L1 de una medida vectorial definida sobre un δ–anillo

L1 de una medida vectorial
definida sobre un δ–anillo
Olvido Delgado
Medidas vectoriales definidas sobre un δ–anillo
• Definición. Sea R una colección de subconjuntos de un conjunto Ω. Se
dice que R es un δ–anillo si cumple:
X A ∪ B ∈ R para todo A, B ∈ R.
X A\B ∈ R para todo A, B ∈ R.
X ∩n≥1 An ∈ R para todo (An )n≥1 ⊂ R.
• Definición. Sea R un δ–anillo de partes de Ω y X un espacio de Banach.
Una función de conjuntos
ν: R → X
es una medida vectorial si para toda sucesión (An )n≥1 ⊂ R de conjuntos
disjuntos tal que ∪n≥1 An ∈ R, se cumple que
X
ν(An ) = ν(∪n≥1 An ).
n≥1
• Definición. Sea R un δ–anillo de partes de Ω. Se define
Rloc := {A ⊂ Ω : A ∩ B ∈ R para todo B ∈ R}.
Se cumple que:
X Rloc es una σ–álgebra.
X R ⊂ σ(R) ⊂ Rloc ⊂ P(Ω).
X Si R es σ–álgebra, entonces R = σ(R) = Rloc .
i
Sea R un δ–anillo de partes de Ω, X un espacio de Banach y ν : R → X una
medida vectorial.
• Definición. La variación de ν es la medida |ν| : Rloc → [0, ∞] definida por
n
nX
o
n
A
|ν|(A) = sup
kν(Ai )kX : (Ai )i=1 es sucesión disjunta en R ∩ 2
i=1
para todo A ∈ Rloc .
• Definición. La semivariación de ν es la función kνk : Rloc → [0, ∞] dada
por
kνk(A) = sup |x∗ ν|(A) para todo A ∈ Rloc .
x∗ ∈BX ∗
Se cumple que
X A, B ∈ Rloc con A ⊂ B ⇒ kνk(A) ≤ kνk(B).
P
X kνk(∪n≥1 An ) ≤ n≥1 kνk(An ) para todo (An )n≥1 ⊂ Rloc .
X
1
2
kνk(A) ≤ sup{kν(B)kX : B ∈ R∩2A } ≤ kνk(A) para todo A ∈ Rloc .
X kν(A)kX ≤ kνk(A) para todo A ∈ R.
X kνk(A) ≤ |ν|(A) para todo A ∈ Rloc .
• Definición. La medida vectorial ν es acotada si {ν(A) : A ∈ R} es un
conjunto acotado en X, o equivalentemente, si kνk(Ω) < ∞.
La medida vectorial ν puede ser NO acotada.
• Ejemplo. Consideremos el δ–anillo R = {A ∈ B([0, ∞)) : A es acotado}.
La función de conjuntos ν : R → L∞ ([0, ∞)) definida por
Z x
ν(A)(x) =
χA (y) dy para todo x ∈ [0, ∞),
0
es una medida vectorial NO acotada, pues
Z x
kν(A)k∞ = sup
χA (y)dy = m(A).
0≤x
0
NOTA: ν es la función de conjuntos asociada al operador de Volterra.
ii
Si R es σ–álgebra entonces ν es acotada. La medida vectorial ν también puede
ser acotada sin ser R una σ–álgebra.
• Ejemplo. Consideremos el δ–anillo
R = {A ∈ B([0, ∞)) : A es acotado y existe ε > 0 tal que A∩[0, ε) = ∅}.
La función de conjuntos ν : R → L∞ ([0, ∞)) definida por
Z
1 x
ν(A)(x) =
χA (y) dy para todo x ∈ (0, ∞),
x 0
es una medida vectorial acotada, pues
kν(A)k∞
1
= sup
0<x x
Z
x
χA (y)dy ≤ 1.
0
NOTA: ν es la función de conjuntos asociada al operador de Hardy.
• Lema. Para todo A ∈ R se tiene que kνk(A) < ∞.
• Observación. Sea λ : R → R una medida real (numerablemente aditiva).
Se cumple que la variación y la semivariación de λ coinciden. En particular,
|λ|(A) < ∞ para todo A ∈ R.
• Definición. Se dice que un conjunto A ∈ Rloc es ν–nulo si ν(B) = 0 para
todo B ∈ R ∩ 2A , o equivalentemente, si kνk(A) = 0.
Una propiedad se cumple ν–e.c.t. si se cumple excepto en los puntos de un
conjunto ν–nulo.
iii
Integración respecto de una medida real
definida sobre un δ–anillo
Sea R un δ–anillo de partes de Ω y λ : R → R una medida real.
• Notación.
M(Rloc ) = { f : Ω → R Rloc –medible}.
P
S(Rloc ) = espacio de funciones Rloc –simples ( n1 ai χAi , ai ∈ R, Ai ∈ Rloc ).
P
S(R) = espacio de funciones R–simples ( n1 ai χAi , ai ∈ R, Ai ∈ R).
• Definición. Una función f ∈ M(Rloc ) es integrable respecto de λ si
Z
|f | d|λ| < ∞.
Denotamos por L1 (λ) al espacio de funciones integrables respecto de λ
(identificando funciones que son iguales λ–e.c.t.). Se cumple que
X L1 (λ) = L1 (|λ|) es un espacio de Banach con la norma kf k1 =
X S(R) ⊂ L1 (λ).
P
• Definición. Dada ϕ = ni=1 ai χAi ∈ S(R), se define
Z
n
X
ϕ dλ :=
ai λ(Ai ∩ A) para todo A ∈ Rloc .
A
i=1
• Proposición. S(R) es denso en L1 (λ).
• Definición. Dada f ∈ L1 (λ), se define
Z
Z
f dλ := lim ϕn dλ para todo A ∈ Rloc ,
A
n
A
siendo (ϕn ) ⊂ S(R) tal que ϕn → f en L1 (λ).
iv
R
|f | d|λ|.
• Observación. El operador f ∈ L1 (λ) →
con
R
f dλ ∈ R es lineal y continuo
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f dλ¯ ≤ |f | d|λ| para todo f ∈ L1 (λ).
• Lema. Sea f ∈ L1 (λ). La función de conjuntos λf : Rloc → R dada por
Z
λf (A) =
f dλ para todo A ∈ Rloc ,
A
es una medida real. Se prueba que
R
X |λf |(A) = A |f | d|λ| para todo A ∈ Rloc .
R
R
X
|g| d|λf | = |gf | d|λ| para todo g ∈ M(Rloc ).
X g ∈ L1 (λf ) si y sólo si gf ∈ L1 (λ). En ese caso,
R
g dλf =
R
• Lema. Para todo f ∈ L1 (λ) se cumple que
½¯ Z
¾ Z
Z
¯
1
¯
¯
|f | d|λ| ≤ sup ¯ f dλ¯ : A ∈ R ≤ |f | d|λ|.
2
A
v
gf dλ.
Integración respecto de una medida vectorial
definida sobre un δ–anillo
Sea R un δ–anillo de partes de Ω , X un espacio de Banach y ν : R → X una
medida vectorial.
• Definición. (Lewis; 1972). Una función f ∈ M(Rloc ) es integrable respecto de ν si cumple:
(1) f ∈ L1 (|x∗ ν|) para todo x∗ ∈ X ∗ .
(2) Para cada A ∈ Rloc , existe xA ∈ X tal que
Z
x∗ (xA ) =
f dx∗ ν para todo x∗ ∈ X ∗ .
En ese caso,
R
Af
A
dν := xA
R
R
( f dν := Ω f dν).
• Notación. (Identificamos funciones que son iguales ν–e.c.t.)
L1 (ν) = espacio de funciones integrables respecto de ν.
L1w (ν) = espacio de funciones f ∈ M(Rloc ) tales que cumplen (1).
• Observaciones.
X La aplicación f ∈ L1 (ν) →
R
f dν ∈ X es un operador lineal.
X Para todo f ∈ L1 (ν) y A ∈ Rloc se tiene que f χA ∈ L1 (ν) con
Z
Z
f χA dν =
f dν para todo B ∈ Rloc .
B
X Para todo ϕ =
Z
B∩A
Pn
i=1 ai χAi ∈
n
X
ai ν(Ai ∩ A) para todo A ∈ Rloc
ϕ dν =
A
S(R) se tiene que ϕ ∈ L1 (ν) con
i=1
Luego, S(R) ⊂ L1 (ν) ⊂ L1w (ν).
• Definición. Para todo f ∈ M(Rloc ) se define
Z
|f | d|x∗ ν| ≤ ∞.
kf kν := sup
x∗ ∈BX ∗
vi
• Propiedades de L1w (ν).
X f ∈ L1w (ν) si y sólo si kf kν < ∞.
X L1w (ν) es un espacio de Banach con la norma k · kν .
X Se cumple:
g ∈ M(Rloc ), f ∈ L1w (ν)
)
|g| ≤ |f | ν–e.c.t.
⇒ g ∈ L1w (ν) y kgkν ≤ kf kν .
En particular, L1w (ν) es retı́culo de Banach con el orden puntual ν–e.c.t.
X fn → f en L1w (ν) ⇒ existe (fnk ) tal que fnk → f ν–e.c.t.
X L1w (ν) tiene la propiedad de Fatou: f ∈ M(Rloc ), fn ∈ L1w (ν)
)
0 ≤ fn ↑ f ν–e.c.t.
⇒ f ∈ L1w (ν) y kfn kν ↑ kf kν .
supn≥1 kfn kν < ∞
• Lema. Sea f ∈ L1 (ν). La función de conjuntos νf : Rloc → X dada por
Z
νf (A) =
f dν para todo A ∈ Rloc ,
A
es una medida vectorial. Se prueba que
X kνf k(A) = kf χA kν para todo A ∈ Rloc .
X kgkνf = kf gkν para todo g ∈ M(Rloc ).
X g ∈ L1w (νf ) si y sólo si f g ∈ L1w (ν).
X g ∈ L1 (νf ) si y sólo si f g ∈ L1 (ν). En ese caso,
Z
Z
g dνf =
f g dν para todo A ∈ Rloc .
A
A
• Lema. Para todo f ∈ L1 (ν) se cumple que
½° Z
¾
°
1
°
°
kf kν ≤ sup ° f dν ° : A ∈ R ≤ kf kν .
X
2
A
vii
• Lema. Sea f ∈ L1 (ν). Para todo ε > 0 existe A ∈ R tal que
kf χΩ\A kν < ε.
• Propiedades de L1 (ν).
X L1 (ν) coincide con la clausura de S(R) en L1w (ν).
X L1 (ν) es un espacio de Banach con la norma k · kν .
X f ∈ L1 (ν) →
R
R
f dν ∈ X es continuo con k f dνkX ≤ kf kν .
X Teorema de Convergencia Dominada: f ∈ M(Rloc ), fn , g ∈ L1 (ν)
)
fn → f ν–e.c.t.
⇒ f ∈ L1 (ν) y fn → f en L1 (ν).
|fn | ≤ |g| ν–e.c.t. para todo n
X Se cumple:
g ∈ M(Rloc ), f ∈ L1 (ν)
|g| ≤ |f | ν–e.c.t.
)
⇒ g ∈ L1 (ν) y kgkν ≤ kf kν .
En particular, L1 (ν) es retı́culo de Banach con el orden puntual ν–e.c.t.
X L1 (ν) es orden continuo, i.e. toda sucesión creciente y acotada ν–e.c.t.
es convergente en norma.
• Proposición. f ∈ L1 (ν) si y sólo si existe (ϕn ) ⊂ S(R) tal que:
(a) ϕn → f ν–e.c.t.
R
(b) A ϕn dν converge en X, para cada A ∈ Rloc .
• Proposición. Si X no contiene ningún subespacio isomorfo a c0 entonces
L1 (ν) = L1w (ν).
viii
Propiedades analı́ticas de una medida vectorial
definida sobre un δ–anillo
Sea R un δ–anillo de partes de Ω , X un espacio de Banach y ν : R → X una
medida vectorial.
• Observación. ν acotada ⇔ kνk(Ω) < ∞ ⇔ χΩ ∈ L1w (ν).
• Definición. ν es fuertemente aditiva si para toda sucesión (An )n≥1 ⊂ R
de conjuntos disjuntos se tiene que ν(An ) → 0 en X.
• Definición. Una medida de control para ν es una medida λ : R → [0, ∞]
que cumple:
(i) lim kν(A)kX = 0,
λ(A)→0
(ii) A ν–nulo ⇒ A λ–nulo.
• Teorema. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) ν es fuertemente aditiva.
(b) χΩ ∈ L1 (ν).
(c) Existe λ medida de control acotada para ν.
(d) Existe νe : Rloc → X medida vectorial que extiende a ν.
((a) ⇔ (c) resultado de Brooks, 1971)
• Observaciones.
X ν fuertemente aditiva ⇒ ν acotada.
X Si R es una σ–álgebra entonces se cumplen (a)–(d).
X Si se cumple (a)–(d) entonces podemos tomar
νe : Rloc
A
-
X
-
νe(A) =
R
A χΩ dν
y λ = |x∗0 ν| para cierto x∗0 ∈ BX ∗ . Además
L1w (ν) = L1w (e
ν ) y L1 (ν) = L1 (e
ν ).
ix
• Definición. ν es σ–finita si existe N ∈ Rloc ν–nulo y (An )n≥1 ⊂ R tales
¡
¢
que Ω = ∪n≥1 An ∪ N .
• Definición. Una medida λ : R → [0, ∞] es una medida de control local
para ν si cumple:
(i) lim kν(A)kX = 0, para todo B ∈ R.
λ(A)→0
A⊂B
(ii) A ν–nulo ⇒ A λ–nulo.
• Observación. λ medida de control local para ν ⇔ λ y ν tienen los
mismos conjuntos nulos.
• Teorema. (Brooks y Dinculeanu, 1974). Existe λ medida de control local
para ν.
• Teorema. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) ν es σ–finita.
(b) Existe g ∈ L1 (ν) tal que g > 0 ν–e.c.t. (g es unidad débil de L1 (ν))
(c) Existe λ medida de control local acotada para ν.
(b) ⇒ (c): Tomamos λ = |x∗0 νg | con x∗0 ∈ BX ∗ , medida de control para
νg : Rloc
-
X
A
-
νg (A) =
R
A g dν
• Observaciones.
X Si se cumple (a)–(c) entonces
L1w (ν) ∼
= L1w (νg ) y L1 (ν) ∼
= L1 (νg ).
Además, |x∗0 ν| es medida de control local para ν.
X ν fuertemente aditiva ⇒ ν σ–finita.
x
• Teorema. Sea R un δ–anillo, X un espacio de Banach y ν : R → X una
medida vectorial no σ–finita. Entonces,
L1 (ν) = ⊕α Eα
donde Eα son ideales disjuntos tales que
Eα ∼
= L1 (να ),
siendo να = ν/Rα con Rα = {A ∈ R : A ⊂ Aα } (σ–álgebra) y Aα ∈ R.
• Ejemplo. Sea Γ un conjunto abstracto, X un espacio de Banach y (xγ )γ∈Γ
una familia de elementos no nulos de X. Tomamos el δ–anillo
R = {A ⊂ Γ : A finito }
y la medida vectorial
ν: R
-
X
A
-
ν(A) =
X
xγ
γ∈A
Se cumple:
X L1w (ν) = {f : Γ → R /
X L1 (ν) = {f : Γ → R /
X ν es acotada ⇔
P
P
P
f (γ)xγ débilmente incondicionalmente de Cauchy}.
f (γ)xγ incondicionalmente convergente}.
xγ es débilmente incondicionalmente de Cauchy.
X ν es fuertemente aditiva ⇔
P
xγ es incondicionalmente convergente.
X ν es σ–finita ⇔ Γ es numerable.
xi
Referencias
∗ R. G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Weak compactness and vector
measures, Canad. J. Math. 7 (1955), 289–305.
∗ J. K. Brooks, On the existence of a control measure for strongly bounded
vector measures, Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 999–1001.
∗ J. K. Brooks and N. Dinculeanu, Strong additivity, absolute continuity and
compactness in spaces of measures, J. Math. Anal. Appl. 45 (1974), 156–
175.
∗ G. P. Curbera, Operators into L1 of a vector measure and applications to
Banach lattices, Math. Ann. 293 (1992), 317–330.
∗ O. Delgado, L1 –spaces of vector measures defined on δ–rings, Arch. Math.
84 (2005), 432–443.
∗ J. Diestel and J.J. Uhl, Jr., Vector Measures, Amer. Math. Soc. Surveys
15, Providence, R. I., 1977.
∗ D. R. Lewis, Integration with respect to vector measures, Pacific J. Math.
33 (1970), 157–165.
∗ D. R. Lewis, On integrability and summability in vector spaces, Illinois J.
Math. 16 (1972), 294–307.
∗ P. R. Masani and H. Niemi, The integration theory of Banach space valued
measures and the Tonelli–Fubini theorems. I. Scalar–valued measures on
δ–rings, Adv. Math. 73 (1989), 204–241.
∗ P. R. Masani and H. Niemi, The integration theory of Banach space valued measures and the Tonelli–Fubini theorems. II. Pettis integration, Adv.
Math. 75 (1989), 121–167.
xii