainty about the system: H(S|A) = 0. As expected, she does not need to do any
work to erase S: she may consult her record to check the state of S and change it to |0 with
a reversible transformation (Fig. 3).
Figure 3: Erasure of a pure state.
The circles represent the energy eigenstates of system S, and a filled circle means that the
system can be found in that state with certainty. a, Alice knows that the system is in a
particular pure state. b, She performs a unitary transformation, U, that swaps that state with
|0 . If the Hamiltonian of S is degenerate, this operation has no energy cost.
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Bob, however, has no access to Alice’s record and, so, has maximal uncertainty: H(S|B) =
n. He can perform a simple erasure process10, 11 that lets the system interact with a heat bath
at temperature T (Fig. 4). The work cost of this process is nkTln(2).
Figure 4: Erasure of a fully mixed state and work extraction.
a, Initially, S is in a fully mixed state. b, Keeping one energy level untouched, Bob raises
all other levels in small steps, letting S thermalize after each step. As these levels are raised
it is more likely to find S in the untouched level. c, Bob decouples S from the bath and
lowers all states back to the original level, in one single step. The work cost of the whole
process in the quasistatic limit is kTln(2) per qubit. By running this process in reverse, we
obtain a work-extraction procedure, which given an initial pure state yields an energy gain
of kTln(2) per qubit, at the cost of leaving the state maximally mixed.
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Turning now to Quasimodo, recall that his memory contains n qubits maximally entangled
with S. We call this part of his memory Q1 and denote the entangled state |SQ1 . In
addition, the rest of his memory, Q2, is correlated with a reference system, R, in state |Q2R .
To erase S, Quasimodo combines two elementary procedures: the erasure process used by
Bob, and its reverse, a ‘work-extraction’ process, whereby he transforms an initially pure
state into a maximally mixed state, gaining energy kTln(2) per qubit (Fig. 4). He starts by
performing the elementary work extraction on the 2n-qubit state |SQ1 to gain energy
2nkTln(2), leaving S and Q1 maximally mixed. Then he performs the elementary erasure
process on S, which costs him nkTln(2) in energy. In total, his energy gain is nkTln(2),
matching the prediction of equation (3). The final state of Quasimodo’s memory and the
reference is
, where 2−n1Q1 is the fully mixed state on Q1. This
is precisely the initial state of QR, because the original state of Q1S had a fully mixed
marginal in Q1—the information-preservation condition is therefore satisfied.
In general, correlations between S and the memory are not as neat as for Quasimodo.
Nevertheless, this special example contains the essence of the general case. Using
decoupling results16, we show that, independently of the exact form of the correlations
between S and Q, it is possible to find a subsystem of S and Q that is (approximately) in a
pure state. This pure subsystem furthermore has a special structure that allows us to extract
work from it, thus replacing it with a maximally mixed state, without changing the state of
the memory and the reference (Fig. 5). The size of the pure state found and, therefore, the
work gained depends on the entropy of S conditioned on the information held by the
quantum memory (see Supplementary Information, section I, for a formal proof). In its
general single-shot form, the erasure procedure we introduce has a failure probability that
can be made arbitrarily small, at the cost of increasing the work performed by an additive
term (Theorem 1 in Methods Summary; non-deterministic work extraction has been
discussed before for classical observers17).
Figure 5: General erasure procedure.
The erasure proceeds in three steps. First we find a subsystem, S1, that is decoupled from
the reference; the reduced state of S1 is approximately fully mixed16. The size of S1 is
limited by the correlations between S and the reference. These are weak if S is highly
correlated with Q (because the global state is pure28), such that
log2(|S1|) ≈ [log2(|S|) − H(S|Q)]/2. Because S1 is decoupled from the reference, it is purified
by a subsystem, P, of
. The state of
is maximally entangled. Then we extract
work from the pure state of
, gaining energy 2log2(|S1|)kTln(2). The reduced state of
P, originally fully mixed, is preserved by this process. Finally we erase S, performing work
log2(|S|)kTln(2). The total work cost of the process is approximately H(S|Q)kTln(2). See
Supplementary Information for details.
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Figures index
The erasure processes contemplated in this work require considerable control over the
quantum systems involved, and it may not be clear why such idealizations are interesting.
As an analogy we can think of the Carnot cycle. Although the ideal performance of a
Carnot engine may be an unattainable limit in practice, it nevertheless provides the
theoretical foundation for the behaviour of real heat engines. In a similar spirit, our
investigation bounds the ideal minimum work cost for the implementation of irreversible
processes.
Such arguments are particularly relevant to the study of heat generation in computation, one
of the major obstacles to the miniaturization of circuitry. Computation can in principle be
made reversible, but at the expense of keeping extra data in a memory1, 2. A part of that
memory may then be erased, keeping the rest intact. Naively, the work cost of that
operation, and the corresponding heat generation, would be given solely by the entropy of
the part to be erased. However, our analysis shows that erasure can be optimized if
information stored in other parts of the memory is used (Fig. 1).
The correspondence between conditional entropy and work that we found can also be used
to quantify quantum correlations18. More precisely, because an energy gain in erasure relies
on entanglement between the system and the memory, an erasure process with negative
work cost can serve as an entanglement witness19. Similarly, our work is related to
discord20, 21, 22, 23. Our results suggest that discord can quantify the difference between the
respective work costs of erasure using quantum and classical memories24. Because our
relation is valid for a single instance of erasure, it may be used to obtain a single-shot
generalization of discord.
In this work, we have used information-theoretical tools, such as decoupling14, 16, 25, to
prove a physical result. It is also possible to translate thermodynamic statements into
information-theoretical ones. For instance, the work required to erase a system S cannot be
reduced by locally processing information about S (see Supplementary Information,
Lemma I.6). Using our results, we can infer that the conditional entropy H(S|Q) cannot
decrease under local operations on Q, which is a fundamental result in information theory
known as the data processing inequality. In general, we expect our results to strengthen the
link between information theory and statistical physics.
Methods
Main
Methods
References
Acknowledgements
Author information
Supplementary information
Comments
Here we characterize a single instance of erasure. The work cost of erasure, W(S|Q), is a
random variable and may fluctuate. Our main result is an upper bound for W(S|Q) that is
violated only with a very small probability. This we state as Theorem 1: there exists a
process to erase a system S, conditioned on memory Q, at temperature T, whose work cost
satisfies
except with probability less than
for all Δ ≥ 0 and all ε ≥ 0.
The quantity
denotes the smooth max-entropy of system S conditioned on the
quantum memory, Q, and is a single-shot generalization of the von Neumann entropy26
(Supplementary Information, section II).
We can fix δ and then adjust ε to minimize the work cost. For instance, if we allow a
probability of failure of 3%, we pay an extra price of Δ ≈ 20 in the total work cost,
independently of the size of S.
The proof of Theorem 1 is sketched in Fig. 5 and can be found in Supplementary
Information, section I.
To understand the exact meaning of equation (3), we consider a ‘thermodynamic limit’ of
erasure, where a large collection of independent and identical copies of the system is
erased. We define the ‘work cost rate’ as the average
for an
optimal erasure process, in the limit of large n (Supplementary Information, Definition I.3).
A result from information theory, the quantum asymptotic equipartition property27, asserts
that the smooth max-entropy converges to the von Neumann entropy for many identical
copies of the state (Supplementary Information, section II.B). Combining Theorem 1 with
the asymptotic equipartition property, we find that there exists an erasure process such that
≤
; hence, the average work cost never exceeds W(S|Q) =
H(S|Q)kTln(2). Furthermore, if we assume that Landauer’s principle holds for a classical
observer (equation (2)), we can show that the quantum bound is tight in this limit
(Supplementary Information, Lemma I.5).
El sentido termodinámico de la entropía
negativa
Lídia del Rio, Johan Åberg, Renato Renner, Oscar Dahlsten & Vlatko Vedral
Nature 474, 61–63 (02 June 2011) doi:10.1038/nature10123
Received 24 November 2010 Accepted 18 April 2011 Published online 01 June
2011
El calor generado por los cálculos no sólo es un obstáculo a la miniaturización de circuitos,
sino también un aspecto fundamental de la relación entre la teoría de la información y la
termodinámica. En principio, las operaciones reversibles se pueden realizar sin costo de
energía, teniendo en cuenta que los cálculos irreversible, siempre se puede descomponer en
operaciones reversibles seguido por el borrado de los datos de uno , dos , el problema del
cálculo de su costo de energía se reduce al estudio de la supresión. el principio de los
estados Landauer que la supresión de los datos almacenados en un sistema tiene un costo de
trabajo inherente y por lo tanto disipa el calor 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 . Sin embargo, esta
consideración supone que la información sobre el sistema que desee borrar clásica, y no se
extiende al caso general en donde un observador puede tener la información cuántica sobre
el sistema que desea borrar, por ejemplo por medio de una memoria cuántica enreda con la
del sistema. Aquí se muestra que la formulación estándar y las implicaciones de los
principio de Landauer ya no son válidos en presencia de la información cuántica. Nuestro
resultado principal es que el costo de trabajo de borrado está determinada por la entropía
del sistema, la condición de que la información cuántica de un observador tiene alrededor
de él. En otras palabras, más un observador sabe sobre el sistema, menos costos para
borrarlo. Este resultado da una importancia particular a la termodinámica entropías
condicionales, que se instituyó en teoría de la información. Además, proporciona nuevos
límites en la generación de calor de los cálculos: porque entropías condicionales pueden
llegar a ser negativa en el caso cuántico, un observador que está fuertemente correlacionada
con un sistema de trabajo puede ganar mientras que el borrado, lo que enfría el ambiente.
"Erasure" de un sistema se define como llevarlo a un estado puro predefinidas, | 0 (Un
ejemplo conocido es el formato de disco, donde de cero bits se escribe una secuencia en el
disco). el principio de Landauer afirma que la energía disipada para borrar un sistema, S ,
mediante un proceso óptimo en un entorno de temperatura T viene dada por
donde k es la constante de Boltzmann 3 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 . Aquí la entropía de von
Neumann, H ( S ) =- tr [ ρ registro de dos ( ρ ) ] , cuantifica la incertidumbre sobre el
sistema S , el estado de la manguera es descrito por ρ .
observadores diferentes pueden tener diferentes conocimientos sobre el sistema mismo. Por
ejemplo, un observador, Alice, puede preparar n bits cuánticos (qubits, por ejemplo n espín1 / 2 partículas) en un estado puro de su elección, manteniendo un registro de ese estado.
Sin embargo, desde el punto de vista de otro observador, Bob, que no tiene acceso a los
registros de Alice, el estado del sistema es completamente desconocido: él lo describe como
un estado completamente mezclado, de la entropía máxima. Por lo tanto, en lugar de W ( S )
se define como el «coste de la eliminación, puede ser descrito como el« coste de la
supresión de observador C ', que denotamos por W ( S | C ). Esto lleva a una nueva
redacción de la ecuación (1), donde H ( S | C ) denota la incertidumbre que observador C
tiene sobre el sistema S :
Por lo general, el observador C se supone que es clásica. Más explícitamente, los
observadores clásica representar a su información acerca de S en una memoria que consiste
en bits clásicos (como en el caso de Alice y Bob arriba). Nuestra contribución es ir más allá
de esta imagen clásica y observadores consideran que pueden tener acceso a la información
que se representa como el estado de un sistema cuántico: una memoria cuántica. A modo de
ejemplo, podríamos imaginar un tercer observador, Quasimodo, que tiene una memoria que
incluya n qubits, cada uno al máximo enreda con una partícula de S .
Nuestro principal resultado caracteriza el trabajo, W ( S | Q ), que un observador con acceso
a una memoria cuántica, Q , necesita realizar para borrar del sistema S . Para simplificar, se
formulan aquí para un caso especial, lo que podría ser denominado un "límite
termodinámico" de borrado, donde el observador se borran muchas copias idénticas de S en
forma conjunta. En este caso, se muestra que existe un proceso de borrado, cuyo trabajo no
sea superior al coste
por copia de S . Aquí H ( S | Q ) es la entropía condicional von Neumann, H ( S | Q ) = H (
cuadrados ) - H ( Q ). Se demuestra que este trabajo es la optimización de costes, en el
supuesto de que el Principio de Landauer es válido para un observador clásica (Resumen de
los métodos). En su forma general, nuestro principal resultado (Teorema 1 de MÉTODOS
Resumen) incluye el caso más naturales en un solo conjunto de datos, en lugar de una
colección de copias idénticas, es que desea borrar.
Fundamentalmente, es necesario que la información almacenada en Q ser preservado por el
proceso de borrado, una condición no trivial, dado que el acceso a una memoria cuántica
puede, en principio, el cambio. Esta propiedad de conservación de información es
especialmente importante si tenemos en cuenta el proceso de borrado para ser parte de un
procedimiento mayor (véase, por ejemplo, la Fig. 1. ). Por ejemplo, supongamos que
borramos del sistema S , y más tarde como para borrar otro sistema, Z . Si la supresión de S
elimina la información sobre Z , borrado Z podría llegar a ser innecesariamente costosa. De
manera más general, podemos considerar un sistema de referencia, R , que los modelos de
todos los demás sistemas sobre los que la memoria puede tener información (técnicamente,
R es una purificación de Q y S ). El estado de conservación información puede ser
formulado como el requisito de que el estado común de la memoria y el sistema de
referencia, ρ QR , ser preservado por el proceso de borrado (véase también la fig. 2 ).
Figura 1: Erasure en computación cuántica.
A modo de ejemplo, consideramos que el algoritmo de búsqueda de ese período de una
función f , que se utiliza en la parte cuántica de factoraje algoritmo de Shor. (1)
Inicialmente el algoritmo evalúa f en una superposición de todas las entradas, x , la creación
de un estado entrelazado entre dos registros, X y F (esto se hace con una transformación
unitaria, U f , en los dos registros). Teniendo en cuenta los datos estadísticos sobre las
propiedades de f , es posible encontrar correlación altamente subsistemas de X y F (en
azul). (2 bis) La segunda parte del algoritmo consiste únicamente en las operaciones locales
de X (una transformación unitaria, U X , seguida de una medición, el estado final de X es
). (3 bis) Por lo general, F se borran al final del algoritmo, cuando la correlación
entre X y F han sido destruidos. (2b) En cambio, es posible borrar F , mientras que sigue
siendo parte enreda con X , utilizando las correlaciones (en azul) para disminuir el costo de
trabajo de la supresión. Si la cancelación se puede realizar en una eficiente forma de
cómputo, puede ser incorporado en el algoritmo. (3b) El estado de conservación de
información asegura que el resto del algoritmo no se ve afectada por la cancelación
anticipada. Para un ejemplo concreto y la discusión, véase la información complementaria ,
la sección V.
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Las cifras de índice
La siguiente figura
Figura 2: configuración de Erasure.
Un observador, aquí representado por una máquina con una memoria cuántica, Q , borra de
un sistema, S . Todos los contenidos de la memoria de un sistema de referencia debe ser
preservado. Suponemos que el Hamiltoniano inicial de S y Q es totalmente degenerado (por
ejemplo como el de paramagnetos en un campo magnético cero). Utilizamos un modelo
simple de eliminación, con las siguientes opciones. uno , el observador puede par S a un
baño de calor a temperatura T , el baño thermalizes S , dejándolo en un estado de Gibbs. b ,
el observador puede manipular S y Q , por (1) la aplicación de operaciones unitarias de los
sistemas, y (2) levantar y bajar los niveles de energía que ninguna de sus hamiltoniano (por
ejemplo el ajuste de un campo magnético). Al subir o bajar un nivel ocupado por Δ E , el
observador utiliza o, respectivamente, las ganancias de la energía Δ E , los niveles de vacío
puede ser cambiado sin costo de energía. c , El observador puede almacenar energía y para
retirarlo de una batería.
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la figura anterior
Las cifras de índice
La siguiente figura
La generalización de la supresión en el caso cuántica expone características no presentes en
un entorno clásico. En la ecuación particular (3) implica que el trabajo necesario para
borrado puede ser negativo para un observador con una memoria cuántica: el proceso
resulta en una ganancia neta de trabajo. Esto sucede porque la incertidumbre H ( S | Q )
puede ser negativo para los observadores cuántica. Por ejemplo, a condición de von
Neumann Quasimodo entropía es H ( S | Q ) = 0 - n (porque el Estado conjunta de S y Q es
puro y el estado reducido de la memoria, Q , se mezcla por completo). Nuestro resultado
operativo proporciona un sentido termodinámico de entropía negativa condicional, que
hasta ahora sólo había interpretaciones teóricas de información, por ejemplo, miden el
enredo necesario para el envío de un estado a un receptor con información lateral 14
(estado de fusión), y cuantificar "violaciónes «principio de incertidumbre de Heisenberg 15
.
La prueba de la ecuación (3) utiliza un método probabilístico para encontrar procedimientos
apropiados borrado. En los ejemplos simples de los tres observadores, Alice, Bob y
Quasimodo, que podemos describir de forma explícita. Alice, quien tiene una descripción
clásica del estado puro de S , no tiene la incertidumbre sobre el sistema: H ( S | A ) = 0.
Como era de esperar, ella no necesita hacer ningún trabajo para borrar S : se puede
consultar su expediente para comprobar el estado de S y el cambio a | 0 con una
transformación reversible ( Fig. 3. ).
Figura 3: El borrado de un estado puro.
Los círculos representan la energía de los estados propios del sistema S , y un círculo
oscuro significa que el sistema se encuentra en ese estado con certeza. una , Alice sabe que
el sistema está en estado puro en particular. b , ella lleva a cabo una transformación
unitaria, U , que los canjes de ese estado con | 0 . Si el hamiltoniano de S es degenerado,
esta operación no tiene costo de la energía.
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la figura anterior
Las cifras de índice
La siguiente figura
Bob, sin embargo, no tiene acceso al historial de Alicia y, así, tiene la incertidumbre
máxima: H ( S | B ) = n . Se puede realizar un proceso de borrado simple 10 , 11 que
permite al sistema de interactuar con un baño de calor a temperatura T ( Fig. 4. ). El costo
de trabajo de este proceso es nkT ln (2).
Figura 4: El borrado de un estado completamente mezclado y la extracción de trabajo.
uno , un principio, S se encuentra en un estado completamente mezclado. b , manteniendo
un nivel de energía intacta, Bob levanta todos los demás niveles en pequeños pasos,
dejando S termalizar después de cada paso. A medida que estos niveles se elevan, es más
probable que encuentre S en el nivel sin tocar. c , Bob desacopla S del baño y se reduce
todos los estados al nivel original, en un solo paso. El costo de trabajo de todo el proceso en
el límite cuasiestático es kT ln (2) por qubit. Al ejecutar este proceso a la inversa, se obtiene
una extracción procedimiento de trabajo, lo que da un estado puro rendimiento inicial una
ganancia de energía de kT ln (2) por qubits, a costa de dejar el estado máximo mixtos.
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la figura anterior
Las cifras de índice
La siguiente figura
Pasando ahora a Quasimodo, recordar que la memoria contiene n qubits máximo enreda
con S . Llamamos a esta parte de su memoria Q 1 y denotar el estado entrelazado | SQ 1 .
Además, el resto de su memoria, Q 2 , se correlaciona con un sistema de referencia, R , en
el estado | Q 2 R . Para borrar S , Quasimodo combina dos procedimientos elementales: el
proceso de borrado utilizado por Bob, y su inversa, la obra de extracción de 'un proceso,
mediante el cual se transforma un estado puro inicialmente en un estado mixto máximo,
ganando energía kT ln (2) por qubit ( Fig. 4. ). Comienza realizando el trabajo de extracción
primaria en los 2 n qubits Estado | SQ 1 Ganancia de la energía a 2 nkT ln (2), dejando S y
Q de una mezcla al máximo. Luego se realiza el proceso de borrado es elemental S , que,
según él nkT ln (2) de la energía. En total, la ganancia de energía es nkT ln (2), igualando la
predicción de la ecuación (3). El estado final de la memoria de Quasimodo y la referencia
es
, Donde 2 - n 1 Q 1 es el estado completamente mezclado
en Q 1 . Este es precisamente el estado inicial de QR , porque el estado original de Q 1 S
había una mezcla totalmente marginal en Q 1 el estado de conservación de información es
por lo tanto satisfecho.
En general, las correlaciones entre S y la memoria no es tan limpio como para Quasimodo.
Sin embargo, este ejemplo especial contiene la esencia del caso general. Utilizando los
resultados de la disociación 16 , se muestra que, independientemente de la forma exacta de
las correlaciones entre S y Q , es posible encontrar un subsistema de S y Q que es
(aproximadamente) en estado puro. Este subsistema pura, además, tiene una estructura
especial que permite extraer el trabajo de él, así que lo sustituya con un máximo mixta entre
el Estado, sin cambiar el estado de la memoria y la de referencia ( Fig. 5. ). El tamaño del
estado puro que se encuentran y, por tanto, el trabajo obtenido depende de la entropía de S
condicionado a la información en poder de la memoria cuántica (ver información
complementaria , la sección I, de una prueba formal). En su único disparo forma general, el
procedimiento de borrado se introduce tiene una probabilidad de fallo que puede hacerse
arbitrariamente pequeña, a costa de aumentar el trabajo realizado por un término aditivo
(teorema 1 en Métodos Resumen; determinista trabajo de extracción-no ha sido discutido
antes de los observadores clásica 17 ).
Figura 5: procedimiento de borrado general.
El producto supresión de tres pasos. En primer lugar nos encontramos con un subsistema, S
1 , que se desvincula de la referencia, el estado reducido de S 1 es de aproximadamente
completamente mezclado 16 . El tamaño de S 1 está limitada por la correlación entre S y la
referencia. Estas son débiles si S está altamente correlacionado con Q (porque la situación
mundial es puro 28 ), de tal manera que iniciar sesión 2 (| S 1 |) ≈ [ log 2 (| S |) - H ( S | Q )
] / 2. Debido a que S 1 se desvincula de la referencia, que se purifica mediante un
subsistema, P , de
. El estado de
es máximamente enredado. Luego se extrae el
trabajo del estado puro de
, Obteniendo la energía 2log 2 (| S 1 |) kT ln (2). El estado
reducida de P , originalmente completamente mezclado, se conserva por este proceso. Por
último borramos S , realizando el trabajo de registro de dos (| S |) kT ln (2). El costo total de
trabajo del proceso es de aproximadamente H ( S | Q ) kT ln (2). Ver información
complementaria para más detalles.
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la figura anterior
Las cifras de índice
El borrado de los procesos contemplados en este trabajo requieren un control considerable
sobre los sistemas cuánticos implicados, y puede que no sea claro por qué dichas
idealizaciones son interesantes. Como analogía, podemos pensar en el ciclo de Carnot.
Aunque el rendimiento ideal de una máquina de Carnot puede ser un límite inalcanzable en
la práctica, sin embargo, proporciona la base teórica del comportamiento de las máquinas
térmicas reales. En un espíritu similar, nuestra investigación delimita el costo mínimo de
trabajo ideal para la aplicación de los procesos irreversibles.
Tales argumentos son particularmente relevantes para el estudio de generación de calor en
el cálculo, uno de los principales obstáculos para la miniaturización de los circuitos.
Ciencia de la Computación, en principio, ser reversible, pero a expensas de la conservación
de los datos adicionales en una memoria de 1 , 2 . Una parte de esa memoria puede
entonces ser borrado, dejando el resto intacto. Ingenuamente, el costo de trabajo de dicha
operación, y la generación de calor correspondientes, se daría únicamente por la entropía de
la parte que desea borrar. Sin embargo, nuestro análisis muestra que el borrado se puede
optimizar si la información almacenada en otras partes de la memoria se utiliza ( Fig. 1. ).
La correspondencia entre la entropía condicional y el trabajo que hemos encontrado
también puede ser utilizado para cuantificar las correlaciones cuánticas 18 . Más
precisamente, debido a una ganancia de energía en el borrado se basa en entrelazamiento
entre el sistema y la memoria, un proceso de borrado con un coste de trabajo negativo
puede servir como un testigo enredo 19 . Del mismo modo, nuestro trabajo está relacionado
con la discordia 20 , 21 , 22 , 23 . Nuestros resultados sugieren que la discordia se puede
cuantificar la diferencia entre los costes de trabajo respectivos de borrado mediante
cuántica y recuerdos clásicos 24 . Debido a que nuestra relación es válida para un solo caso
de cancelación, que puede ser utilizado para obtener una sola generalización-shot de la
discordia.
En este trabajo, hemos utilizado las herramientas teórico-información, tales como la
disociación 14 , 16 , 25 , para probar un resultado físico. También es posible convertir los
estados termodinámicos en los teóricos de información. Por ejemplo, el trabajo necesario
para borrar un sistema S no se puede reducir a nivel local de procesamiento de información
acerca de S (ver información complementaria , Lema I.6). Basándose en los resultados,
podemos inferir que la condición de entropía H ( S | Q ) no puede disminuir el marco de
operaciones locales en Q , que es un resultado fundamental en la teoría de la información
conocida como la desigualdad de tratamiento de datos. En general, esperamos que nuestros
resultados para fortalecer el vínculo entre la teoría de la información y la física estadística.
Métodos
Principales
Métodos
Referencias
Agradecimientos
Autor
Información complementaria
Comentarios
Aquí nos caracterizan a una sola instancia de eliminación. El costo de trabajo de borrado, W
( S | Q ), es una variable aleatoria y puede fluctuar. Nuestro principal resultado es una cota
superior para W ( S | Q ) que se viola sólo con una pequeña probabilidad muy. Esto es lo
que estado como Teorema 1: existe un proceso para borrar un sistema S , condicionado a la
memoria de Q , a temperatura T , cuyo trabajo satisface los costos
excepto con una probabilidad de menos de
0 de
para todos los D ≥ 0 y en å ≥
La cantidad
denota el máximo suave entropía del sistema S condición de que
la memoria cuántica, Q , y es una generalización de disparo único de la entropía de von
Neumann 26 ( Información Complementaria , sección II).
Podemos fijar δ y ajuste ε para reducir al mínimo el costo de trabajo. Por ejemplo, si
permitimos que una probabilidad de error de 3%, pagamos un precio extra de DELTA ≈ 20
en el costo total de trabajo, independientemente del tamaño de la S .
La prueba del teorema 1 se esquematiza en la figura. 5 y se puede encontrar en la
información complementaria , sección I.
Para entender el significado exacto de la ecuación (3), se considera un "límite
termodinámico" de borrado, donde se borra una gran colección de copias idénticas de los
independientes y el sistema. Se define la "tasa de costo de obra como la media
para un proceso de borrado óptimo, en el límite de los grandes n
( Información Complementaria , Definición I.3). Un resultado de la teoría de la
información, la propiedad asintótica equipartición cuántica 27 , afirma que la máxima
entropía converge, sin problemas a la entropía de von Neumann de muchas copias idénticas
del Estado ( Información Complementaria , la sección II.B). La combinación de un teorema
de la equipartición de propiedad asintótica, nos encontramos con que existe un proceso de
borrado de tal manera que
≤
, Por lo que el costo laboral promedio
no excede W ( S | Q ) = H ( S | Q ) kT ln (2). Por otra parte, si suponemos que es principio
de Landauer es válido para un observador clásica (la ecuación (2)), podemos demostrar que
la cuantía obligada es difícil en este límite ( de información complementaria , Lema I.5).