04 Medición y error

Tema 04: Medición y error
Solicitado: Ejercicios 01: Análisis estadístico
M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez
http://www.eafranco.com
[email protected]
@edfrancom
edgardoadrianfrancom
1
• Definiciones
• Error de medición
• Causas de errores de medición
•
•
•
•
Errores debidos al instrumento de medida
Errores debidos al operador
Errores debidos a los factores ambientales
Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores mal acondicionados
• Tipos de errores de medición
Instrumentación
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Contenido
• Error grueso o grave
• Error sistemático
• Error aleatorio
• Análisis estadístico
•
•
•
•
Media aritmética
Desviación de la media
Desviación promedio
Desviación estándar
• Distribución normal de errores
• Error probable
• Ejercicios 01: Análisis estadístico
2
• Medir: es determinar numéricamente una
magnitud comparándola con otra de su misma
especie y de valor constante. A estas magnitudes se
las conoce como unidades de medida y su
materialización son los patrones de medida.
• El valor verdadero de una cierta magnitud que se
mide es siempre imposible de determinar por las
limitaciones tanto del operador como de los
instrumentos de medida. Toda medida va afectada
de un error, también imposible de determinar, pero
cuyo valor podemos acotar dentro de unos márgenes
adecuados.
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Definiciones
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• Exactitud: Aproximación con la cual la lectura de un
instrumento se acerca al valor real de la variable
medida.
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• Instrumento: Dispositivo para determinar el valor o
la magnitud de una cantidad o variable.
• Precisión: Medida de la reproducibilidad de las
mediciones: i.e. dado el valor fijo de la variable, la
precisión es una medida del grado con el cual las
mediciones sucesivas difieren una de otra.
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• Resolución: Cambio más pequeño en el valor
medido al cual responde el instrumento.
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• Sensibilidad: Relación de la señal de salida o
respuesta del instrumento respecto al cambio de la
entrada o variable medida.
• Error: Desviación a partir del valor real de la variable
medida.
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• El error de medición se define como la diferencia entre
el valor medido y el valor verdadero. Afectan a
cualquier instrumento de medición y pueden deberse
a distintas causas. Las que se pueden de alguna
manera prever, calcular, eliminar mediante
calibraciones y compensaciones, se denominan
determinísticos o sistemáticos y se relacionan con la
exactitud de las mediciones. A aquellos errores que no
se pueden prever, pues dependen de causas
desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios
y están relacionados con la precisión del instrumento.
Finalmente a aquellos errores causados por factor
humano se les conoce como gruesos o graves.
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Error de medición
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• Aunque es imposible conocer todas las causas del
error es conveniente conocer todas las causas
importantes y tener una idea que permita evaluar
los errores mas frecuentes. Las principales causas
que producen errores se pueden clasificar en:
•
•
•
•
Error debido al instrumento de medida
Error debido al operador
Error debido a los factores ambientales
Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores
mal acondicionados
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Causas de errores de medición
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• Cualquiera que sea la precisión del diseño y
fabricación de un instrumento presentan siempre
imperfecciones. A estas, con el paso del tiempo, les
tenemos que sumar las imperfecciones por
desgaste.
• Error de alineación
• Error de diseño y fabricación
• Error por desgaste del instrumento. Debido a este tipo
de errores se tienen que realizar verificaciones
periódicas para comprobar si se mantiene dentro de
las especificaciones debidas
• Error por precisión y forma de los contactos
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Errores debidos al instrumento de medida
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• El operador influye en los resultados de una medición por la
imperfección de sus sentidos así como por la habilidad que
posee para efectuar las medidas. Las tendencias existentes
para evitar estas causas de errores son la utilización de
instrumentos de medida en los que elimina al máximo la
intervención del operador.
• Error de mal posicionamiento: Ocurre cuando no se coloca
adecuadamente el instrumento de medida.
• Error de lectura y paralelaje: Cuando los instrumentos de
medida no tienen lectura digital se obtiene la medida mediante
la comparación de escalas a diferentes planos. Este hecho
puede inducir a lecturas con errores de apreciación,
interpolación, coincidencia, etc. Por otra parte si la mirada del
operador no esta situada totalmente perpendicular al plano de
escala aparecen errores de paralelaje.
• Errores que no admiten tratamiento matemático: Error por
fatiga o cansancio.
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Errores debidos al operador
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• El más destacado y estudiado es el efecto de la
temperatura en los metales dado que su influencia es
muy fuerte.
• Error por variación de temperatura: Los objetos
metálicos se dilatan cuando aumenta la temperatura y se
contraen al enfriarse. Este hecho se modeliza de la
siguiente forma.
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Errores debidos a los factores ambientales
• Variación de longitud = Coeficiente de dilatación específico
x longitud de la pieza x variación temperatura ( ΔL = α.L.ΔT )
• Otros agentes exteriores: Influyen mínimamente.
Humedad, presión atmosférica, polvo y suciedad en
general. También de origen mecánico, como las
vibraciones.
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• Cuando el instrumento de medición se basa en
transductores y sensores, estos pueden presentar
fallos ante perturbaciones de alimentación eléctrica,
así como un mal circuito de acoplamiento puede
realizar modificaciones no deseadas a la medición.
• No es razonable esperar a priori, que un sensor
responda exclusivamente a la magnitud de interés, y
que la señal de salida fuera únicamente la señal de
entrada.
• Un circuito de acoplamiento mal acondicionado o
protegido puede introducir ruido y medidas erróneas
de un instrumento de medición.
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Error debido a perturbaciones eléctricas o
sensores mal acondicionados
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• Ninguna medición se puede realizar con una exactitud
perfecta, pero es importante descubrir cuál es la
exactitud real y como se generan los diferentes tipos de
errores en las mediciones.
• Los errores pueden ser:
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Tipos de errores de medición
• Errores gruesos o graves: Son en gran parte de origen
humano.
• Errores sistemáticos: Se deben a fallas de los instrumentos.
• Errores aleatorios: Ocurren por causas que no se pueden
establecer directamente.
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• Se deben principalmente a fallas humanas en la
lectura, utilización de los instrumentos, registro o
cálculo de los resultados de las mediciones.
• Cuando el hombre participa en la medición, se
cometen inevitablemente errores graves. Aunque es
imposible la eliminación total de éstos se deben
intentar anticiparlos y corregirlos.
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Error grueso o grave
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• Permanecen constantes en valor absoluto y en el
signo al medir una magnitud en las mismas
condiciones, y se conocen las leyes que lo causan.
(Instrumentales o ambientales)
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Error sistemático
• Para determinar un error sistemático se deben de
realizar una serie de medidas sobre una magnitud X0,
se debe de calcular la media aritmética de estas
medidas y después hallar la diferencia entre la media
y la magnitud X0.
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Error sistemático = | media - X0 |
• No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su
excesiva complejidad o por su pequeña influencia en el
resultado final.
• Para conocer este tipo de errores primero debemos de realizar
un muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivas
medidas podemos calcular su media y la desviación típica
muestral. Con estos parámetros se puede obtener la
distribución normal característica, N[μ, s], y la podemos acotar
para un nivel de confianza dado.
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Error aleatorio
• Las medidas entran dentro de la campana con unos márgenes
determinados para un nivel de confianza que suele establecerse
entre el 95% y el 98%.
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• El análisis estadístico de datos de mediciones es
una practica común ya que permite obtener una
determinación analítica de la incertidumbre del
resultado final.
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Análisis estadístico
• Un análisis estadístico previo disminuye los errores
sistemáticos en comparación con los errores
aleatorios.
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• El valor más probable de una medida es la media
aritmética del número de lecturas tomadas.
• Cuando el número de lecturas de la misma cantidad
es muy grande, se obtiene una mejor aproximación.
En teoría un número infinito de mediciones daría
un mejor resultado.
𝑥=
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Media aritmética
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
n
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• Desviación es el alejamiento de una lectura dada
de la media aritmética. Si la desviación de la
primera lectura, 𝑥1 , se llama 𝑑1 , y la de la segunda
lectura, 𝑥2 , es 𝑑2 y así sucesivamente.
𝑑1 = 𝑥1 − 𝑥
𝑑2 = 𝑥2 − 𝑥
…
𝑑𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥
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Desviación de la media
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• La desviación promedio es una indicación de
precisión de los instrumentos usados en las
mediciones.
𝐷=
𝑛
𝑖=1
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Desviación promedio
𝑑𝑖
n
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• La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida
de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o
cociente) y de intervalo.
• La desviación típica es una medida (cuadrática) que informa
de la media de distancias que tienen los datos respecto de su
media aritmética, expresada en las mismas unidades que la
variable.
𝜎=
𝑛 𝑑 2
𝑖=1 𝑖
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Desviación estándar
𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎
𝑛 −1
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• En estadística y probabilidad se llama distribución normal,
distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las
distribuciones de probabilidad de variable continua que con
más frecuencia aparece en fenómenos reales.
• La gráfica de su función de densidad tiene una forma
acampanada y es simétrica respecto de un determinado
parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.
• La importancia de esta distribución radica en que permite
modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y
psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a
gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por
la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos
intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse
asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de
unas pocas causas independientes.
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Distribución normal de errores
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• Distribución normal de errores
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• Es simétrica respecto de su media, μ;
• La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
• Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x
= μ + σ.
• Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
• En el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida,
aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
• En el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra,
aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
• Por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra
comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la
distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el
establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el
hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se
encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los
límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal
estándar.
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• Algunas propiedades de la distribución normal son:
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• En el área bajo la curva de probabilidad de Gauss,
alrededor del 68% de todos los casos queda entre
los limites de +σ y – σ de la media. Por lo que se
llama error probable a:
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Error probable
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑏able = ±0.6745𝜎
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1. Una serie de mediciones de un sensor de
temperatura ha arrojado los siguientes voltajes
bajo las mismas condiciones y temperatura:
182mV, 179mV, 180mV, 181mV, 160mV, 190mV,
178mV, 182mV, 200mV, 177mV, 180mV, 176mV,
182mV, 178mV, 181mV; si se sabe que el sensor
no es de buena calidad:
• ¿Qué debo de considerar para utilizarlo como parte de mi sistema de
instrumentación?
• ¿Cuál es el error promedio?
• ¿Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones?
• Si se sabe que se trata de un LM35 con una salida lineal de 15mV/°C
¿Cuál es la temperatura medida en °C?
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Ejercicios 01: Análisis estadístico
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•
•
•
•
400.53 Ω
401.03 Ω
400.78 Ω
400.10 Ω
399.02 Ω
400.00 Ω
490.32 Ω
400.11 Ω
400.00 Ω
396.50Ω
402.30 Ω
430.78 Ω
401.01 Ω
400.02 Ω
399.98 Ω
398.50 Ω
408.59 Ω
399.99 Ω
400.05 Ω
400.55 Ω
399.10 Ω
404.53 Ω
399.10 Ω
404.23 Ω
401.30 Ω
¿Cuál es el error promedio?
¿Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones?
Dibuje la distribución de las mediciones y su características
¿Cuantos de los sensores ocupan el 99.77% de la distribución normal?
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2. 25 fotoceldas ha sido sometidas a pruebas de
calidad. Estas se colocan en un área con
luminosidad constante (1000 luxes) y se realizan
mediciones de la respuesta de cada una de ellas:
26
4100.53 KΩ
4101.03 KΩ
4000.78 KΩ
4100.10 KΩ
4399.02 KΩ
4100.00 KΩ
4190.32 KΩ
4000.11 KΩ
4000.00 KΩ
4396.50 KΩ
4102.30 KΩ
4130.78 KΩ
4101.01 KΩ
4000.02 KΩ
3909.98 KΩ
3908.50 KΩ
4108.59 KΩ
3909.99 KΩ
4300.05 KΩ
4100.55 KΩ
3909.10 KΩ
4104.53 KΩ
3909.10 KΩ
4404.23 KΩ
4201.30 KΩ
•
•
•
•
¿Cuál es el error promedio?
¿Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones?
Dibuje la distribución de las mediciones y su características
¿Cuantos de los sensores ocupan el 0.33% de la distribución normal?
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3. 25 termistores ha sido sometidas a pruebas de
calidad. Estos se colocan en un área con una
temperatura constante (-10°C) y se realizan
mediciones de la respuesta de cada uno de ellos:
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4. Una serie de mediciones de un sensor digital
integrado de humedad SPI ha enviado a bajo las
mismas condiciones de humedad en un tiempo
determinado: 11001001, 11001000, 11001010,
11001011, 11001000, 11001001, 11001010,
11001001, 11001011, 11000111, 11001000,
11001010, 11001000, 11000101 y 11000110.
• ¿Cuál es el error promedio?
• ¿Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones?
• Si se sabe que el sensor es lineal, tiene una resolución de 8 bits y un
rango de humedad relativa detectable del 10% al 90% ¿Cuál es el valor de
humedad relativa media? ¿Cuál es el valor de humedad para 11001100?
¿Cuál es el valor de humedad para 00111111?
28
1100100011001001, 1100101011001001, 1100101111001001,
1100100011001001, 1100100111001001, 1100101011001001,
1100100111001001, 1100101111001001, 1100011111001001,
1100100011001001, 1100101011001001, 1100100011001001,
1100010111001001 y 1100011011001001.
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5. Una serie de mediciones de un sensor digital
integrado de aceleración I2C para medir la fuerza
ejercida sobre los pilotos de carreras esta siendo
evaluado y ha arrojado los siguientes valores de salida
bajo las misma aceleración generada por una
maquina
de
pruebas:
1100100111001001,
• ¿Cuál es el error promedio?
• ¿Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones?
• Si se sabe que el sensor es lineal , tiene una resolución de 16 bits y un rango
de fuerzas G detectable del 0 al 30 ¿Cuál es el valor de la aceleración media?
¿Cuál es el valor de fuerzas G para 1010101000000000 y 0000000011111111?
*Se entregarán antes del día Viernes 05 de Septiembre de 2014
(23:59:59 hora limite).
*Transcribe y resuelve de manera ordenada los ejercicios anteriores,
redactando el ejercicio y la solución detallada de cada uno de los ejercicios y
sus preguntas.
*Incluir portada y encabezados en cada página.
29