Segunda parte: Modos de vibración

Segunda parte: Modos de vibración
• Objetivo: Estudiar el movimiento general de un sistema oscilatorio de varios
grados de libertad
• Método: Determinar los modos de vibración del sistema. El movimiento
general será combinación lineal de los modos de vibración. El movimiento particular
se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales de movimiento.
• Modo de vibración: Vibración armónica colectiva de todas las variables del
sistema, en la forma
xi = Ai cos (ω t + φi )
donde ω es la frecuencia de vibración del sistema, y ( Ai , φi ) es la amplitud y la fase
de la oscilación de la coordenada xi . En ausencia de rozamiento, todas las variables
vibran en fase, φi = φ .
Por tanto, un modo de vibración está caracterizado por una frecuencia de vibración,
y por la relación numérica entre las amplitudes de vibración de las coordenadas del
sistema.
• Resolución del problema
Supongamos que nuestro sistema tiene N grados de libertad. Aplicando las leyes de
Newton tenemos N ecuaciones de movimiento. Definiendo las coordenadas xi como
los desplazamientos respecto del punto de equilibrio xi = 0 , y despreciando
términos de orden mayor que uno en xi , las ecuaciones de movimiento serán
lineales en las coordenadas, y el sistema oscilará solamente de forma armónica.
Para buscar los modos de vibración del sistema introducimos las expresiones
xi = Ai cos (ω t + φ ) en las ecuaciones del movimiento. Eliminando la función coseno
que aparece en todos los términos, nos encontramos con un sistema de N ecuaciones
lineales para las N amplitudes de vibración de cada modo, Ai . Según el teorema de
Frobenius, para que exista una solución no trivial, es decir, distinta del estado de
reposo Ai = 0 , es necesario que el determinante de la matriz asociada sea nulo. Está
condición nos da una ecuación característica de grado N en ω 2 , que tiene N
soluciones ω , cada una de ellas correspondiendo a un modo de vibración. Una vez
determinada la frecuencia de vibración de cada modo, hallamos la relación entre las
amplitudes a partir del sistema de ecuaciones lineales para las N variables Ai .
• Movimiento del sistema: Un sistema de N grados de libertad tiene N modos de
vibración independientes, y el movimiento general será combinación lineal de los
modos de vibración. Ya que el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, la
solución para las amplitudes de vibración queda indeterminada, en función de una
amplitud A genérica. Por tanto, cada modo de vibración tiene asociadas dos
constantes ( A, φ ) que deben determinarse para cada movimiento particular. En total,
debemos determinar 2N constantes, dos por cada modo, a partir de las condiciones
iniciales para las coordenadas xi y sus velocidades x&i .
• Coordenadas normales: La coordenada normal Qn asociada al modo normal
de frecuencia ω n es la combinación lineal de las coordenadas xi que satisface el
movimiento armónico simple
&& + ω 2Q = 0
Q
n
n n
cuya solución corresponde al modo de vibración n-ésimo
Qn = A cos (ω n t + φ )
Es decir, cuando el sistema oscila según dicho modo de vibración la oscilación es
equivalente al movimiento armónico simple de un sistema de un grado de libertad
Qn . Otra forma de encontrar el movimiento general del sistema es buscar por
inspección las N coordenadas normales que corresponden a los modos de vibración.
Entonces, invirtiendo la relación encontramos las coordenadas del sistema xi en
función de las coordenadas normales Qn . En el caso de un sistema de dos grados de
libertad, cuando actúan las mismas fuerzas sobre cada masa, es fácil ver que una de
las coordenadas normales corresponde a la coordenada del centro de masas, y la otra
corresponde a la coordenada relativa.
•
Movimiento forzado: De la misma forma que en el caso unidimensional, la
oscilación libre del sistema, suma de los N modos de vibración, tiene a remitir
rápidamente por efecto del rozamiento, presente siempre en la práctica. Pasado el
régimen transitorio, el sistema ejecuta una oscilación conjunta forzada con la misma
frecuencia que la fuerza exterior, y con la misma fase, si prescindimos del
rozamiento. La forma más sencilla de buscar dicha oscilación forzada es determinar
el movimiento forzado para cada una de las coordenadas normales, y de aquí,
invirtiendo la relación, determinar el movimiento forzado de cada coordenada xi .
Problemas Resueltos
7.6
Tenemos el sistema
k
2m
y1
k
m
y2
Hallar los modos normales. Si en t = 0 , la masa 2m se desplaza una distancia d
hacia abajo, determinar el movimiento de la masa m si el sistema se abandona
sin velocidad inicial.
• Tomando las coordenadas yi respecto de la posición de equilibrio, las
ecuaciones del movimiento son
2my&&1 = −ky1 − k ( y1 − y 2 )
my&&2 = k ( y1 − y2 )
• Buscamos las coordenadas normales, combinación lineal de las coordenadas
del sistema. Ya que las fuerzas que actúan son diferentes para cada masa, no
podemos esperar que las coordenadas normales correspondan al centro de masas y a
la posición relativa. Escribimos la coordenada normal genérica en la forma
a ( 2my1 ) + b ( my2 )
Qi =
3m
La ecuación de movimiento para esta variable es
&& = a ( 2my&&1 ) + b ( my&&2 ) = − ( 2a − b ) k y − ( b − a ) k y
Q
i
1
2
3m
3m
3m
Para que Qi sea coordenada normal su ecuación de movimiento debe corresponder a
un movimiento armónico simple. Para ello debe satisfacerse
2a − b b − a
=
2a
b
2
2
Es decir, 2a = b . Eligiendo a = 1, obtenemos b = ± 2 .
• Por tanto, la primera coordenada normal es
2 y + 2 y2
Q1 = 1
= A cos (ω1t + φ )
3
que corresponde al primer modo normal de frecuencia
2− 2  k
ω12 = 

 2 m
y relación de amplitudes
y1
2
=
y2
2
• La segunda coordenada normal está dada por
2 y − 2 y2
Q2 = 1
= B cos (ω 2t + δ )
3
que corresponde al segundo modo normal de frecuencia
2+ 2 k
ω 22 = 

 2 m
y relación de amplitudes
y1
2
=−
y2
2
De la relación de amplitudes vemos que el primer modo corresponde a la oscilación
en fase de las dos masas, mientras que el segundo modo corresponde a su oscilación
en desfase (movimiento en sentido contrario).
• Invirtiendo la relación entre las coordenadas normales y las coordenadas del
sistema, encontramos la solución más general al movimiento
3
3
3
y1 = ( Q1 + Q2 ) = A cos (ω1t + φ ) + B cos (ω 2t + δ )
4
4
4
3
3
3
y2 =
A cos (ω1t + φ ) −
B cos (ω 2t + δ )
( Q1 − Q2 ) =
2 2
2 2
2 2
• Nuestro movimiento particular corresponde a las condiciones iniciales en
t =0,
y1 = d
y&1 = 0
y2 = 0
y&2 = 0
De aquí debemos encontrar las constantes ( A, B, φ , δ ) . Obtenemos las cuatro
ecuaciones
3
3
d = A cos φ + B cos δ
4
4
0 = A cos φ − B cos δ
0 = Aω1 sen φ + Bω 2 sen δ
0 = Aω1 sen φ − Bω 2 sen δ
con la solución
φ =δ = 0
2
A= B = d
3
• Por tanto, nuestro movimiento particular sigue la ley
d
y1 = ( cos (ω1t ) + cos (ω 2t ) )
2
d
y2 =
( cos (ω1t ) − cos (ω 2t ) )
2
7.7
Sabiendo la relación de amplitudes para los modos de vibración del
sistema anterior, determinar las frecuencias de vibración utilizando la
dependencia funcional de ω . (Este tipo de ejercicio se estudió en el tema del
movimiento armónico simple)
• La dependencia funcional de la frecuencia de vibración es
fuerza
ω2 =
masa × desplazamiento
En el primer modo de vibración los desplazamientos respecto del punto de equilibrio
son
y2 = 2 y1
Nos fijamos en la masa 2m. Cuando se desplaza una distancia y1 , la fuerza que
recibe se debe al estiramiento de los dos muelles. El muelle superior se estira una
cantidad y1 , y el muelle inferior se estira una cantidad y2 − y1 =
(
)
2 − 1 y1 . Por
tanto, de la dependencia funcional obtenemos
ω12 =
− ky1 + k
(
)
2 − 1 y1
2my1
=
k  2− 2 


m  2 
• De forma análoga, para el segundo modo de vibración, encontramos
y2 = − 2 y1
y de aquí
ω 22 =
− ky1 − k
(
)
2 + 1 y1
2my1
=
k  2+ 2 


m  2 
7.8
Tres masas están ensartadas en un aro de radio R, y ligadas entre sí por
muelles de constante k. Determinar los modos normales del sistema.
• Definimos las coordenadas s1 , s 2 , s3 como las distancias sobre el aro respecto
al estado de equilibrio. Las ecuaciones del movimiento para distancias s pequeñas
(de forma que la fuerza ejercida por los muelles sea siempre tangente al aro), son
ms&&1 = −k ( s1 − s2 ) − k ( s1 − s3 )
ms&&2 = −k ( s2 − s1 ) − k ( s2 − s3 )
ms&&3 = − k ( s3 − s2 ) − k ( s3 − s1 )
• Ya que cada masa recibe las mismas fuerzas elásticas, las coordenadas
normales corresponderán al centro de masas, y a dos posiciones relativas. Para el
centro de masa, la coordenada normal es
ms + ms2 + ms3
Q1 = 1
3m
cuya ecuación de movimiento
&& = 0
Q
1
corresponde a una rotación uniforme, sin oscilación, en la que los muelles
permanecen siempre en reposo, sin estirarse ni encogerse. Es el primer modo de
vibración, movimiento uniforme del centro de masas, sobre el que no actúa ninguna
fuerza exterior.
• Para las posiciones relativas, podemos tomar la coordenada normal
s −s
Q2 = 1 2
2
cuya ecuación de movimiento es
&& + 3k Q = 0
Q
2
2
m
Esta coordenada normal corresponde al segundo modo de vibración, de frecuencia
3k
ω2 =
m
en el que la masa de coordenada s3 se mantiene en su posición de equilibrio,
mientras las otras dos masas oscilan en desfase.
• Por último, el tercer modo tiene la misma frecuencia que este último modo,
debido a la degeneración producida por la simetría del problema. Obtenemos
s −s
Q3 = 1 3
2
cuya ecuación de movimiento es
&& + 3 k Q = 0
Q
3
3
m
Esta coordenada normal corresponde al tercer modo de vibración, de frecuencia
3k
ω3 =
, en el que la masa de coordenada s 2 se mantiene en su posición de
m
equilibrio, mientras que las otras dos masas oscilan en desfase.
7.9 Determinar los modos normales del sistema formado por una barra de
masa m y longitud L, sujeta al techo por sus extremos mediante dos muelles de
constante k.
k
k
m
• Tenemos dos grados de libertad, el desplazamiento vertical y del centro de
masas respecto de su posición de equilibrio, y el ángulo de giro α de la barra
respecto de su centro de masa, tomando α = 0 como el ángulo cuando la barra se
encuentra en posición horizontal. Obviamente, el movimiento del centro de masa y
el movimiento de rotación deben estar desacoplados, y por tanto, corresponden a las
coordenadas normales del sistema.
k
k
α
y
• Para el movimiento del centro de masa, la coordenada normal es
Q1 = y
Ya que el centro de masa está sometido a la fuerza elástica de los dos muelles de
constante k, la ecuación de movimiento
my&& = −2ky
movimiento armónico simple de frecuencia ω1 = 2k
m
.
• Para el movimiento de rotación respecto del centro de masa, la coordenada
normal que representa la distancia vertical respecto de la posición de equilibrio
α = 0 , para ángulos pequeños, es
L
Q2 = α
2
y su ecuación de movimiento corresponde a la rotación de una barra respecto de su
centro de masa, debido al par de fuerzas generado por la fuerza elástica de los
muelles respecto al centro de la barra
1
L L
mL 2α&& = − 2k α
12
2 2
que es un movimiento armónico simple
&& + 6 k Q = 0
Q
2
2
m
de frecuencia ω 2 = 6k .
m
• Finalmente, los desplazamientos verticales de los muelles se obtienen a partir
de las coordenadas normales
L
y1 = y + α = A cos (ω1 t + φ ) + Bcos (ω 2 t + δ )
2
L
y1 = y − α = A cos (ω1 t + φ ) − Bcos (ω 2 t + δ )
2
Observando esta expresión deducimos que, respecto de las coordenadas de los
muelles, el primer modo de vibración corresponde a la vibración en fase de los
muelles, mientras que el segundo modo corresponde a la vibración en desfase de los
dos muelles.
7.10 Tenemos el sistema de masas
k
M
k
m
x1
x2
M
x3
que simula el comportamiento de una molécula triatómica. Determinar los
modos normales del sistema, y sus coordenadas normales.
• Sean x1, x2 , x3 los desplazamientos respecto del equilibrio. Las ecuaciones del
movimiento son
Mx&&1 = −k ( x1 − x2 )
mx&&2 = k ( x1 − x2 ) − k ( x2 − x3 )
Mx&&3 = k ( x2 − x3 )
Introduciendo las dos frecuencias de vibración
k
ω m2 =
m
k
ω M2 =
M
obtenemos
&&
x1 + ω M2 ( x1 − x2 ) = 0
&&
x2 + ω m2 ( 2x2 − x1 − x3 ) = 0
&&
x3 + ω M2 ( x3 − x2 ) = 0
• Buscamos los modos normales en la forma
x1 = A cos (ω t + φ )
x2 = B cos (ω t + φ )
x3 = C cos (ω t + φ )
Introduciendo estas funciones en las ecuaciones del movimiento, eliminando las
funciones coseno, obtenemos el sistema de ecuaciones lineales para las amplitudes
A, B, C en forma matricial
 ω M2 − ω 2

2
 −ω m

0

 A  0

−ω m2   B  =  0 
   
ω M2 − ω 2   C   0 
−ω M2
0
2ω m2 − ω 2
−ω M2
• Para la solución no trivial, la relación entre las amplitudes es
A
ω2
= 2 M 2
B ωM − ω
C
ω M2
=
B ω M2 − ω 2
donde las frecuencias de los modos normales son solución de la ecuación
característica (determinante de la matriz igual a cero),
(ω
2
M
) ( 2ω
2
−ω2
2
m
)
(
)
− ω 2 − 2ω m2 ω M2 ω M2 − ω 2 = 0
• Desarrollando esta última ecuación, obtenemos
ω 2 ω 2 − 2ω m2 − ωM2 ωM2 − ω 2 = 0
(
)(
)
De aquí, ya podemos describir los tres modos de vibración:
Modo 1
ω12 = 0
A= B =C
M
m
M
Es el modo de traslación uniforme con velocidad constante, ya que en este caso,
&&
x1 = &&x2 = &&x3 = 0 . Es el movimiento del centro de masa, en ausencia de fuerzas
exteriores. La coordenada normal correspondiente es
 x1 
 
Q1 = ( A B C)  x2  = A ( x1 + x2 + x3 )
x 
 3
Modo 2
ω 2 = ωM
M
A = −C
m
B=0
M
En este modo la masa central no se mueve, y las masas exteriores oscilan en desfase,
por la acción de cada muelle exterior. La frecuencia corresponde a la frecuencia de
oscilación de una masa M bajo la acción de un muelle de constante k.
La coordenada normal es
 x1 
 
Q2 = ( A B C)  x2  = A ( x1 − x3 )
x 
 3
Modo 3
A= C
ω 32 = 2ω m2 + ω M2
M
B=−
2M
A
m
m
M
Las masas exteriores oscilan en fase entre sí, y en desfase con la masa central.
La coordenada normal es
 x1 
2M


 
Q3 = ( A B C)  x2  = A  x1 −
x2 + x3 
m


x 
 3
7.11 Sobre el muelle del lado izquierdo actúa una fuerza exterior, de manera
que éste se mueve según x = x0 cos Ωt . Determinar los desplazamientos de las
masas en el régimen permanente.
x = x0 cos Ω t
k
m
k
m
k
x1
x2
• Las ecuaciones del movimiento son
mx&&1 = −k ( x1 − x2 ) − k ( x1 − x )
mx&&2 = k ( x1 − x2 ) − kx2
Introduciendo la frecuencia de oscilación libre
k
ω m2 =
m
podemos escribir
&&
x1 + ω m2 ( 2 x1 − x2 ) = ω m2 x0 cos Ωt
&&
x2 + ω m2 ( 2 x2 − x1 ) = 0
• Ya que las fuerzas que actúan sobre ambas masas son las mismas, en ausencia
de la fuerza exterior, las coordenadas normales para la oscilación libre del sistema
corresponden al movimiento del centro de masas, y al movimiento relativo. Para el
centro de masas,
x +x
Q1 = 1 2
2
cuya ecuación de movimiento es
&& + ω 2 Q = 1 ω 2 x cos Ωt
Q
1
m 1
m 0
2
y para el movimiento relativo la coordenada normal es
Q2 = x1 − x2
cuya ecuación de movimiento es
&& + 3ω 2 Q = ω 2 x cos Ωt
Q
1
m 1
m 0
• En el régimen permanente la oscilación libre del sistema es despreciable, y
sólo se mantiene la oscilación forzada de la misma frecuencia que el movimiento
exterior. Por tanto, esperamos la solución a los dos modos de vibración en la forma
Q1 = C1 cos Ωt
Q2 = C 2 cos Ωt
Introduciendo estas expresiones en las ecuaciones de movimiento correspondientes,
obtenemos las amplitudes de las oscilaciones forzadas
1
ω2
C1 = x0 2 m 2
2 ωm − Ω
C2 = x0
ω m2
3ω m2 − Ω 2
• Por último, invirtiendo la relación entre las coordenadas normales y las
coordenadas del sistema, encontramos los desplazamientos de las masas en el
régimen permanente

1
1  ω m2
ω m2
x1 = Q1 + Q2 = x0  2
+
 cos Ωt
2
2  ω m − Ω2 3ω m2 − Ω 2 

1
1  ω2
ω2
x2 = Q1 − Q2 = x0  2 m 2 − 2 m 2  cos Ωt
2
2  ω m − Ω 3ω m − Ω 