METODO REGIONAL WAK-MPP 1. INTRODUCCION. El análisis de

METODO REGIONAL WAK-MPP
1.
INTRODUCCION.
El análisis de frecuencia de crecidas es un procedimiento para asociar a las distintas magnitudes
de la crecida una probabilidad o frecuencia de ocurrencia. Las crecidas de interés desde el punto
de vista del ingeniero proyectista son aquellas que tienen una pequeña probabilidad de
excedencia, o bien, un gran período de retorno, lo cual implica una considerable incertidumbre
en la estimación, tanto por la dificultad de medir los valores extremos como por la falta de
precisión de dichas magnitudes.
Los llamados procedimientos regionales de frecuencia de crecidas surgen como una forma de
minimizar los inconvenientes anteriores y a la vez poder realizar estas estimaciones en puntos
con poca o sin información fluviométrica. Estos métodos mejoran la confiabilidad de los
resultados al considerar el conjunto de la información recogida en toda una región homogénea
con el punto de interés. Un procedimiento regional bastante utilizado es ajustar un modelo
probabilístico a los máximos valores de la crecida adimensionalizados al dividirlos por la
crecida media anual. Las series adimensionales se agrupan y se combinan para formar una sola
muestra a la cual se ajusta un modelo probabilístico.
Este trabajo propone el uso de la distribución Wakeby como un método recomendable para el
análisis regional de crecidas. El procedimiento, a juicio de algunos autores, es tan superior a
otros, que se aconseja usarlo para la estimación de la crecida de diseño de todo proyecto.
2.
DISTRIBUCION WAKEBY.
2.1 Definición y Características.
La distribución Wakeby fue propuesta por Houghton (1977,1978a,1978b) como un modelo
probabilístico adecuado para representar los caudales de crecidas máximas diarias o
instantáneas en una región. Varias razones avalan esta recomendación. En primer lugar, se ha
demostrado que los valores generados por este modelo no adolecen de la llamada condición de
separación (Matalas et al., 1975) que se observa en valores provenientes de otros modelos
probabilísticos y en consecuencia, su comportamiento en este sentido es análogo al que tienen
las series históricas. En segundo término, es un modelo que cuenta con cinco parámetros, lo
que le confiere gran flexibilidad para representar muestras que exhiben distinto
comportamiento. En tercer lugar, se ha determinado experimentalmente que algunos
parámetros pueden ser estimados regionalmente con buena aproximación. Este método de
regionalización es tan superior a otros (Cunnane, 1988) que merece ser un punto de partida para
la estimación de la crecida de diseño de todo proyecto. Esta última afirmación ha llevado a
recomendar el abandono de otros procedimientos en favor de esta distribución.
El modelo Wakeby queda definido analíticamente por el inverso de su función de distribución
acumulada, característica que tiene ventajas al estimar los parámetros mediante el llamado
método de los momentos ponderados por probabilidad, aunque presenta desventajas para la
implementación de otros procedimientos, tales como el de máxima verosimilitud.
Se dice que una variable aleatoria x tiene una distribución Wakeby cuando cumple la siguiente
relación con su función distribución acumulada (F):
x(F) = m + a[l-(1-F)b] - c[l-(1-F)-d]
Los valores de la variable aleatoria están comprendidos entre m e infinito y los parámetros del
modelo son m, a, b, c y d.
2.2 Estimación de parámetros.
Greenwood y otros autores (1979) recomiendan estimar los parámetros de ésta y de otras
distribuciones mediante el método de momentos ponderados por probabilidad (MPP), ya que
este procedimiento tiene características preferibles al de máxima verosimilitud o de momentos
convencionales, cuando el tamaño de la muestra es limitado. Los momentos ponderados por
probabilidad se definen como el valor esperado del producto de tres términos: la variable
aleatoria (x), la función de distribución acumulada (F(x)) y el complemento de esta función (lF(x)). De esta forma el MPP de orden i,j,k se calcula mediante la siguiente expresión:
Mi,j,k = E(xl Fj (l-F)k) = ∫ xl Fj (l-F)k dF
(2)
Los momentos convencionales constituyen un caso especial de los MPP, ya que en ellos el
exponente 1 es unitario y los otros dos exponentes son nulos.
En el caso de la distribución Wakeby para facilitar la obtención de los momentos al definir los
MPP, se usa un valor unitario para el exponente 1 y nulo para el exponente j. En este caso se
denomina M l,0,k al MPP de orden k, y se designa simplemente por Mk (Greenwood et al,
1979). Al integrar la expresión anterior, se obtiene la siguiente relación general para los
momentos Mk, válida para valores positivos de k:
Mk =
m
a−c
a
c
+
−
+
1+ k 1+ k 1+ k + b 1+ k − d
La estimación de los parámetros de la distribución Wakeby por el método de los momentos
ponderados por probabilidad requiere resolver un sistema de cinco ecuaciones, formado al
igualar los primeros cinco momentos ponderados de la muestra con los correspondientes
momentos de la población.
Landwehr y otros autores (1979a,b) recomiendan calcular estimadores de los MPP a partir de la
muestra, utilizando la siguiente expresión, que entrega MPP sesgados para k positivo, en
función del tamaño de la muestra (n), de los valores de caudales ordenados en forma creciente
(xí) y del número de orden (i) de cada valor en la lista:
Mk =
1 n
∑ xi ((n − i + 0.35) / n) k
n i =1
Los autores nombrados también exploraron el empleo de estimadores no sesgados para los
MPP. Sin embargo, reportan que los estimadores moderadamente sesgados proporcionan
mejores resultados, particularmente al estimar los valores de los cuantiles superiores, lo cual es
especialmente relevante en el contexto del análisis de frecuencia de crecidas.
2.3 Algoritmos de Solución
Landwehr y los otros investigadores desarrollaron dos algoritmos para la estimación de los
parámetros de la distribución Wakeby utilizando la técnica de los MPP. El primer algoritmo
(Landwehr et al,1979a), requiere conocer el parámetro ni de la muestra y se basa en el hecho de
que si una variable aleatoria X se distribuye según el modelo Wakeby con parámetro m
conocido, la variable X-m también se distribuye según Wakeby pero con parámetro m igual a
cero.
El algoritmo para un valor cualquiera del parámetro m posee dos partes. Se intenta primero un
ajuste inicial de parámetros basado estrictamente en las ecuaciones para ellos en función de los
MPP. Si no hay éxito, se intenta un ajuste iterando a partir de un valor dado de b, y estimando
los restantes parámetros usando las ecuaciones apropiadas. Si los parámetros estimados
conforman un conjunto no factible, se considera que el algoritmo ha fallado. (Landwehr et al.,
1979b)
Los algoritmos descritos se implementaron para este trabajo en un programa computacional que
permite estimar los parámetros a nivel regional o puntual, calcular los valores asociados a
distintos períodos de retorno y determinar la curva de frecuencia acumulada.
III.
APLICACION A LA ZONA CENTRAL DE CHILE
3.1 Descripción de la Zona
Para ilustrar el procedimiento propuesto, se escogieron 25 estaciones fluviométricas de la
región central-sur de Chile, pertenecientes a las cuencas de los ríos Rapel, Mataquito, Maule e
Itata cada estación con registros mayores o iguales a 15 años. Las estaciones seleccionadas
cuentan con un total de 723 años de información de caudales máximos diarios y representan
una superficie total e aproximadamente 90.000 kilómetros cuadrados. En la Tabla 1 se presenta
un listado de las estaciones y su ubicación geográfica se muestra en la Figura 1.
TABLA 1
Cuenca
Rapel
Mataquito
Maule
ESTACIONES FLUVIOMETRICAS SELECCIONADAS
Nombre
Latitud
Longitud
Código
Cachapoal en Pte.'I'ermas
Claro en Hda. Las Nieves
Cachapoal en Pte. Arqueado
Tinguiririca en jta. Azufre
Chimbarongo en Sta. Cruz
Tinguiririca en Los Olmos
Teno después junta
Teno en Pte. FFCC
Colorado en jta. Palos
Palos en jta. Colorado
Claro en Camarico
Lircay Pte. Las Rastras
34 15
34 29
34 17
34 50
34 39
34 30
35 01
34 53
35 16
35 16
35 10
35 29
70 34
70 43
71 21
70 33
71 21
71 23
70 51
71 11
71 01
71 01
71 23
71 17
R5
R9
R10
R11
R16
R17
M5
M6
M9
M10
M1
M3
Claro en Talca
Maule en Armerillo
Ancoa en El Morro
Longaví en Quiriquina
Longaví en Longitudinal
Perquilauquén en San Manuel
Perquilauquén en Quella
Purapel en Nirivilo
Nuble en La Punilla
Chillán en Longitudinal
Diguillín en San Lorenzo
Diguillín en Longitudinal
Itata en Cholguán
Itata
35 25
35 42
35 53
36 15
36 00
36 25
36 03
35 33
36 39
36 46
36 52
36 53
37 11
71 42
71 06
71 17
71 27
71 44
71 30
72 05
72 05
71 22
71 45
71 36
72 20
72 03
M4
M26
M32
M39
M40
M42
M43
M45
I3
I7
I13
I14
I16
El relieve de esta región se caracteriza por la existencia de dos cordilleras longitudinales
(Cordillera de los Andes y Cordillera de La Costa) con valles centrales que conforman una
depresión intermedia. El clima es mediterráneo, caracterizado por tener un período lluvioso en
invierno (Junio-Agosto), época durante la cual ocurre la mayor parte de las precipitaciones
anuales. Las precipitaciones anuales varían en promedio entre 500 mm y 2500 mm, existiendo
un aumento significativo de ellas hacia el sur. La parte alta de las cuencas, con alturas sobre los
2000 m, recibe normalmente precipitaciones en forma de nieve. La producción específica de
las cuencas, aumenta también de norte a sur, con valores medios en el rango entre 10 I/s/km2 y
90 l/s/km2.
3.2 Cálculo de Momentos y de Parámetros
En la Tabla 2 se muestran los principales parámetros estadísticos de los registros seleccionados.
El caudal de la crecida máxima diaria promedio es de 385 (m3/s) , variando entre un mínimo de
44,4 y un máximo de 1100 (m3/s). El coeficiente de variación del promedio es de 0,69. La
longitud media de registro de las estaciones seleccionadas es de 29 años.
TABLA2
CARACTERISTICA DE LOS CAUDALES MAXIMOS DIARIOS
Código RegistroProm
Cuenca
Estación (años) (m3/s)
R5
R9
R10
Rll
R16
R17
M5
17
25
31
23
36
27
24
346.3
49.9
787.2
606.2
178.6
587.7
218.3
Desv
Coef Var. Coef Asim
(m3/s)
205.1
42.0
429.3
399.0
82.2
385.3
137.6
Max
(m3/s)
(m3/s)
0.592 1.344
0.842 1.824
0.545 0.722
0.658 0.761
0.460 0.119
0.656 0.772
0.631 1.369
864'
183
1885
1587
349
1587
624
Min
Area
(km2)
91.2
6.9
90.9
18.0
14.9
18.3
46.3
2367
27
6350
370
681
3130
956
M6
M9
M10
M1
M3
M4
M21
M32
M39
M40
M42
M43
M45
I3
I7
I13
I14
I16
19 338.7
38 192.2
31 140.6
39 212.4
20 281.1
21 779.2
67 1101.9
27 178.0
33 455.1
16 612.5
42 382.4
15 .738.1
23 44.4
23 348.6
33 85.4
29 239.3
26 422.9
38 322.6
262.9
111.9
94.2
133.7
249.4
568.2
560.7
124.1
313.9
490.2
200.6
405.5
40.8
169.7
54.8
113.4
221.0
130.9
0.776 1.148
0.582 2.334
0.669 1.244
0.630 0.995
0.887 1.739
0.729 0.725
0.509 0.992
0.697 1.538
0.690 1.416
0.800 1.117
0.525 0.259
0.549 0.760
0.919 2.033
0.487-0.163
0.642 1.018
0.474 0.094
0.523 0.380
0.406 0.713
1015
658
421
543
1040
2033
2648
595
1358
1385
784
1618
166
623
230
486
980
734
36.0
47.0
24.1
9.6
10.2
39.5
142.0
19.4
61.5
28.1
25.8
65.4
1.8
19.0
30.4
52.4
9.0
111.0
1523
883
506
742
376
2596
5520
204
650
870
481
1195
258
1300
224
163
1232
852
Utilizando la expresión (4) se calcularon los estimadores para los primeros cinco momentos de
cada estación, los cuales se usaron en el sistema de ecuaciones mencionado para calcular los
parámetros del modelo Wakeby ajustado a cada estación. Los resultados se incluyen en la
Tabla 3.
TABLA 3
PARAMETROS WAKEBY
ES'I'ACION
R5
R9
R10
R11
R16
R17
M5
M6
M9
M10
M1
M3
M4
M26
M32
M39
M40
M42
M43
a
94,456
4,767
262,971
83,269
101,725
58,073
45,869
-26,248
86,725
29,537
113,500
416,063
350,921
370,923
223,938
110,893
357,594
184,795
523,919
b
10,000
8,929
10,000
4,551
5,778
10,000
10,000
10,000
5,410
2,975
7,061
0,964
4,343
4,872
1,399
10,000
1,751
3,951
5,732
c
1641,371
296,854
-3125,879
-2493,877
-401,947
-2139,000
-157513,499
-3081,702
162,077
-27570,534
6461,243
55,467
-6838,449
-17882,856
24,883
4781,736
3351,918
-918,481
913,239
d
0,106
0,117
-0,184
-0,239
-0,257
-0,295
-0,001
-0,110
0,317
-0,003
0,019
0,596
-0,091
-0,031
0,602
0,060
0,105
-0,295
0,242
m
64,847
6,478
62,027
57,416
9,820
48,159
35,807
58,354
43,953
25,501
-9,967
4,741
-78,946
262,211
9,817
52,040
-8,522
25,879
0,000
M45
1I3
I7
I13
I14
I16
20,439
337,691
-24,264
167,431
472,677
273,191
8,468
2,169
3,850
2,670
42265
1,953
77,431
-779,901
-362,319
-519,828
140,106
54,739
0,284
-0,137
-0,259
-0,202
0,406
0,44
4,673
23,596
30,098
29,990
-55,715
298,506
El problema de asociar probabilidades de excedencia a cada valor de la crecida, queda resuelto
al conocer los parámetros de la distribución Wakeby ajustada a cada estación fluviométrica.
Los valores de crecida con distintas probabilidades se obtienen evaluando la expresión (1) para
los valores deseados de la función distribución acumulada.
3.3 Extensión del Método a nivel Regional.
Una de las ventajas de esta distribución es la posibilidad de utilizarla a nivel regional con
buenos resultados. Para ello, se requiere verificar en primer lugar, la homogeneidad de la
región. En este caso particular, se utilizó un test de homogeneidad basado en la distribución,
(Wiltshire, 1989) el cual condujo a aceptar la homogeneidad hidrológica de la región frente a
series históricas de caudales máximos diarios . Posteriormente se dividió cada uno de los
valores observados en cada estación por la crecida media anual para tener registros
adimensionales y poder combinarlos para formar una sola muestra. A esta muestra única se
ajustó un modelo Wakeby calculándose los parámetros regionales.
Otro elemento que requieren los métodos regionales para poder ser aplicados en puntos sin
información es contar con una relación para predecir la crecida media anual (QMD). En este
caso, se estudió una relación que incluyera el tamaño de la cuenca, la precipitación anual, la
latitud y la altura como variables explicativas. La mejor relación encontrada es la que se
presenta a continuación, la cual tiene un coeficiente de correlación igual a 0,79 y un error
estándar de estimación igual a 168 metros cúbicos por segundo. Esta relación incluye el área de
la cuenca (A) y la latitud de la estación (LAT, grados) como variables explicativas.
QMD = -2789,9.+ 12,8235 √A+ 77,5 LAT
3.4 Validación del procedimiento.
Para validar el método propuesto, se compararon los resultados obtenidos al estimar la curva de
frecuencia de crecidas para un lugar a partir de los datos observados, con la estimada a través de
la relación regional. La Tabla 4 presenta los resultados para 3 estaciones ubicadas en el área y
no incluidas en el grupo usado para calcular la curva regional. Las estaciones utilizadas fueron
río Claro en el Valle perteneciente a la cuenca del río Rapel (Lat 34º 41', Long 70º 53', Area 358
km2), Estero El Manzano en desembocadura (cuenca río Mataquito) (Lat 35º 10', Long 71º 23',
Area 130 km2 ) y Maule en Colbún (Lat 35º 40', Long 71º 21' área 5334 km2). Estas estaciones
representan el rango de tamaños incluido en el estudio y están ubicadas en forma representativa
dentro de la zona. La crecida media anual se puede estimar en función del área de la cuenca y
de la latitud con la expresión (5) con buena aproximación en los casos de los ríos Claro y
Maule, ya que la estimación tiene errores del orden del 15%. En el caso del estero El Manzano
la crecida media anual no puede estimarse con precisión aceptable y es deseable buscar una
expresión más precisa, incorporando otras variables explicativas.
La Tabla 4 compara los valores estimados y observados para períodos de retorno de 25, 50 y
100 años. En el río Claro el error porcentual promedio de las estimaciones es 25%, en el estero
El Manzano es 16% y en el río Maule 9%. Los errores porcentuales individuales en estas
estaciones varían entre 4% y 32% para los períodos de retorno indicados. Se pudo apreciar
también en varios casos, que al considerar conocido el valor de la crecida media anual del lugar,
los errores de estimación de las crecidas máximas diarias asociadas a distintos períodos de
retorno disminuyen significativamente.
TABLA 4
CAUDALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS PARA DISTINTOS
PERIODOS DE RETORNO (m3/s)
ESTACION FLUVIOMETRICA
Período de retorno Claro en el Valle
El Manzano
Obs
Est
Obs
Est.
Promedio
25
50
100
IV.
132
274
306
335
141
327
384
441
146
125
156
190
66
155
181
208
Maule en Colbún
Obs
Est.
1093
2198
2350
2462
911
2119
2485
2854
CONCLUSIONES.
La distribución Wakeby posee importantes ventajas para estimar datos de caudales máximos
diarios. La estimación de sus parámetros es difícilmente practicable por métodos clásicos, sin
embargo, la técnica de estimación parámetros por el método de momentos ponderados por
probabilidad ha demostrado ser adecuada para esta distribución, pues permite plantear
expresiones para estimar cada parámetro en función de los MPP obtenidos a partir de la muestra
de caudales máximos diarios.
El sistema de ecuaciones que permite la obtención de los de parámetros Wakeby se ha resuelto
algebraicamente . La resolución del sistema es elaborada y requiere los algoritmos indicados
para verificar que las soluciones existan y sean factibles.
La aplicación del modelo a una región bastante amplia de la zona central-sur de Chile con gran
variedad climática ha sido exitosa. El procedimiento se recomienda y los resultados se pueden
mejorar al tener una relación más precisa para estimar la crecida media anual en lugares sin
información fluviométrica.
Conviene resaltar que la región abarca casi 90.000 km2 , lo cual significa que es probable
enciontrar en una región de este tamaño bastantes registros observados. Aún así, a pesar de
variación climática que se observa en la región, las estimaciones de las crecidas tiene una
precisión aceptable.
VI.
REFERENCIAS.
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