Clases laterales, subgrupos normales y grupo cociente

Capítulo 4
Clases laterales, subgrupos
normales y grupo cociente
4.1.
Clases laterales
1. Fraleigh, página 113, problemas: 11.6, 11.7, 11.8, 11.10, 11.11, 11.15, 11. 16.
2. En cada caso pruebe que la relación s denida en el conjunto dado es una relación de
equivalencia y determine en cada caso las clases de equivalencia.
2.1 En N
N : (a; b) s (c; d) si y sólo si ad = bc.
2.2 En Z : a s b si y sólo si a y b son ambos pares o ambos impares (es decir, a y b tienen la
misma pariedad).
2.3 En R : a s b si y sólo si jaj = jbj.
2.4 En R : a s b si y sólo si a
b 2 Q.
3. Sean H; K subgrupos de un grupo G y x; y 2 G. Probar que:
a. xy 2 xK si y sólo si y 2 K.
b. H
K si y sólo si Hx
Kx si y sólo si xH
xK.
c. (xy) H = x (yH).
d. x (Hy) = (xH) y.
e. xH = H si y sólo si x 2 H.
4. Determine todas las clases laterales a izquierda y todas las clases laterales a derecha de
todos los subgrupos H de:
14
a. S3
b. D3
c. Q8
d. U18
e. El grupo de Klein K
5. En cada caso, determine todas las clases laterales a izquierda y todas las clases laterales a
derecha del subgrupo .H de G.
5.1 (Q; +)
(R; +)
5.2 (Z; +)
(Q; +)
5.3 (Z; +)
(R; +)
5.4 (f 1g ; :)
(R ; :)
5.5 H = 4
Z16
5.6 H = nZ
Z, donde n 2 Z+ .
6. Determine el índice de los subgrupos de…nidos en las partes (e) y (f) del problema anterior.
7. Determine el índice de cada uno de los subgrupos H de S3 , D3 , Q8 , U18 , el grupo de Klein
K.
8. Pruebe que todos los grupos de orden 2; 3; 5 son ciclicos.
9. Pruebe que S7 no contiene subgrupos de orden 11.
10. Pruebe que D4 no contiene subgrupos de orden 3.
11. Si n es entero primo,pruebe que Zn no tiene subgrupos propios.
12. Si G es ciclico y …nito de orden primo entonces G no tiene subgrupos propios.
13. Si G 6= feg es …nito y todos sus subgrupos son impropios,entonces G tiene orden primo.
14. Sea H un subgrupo de G que tiene exactamente dos clases laterales. Pruebe que para
cada a 2 G : a2 2 G:
15. Sea G un grupo …nito con subgrupos H; K de ordenes p,q respectivamente, si mcd(p; q) =
1, probar que H \ K = feg.
15
16. Sea G un grupo …nito, H; K
G tales que jGj = jHj jKj, probar que G = HK si y sólo
si H \ K = feg.
17. Veri…que el teorema de Lagrange para cada uno de los subgrupos de S3 , D3 , Q8 , U18 , el
grupo de Klein K.
18. Demostrar que toda clase lateral izquierda de subgrupo Z del grupo aditivo de los números
reales contiene exactamente un representante x tal que 0
x
1.
19. Demostrar que la función seno asigna el mismo valor a cada representante de una clase
lateral izquierda …ja del subgrupo h2 i del grupo aditivo de los numeros reales.
4.2.
Subgrupos normales y grupo cociente
20. En cada caso determine todos los subgrupos normales del grupo G dado a continuación:
a. G = Z18
b. G = D3
c. G = S3
d. G = Q8 .
21. Dé un ejemplo de un grupo no abeliano donde todos sus subgrupos propios sean normales.
22. Pruebe que Sn no es simple.
23. Pruebe que todo grupo de orden primo es simple.
24. Pruebe que Sl (n; R) / Gl (n; R).
En los problemas siguientes, G siempre denotará un grupo:
25. Probar que Z(G) / G.
26. Si N
Z(G), probar que N / G.
27. Si H / G y K / G son tales que H \ K = feg entonces 8h 2 H; k 2 K :
hk = kh.
28. Si N
G con jN j = n y G no contiene más subgrupos de orden n entonces N / G.
29. Si N
G es tal que 8a; b 2 G : aN = bN =) N a = N b: Probar que N / G.
16
30. Si H
GyN=
T
a
1 Ha,
probar que N / G.
a2G
31. Si N / G; donde G es …nito y m = [G : N ] entonces 8a 2 G : am 2 N .
Sugerencia: el grupo G=N tiene orden m.
32. Sea G un grupo …nito y N
G con [G : N ] = 2: Probar que:
a. Toda clase lateral derecha de N en G es tambien una clase lateral izquierda de N en G.
b. N / G.
c. G no es simple.
d. G=N es ciclico.
G, , entonces N C G si y sólo si para cada x; y 2 G : xy 2 N implica yx 2 N .
33. Sea N
34. Si G es un grupo no abeliano,probar que G=Z(G) no puede ser ciclico.
35. Si G es un grupo no abeliano y G=Z(G) es …nito entonces G=Z(G) no puede ser de orden
primo.
36. Sea H
a. N (H)
b. H
G, de…namos N (H) = a 2 G : a
1 Ha
= H . probar que:
G.
N (H).
c. H / N (H).
d. N (H) es el mayor subgrupo de G para el cual H es normal,es decir, K
entonces K
37. Sea N
G y H/K
N (H).
G con jN j = m y
= fK : K
G y jKj = mg. Probar que
\
K / G:
K2
Decimos que un subgrupo normal N de G es máximal, si H es un un subgrupo normal
propio de G y no existen subgrupos normales estrictamente entre H y G.
38. H es un subgrupo normal máximal de G si y sólo si G=H no tiene subgrupos normales
propios.
39. Si N C G, entonces G=N es simple si y sólo si N es un subgrupo normal máximal de G.
40. Si G es abeliano, entonces G es simple si y sólo si G es …nito y de orden primo.
17
Capítulo 5
Homomor…smos de grupos
1. Hallar todos los homomor…smos de:
a. Z2 en Z2
b. Z2 en Z3
c. Z2 en Z4
2. Probar que:
a. Sn = Sm () n = m
b. Z30 =Z6 = Z5
c. Zmn =Zn = Zm
d. Sn =An = Z2
e. hC; +i = R2 ; +
h. K = Z2
Z2 (donde K es el grupo de Klein)
3. Sea hG; i el grupo G = R
f 1g con la operación
a b = a + b + ab:
a. Probar que hG; i = hR
Pruebe que N = f 2 G : f
f0g ; i , donde denota la multiplicación usual en R
1
2
=0
G y concluya que
G=N = R+ ;
18
:
f0g :
4. Probar que la función
' : Gl(R; n)
! hR
A
!
f0g ; i
Det (A)
es un homomor…smo. Hallar su kernel e imagen y concluya que
Gl(R; n)=Sl(R; n) = hR
f0g ; i
5. Sea K = f 1; ig el subgrupo del grupo multiplicativo hC
f0g ; i. Probar que K = Z4 .
6. Sea G el grupo aditivo de los números complejos, de…namos
: G
z
Probar que
! G
!
z
es isomor…smo.
7. Para n 2 N, utilice el homomor…smo
': Z
x
! Zn
!
x
para probar que Z=nZ = Zn .
8. Utilice el homomor…smo
' : hR
f0g ; i
! hR+ ; i
x
!
jxj
donde jxj denota el valor absoluto de x; para probar que
hR
f0g ; i = f 1g = R+ ;
:
9. Sea G el grupo aditivo de los números reales y T = fz 2 C : jzj = 1g.
a. Pruebe que T con la operación multiplicación es un grupo.
Para un número real y …jo de…namos
Probar que
: G
!
x
!
es un homor…smo.
b. Calcule ker ( )
c. Pruebe que G=Z = T
19
T
(x) = eiyx
10. Sea G un grupo,para cada a 2 G de…nimos
fa : G
!
x
G
! fa (x) = axa
1
Probar que:
a. Para cada a 2 G; fa es un automor…smo en G. (Cada fa es llamada un automor…smo
interno en G).
b. Aut (G) = ff : G ! G : f es un automor…smog con la operación composición entre funciones forman un grupo.
c. Int (G) = ffa =a 2 Gg / Aut (G) :
d. La función
': G
!
a
Aut (G)
! ' (a) = fa
es un homomor…smo con Ker' = Z (G) :
e. Aut(G) = G=Z(G).
11. Sea hG; i un grupo, considérese la operación binaria
de…nida por
8a; b 2 G : a b = b a;
probar que hG; i es un grupo y hG; i = hG; i :
12. Si G1 ; G2 son grupos con subgrupos normales N1 ; N2 respectivamente y
un homomor…smo tal que (N1 )
: G1 7 ! G2 es
N2 entonces existe un homomor…smo
' : G1 =N1 7 ! G2 =N2 :
13. Si G es un grupo abeliano y …nito con jGj = n y m 2 Z+ tal que mcd(m; n) = 1 entonces
la función ' : G 7 ! G de…nida por '(x) = xm es un isomor…smo.
14. Sea
: G ! G1 un homor…smo con N = Ker ( ) : Pruebe que existe un homor…smo
: G ! G1 tal que
= ';
donde ' es el homor…smo canonico.
15. Si N C G y
homor…smo
: G ! G1 un homor…smo tal que Ker ( )
: G=N ! G1 digamos
(N a) =
20
(a).
N , entonces
induce a un
16. Sea
: G ! G1 un homor…smo y H
1
G entonces
(H) = fg 2 G :
(g) 2 Hg
es un subgrupo de G que contiene a Ker ( ).
17. Un subgrupo H de G se llama invariante si para cada ' 2 Aut(G) : ' (H)
a. Si H es un subgrupo invariante de G, entonces H C G.
b. N C G y M un subgrupo invariante de N entonces M C G.
21
H.