1 Aplicaciones . E: 3 dx dt C 2x C dy dt D 1 dx dt C 4 - Canek

1
Aplicaciones .

dx
dy

3
C 2x C
D1
dt
dt
E:

 dx C 4 dy C 3y D 0
dt
dt
; con
x.0/ D y.0/ D 0
D: H Las condiciones iniciales dadas implican que
dx
dy
ˇ
D sX & ˇ
D sY;
dt
dt
por lo que al tomar la TL del sistema de ED obtenemos:


1
1


.3s C 2/X C sY D I
3sX C 2X C sY D
)
s
s
sX C .4s C 3/Y D 0:
sX C 4sY C 3Y D 0
Usaremos el método de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones lineales. El determinante del sistema es
3s C 2
s D .3s C 2/.4s C 3/ s 2 D 12s 2 C 9s C 8s C 6 s 2 D 11s 2 C 17s C 6 D
s
4s C 3
D .11s C 6/.s C 1/:
Las soluciones X , Y que nos da la regla de Cramer son
1
s
s
0 4s C 3
4s C 3
;
XD
D
6
.11s C 6/.s C 1/
11 s C
.s C 1/.s C 1/
11
1
3s C 2
s
s
0
1
Y D
D
:
6
.11s C 6/.s C 1/
11 s C
.s C 1/
11
Para determinar la solución del PVI, falta tomar la TL inversa de X & Y . Usamos fracciones
parciales.
Para X , buscamos constantes A; B; C de modo que
4
3
sC
4s C 3
A
B
C
D 11 11
D C
C
I
6
6
6
s
sC1
sC
11s s C
.s C 1/
s sC
.s C 1/
11
11
11
17. canek.azc.uam.mx: 25/ 1/ 2011
2
6
multiplicando por s s C
.s C 1/, se tiene la siguiente igualdad, para toda s:
11
6
6
4
3
A sC
.s C 1/ C Bs.s C 1/ C C s s C
D sC :
11
11
11
11
Si s D 0, entonces:
6
6
4
3
6
3
1
A
.1/ C B 0 1 C C 0 D
0C
)
AD
) AD :
11
11
11
11
11
11
2
Si s D
Si s D
6
, entonces:
11
6
5
6
4
6
3
5
CB
CC
0 D
C
)
A0
11
11
11
11
11
11
11
30
3
24
33 24
9
3
)
BD
D
D 2 ) 30B D 9 ) B D
:
2
2
2
11
11 11
11
11
10
1, entonces:
5
4
3
5
A
0 C B. 1/ 0 C C. 1/
D . 1/ C
)
11
11
11
11
5
1
1
) C D
) C D
:
11
11
5
Por lo anterior,
x.t/ D ˇ
1
€1
2
s
3
10
sC
6
11
1
5
sC1

1
D
2
6
t
3
e 11
10
1 t
e :
5
Por otro lado, para Y proponemos la siguiente descomposición en fracciones parciales:
1
11
1
A
B
C
I
D
D
6
6
6
s C1
s
C
11 s C
.s C 1/
sC
.s C 1/
11
11
11
6
.s C 1/ resulta la siguiente igualdad, para toda s:
multiplicando por s C
11
6
1
A.s C 1/ C B s C
D
:
11
11
Si s D
6
, entonces:
11
5
CB0D
A
11
1
5
)
AD
11
11
1
) AD
11
1
:
5
3
Si s D
1, entonces:
A0CB
Se sigue entonces que
y.t/ D ˇ
1
5
11
€
D
1
)
11
1
C 5
6
sC1
sC
11
1
5
5
BD
11

D
1
e
5
1
1
) BD :
11
5
6
t
11
1
C e t:
5
En conclusión, la solución del sistema de ED es
x.t/ D
1
2
3
e
10
6
t
11
1
e
5
t
&
y.t/ D
1
e
5
6
t
11
1
C e t:
5