Esp Afines y Eucl

 ESPACIOS AFINES Y ESPACIOS EUCLIDIANOS
1) Espacios afines. Definición y propiedades. Variedades lineales
Rectas, planos e hiperplanos.
2) Espacios euclidianos, definición. Distancia. Variedades ortogonales y
perpendiculares. Proyección ortogonal.
Introducción
Hasta el momento hemos trabajado sobre la estructura de espacio vectorial, en
otras palabras hemos trabajado con vectores. Intentaremos ahora presentar una nueva estructura
algebraica (la de espacio afín) que nos permitirá trabajar con “puntos”.
Definición
Consideramos: V un EVR
E un conjunto no vacío.
+ : E × V → E una función.
Decimos que (E,V,+) es un espacio afín si y solo si la función “+” cumple
G
G G
1) A + ( u + v) = (A + u ) + v
G G
∀A ∈ E ∀u, v ∈ V
JJJJJG
G
G
G
2) ∀A, B ∈ E existe un único u ∈ V / A = B + u (Al vector u lo anotamos A − B )
Si (E,V,+) es un espacio afín, a los elementos de E los denominaremos puntos. Con este lenguaje
la función “+” mencionada en la definición la podemos considerar una “operación” en la cual
sumamos un punto mas un vector y obtenemos un punto. Le sugerimos al lector hacer una
interpretación geométrica de las dos condiciones que le exigimos en la definición a dicha
operación.
Ejemplo
Consideramos E = \ 2 , V = \ 2 y + : E × V → E tal que (x, y) + (x ′, y′) = (x + x′, y + y′)
Probemos que ( E, V, + ) es un espacio afín.
Primero que nada observemos que + es efectivamente una función de E × V → E
( en este caso de \
2
× \2 → \2 )
G
G G
Nos queda por probar entonces que: 1) A + ( u + v) = (A + u ) + v
G G
∀A ∈ E ∀u, v ∈ V
G
G
2) ∀A, B ∈ E existe un único u ∈ V / A = B + u
G
G G
1) A + ( u + v) = (A + u ) + v
G G
∀A ∈ E ∀u, v ∈ V En este caso
(a, b) + ( (x, y) + (x ′, y′) ) = ( (a, b) + (x, y) ) + (x ′, y′) ∀(a, b) ∈ \ 2 , ∀(x, y), (x ′, y′) ∈ \ 2
( (a, b) + (x, y) ) + (x′, y′) =Def "+" (a + x, b + y) + (x′, y′) = Def "+" ( (a + x) + x′, (b + y) + y′) =Asoc en ( \,+ )
= ( a + (x + x ′), b + (y + y′) ) = Def "+" (a, b) + (x + x′, y + y′) = Def "+"
= (a, b) + ( (x, y) + (x ′, y′) )
G
G
2) ∀A, B ∈ E existe un único u ∈ V / A = B + u
En este caso ∀(a, b), (c, d) ∈ \ 2 ∃ (x, y) ∈ \ 2 único / (a, b) = (c, d) + (x, y)
⎧c+x = a
⎧ x = a −c
⇔ ⎨
Existencia (a, b) = (c, d) + (x, y) ⇔ ⎨
⎩d+y=b
⎩ y = b−d
Por lo tanto ∀(a, b), (c, d) ∈ \ 2 ∃ (a − c, b − d) ∈ \ 2 / (a, b) = (c, d) + (a − c, b − d)
Unicidad Supongamos que ∃ (x′, y′) ∈ \ 2 / (a, b) = (c, d) + (x ′, y′) Como (a, b) = (c, d) + (x, y)
⇒ (c, d) + (x, y) = (c, d) + (x ′, y′) ⇒
( c + x, d + y ) = ( c + x′, d + y′ )
⎧ c + x = c + x′
⎧ x′ = x
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎩ d + y = d + y′
⎩ y′ = y
Análogamente puede extenderse a \ n
Teorema
Si (E,V,+) es un espacio afín (E.A.) se cumplen la siguientes proposiciones:
1) A + ϑ = A ∀A ∈ E
(ϑ es el vector nulo)
JJJJJG
JJJJJG JJJJJG
2) A − B + B − C = A − C
∀A, B, C ∈ E
JJJJJG
JJJJJG
3) A − B = −(B − A)
∀A, B ∈ E
JJJJJG G
G
G
4) (B − A) + u = (B + u) − A
∀A, B ∈ E ∀u ∈ V
JJJJJG JJJJJG
JJJJJG JJJJJJG
5) B − A = C − D ⇔ B − C = A − D
(
) (
)
Dem 1) Como + es una función de E × V → E A + ϑ es un único punto de E al que
denominamos B. Tenemos por ahora A + ϑ = B
⇒
Por otra parte al estar trabajando en un espacio afín dados dos puntos cualesquiera del espacio
(pueden ser dos puntos iguales) existe un vector que sumado a uno de ellos es igual al otro.
G
G
Mas precisamente tenemos certeza de que ∃v ∈ V / A = A + v
G
Sustituyendo esta última igualdad en A + ϑ = B nos queda: ( A + v ) + ϑ = B ⇒
G
G
G
⇒ A + ( v + ϑ ) = B ⇒ A + v = B pero A + v = A ⇒ A = B
Y en consecuencia A + ϑ = A
Le sugerimos al lector hacer una interpretación geométrica de cada una de las propiedades,
además de demostrarlas.
Nota:
Si (E,V,+) es un E.A. y V es un espacio vectorial de dimensión finita n diremos que también
(E,V,+) o simplemente E es una espacio afín de dimensión finita y además de dimensión n.
VARIEDADES LINEALES
Definición
Consideramos: (E, V,+) un espacio afín
Se ⊆ E ; Se ≠ ∅
Decimos que Se es una variedad lineal de E ⇔ ∃ SV SEV de V / ( Se ,SV , + ) es un espacio afín
A SV lo denominamos dirección de la variedad lineal Se
Observaciones Consideramos Se una variedad lineal (VL) de dirección SV en el espacio afín
( E, V, + )
y A ∈ Se
G
G
G JJJJJJG
1) ∀v ∈ SV A + v = X ∈ Se ⇒ v = X − A
G
G JJJJJJG
G
2) ∀v ∈ V / v = X − A con X ∈ Se ⇒ v ∈ SV ya que ( Se ,SV + ) es un EA Por lo tanto
Si Se es una variedad lineal de dirección S V y A ∈ S e
JJJJJJG
SV = X − A ∈ V / X ∈ Se
{
}
G
∃ y es único v ∈ S V / X = A + v
G
G
2) ∀X ∈ E ; X = A + v con v ∈ S V ⇒ X ∈ S e
También observemos: 1) ∀X ∈ S e
En consecuencia:
Si Se es una variedad lineal de dirección S V y A ∈ S e
G
G
Se = { A + v ∈ E / v ∈ SV }
Ejemplo: En el E.A. \ 2 asociado al EVR \ 2 (el habitual) Pretendemos hallar la variedad lineal
que pasa por A = (0,2) y tiene dirección L({(1,3)})
Se = { A + α.(1,3) ; α ∈ \ } = { (0, 2) + α.(1,3) ; α ∈ \ } = { (α , 2 + 3α) ; α ∈ \ } = { (x, y) ∈ \ 2 / y = 3x + 2 }
Le sugerimos interpretar geométricamente los resultados obtenidos.
Nota:
En caso de que (E,V,+) sea un E.A y V un EVRDF. más precisamente de dimensión n
diremos que E (ó (E,V,+) ) es también un espacio de dimensión finita y de dimensión n. En pocas
palabras la dimensión del espacio afín coincide con la del EVR asociado.
Como las variedades lineales son en sí mismas un E.A. ⇒ Si S e es una variedad lineal
de dirección SV y S V es un espacio (subespacio) de dimensión n diremos que la variedad lineal
es de dimensión n.
A la variedades lineales de dimensión 1 las denominaremos rectas, a las de dimensión 2
planos y a las de dimensión n − 1 (siendo n la dimensión del espacio afín del cual es subconjunto
S e ) hipèrplano.
Definición
Consideramos S e y Te dos variedades lineales de un mismo E.A. (E,V,+) y de
direcciones S V y TV respectivamente.
Diremos que S e es paralela a Te
⎧ S V ⊆ TV
⎪
⇔ ⎨ ∨
⎪T ⊆S
V
⎩ V
Le sugerimos al lector hacer una interpretación gráfica de esta definición, analizando los casos de
paralelismos entre rectas, entre planos, y entre recta y plano.
Teorema
⎧ (E, V, +) un E.A.
⎪
H) ⎨ Se una V.L de E con dimensión n
⎪ A∈E
⎩
T) Existe y es única la V.L. Te del E.A. (E,V,+) que cumple: i) Te // S e
ii) dim(Te ) = n
Dem;
G
G
Existencia Consideramos Te = { A + v ∈ E / v ∈ SV } intentaremos probar que Te es la
variedad lineal buscada. Para lo cual demostraremos:
1) Te es una VL de dirección SV
2) A ∈ Te
3) Te & Se
4) dim Te = n
1) Pretendemos demostrar que ( Te ,SV , + ) es un espacio afín. Para lo cual lo primero que
probaremos es que "+" es una operación. Para lo cual hay que demostrar que si sumamos un
punto de Te y un vector de SV obtenemos un punto de Te .
G
G
G
G G
G G
∀X ∈ Te ∃v ∈ SV / X = A + v ⇒ X + u = ( A + v ) + u = A + ( v + u )
G
G G
G
G
Ahora ∀u ∈ SV v + u ∈ SV ya que SV es un SEV ⇒ X+u ∈ Te ∀X ∈ Te ∧ ∀u ∈ SV
En segundo lugar se cumple como consecuencia directa de que Te ⊆ E y que SV ⊆ V
G
G
Para terminar el punto 1) nos falta demostrar que ∀X, Y ∈ Te ∃ y es único w ∈ Sv / Y = X + w
G
G
JJJJJJG G G
∀X ∈ Te X = A + v con v ∈ SV ⎫
G G G
⇒
Y
−X = u−v
Por lo tanto w = u − v la unicidad
G
G
⎬
∀Y ∈ Te Y = A + u con u ∈ SV ⎭
queda asegurada por estar trabajando dentro de un espacio afín ( E, V, + )
2) Como SV es un SEV ⇒ ϑ∈ SV
⇒ A + ϑ = A ∈ Te
3) dir Te = dir Se = SV
⇒ Te & Se
4) dim Te = dim ( dir Te ) = dimSV = n
Unicidad Supongamos que ∃ H e VL de E tal que A ∈ H e , H e & Se ∧ dim H e = n
H e & Se
⎧ H V ⊆ SV
⎪
⇒ ⎨ ∨
⎪S ⊆H
V
⎩ V
Como dim H e = dim H v = n = dimSV
Teniendo en cuenta que además A ∈ H e
⇒ H V = SV
G G
G G
⇒ H e = { A + v / v ∈ H V } = { A + v / v ∈ SV } = Te
Interprete geométricamente. ¿Qué nombre le daría a esta proposición?
RECTAS
Como dijimos llamamos recta a una variedad lineal de dimensión 1. Por lo tanto es razonable
decir:
G
Consideramos (E,V,+) un E.A. A ∈ E y v ∈ V * = V − {ϑ} Llamamos recta que pasa
G
G
por A y tiene dirección v a la variedad lineal que pasa por A y tiene dirección L({v}) .
G
Anotamos R (A, v)
Por lo dicho cuando tratamos en general la variedad lineal que pasa por un punto podemos
afirmar:
G
G
R(A, v) = {A + λ.v ∈ E ; λ ∈ \ } Interpretar geométricamente.
El siguiente teorema nos asegura la independencia de la definición del vector y del punto
elegidos.
Teorema
G
G
G
G
G
K
1) R(A, v) = R(A, u) ⇔ ∃α ∈ \ ; v = α.u ⇔ v ∈ L ({u} )
G
G
G
2) R(A, v) = R(B, v) ⇔ B ∈ R(A, v)
La proposición 1) nos dice que podemos sustituir el vector de dirección por cualquier vector
colineal. y la 2) que es posible cambiar el punto por cualquier otro de la recta.
Dem 1)
(⇒)
G
G
G
G
R(A, v) = { A + λv } R(A, u) = { A + μ u }
G
G
G
G
G
Ahora A + v ∈ R(A, v) = R(A, u) ⇒ ∃α ∈ \ / A + v = A + α u ⇒
G
G
⇒ ∃α ∈ \ / v = α u
( ⇐)
G
G
∀X ∈ R(A, v) X = A + λv con λ ∈ \
G
G
G
G
G
Por hipótesis ∃α ∈ \ / v = α u ⇒ X = A + λ ( α u ) = A + ( λα ) u ⇒ X ∈ R(A, u)
G
G
Con lo cual podemos asegurar que R(A, v) ⊆ R(A, u) Análogamente se prueba que
G
G
R(A, u) ⊆ R(A, v)
La demostración de la proposición 2) queda a cargo del lector.
Veamos ahora si el objeto matemático que llamamos recta merece tal nombre. En otras palabras,
si las rectas de Geometría I (consideradas como conceptos primitivos, y caracterizadas por lo
tanto a través de los axiomas) son las mismas o que vinculación tienen con las rectas que
acabamos de definir (como variedades lineales de dimensión 1)
Teorema
Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen.
⎧⎪ ( E, V, + ) EA
H) ⎨
⎪⎩ A, B ∈ E , A ≠ B
T) Existe y es única la recta r tal que A ∈ r ∧ B ∈ r
JJJJJG
JJJJJG
Existencia Tomamos r = R A, B − A = X ∈ E / X = A + λ B − A ; λ ∈ \
JJJJJG
JJJJJG
Entonces A + 0 B − A = A ∈ r ∧ A + 1 B − A = B ∈ r
) {
(
(
)
(
(
)
)
}
Unicidad Suponemos que ∃ s recta del espacio E / A ∈ s ∧ B ∈ s
G
G
Como A ∈ s ⇒ s = R(A, u) Además B ∈ s ⇒ ∃λ ∈ \ / B = A + λu ⇒
JJJJJG
JJJJJG
G
G
⇒ B − A = λu En consecuencia: s = R ( A, u ) = R A, B − A = r
(
Teorema
)
G
Dada una recta R (A, v) y un punto B del espacio afín existe y es única la recta que
pasa por B y es paralela a la recta dada.
PLANOS
Como dijimos anteriormente denominamos plano a una variedad lineal de dimensión
dos. En consecuencia es razonable dar la siguiente definición.
Definición
G G
G G
Consideramos (E,V,+) un espacio afín, A ∈ E, u , v ∈ V / {u , v} es LI.
G G
Llamamos plano que pasa por A y tiene dirección {u , v} a la variedad lineal que
G G
G G
pasa por A y tiene dirección L({u , v}) . Anotamos P(A, u, v)
Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente; tenemos
G G
G
G
P(A, u , v) = {A + λ.u + μ.v ∈ E ; λ, μ ∈ ℜ } Teorema
G G
G G
G G
G G
1) P(A, u , v) = P(A, u ′, v ′) ⇔ L({u , v}) = L({u ′, v ′})
G G
G
G G
2) P(A, u , v) = P(B, u , v) ⇔ B ∈ P(A, u , v)
G G
G G
G G
3) Si B ∉ P(A, u , v) ⇒ P(A, u , v) ∩ P(B, u , v) = ∅
Interpretar geométricamente los resultados.
Las demostraciones quedan a cargo del lector.
¿Hasta donde los entes que definimos como planos “merecen” tal nombre?
Teorema
Tres puntos no alineados determinan un plano al cual pertenecen.
Demostración que también queda a cargo del lector.
Nota
En Geometría I vimos que dos planos que tienen un punto en común tienen necesariamente
una recta en común. Nos preguntamos ahora si esta proposición será cierta en cualquier E.A.
Consideramos P y P’ dos planos de un mismo E.A (E,V,+) que tienen un punto en común (A)
G G
G
podemos entonces considerar: P = P(A, u, v) y P' = P(A, u ′, v′)
G G
G
G
G G
G
G
Si X ∈ P(A, u, v) ⇒ X = A + λ.u + μ.v y también X ∈ P(A, u ′, v′) ⇒ X = A + λ ′.u ′ + μ ′.v′
G
G
G
G
G
G
G
G
⇒ A + λ.u + μ.v = A + λ ′.u ′ + μ ′.v′ ⇒ λ.u + μ.v − λ ′u ′ − μ ′.v ′ = ϑ
G G G G
Si la dimensión de E es n y n ≥ 4 puede ocurrir que {u , v, u ′, v ′} sea LI ⇒ λ = μ = λ ′ = μ ′ = 0
En consecuencia necesariamente X = A . Por lo tanto los planos P y P’ tienen un único punto en
común (A). Tenemos aquí una diferencia con lo visto en Geometría I.
Puede demostrarse que si n = 3 P y P’ tienen al menos una recta en común.
ESPACIOS EUCLIDIANOS REALES
En esta parte trabajaremos con E.A. cuyo E.V.R. asociado es un espacio euclidiano lo que nos
permitirá trabajar con distancias, con ortogonalidad y con perpendicularidad.
Definición
Definición
Consideramos (E,V,+) un E.A. Diremos que es un espacio euclidiano ⇔ V es un
espacio vectorial euclidiano; o sea en el está definido un producto interno.
Sea (E,V,+) un espacio euclidiano, A, B ∈ E . Denominamos distancia entre A y B
(anotamos d(A, B) ) a la norma del vector B-A.
d(A, B) = B −A Teorema
Si (E,V,+) es un EVER (espacio vectorial euclidiano real) se cumple:
1) i) d(X, Y) ≥ 0 ∀X, Y ∈ E
ii) d(X, Y) = 0 ⇔ X = Y
2) d(X, Y) = d(Y, X) ∀X, Y ∈ E
3) d (X, Y) ≤ d (X, Z) + d( Z, Y)
∀X, Y, Z ∈ E
(desigualdad triangular)
Demostraciones a cargo del lector.
Definición
Consideramos (E,V,+) un EVER, S e y Te dos VL de E con direcciones S V y TV
respectivamente. Decimos que S e es ortogonal a Te
⎧TV ⊆ (S V )⊥
⎪
⇔ ⎨ ∨
⎪
⊥
⎩ (TV ) ⊆ S V
si además S e ∩ Te ≠ ∅ diremos que Se es perpendicular a Te
Le sugerimos al lector hacer una interpretación geométrica de las definiciones anteriores.
Teorema
⎧ (E n , Vn ,+) un EVERDF
⎪ S una VL de dicho espacio
⎪
H) ⎨
⎪ dim(S) = p
⎪⎩ A ∈ E
T) Existe y es única la VL T que pasa por A es perpendicular a S y tiene dimensión n − p
Además S y T tienen un único punto en común (H) que denominaremos proyección ortogonal
de A sobre la variedad lineal S.
Puede demostrarse además que: d(A, H) = mín { d(A, X) ∈ \ ; X ∈ S } En otras palabras la
distancia de un punto a su proyección ortogonal es la menor de las distancias de dicho punto a
cualquier otro de la VL.. Por ese motivo a la d(A, H ) la llamamos distancia del punto A a la
variedad lineal S