2.b - Departament d`Estadística i Investigació Operativa

(2.b) PROPIEDADES DE LOS MODELOS LINEALES
• ESTUDIO GRÁFICO DE UN P.P.L. EN R2.
Caracterización de la región factible.
Resolución gráfica del problema.
Óptimos alternativos.
Problemas no factibles y no acotados.
Clasificación.
• CONVEXIDAD DE LA REGIÓN FACTIBLE.
Vértice de un conjunto convexo.
• FORMA STANDARD DE UN P.P.L. Y BASES FACTIBLES.
• RELACIÓN ENTRE BASES FACTIBLES Y VÉRTICES.
• TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA P.L.
Una estrategia para resolver P.P.L.
Cap. 3 Hillier F.S., Lieberman G.J. “Introduction to Operations Research” Holden day Inc. 1986.
Cap. 2 Luenberger D.G.“Linear and Nonlinear Programming” Addison-Wesley 1984
Investigación Operativa
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
Tm aleación 2
Tm aleación 1
€
Tm cobre
Tm estaño
Máximo Tm aleación 1
Solución gráfica del problema:
1. Curvas de n¡vel de la f.obj.
2. Repr. Gráfica de las
restricciones
1
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2
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NN restricciones de no negatividad: cuadrante de los no negativos.
3
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4
Para valores de k > 180 las
curvas de nivel de la f.obj. no
intersectan la región factible:
k=180 es el mayor valor que
puede alcanzar la f.obj. en la
región factible.
Este valor se obtiene en el
punto xA =(20,60) :
ÓPTIMO (SOLUCIÓN) DE (P)
5
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85
85
85
6
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Los puntos del segmento AB son la
intersección entre la región factible de
(P'') y la curva de nivel con máximo
valor de la f.obj.
Segmento AB: conjunto solución
7
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Una región factible es acotada en Rn si: ∃ r >0 t.q:
NO ACOTADA
ACOTADA
8
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( Max f )
óptimo
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10
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CONVEXIDAD de la REGIÓN FACTIBLE
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NO TODOS LOS
CONVEXOS TIENEN
VÉRTICES
12
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FORMA STANDARD DE UN P. P.L.
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Tras transformaciones, todo P.P.L. puede expresarse de la forma:
(m≤n)
• Todas las variables xi están sujetas a xi ≥ 0, i = 1, 2, … n
• Todos los términos de la derecha bi son no negativos: bi ≥ 0, i = 1, 2, … m
• La matriz de coeficientes A es de pleno rango:
Hay m columnas de A tales que al formar una matriz B con ellas,
ésta es inversible.
Todos los paquetes para P.L. convierten automáticamente a la forma Standard
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Ejemplo: (Ejercicio Nº 2 de la colección)
14
+
Investigación Operativa
+
+
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+
UPC
DEFINICIÓN DE BASE FACTIBLE .
15
Sistema Ax = b, x ≥ 0
B=
DEFINICIÓN: B es base factible si:
≥0
B es una base asociada al conjunto de índices {1, 4, 5}
Investigación Operativa
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UPC
Sistema Ax = b, x ≥ 0
Concepto de solución básica factible
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B base asociada a IB = {1, 4, 5}
≥0
Notación:
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UPC
RELACIÓN ENTRE BASES FACTIBLES Y VÉRTICES ( F en F.S. )
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Una estrategia para resolver el P.P.L. consiste en:
1. Determinar si F=∅.
2. En caso contrario, determinar una s.b.f. (vértice) de F inicial
3. Visitar s.b.f's hasta encontrar una que sea solución de (P)
4. Determinar si la s.b.f. solución es única o existen otras
soluciones.
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1. Determinar si F=∅.
2. En caso contrario, determinar una s.b.f. (vértice) de F inicial.
3. Visitar s.b.f's hasta encontrar una que sea solución de (P)
4. Determinar si la s.b.f. solución es única o existen otras
soluciones.
En el próximo tema:
• Se desarrolla un método para saltar de una s.b.f. a otra vecina.
• En cada salto se mejora la función objetivo.
• Se detecta si se alcanza una solución de (P) o bien si el
problema es no acotado.
• Finalmente, se desarrolla un método para encontrar una s.b.f.
inicial o bien detectar que F=∅.
ALGORITMO DEL SÍMPLEX
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x3
B
A
VÉRTICE A
x1
x2
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x3
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B
C
VÉRTICE B
x1
x2
VÉRTICE C
ÓPTIMOS ALTERNATIVOS
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatura
de Estadística
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UPC
Recorriendo las diferentes bases
encontraríamos los puntos C, D, E, F.
x3
C
En todos ellos la f.obj. tiene igual
valor: z* = 220/15.
F
G
E
D
x1
Cualquier punto G sobre la
cara tendrá igual valor para la
f.obj.
( COMPROBADLO)
x2
22
I.O.E.
Diplomatura
de Estadística
Investigación
Operativa
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