I. GEOMETRÍA I.2. El plano afín

I. GEOMETRÍA I.2. El plano afín
I. GEOMETRÍA
I.2. El plano afín
I. GEOMETRÍA I.2. El plano afín
I.2.1. Definición
DEF. El plano afín es un conjunto, E2 , formado por puntos
(A, B, C, · · · ) junto con una aplicación que asocia a cada par de
~
puntos (A, B) un vector de R2 de origen A y extremo B (AB)
con las siguientes propiedades:
~ = AC
~
~ + BC
dados A, B, C ∈ E2 , AB
fijado A como origen, a cada ~x ∈ R2 le corresponde un
~
único B ∈ E2 tal que ~x = AB
Propiedades:
~ = ~0
Dado A ∈ E2 , AA
~ = −AB
~
BA
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I.2.2.Sistemas de referencia. Coordenadas de un
punto
DEF. Un sistema
de referencia cartesiano en E2 es un conjunto
~u1 , ~u2 donde O es un punto llamado origen y
R
=
O;
~u1 , ~u2 es una base de R2 .
DEF. Las coordenadas cartesianas de un punto A ∈ E2 en el
sistema de referencia R son por definición las coordenadas del
~ en la base ~u1 , ~u2 , es decir,
vector OA
~ = a1~u1 + a2~u2
a1 , a2 ∈ R/OA
~ es el vector de posición de A.
donde OA
DEF. Si la base ~u1 , ~u2 es ortonormal se dice que R es un
sistema de referencia rectangular.
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I.2.2.Sistemas de referencia. Coordenadas de un
punto (II)
Propiedad. Si A(a1 , a2 ) y B(b1 , b2 ) en R = O; ~u1 , ~u2
~ = (b1 − a1 , b2 − a2 ) en ~u1 , ~u2
AB
Fijado R = (0, 0); ~e1 , ~e2 ,
DEF. Dados X (x1 , x2 ), Y (y1 , y2 ) ∈ E2 , la distancia entre ellos se
define como la longitud del vector que los une:
q
~
d (X , y) = kXY k = + (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
DEF. La recta que pasa por el punto A ∈ E2 de vector director
~u 6= ~0 es el conjunto de puntos:
n
o
~ = λ~u , λ ∈ R
r = X ∈ E2 /AX
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I.2.3. Cambio de sistema de referencia
Un cambio de sistema de referencia consiste en un cambio de
base y un cambio de origen.
Fijamos dos sistemas de referencia en E2 :
R = O; ~e1 , ~e2 , R′ = P; ~u1 , ~u2
Las coordenadas de X ∈ E2 en R son (x1 , x2 ) y en R′ son
(x1′ , x2′ ):
~ = x1~e1 + x2~e2
OX
~ = x ′ ~u1 + x ′ ~u2
PX
1
2
Los vectores ~u1 y ~u2 se pueden escribir en la base ~e1 , ~e2
usando la matriz de cambio de base: (~u1~u2 ) = (~e1~e2 )C
~ = p1~e1 + p2~e2
Si las coordenadas de P en R son (p1 , p2 ): OP
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I.2.3. Cambio de sistema de referencia (II)
~ = OP
~ + PX
~ , sustituyendo,
Podemos escribir: OX
x1~e1 + x2~e2
x
(~e1 ~e2 ) 1
x2
x
(~e1 ~e2 ) 1
x2
x1
x2
= p1~e1 + p2~e2 + x1′ ~u1 + x2′ ~u2
′
p
x
= (~e1 ~e2 ) 1 + (~u1 ~u2 ) 1′
p2
x
2 ′ p
x
= (~e1 ~e2 ) 1 + (~e1 ~e2 )C 1′
p2
x2
′
p1
x
=
+ C 1′
p2
x2
Coordenadas de X en el sistema de referencia R en función de
sus coordenadas en R′
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I.2.3. Cambio de sistema de referencia (III)
R = O; ~e1 , ~e2 ,
R′ = P; ~u1 , ~u2
Coordenadas de X en el sistema de referencia R en función de
′
x1
p1
x
′
sus coordenadas en R :
=
+ C 1′
x2
p2
x2
Coordenadas de X en el sistema de referencia R′ en función
′
x1
x1 − p1
−1
de sus coordenadas en R:
=C
x2′
x2 − p2