2 ECONOMETRIA II LADE/ LADE-DERECHO. CURSO 2009/2010

ECONOMETRIA II LADE/ LADE-DERECHO. CURSO 2009/2010
Soluciones Hoja de ejercicios 4
A1) Considere el siguiente modelo VAR con mecanismo de corrección del equilibrio
(del error)
⎛ Δyt ⎞ ⎛ −0.2 ⎞
⎛ 0.1 0.3 ⎞ ⎛ Δyt −1 ⎞ ⎛ ε1t ⎞
( yt −1 − 0.4 − zt −1 ) + ⎜
⎜
⎟=⎜
⎟+⎜ ⎟
⎟
⎟⎜
⎝ 0 0.7 ⎠ ⎝ Δzt −1 ⎠ ⎝ ε 2t ⎠
⎝ Δzt ⎠ ⎝ 0 ⎠
Señale cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) Las variables y t y zt no están relacionadas a largo plazo.
b) Las variables y t y zt mantienen una relación de equilibrio a largo plazo dada por:
yt = 0.4 + zt
c) La variable Δzt depende a corto plazo de valores retardados de la variable Δy t .
d) La variable Δy t depende a corto plazo de valores retardados de la variable Δzt .
e) La variable zt se ajusta a las desviaciones del equilibrio a largo plazo.
f) La variable y t se ajusta a las desviaciones del equilibrio a largo plazo.
Solución b, d y f
A2) Un investigador quiere analizar si entre las variables yt y xt,, que son I(1), existe
una relación de largo plazo. Para ello, ajusta un modelo por MCO obteniendo los
siguientes resultados:
Yt =0.6 +0.96 xt + ệt
(0.1) (0.2)
Los datos entre paréntesis son las desviaciones estandar. Además se ha calculado
el estadístico Dickey-Fuller para los residuos (ệt ) que toma el valor de -1.40. El valor
en las tablas Dickey –Fuller para el nivel de significación del 5% es -2,97, que se
toma como valor crítico para contrastar la hipótesis nula. Señale cual de las
siguientes afirmaciones son ciertas.
a) Las variables mantienen una relación de largo plazo
b) Los residuos no son estacionarios
c) Las variables ∆yt y ∆xt son estacionarias
d) Las variables no están cointegradas
e) El parámetro 0.96 es la velocidad de ajuste entre las variables.
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Solución: b, c, d
PARTE B
Responda a los siguientes ejercicios
B.1) Se ha estimado la función de consumo privado (Cpr) en función de la renta
disponible (Rentadis) para el conjunto de países de la UE y sus resultados son los
siguientes:
Cpr = 0,764 + 0.809 rentadis
t
(3,47) (197,2)
R2=0.992 ,, D-W=0.866
Nota: Después de la estimación de la ecuación anterior se supo que tanto Cpr como
rentadis son I ~ (1). Entre paréntesis figura la t de student
Se pide:
a)
Interprete los resultados de esa ecuación y señale los problemas de los
que adolece
b)
¿Existen indicios de la
relación entre el consumo privado y renta
disponible pueda ser espúrea?
c)
Explique el problema de la regresión espúrea
d)
En el caso de que la respuesta del apartado b fuera positivo explique de
forma breve algún procedimiento para superar ese problema
Solución
a) Aparentemente el ajuste de la ecuación anterior es muy bueno puesto que
muestra un R2 muy alto, cercano a la unidad (0,992), y unos estadísticos t de
student de los coeficientes altos, que son indicios de una elevada
significatividad individual de esos coeficientes. Sin embargo, el valor del
Durbin-Watson (0,866) es muy bajo ( debe estar entorno a 2 para que no
exista autocorrelación) indicativo de la existencia de autocorrelación de
primer orden en los residuos
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b) Esos resultados presentan todos lo síntomas de una regresíón espúrea. De
hecho, en la ecuación anterior las variables entran en niveles pero son I(1),
es decir los niveles de esas variables no son estacionarios, y una de las
principales hipótesis del Modelo Lineal General (MLG) es la estacionariedad
de sus variables. El incumplimiento de esta hipótesis lleva a resultados
espúreos, no siendo válidos los contrastes habituales de validación de esos
modelos: R2, D-W y los estadísticos t, F que se utilizan habitualmente en el
contraste de hipótesis. Los principales síntomas de una regresión espúrea
suelen ser un R2 elevado y un valor del estadistico Durbin-Watson (D-W)
bajo, indicativo de que los errores de la ecuación están autocorrelacionados.
Esto implica que las estimaciones MCO de los coeficientes no sólo son
ineficientes sino que las estimaciones de sus errores estandar serán
inconsistentes.
c) El problema de la regresión espúrea se basa en creer que estamos ante unos
resultados de la estimación de una ecuación por MCO aparentemente muy
buenos pero que son engañosos, se suele producir cuando las variables que
entran en la regresión no son estacionarias. En ese caso es muy probable
que si las variables no son estacionarias, los residuos, que son una
combinación de las mismas, no sean tampoco estacionarios y ello provoca el
incumplimiento de las hipótesis del método de estimación de los MCO y los
resultados de los tests de hipótesis habituales.
d) La solución al problema de la regresión espúrea anterior podría ser la
utilización de primeras diferencias de las variables en la estimación,
convirtiendo a esas variables en estacionarias, en la mayoría de los casos
soluciona el problema. Sin embargo, usar las variables en primeras
diferencias es referirnos al corto plazo y podemos desechar información
valiosa de largo plazo. Una solución sería intentar encontrar la existencia de
alguna relación de cointegración entre las variables. Si fuera posible en la
ecuación anterior encontrar alguna relación de cointegración, la ecuación
tendría sentido y no seria espúrea. Si ello no fuera posible trabajaríamos con
los datos en primeras diferencias.
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1. B2) Se intenta analizar la relación existente entre los tipos de interés a corto
plazo (IR) y el rendimiento de los bonos del tesoro (RB) de un determinado
país. Utilizando la información que se proporciona en los cuadros adjuntos
responda a las siguientes preguntas justificando las respuestas:
a) ¿cuál es el orden de integración de ambas variables (cuadro1).
b) ¿Existe relación de cointegración entre ambas variables? A este
respecto se ha contrastado el rango de la matriz ∏
ΔX t = ΠX t −1 + B1ΔX t −1 + .... + Br ΔX t − r + at
orden 1 y también
del modelo
y se ha concluido que es de
se ha llevado a cabo el procedimiento en dos
etapas de Engle-Granger cuyos resultados se muestran en el cuadro 2
c) Exprese el modelo VEC estimado en el cuadro 3 en forma matricial
d) Interprete los resultados del modelo VEC (corrección del equilibrio)
determinando cual es la relación de equilibrio o de largo plazo, el
coeficiente de ajuste de cada variable, etc. Determine si alguna de las
dos variables es débilmente exógena en la ecuación de la otra.
Material auxiliar obtenido de Eviews
Cuadro 1. Test ADF de las variables
Variable RB
Null Hypothesis: RB has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=18)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-1.434257
-3.440651
-2.865976
-2.569191
0.5663
Variable D(RB)
Null Hypothesis: D(RB) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=18)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
5
t-Statistic
Prob.*
-18.20975
-3.440651
-2.865976
0.0000
10% level
-2.569191
Variable IR
Null Hypothesis: IR has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 16 (Automatic based on SIC, MAXLAG=18)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
t-Statistic
Prob.*
-2.587629
-3.440894
-2.866083
0.0961
VariableD(IR)
Null Hypothesis: D(IR) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 15 (Automatic based on SIC, MAXLAG=18)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
t-Statistic
Prob.*
-5.282502
-3.440894
-2.866083
0.0000
Cuadro2. Procedimiento de cointegración de Engle-Granger
Estimación de la ecuación 1: RBt = c + β IRt +εt
Dependent Variable: RB
Method: Least Squares
Date: 06/01/06 Time: 00:37
Sample: 1948M01 1999M12
Included observations: 624
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
IR
2.207408
0.937847
0.103340
0.017658
21.36062
53.11069
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.819330
0.819040
1.298539
1048.819
-1047.430
0.073945
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
6.950913
3.052556
3.363557
3.377776
2820.746
0.000000
TEST ADF DE LA VARIABLE RESID1 (Residuos de la ecuación 1)
Null Hypothesis: RESID1 has a unit root
Exogenous: None
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Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=18)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-3.676383
-2.568691
-1.941334
-1.616356
0.0002
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Cuadro3. Estimación modelo VEC
Vector Error Correction Estimates
Date: 05/30/06 Time: 13:01
Sample (adjusted): 1948M04 1999M12
Included observations: 621 after adjustments
Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]
Cointegrating Eq:
CointEq1
RB(-1)
1.000000
IR(-1)
-1.155466
(0.07168)
[-16.1191]
C
-1.104091
Error Correction:
D(RB)
D(IR)
CointEq1
-0.018430
(0.00558)
[-3.30460]
0.034550
(0.01253)
[ 2.75638]
D(RB(-1))
0.513387
(0.04708)
[ 10.9050]
0.776852
(0.10581)
[ 7.34196]
D(RB(-2))
-0.333606
(0.04838)
[-6.89602]
-0.517462
(0.10873)
[-4.75924]
D(IR(-1))
-0.043486
(0.02082)
[-2.08901]
0.170289
(0.04679)
[ 3.63974]
D(IR(-2))
0.036654
-0.031912
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C
(0.02095)
[ 1.74952]
(0.04709)
[-0.67770]
0.006447
(0.00754)
[ 0.85504]
0.004160
(0.01695)
[ 0.24549]
Posible Solución:
a).- En el cuadro 1 se muestran los resultados del test ADF para la variables
RBt e IRt y para sus primeras diferencias D(RBt ) y D(IRt) se puede observar
fácilmente que las series en niveles no son estacionarias y tienen una raíz
unitaria puesto que el ADF tanto para RB como IR son inferiores a los valores
críticos habituales y tienen por tanto una raíz unitaria. Sin embargo, se intenta
analizar la existencia de una segunda raíz calculando el ADF para las
primeras diferencias de las variables, en este cado los ADF de ambas
variables superan ampliamente los puntos críticos por lo que se puede
rechazar la hipótesis nula de la existencia de una segunda raíz unitaria. Por
lo tanto las variables son integradas de orden 1, es decir,
RB I(1) e
IR I(1).
b).-
Puesto que ambas series son integradas
del mismo orden se puede
intentar la búsqueda de la posible existencia de cointegración entre ambas
variables. Para ello un forma de verificar si existe alguna relación de
cointegración es determinar el rango de la matriz ∏, como el rango de la matriz
∏ es 1 existe, por tanto, una relación de cointegración. Otra forma de verificar la
existencia de cointegración se presenta en el cuadro 2 en el que se recogen los
resultados del procedimiento en dos etapas de Engle-Granger, el test de raíz
unitaria ADF de los residuos de la ecuación de largo plazo RBt = c + β IRt +εt, nos
lleva a rechazar la existencia de una raíz unitaria, por lo que existe una relación
de cointegración entre RBt e IRt y existe una tendencia estocástica común entre
ambas variables.
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a) En el cuadro 3 se muestra la información de la estimación del modelo de
corrección del error (VEC). La expresión de dicho modelo en su forma
matricial es la siguiente:
⎛ ΔRBt ⎞ ⎛ −0, 018 ⎞
⎜
⎟=⎜
⎟ ( RBt
⎝ ΔIRt ⎠ ⎝ 0, 034 ⎠
−1,15IRt
⎛ 0,51 −0, 04 ⎞ ⎛ ΔRBt −1 ⎞ ⎛ −0,33 0, 04 ⎞ ⎛ ΔRBt − 2 ⎞ ⎛ e1t ⎞
−1,10 ) + ⎜
⎟+⎜
⎟+⎜ ⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎝ 0, 78 0,17 ⎠ ⎝ ΔIRt −1 ⎠ ⎝ −0,52 −0, 03 ⎠ ⎝ ΔIRt − 2 ⎠ ⎝ e2t ⎠
b) En este modelo la relación de equilibrio a largo plazo se estima como :
RBt –1,15IRt –1,10 =0
ó
RBt = 1,15IRt +1,10
Los coeficientes de ajuste son: -0,018 para RBt
y 0,034 para IRt
por lo que
velocidad de ajuste al equilibrio es muy baja. Esto significa que si las dos variables
no se encuentran en la posición de equilibrio, en un mes se producirá un ajuste a la
baja del 1,8% del total del desequilibrio en la variable RB y un ajuste al alza del
3,4% del total del desequilibrio en la variable IR. Puesto que los coeficientes de
ajuste de cada variable es muy lento probablemente no se pueda rechazar la
hipótesis de que cada variable sea débilmente exógena en la ecuación de la otra.
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