Información y Azar (Azar y Azar) 1 Martingala con éxito en el

Información y Azar (Azar y Azar)
1
Martingala con éxito en el conjunto de secuencias con más ceros que unos
Escribimos 2∗ y 2ω para denotar los conjuntos de secuencias finitas e infinitas de ceros y unos,
respectivamente. Dada una palabra w ∈ 2∗ llamemos
ceros(w) = #{i | w[i] = 0, 1 ≤ i ≤ |w|} y unos(w) = |w| − ceros(w)
Sea A el conjunto de las secuencias infinitas que contienen, en el lı́mite, más ceros que unos
1
ceros(s[1..n])
ω
>
A = s ∈ 2 | lı́m
n→∞
n
2
P
−i
Definimos una martingala m : 2∗ → R+ combinación de martingalas m(s) =
di .
i≥1 2
Definiremos la martingala di para que tenga éxito en el subconjunto de A
ceros(s[1..n]) 1
Ai = s ∈ 2ω | ∃n0 ∀n > n0 ,
− > 2−i
n
2
Cada martingala di apuesta una fracción z del capital actual al cero, y una fracción u al uno, con
0 ≤ z ≤ 1 y 0 ≤ u ≤ 1. Asumimos la regla usual del casino que paga por la salida ganadora el
doble de lo apostado, y nada por la perdedora. Cada martingala di cumple:
di (λ) = 1
di (s0) = di (s) − z di (s) − u di (s) + 2zdi (s) = di (s) (1 + z − u).
di (s1) = di (s) − z di (s) − u di (s) + 2udi (s) = di (s) (1 − z + u).
Es martinagala porque di (s0) + di (s1) = 2di (s). Mediante una inducción simple obtenemos
di (s) = (1 + z − u)ceros(s) (1 − z + u)unos(s)
Para cada i determinemos los valores de z y u para que di tenga éxito sobre el conjunto Ai .
Llamemos ε = 2−i . Buscamos z y u tales que si ceros(s[1..n]) ≥ n/2 + ε n entonces
di (s[1..n]) =(1 + z − u)ceros(s) (1 − z + u)unos(s) ≥
(1 + z − u)n/2+εn (1 − z + u)n/2−εn
Es decir, pedimos que para todo m tal que m ≤ n/2 − εn,
(1 + z − u)n/2+εn+m (1 − z + u)n/2−εn−m ≥(1 + z − u)n/2+εn (1 − z + u)n/2−εn
(1)
Además necesitamos que di (s[1..n]) infinitas veces creciente en n. Pidamos que sea creciente
siempre, es decir, para todo m ≥ 0
(1 + z − u)(n+m)/2+ε(n+m) (1 − z + u)(n+m)/2−ε(n+m) ≥(1 + z − u)n/2+εn (1 − z + u)n/2−εn (2)
La condición (1) es equivalente a pedir z > u. La condición (2) es equivalente a pedir
ε n+m ε n
1+z−u
1+z−u
≥ (1 + z − u)1/2 (1 − z + u)1/2
(1 + z − u)1/2 (1 − z + u)1/2
1−z−u
1−z−u
ε
1+z−u
Para ésto necesitamos z y u tales que (1 + z − u)1/2 (1 − z + u)1/2
>1
1−z−u
o equivalentemente,
ε ≥
ln((1 + z − u)−1/2 (1 − z + u)−1/2 )
1+z−u
ln 1−z+u
(3)
1
Si tomamos z > 1/2 y u < 1/2 obtenemos (1+z−u)(1−z+u)
> 1, 1+z−u
1−z+u > 1, y la expresión derecha
de (3) está definida, y decrece cuando z decrece.
Por lo tanto, definimos cada di de la siguiente manera. Fijamos ε = 2−i , y elegimos (algoritmicamente)
algun z tal que
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2
z > 1/2,
u < 1/2 tal que z + u ≤ 1, y
2−i ≥
ln((1 + z − u)−1/2 (1 − z + u)−1/2 )
.
ln 1+z−u
1−z+u
Por ejemplo, para
ε = 2−3 = 0,125, se puede elegir z = 0,69 y u = 1 − z.
ε = 2−6 , se puede elegir z = 0,51 y u = 1 − z.
ε = 2−10 , se puede elegir z = 0,5001 y u = 1 − z.
,