tema 5: derivadas parciales - José Ángel Cid

Funciones de varias variables
TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES
Matemáticas. Curso 2011/2012
Profesor: José Ángel Cid
Graos en ADE e Consultorı́a.
Universidade de Vigo.
Profesor: José Ángel Cid
Funciones de varias variables
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más
variables, por ejemplo:
w = F · D (Trabajo realizado por una fuerza)
V = πr 2 h (Volumen de un cilindro circular recto)
V = xyz (Volumen de un solido rectangular)
z = e x + sen(y ) = f (x, y )
w = f (x, y , z) = x 2 + 3yz
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
Ejemplo
T. W. Schultz calculó que la demanda de azúcar en EE.UU. entre
1929 y 1935 puede describirse aproximadamente por la fórmula
f (p, w , t) = 108.83 − 6.0294p + 0.164w − 0.4217t,
p = precio del azúcar,
w = un ı́ndice de producción,
t = año (t = 0 se corresponde con 1929).
Ejemplo
La función de Cobb-Douglas
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = A · x1a1 · x2a2 · . . . · xnan ,
A, a1 , a2 , . . . , an > 0.
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
Definición (Función de n variables con valores
reales)
f : D ⊂ Rn → R
(x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R
D = dominio de f
{f (x1 , x2 , . . . , xn ) : (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R} = rango o imagen de f
Observación
La manera más común de describir una función de varias variables
es mediante una ecuación. A menos que se diga lo contrario el
dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la
ecuación esté definida.
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
Ejemplo
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
√
√
1 f (x, y ) =
x −1+ y
p
2
2 g (x, y ) = √
+ 9 − (x 2 + y 2 )
2
2
x +y −4
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Gráficas y curvas de nivel
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma
forma que las funciones de una variable:
(f ± g )(x, y ) = f (x, y ) ± g (x, y ) (Suma o diferencia).
(f · g )(x, y ) = f (x, y ) · g (x, y ) (Producto).
(f /g )(x, y ) =
f (x,y )
g (x,y )
si g (x, y ) 6= 0
(Cociente).
Si f (x, y ), g (z) y Rango(f ) ⊂ Dom(g )
(g ◦ f )(x, y ) = g (f (x, y )) (Función compuesta).
Ejemplo
Si f (x, y ) = 3 − x 2 − y 2 y g (z) =
compuesta g ◦ f y su dominio.
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√
z calcular la función
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
La gráfica de una función de dos variables f (x, y ) es el conjunto de
todos los puntos (x, y , z) tales que z = f (x, y ) para
(x, y ) ∈ Dom(f ). La gráfica de f (x, y ) es una superficie en el
espacio.
Ejemplo
p
La gráfica de la función f (x, y ) = 3 − x 2 − y 2 es
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
Otra forma de obtener información gráfica acerca de una función
son las curvas de nivel. Éstas se obtienen intersecando la gráfica de
f (x, y ) (cuya ecuación es z = f (x, y )) con planos horizontales (de
ecuación z = c para cualquier constante c ∈ R)
z = f (x, y ), Gráfica de f ,
z = c,
Plano horizontal de altura c.
Por tanto la ecuación implı́cita de cada curva de nivel viene dada
por
f (x, y ) = c.
Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel.
Cada curva de nivel une los puntos del plano en los que f toma el
mismo valor.
Observación
Si f (x, y , z) es una función de tres variables entonces la ecuación
f (x, y , z) = c determina las superficies de nivel.
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Introducción
Gráficas y curvas de nivel
Ejemplo
Curvas de nivel famosas:
Isobaras: curvas de nivel de la función presión atmosférica
Isotermas: curvas de nivel de la función presión temperatura
Lı́neas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial
eléctrico.
Lı́neas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con
respecto al mar.
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Gráficas y curvas de nivel
Ejercicio
Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y ) =
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p
3 − x 2 − y 2.
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Gráficas y curvas de nivel
Ejercicio
Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y ) = 3 − x − y .
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Gráficas y curvas de nivel
Ejercicio
Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y ) = y 2 − x 2 .
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